لماذا لا تبذل القوة الجاذبة المركزية شغلاً في الحركة الدائرية المنتظمة

سدادة مطاطية تدور حول نفسها مربوطة بخيط بسرعة ثابتة. يشد الخيط إلى الداخل طوال الوقت، وتتسارع السدادة طوال الوقت. بعد 20 دورة، هل منحت هذه القوة المتجهة إلى الداخل السدادة طاقة حركية إضافية؟

قد يبدو أن الإجابة ينبغي أن تكون نعم. فهناك قوة، والسدادة تقطع مسافة كبيرة. ومع ذلك، في الحركة الدائرية المنتظمة المثالية، لا تبذل القوة الجاذبة المركزية أي شغل على الإطلاق.

والسبب ليس أن القوة صغيرة جدًا، ولا أن الجسم somehow «يلغي» الشغل بعد كل دورة. بل إن القوة تتجه في اتجاه غير مناسب تمامًا لتغيير سرعة الجسم.

01يمكن للقوة أن تغيّر السرعة المتجهة دون أن تغيّر مقدار السرعة

ابدأ بالحركة نفسها.

في أي لحظة أثناء الحركة الدائرية المنتظمة:

• تتجه السرعة المتجهة للجسم مماسيًا للدائرة،
• ويتجه التسارع الجاذب المركزي نحو المركز،
• وتتجه القوة المحصلة نحو المركز،
• ويظل مقدار السرعة ثابتًا.

إذا كان الفرق بين مقدار السرعة والسرعة المتجهة غير واضح، فهذه هي المراجعة الأساسية: مقدار السرعة يخبرك بمدى سرعة حركة الجسم. أما السرعة المتجهة فتتضمن الاتجاه أيضًا.

لذلك يمكن لجسم يتحرك حول دائرة أن يحافظ على مقدار سرعة ثابت بينما تتغير سرعته المتجهة في كل لحظة.

التسارع المتجه إلى الداخل هو المسؤول عن هذا التغير في الاتجاه. فهو يواصل تدوير متجه السرعة دون أن يزيد طوله أو ينقصه.

إذا أردت إعادة بناء فهمك لسبب اتجاه التسارع بهذه الطريقة، فراجع التسارع الجاذب المركزي: لماذا يتجه إلى الداخل في فيزياء HSC.

يمكنك تكوين تصور ذهني تقريبي لصديق يقف بالقرب منك ويشد حقيبة ظهرك باستمرار إلى الجانب أثناء ركضك. إذا كانت كل شدة جانبية تمامًا بالنسبة إلى حركتك، فيمكنها أن تحني مسارك دون أن تدفعك لتتحرك أسرع أو تسحبك لتتحرك أبطأ.

لا ينطبق هذا التشبيه تمامًا في الحياة الواقعية، لأن صديقك على الأرجح لن يحافظ على القوة متعامدة تمامًا، كما أن الاحتكاك سيكون له تأثير. أما الحالة الفيزيائية المثالية فهي أبسط.

02يعتمد الشغل على اتجاه القوة

تبذل القوة شغلًا عندما يكون لها مركبة في اتجاه إزاحة الجسم.

بالنسبة إلى قوة ثابتة خلال إزاحة مستقيمة،

\[ W = Fs\cos\theta \]

حيث:

• \(W\) هو الشغل، ويُقاس بالجول (J)،
• \(F\) هو مقدار القوة، ويُقاس بالنيوتن (N)،
• \(s\) هو مقدار الإزاحة، ويُقاس بالمتر (m)،
• و\(\theta\) هي الزاوية بين القوة والإزاحة.

افترض أن القوة تتجه في الاتجاه نفسه الذي تتجه فيه الإزاحة. عندئذٍ \(\theta=0^\circ\)، ومن ثم \(\cos 0^\circ=1\). فتؤدي القوة شغلًا موجبًا.

وافترض أن القوة تتجه في الاتجاه المعاكس تمامًا للإزاحة. عندئذٍ \(\theta=180^\circ\)، فتؤدي القوة شغلًا سالبًا.

والآن توقّع ما يحدث عندما تكون القوة متعامدة تمامًا مع الإزاحة.

عند \(90^\circ\)،

\[ \cos 90^\circ=0 \]

ولذلك يكون الشغل صفرًا.

وهذه بالضبط هي هندسة الحركة الدائرية المنتظمة المثالية. فالإزاحة اللحظية تكون مماسية للدائرة، بينما تكون القوة الجاذبة المركزية شعاعية.

وهما متعامدان.

03الكلمة المهمة هي «لحظية»

توجد هنا نقطة صغيرة قد تسبب الالتباس.

فعلى امتداد ربع دائرة، يكون الجسم قد قطع بوضوح مسافة معتبرة. كما أن الخط الواصل بين موضعي البداية والنهاية لا يكون عمومًا متعامدًا مع القوة عند نقطة البداية.

لذلك لا يمكنك أخذ متجه واحد للقوة الجاذبة المركزية، وضربه في المسافة الكلية المقطوعة، واستخدام \(W=Fs\cos\theta\) كما لو أن اتجاه القوة ظل ثابتًا.

فهو لا يظل ثابتًا. بل يدور اتجاه القوة الجاذبة المركزية باستمرار أثناء حركة الجسم.

بدلًا من ذلك، تخيّل المسار مقسّمًا إلى عدد هائل من الإزاحات الصغيرة جدًا. لكل إزاحة صغيرة،

\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]

حيث \(dW\) مقدار صغير جدًا من الشغل، و\(F_c\) مقدار القوة الجاذبة المركزية، و\(ds\) مسافة صغيرة جدًا على طول المسار.

كل مساهمة صغيرة تساوي صفرًا. وجمعها كلها معًا يظل يعطي صفرًا.

في مسائل HSC، توجد غالبًا طريقة أسرع لرؤية النتيجة نفسها: استخدم مبرهنة الشغل والطاقة.

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

الطاقة الحركية هي

\[ K=\frac12mv^2 \]

حيث \(m\) هي الكتلة بالكيلوغرام (kg)، و\(v\) هو مقدار السرعة بالمتر في الثانية (m s\(^{-1}\)).

في الحركة الدائرية المنتظمة يكون مقدار السرعة ثابتًا، ولذلك لا يتغير \(v\). وبالتالي لا تتغير \(K\).

إذن،

\[ \Delta K=0 \]

ومن ثم

\[ W_{\text{net}}=0 \]

وهاتان طريقتان للنظر إلى الفيزياء نفسها:

• هندسيًا، تكون القوة المحصلة متعامدة مع الحركة؛
• ومن منظور الطاقة، يظل مقدار السرعة والطاقة الحركية ثابتين.

04القوة الجاذبة المركزية ليست قوة إضافية

هناك مصدر شائع آخر للالتباس.

لا تعني «القوة الجاذبة المركزية» قوة خاصة جديدة تظهر كلما تحرك جسم في دائرة. بل هي الاسم الذي نطلقه على القوة المحصلة المتجهة إلى الداخل اللازمة لإنتاج الحركة الدائرية.

مقدارها في الحركة الدائرية المنتظمة هو

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

حيث \(r\) نصف قطر المسار الدائري بالمتر.

وقد تنتج القوة المتجهة إلى الداخل عن:

• الشد،
• الجاذبية،
• القوة العمودية،
• الاحتكاك،
• أو مزيج من عدة قوى حقيقية.

فعلى سبيل المثال، توفر الجاذبية القوة الجاذبة المركزية لقمر صناعي في مدار دائري تمامًا. ويمكن للشد أن يوفرها لكتلة تتحرك في دائرة أفقية مربوطة بخيط.

إذا كانت إحدى القوى الحقيقية شعاعية بالكامل وتوفر القوة الجاذبة المركزية، فإن هذه القوة الحقيقية لا تبذل شغلًا في الحركة الدائرية المنتظمة المثالية.

لكن انتبه إلى الصياغة. فمن الممكن أن تبذل قوى حقيقية منفردة شغلًا موجبًا أو سالبًا بينما تتلاشى محصلتها المماسية. وما يجب أن يكون صحيحًا في الحركة الدائرية المنتظمة هو أن القوة المحصلة شعاعية، ولذلك يكون الشغل المحصل صفرًا.

لمزيد من المعلومات عن تحديد أي قوة حقيقية تؤدي الدور المتجه إلى الداخل، راجع القوة الجاذبة المركزية: كيفية تحديد القوة الحقيقية في فيزياء HSC.

05لماذا لا يعني التسارع بالضرورة وجود شغل

غالبًا ما يتبع الطلاب تسلسل التفكير الآتي:

توجد قوة، إذن يوجد تسارع. وإذا كان هناك تسارع، فلا بد أن الجسم يكتسب طاقة.

الخطوة الأولى صحيحة. أما الثانية فليست كذلك.

يعني التسارع أن السرعة المتجهة تتغير. وهناك طريقتان يمكن أن تتغير بهما السرعة المتجهة:

• يمكن أن يتغير مقدارها، أي يتغير مقدار السرعة؛
• ويمكن أن يتغير اتجاهها.

التسارع الجاذب المركزي في الحركة الدائرية المنتظمة يفعل الأمر الثاني فقط.

ويصبح هذا التمييز أوضح إذا قسمت التسارع إلى مركبتين شعاعية ومماسية.

تغيّر المركبة الشعاعية الاتجاه. أما المركبة المماسية فتغيّر مقدار السرعة.

إذن:

وهذا يعطيك قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار في الامتحان: إذا كان الجسم يتحرك حول دائرة ثابتة لكن مقدار سرعته يتغير، فلا بد من وجود مركبة مماسية للقوة المحصلة بالإضافة إلى المركبة الشعاعية.

06متى تبدأ القوة المتجهة إلى الداخل في بذل شغل؟

تعتمد العبارة «القوة الجاذبة المركزية لا تبذل شغلًا» على شرط ينساه الطلاب أحيانًا: يجب أن تكون القوة المتجهة إلى الداخل متعامدة مع السرعة المتجهة للجسم.

وهذا مضمون في الحركة المثالية حول دائرة ثابتة، لأن السرعة المتجهة تكون مماسية للدائرة.

غيّر نصف القطر، وقد تتغير النتيجة.

تخيّل قرصًا صغيرًا على طاولة أفقية عديمة الاحتكاك، موصولًا بخيط يمر عبر ثقب في المركز. ما دام القرص يتحرك حول دائرة ذات نصف قطر ثابت، تكون سرعته المتجهة مماسية للدائرة. ويكون الشد شعاعيًا، ولذلك لا يبذل الشد شغلًا.

والآن يسحب شخص الخيط إلى أسفل عبر الثقب.

يبدأ القرص في التحرك إلى الداخل وكذلك حول المركز.

أصبحت لسرعته المتجهة الآن مركبتان:

• مركبة مماسية حول الثقب،
• ومركبة شعاعية نحو الثقب.

يظل الشد متجهًا إلى الداخل، لكنه لم يعد متعامدًا مع السرعة المتجهة الكلية. ولذلك يمكنه الآن أن يبذل شغلًا موجبًا.

ولهذا فإن قاعدة «القوة المتجهة إلى الداخل تعني شغلًا صفريًا» ليست قاعدة آمنة.

القاعدة الآمنة هي:

تبذل القوة شغلًا لحظيًا مقداره صفر عندما تكون متعامدة مع السرعة المتجهة اللحظية للجسم.

وبالنسبة إلى القدرة، تُكتب الفكرة نفسها على الصورة

\[ P=\vec F\cdot\vec v \]

إذا كانت القوة والسرعة المتجهة متعامدتين، فإن حاصل الضرب القياسي يساوي صفرًا. وإذا كان جزء من السرعة المتجهة يقع في اتجاه القوة، فلن تكون القدرة صفرًا.

07أسرع طريقة لاتخاذ القرار في الامتحان

عندما ترى الشغل والحركة الدائرية معًا، تحقّق من هذه الشروط بدلًا من حفظ عبارة مختصرة.

1. هل نصف القطر ثابت؟
2. هل مقدار السرعة ثابت؟
3. هل القوة التي تحللها شعاعية بالكامل؟
4. هل هذه القوة متعامدة مع السرعة المتجهة اللحظية؟

في الحركة الدائرية المنتظمة المثالية، تكون الإجابة نعم عن الأسئلة الأربعة كلها. لذلك لا تبذل القوة المحصلة الشعاعية شغلًا.

إذا تغيّر مقدار السرعة، فابحث عن مركبة مماسية للقوة.

إذا تغيّر نصف القطر، فقد تكتسب السرعة المتجهة مركبة شعاعية، ولذلك يمكن حتى لقوة شعاعية أن تبذل شغلًا.

إذا كانت هناك عدة قوى حقيقية مؤثرة، فلا تفترض أن كل قوة على حدة تبذل شغلًا صفريًا لمجرد أن مقدار السرعة الكلي ثابت.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

تتحرك كتلة مقدارها \(0.75\) kg بسرعة ثابتة مقدارها \(6.0\) m s\(^{-1}\) في دائرة أفقية نصف قطرها \(1.5\) m.

احسب:

a. القوة الجاذبة المركزية، و
b. الشغل الذي تبذله القوة الجاذبة المركزية خلال نصف دورة.

الحل 1

القوة الجاذبة المركزية تساوي \(18\) N إلى الداخل، وتبذل \(0\) J من الشغل خلال نصف الدورة.

بالنسبة إلى الجزء a،

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]

بالنسبة إلى الجزء b، تكون الحركة اللحظية مماسية للدائرة بينما تكون القوة شعاعية. ويظلان متعامدين طوال الحركة.

لذلك تساوي كل مساهمة صغيرة جدًا في الشغل صفرًا، ومن ثم

\[ W=0\text{ J} \]

الخطأ المغري هو حساب مسافة نصف الدائرة ثم ضربها في \(18\) N. فهذا يتجاهل أن الشغل يعتمد على اتجاه القوة بالنسبة إلى كل إزاحة، وأن اتجاه القوة يتغير باستمرار.

كما تؤكد الطاقة الحركية للجسم النتيجة:

\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]

لا يتغير مقدار السرعة، ولذلك تظل الطاقة الحركية عند \(13.5\) J.

السؤال 2

يسير قمر صناعي كتلته \(500\) kg في مدار دائري نصف قطره \(7.0\times10^6\) m بسرعة ثابتة مقدارها \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\). افترض أن الجاذبية هي القوة الوحيدة المؤثرة.

a. احسب مقدار قوة الجاذبية.
b. حدّد الشغل الذي تبذله الجاذبية خلال نصف مدار.
c. يجادل طالب بأن الإزاحة الكلية للقمر الصناعي بعد نصف مدار تمر عبر المركز، وتقع تقريبًا في الاتجاه نفسه لقوة الجاذبية الابتدائية، ولذلك لا بد أن الجاذبية قد بذلت شغلًا موجبًا. اشرح الخطأ في هذا الاستدلال.

الحل 2

يبلغ مقدار قوة الجاذبية نحو \(4.0\times10^3\) N، لكنها تبذل \(0\) J من الشغل خلال نصف المدار.

بالنسبة إلى الجزء a،

\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]

بالنسبة إلى الجزء b، يظل مقدار سرعة القمر الصناعي ثابتًا، ولذلك لا تتغير طاقته الحركية.

باستخدام مبرهنة الشغل والطاقة،

\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]

الجاذبية هي القوة الوحيدة، ولذلك

\[ W_g=0\text{ J} \]

بالنسبة إلى الجزء c، يعامل استدلال الطالب الجاذبية خطأً كما لو أن اتجاهها ظل ثابتًا طوال نصف المدار.

لكنه لا يظل ثابتًا. فالجاذبية تشير دائمًا من القمر الصناعي نحو مركز الأرض، ولذلك يدور متجه القوة باستمرار أثناء حركة القمر الصناعي.

لا يمكن الجمع بين الإزاحة الكلية من نقطة البداية إلى نقطة النهاية ومتجه القوة الابتدائي في حساب واحد باستخدام \(W=Fs\cos\theta\) عندما يتغير اتجاه القوة على امتداد المسار.

في كل لحظة، تكون الجاذبية شعاعية وتكون السرعة المتجهة للقمر الصناعي مماسية. ويكون حاصل ضربهما القياسي صفرًا، ولذلك لا تبذل الجاذبية شغلًا.

ويؤدي فحص ثانٍ للطاقة إلى النتيجة نفسها: نصف قطر المدار ثابت، ولذلك تظل طاقة الوضع الجذبية للقمر الصناعي ثابتة، كما أن مقدار سرعته ثابت، ولذلك تظل طاقته الحركية ثابتة أيضًا.

السؤال 3

يتحرك جسم كتلته \(2.0\) kg بسرعة ثابتة مقدارها \(4.0\) m s\(^{-1}\) حول دائرة نصف قطرها \(4.0\) m.

تؤثر فيه قوتان حقيقيتان، A وB. بالنسبة إلى الجسم في كل لحظة:

• للقوة A مركبة مقدارها \(6.0\) N إلى الداخل ومركبة مماسية أمامية مقدارها \(8.0\) N؛
• وللقوة B أي مركبات لازمة للحفاظ على الحركة الدائرية المنتظمة.

حدّد:

a. المركبتين الشعاعية والمماسية للقوة B، و
b. القدرة اللحظية التي تقدمها كل قوة، و
c. ما إذا كانت العبارة «لا تبذل أي من القوتين شغلًا لأن الحركة دائرية منتظمة» صحيحة.

الحل 3

يجب أن تكون للقوة B مركبة مقدارها \(2.0\) N إلى الداخل ومركبة مماسية مقدارها \(8.0\) N إلى الخلف؛ وتقدم القوة A قدرة \(+32\) W، بينما تقدم القوة B قدرة \(-32\) W، والعبارة القائلة إن أيًا من القوتين لا يبذل شغلًا خاطئة.

أولًا أوجد القوة الشعاعية المحصلة المطلوبة:

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]

توفر القوة A بالفعل \(6.0\) N إلى الداخل، ولذلك يجب أن توفر القوة B المقدار المتبقي:

\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N inward} \]

تتطلب الحركة الدائرية المنتظمة أيضًا أن تكون القوة المماسية المحصلة صفرًا لأن مقدار السرعة ثابت.

للقوة A مركبة مماسية أمامية مقدارها \(8.0\) N، ولذلك يجب أن تكون للقوة B مركبة مماسية خلفية مقدارها \(8.0\) N.

بالنسبة إلى القوة A، تسهم مركبتها المماسية فقط في القدرة:

\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]

الإشارة موجبة لأن هذه المركبة تتجه في اتجاه الحركة.

بالنسبة إلى القوة B،

\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]

تزيل مركبتها المماسية الطاقة بالمعدل نفسه.

لذلك،

\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]

لا تبذل المركبات الشعاعية شغلًا لأنها متعامدة مع السرعة المتجهة.

المسار المغري في التفكير هو سماع عبارة «حركة دائرية منتظمة» ثم استنتاج أن كل قوة يجب أن تبذل شغلًا صفريًا. ما تضمنه الحركة الدائرية المنتظمة في الواقع هو أن الشغل المحصل يساوي صفرًا. ويمكن للقوى المنفردة أن تنقل الطاقة في اتجاهين متعاكسين بينما تظل الطاقة الحركية الكلية ثابتة.

السؤال 4

تتحرك خرزة كتلتها \(0.50\) kg بسرعة ثابتة حول مسار دائري رأسي أملس نصف قطره \(1.20\) m. ويمكن لمحرك أن يطبق قوة مماسية للمسار عند الحاجة. يظل مقدار سرعة الخرزة \(4.0\) m s\(^{-1}\) طوال الحركة.

خذ \(g=9.8\) m s\(^{-2}\).

a. أوجد الشغل الذي تبذله الجاذبية عندما تتحرك الخرزة من أسفل الدائرة إلى أعلاها.
b. أوجد الشغل الذي يبذله المحرك خلال الرحلة نفسها.
c. ما مقدار الشغل الذي تبذله القوة العمودية من المسار؟
d. عند الجانب الأيمن من الدائرة، بينما تتحرك الخرزة إلى أعلى، حدّد القوة المماسية التي يجب أن يطبقها المحرك.
e. الشغل الصافي للمحرك خلال دورة كاملة يساوي صفرًا. هل يعني ذلك أن المحرك لا ينقل الطاقة إلى الخرزة أو منها في أي وقت؟

الحل 4

تبذل الجاذبية \(-11.8\) J من الشغل من أسفل الدائرة إلى أعلاها، ويبذل المحرك \(+11.8\) J، وتبذل القوة العمودية \(0\) J، وعند الجانب الأيمن يجب أن يوفر المحرك قوة مقدارها \(4.9\) N إلى أعلى على طول المسار. ولا يعني كون شغل المحرك صفرًا خلال الدورة الكاملة أن انتقال الطاقة يساوي صفرًا في كل لحظة.

من أسفل الدائرة إلى أعلاها، ترتفع الخرزة مسافة رأسية تساوي قطر الدائرة:

\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]

شغل الجاذبية هو السالب لتغير طاقة الوضع الجذبية:

\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]

إذن،

\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]

مقدار سرعة الخرزة ثابت، ولذلك

\[ \Delta K=0 \]

ومن ثم يجب أن يكون الشغل الكلي صفرًا.

تكون القوة العمودية دائمًا متعامدة مع الحركة اللحظية للخرزة على طول المسار، ولذلك

\[ W_N=0 \]

ومن ثم يجب أن يعوض المحرك تمامًا الطاقة التي تزيلها الجاذبية:

\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]

\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]

ولذلك

\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]

عند الجانب الأيمن من الدائرة، تتحرك الخرزة رأسيًا إلى أعلى. وتؤثر الجاذبية رأسيًا إلى أسفل، أي في الاتجاه المعاكس تمامًا للحركة.

للحفاظ على مقدار السرعة ثابتًا، يجب أن تكون القوة المماسية المحصلة صفرًا. ولذلك يوفر المحرك قوة مماسية إلى أعلى تساوي وزن الخرزة:

\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]

خلال النصف الهابط من الحلقة، تبذل الجاذبية شغلًا موجبًا. ولمنع الخرزة من زيادة سرعتها، يجب على المحرك إزالة تلك الطاقة ببذل شغل سالب.

وعلى امتداد الدورة الكاملة، تتلاشى هذه المساهمات الموجبة والسالبة.

الخطأ المغري هو استنتاج أن ثبات مقدار السرعة يعني أن كل قوة تبذل شغلًا صفريًا. ثبات مقدار السرعة لا يتطلب إلا أن يكون الشغل الكلي صفرًا. في هذه الحالة، تتبادل الجاذبية والمحرك الطاقة مع الخرزة، بينما لا تبذل القوة العمودية الشعاعية شغلًا.

السؤال 5

يتحرك قرص صغير كتلته \(0.40\) kg على طاولة أفقية عديمة الاحتكاك، وهو مربوط بخيط يمر عبر ثقب صغير في الطاولة.

في البداية يتحرك القرص حول الثقب. ثم يسحب شخص يجري التجربة الخيط إلى أسفل. في لحظة معينة:

• تبلغ السرعة المماسية للقرص \(3.0\) m s\(^{-1}\)،
• وتبلغ سرعته الشعاعية \(0.25\) m s\(^{-1}\) إلى الداخل،
• ويبلغ شد الخيط \(18\) N إلى الداخل.

خلال \(0.12\) m التالية من الحركة الشعاعية إلى الداخل، يزداد الشد خطيًا من \(18\) N إلى \(30\) N. افترض أن الشد هو القوة الوحيدة التي تبذل شغلًا على القرص.

a. أوجد القدرة اللحظية التي يقدمها الشد عند اللحظة الابتدائية.
b. أوجد الشغل الذي يبذله الشد خلال الحركة إلى الداخل لمسافة \(0.12\) m.
c. أوجد مقدار السرعة النهائية للقرص.
d. اشرح لماذا لا تتعارض هذه النتيجة مع العبارة القائلة إن القوة الجاذبة المركزية لا تبذل شغلًا.

الحل 5

يقدم الشد في البداية قدرة مقدارها \(4.5\) W، ويبذل \(2.88\) J من الشغل الموجب أثناء الحركة إلى الداخل، ويبلغ مقدار السرعة النهائية للقرص نحو \(4.84\) m s\(^{-1}\). ولا يوجد تعارض لأن القرص لم يعد يتحرك حركة دائرية منتظمة بنصف قطر ثابت.

في اللحظة الابتدائية، يتجه الشد شعاعيًا إلى الداخل. وأصبح للقرص الآن مركبة سرعة شعاعية إلى الداخل مقدارها \(0.25\) m s\(^{-1}\).

فقط مركبة السرعة الواقعة في اتجاه القوة تسهم في القدرة، ولذلك

\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]

القدرة موجبة لأن القوة والحركة الشعاعية تتجهان في الاتجاه نفسه.

خلال \(0.12\) m التالية، يتغير الشد خطيًا من \(18\) N إلى \(30\) N. ولذلك تكون قيمته المتوسطة على امتداد هذه الإزاحة

\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]

تتجه القوة والإزاحة الشعاعية في الاتجاه نفسه، ولذلك

\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]

وفقًا لمبرهنة الشغل والطاقة،

\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]

والآن أوجد مقدار السرعة الكلية الابتدائية. مركبتا السرعة الشعاعية والمماسية متعامدتان، ولذلك

\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]

الطاقة الحركية الابتدائية هي

\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]

لذلك،

\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]

وباستخدام \(K_f=\frac12mv_f^2\)،

\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]

\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]

\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]

الإجابة المغرية هي \(0\) J لأن الشد «يتجه نحو المركز». وكان ذلك سيكون صحيحًا فقط ما دام القرص يتحرك حول دائرة ثابتة وكانت سرعته المتجهة مماسية بالكامل.

بمجرد سحب الخيط إلى الداخل، يصبح للقرص حركة شعاعية. ولذلك لم يعد الشد متعامدًا مع السرعة المتجهة الكلية للقرص.

إن وصف قوة بأنها «متجهة إلى الداخل» لا يجعل شغلها صفرًا تلقائيًا. فالنتيجة التي يكون فيها الشغل صفرًا تنشأ من تعامد القوة والسرعة المتجهة في الحركة الدائرية المثالية ذات نصف القطر الثابت.

09ما الذي يتيح لك هذا تحليله بعد ذلك

التمييز المفيد ليس في الحقيقة بين «القوة الدائرية والقوة العادية». بل بين الشعاعي والمماسي.

يمكن لمركبة قوة شعاعية أن تدير متجه السرعة دون تغيير مقدار السرعة. أما المركبة المماسية فتغيّر مقدار السرعة، وبالتالي تغيّر الطاقة الحركية. وإذا بدأ نصف القطر نفسه في التغير، فيمكن حتى لقوة شعاعية أن تنقل الطاقة لأن الجسم أصبح يمتلك حركة شعاعية.

وهذا التقسيم هو ما تحتاج إليه لمسائل الحركة الدائرية الأكثر صعوبة التي تتضمن سرعة متغيرة، ودوائر رأسية، وحركة مدارية، وحالات تسهم فيها عدة قوى حقيقية في الحركة.