قوانين كيرشوف للتيار والجهد في فيزياء HSC
تعرّف على كيفية تطبيق قانوني كيرشوف للتيار والجهد لحفظ الشحنة عند العقد وحفظ الطاقة حول حلقات الدائرة. يتضمن أمثلة محلولة، وقواعد الإشارات، وأفكارًا خاطئة شائعة، وأسئلة أصلية بأسلوب HSC.
يصل تيار شدته \(5.0\ \text{A}\) إلى عقدة. يحمل أحد الفروع تيارًا شدته \(2.0\ \text{A}\) بعيدًا عن العقدة، ويحمل فرع آخر \(4.0\ \text{A}\) بعيدًا عنها. هل يمكن أن يحدث ذلك بصورة مستمرة؟
توقّع الإجابة قبل أن تتابع القراءة. إذا وصلت شحنة مقدارها \(5.0\ \text{C}\) كل ثانية، بينما غادرت شحنة مقدارها \(6.0\ \text{C}\) كل ثانية، فسيتعين على العقدة بطريقة ما أن تُنشئ \(1.0\ \text{C}\) من الشحنة كل ثانية. وهذا غير ممكن.
جرّب الآن مسألة مختلفة. تتحرك شحنة دورةً كاملة حول دائرة تحتوي على بطارية جهدها \(12\ \text{V}\). هل يمكن للمكونات أن تُنتج انخفاضات في الجهد مجموعها \(15\ \text{V}\) من دون وجود أي مصدر آخر؟ مرة أخرى، لا. إذ سيبدو أن الشحنة فقدت طاقة لكل كولوم أكبر مما زودتها به البطارية.
هاتان المسألتان هما سبب وجود قوانين كيرشوف. يتتبع قانون كيرشوف للتيار الشحنة عند العقد. ويتتبع قانون كيرشوف للجهد الطاقة لكل وحدة شحنة حول الحلقات. وعند استخدامهما معًا، يتيحان لك تحليل دوائر أكثر تعقيدًا من أن تُحل بقاعدة بسيطة واحدة للتوالي أو التوازي.
01فكرتا الحفظ وراء قوانين كيرشوف
قبل الانتقال إلى المعادلات، تخيّل ما تفعله الدائرة فعليًا.
يقيس التيار مدى سرعة مرور الشحنة بنقطة ما:
\[
I=\frac{q}{t}
\]
حيث \(I\) هو التيار بوحدة الأمبير (A)، و\(q\) هي الشحنة بوحدة الكولوم (C)، و\(t\) هو الزمن بوحدة الثانية (s). إذا كنت بحاجة إلى مراجعة هذه الفكرة، فراجع التيار كمعدل لتدفق الشحنة: استخدام I = q/t في فيزياء HSC.
تخيّل محطة قطارات لها مدخل واحد وعدة مخارج. إذا دخل 100 شخص كل دقيقة ولم يغادر سوى 80 شخصًا، فلا بد أن تزداد المحطة ازدحامًا. أما إذا ظل عدد الأشخاص داخلها ثابتًا، فيجب أن يساوي عدد الداخلين كل دقيقة عدد المغادرين كل دقيقة.
تتصرف عقدة في دائرة كهربائية بطريقة مشابهة بالنسبة إلى تدفق الشحنة. هذا التشبيه ليس دقيقًا تمامًا لأن الشحنات ليست كركاب صغار يندفعون عبر الأسلاك، لكن فكرة العد مفيدة: لا يمكن للشحنة أن تختفي ببساطة عند عقدة.
يحتاج الجهد إلى نموذج ذهني مختلف. يخبرنا فرق الجهد بمقدار الطاقة المنتقلة لكل كولوم من الشحنة. فبطارية جهدها \(12\ \text{V}\) توفر \(12\ \text{J}\) من الطاقة لكل كولوم يمر خلالها.
إذا تحركت تلك الشحنة دورة كاملة حول حلقة مغلقة وعادت إلى نقطة البداية، فيجب أن يكون صافي التغير في جهدها الكهربائي صفرًا. لذلك، يجب أن تتوازن الطاقة المكتسبة لكل كولوم من المصادر مع الطاقة المنتقلة لكل كولوم في الأجزاء الأخرى من الحلقة.
وهذا يعطينا سؤالين ينبغي طرحهما كلما أصبحت الدائرة معقدة:
| أين تنظر؟ | سؤال الحفظ | القانون |
|---|---|---|
| عند عقدة | إلى أين يمكن أن تذهب الشحنة؟ | قانون كيرشوف للتيار |
| حول حلقة مغلقة | إلى أين تذهب الطاقة لكل كولوم؟ | قانون كيرشوف للجهد |
02قانون كيرشوف للتيار: لا يمكن للشحنة أن تختفي عند عقدة
افترض أن تيارًا \(I\) يصل إلى عقدة وينقسم إلى تيارين \(I_1\) و\(I_2\).
في دائرة مستقرة،
\[
I=I_1+I_2
\]
وبصورة أعم،
\[
\sum I_{\text{الداخل}}=\sum I_{\text{الخارج}}
\]
يعني الرمز \(\sum\) «مجموع». لذا تقول المعادلة ببساطة:
إجمالي التيار الداخل إلى عقدة = إجمالي التيار الخارج من العقدة.
هذا هو قانون كيرشوف للتيار، وغالبًا ما يُختصر إلى KCL.
لماذا يمكن للتيار أن ينقسم من دون أن تنقسم الشحنة إلى أجزاء
من الأخطاء الشائعة تخيّل أن كل إلكترون يصل إلى العقدة ثم يُقطَّع إلى أجزاء أصغر. هذا ليس ما يحدث.
التيار هو معدل تدفق الشحنة. عند العقدة، تتحرك حوامل الشحنة إلى المسارات المختلفة المتاحة. فإذا وصلت شحنة مقدارها \(3.0\ \text{C}\) كل ثانية، فقد يمر \(1.0\ \text{C}\) في الثانية عبر أحد الفروع و\(2.0\ \text{C}\) في الثانية عبر فرع آخر.
تنقسم قيم التيار لأن معدل التدفق نفسه ينقسم.
مثال محلول: إيجاد تيار مجهول في أحد الفروع
يدخل تيار شدته \(2.40\ \text{A}\) إلى عقدة. ويغادر تياران شدتهما \(0.75\ \text{A}\) و\(0.95\ \text{A}\) عبر فرعين. أوجد التيار الخارج عبر فرع ثالث.
الخطوة 1
\[
I_{\text{الداخل}}=I_1+I_2+I_3
\]
الخطوة 2
\[
2.40=0.75+0.95+I_3
\]
الخطوة 3
\[
\begin{aligned}
I_3&=2.40-0.75-0.95\\
&=0.70\ \text{A}
\end{aligned}
\]
إذًا يحمل الفرع الثالث تيارًا شدته \(0.70\ \text{A}\) بعيدًا عن العقدة.
تحقق من المعنى الفيزيائي: \(0.75+0.95+0.70=2.40\ \text{A}\)، ولذلك فإن مقدار الشحنة التي تصل كل ثانية يساوي مقدار الشحنة التي تغادر كل ثانية.
هل يتوقف KCL عن العمل في أي وقت؟
حفظ الشحنة لا يتوقف عن العمل.
تفترض العبارة البسيطة «التيار الداخل يساوي التيار الخارج» أنك أخذت في الحسبان كل المسارات ذات الصلة، وأن الشحنة لا تتراكم باستمرار عند العقدة نفسها. وفي دوائر التيار المستمر المستقرة التي تُحل عادةً في مستوى HSC، يُعد هذا نموذجًا ممتازًا.
إذا احتوت الدائرة على شيء مثل مكثف أثناء الشحن، فعليك أن تأخذ تيار الشحن في الحسبان بصورة صحيحة. وجود عدم تطابق ظاهري لا يعني أن حفظ الشحنة قد فشل.
03قانون كيرشوف للجهد: يجب أن تتوازن الطاقة حول الحلقة
حوّل انتباهك الآن بعيدًا عن العقدة، واتبع مسارًا كاملًا واحدًا حول دائرة.
افترض أنك تبدأ من نقطة تقع مباشرة قبل بطارية، ثم تتحرك حول جميع المكونات، وفي النهاية تعود إلى النقطة نفسها تمامًا. ولأنك عدت إلى الجهد الكهربائي نفسه، فيجب أن يكون مجموع جميع الارتفاعات والانخفاضات في الجهد مساويًا للصفر.
لذلك فإن قانون كيرشوف للجهد، أو KVL، هو
\[
\sum \Delta V=0
\]
حيث \(\Delta V\) هو التغير في الجهد الكهربائي عبر كل جزء من الحلقة، ويُقاس بالفولت (V).
وهناك طريقة شائعة أخرى للتعبير عن الفكرة نفسها:
\[
\text{إجمالي ارتفاعات الجهد}=\text{إجمالي انخفاضات الجهد}
\]
وهذا هو حفظ الطاقة مكتوبًا لكل كولوم من الشحنة.
قواعد الإشارة التي تجعل KVL أسهل في التعامل
اختر اتجاهًا للتحرك حول الحلقة. الاتجاه مع عقارب الساعة ليس أصح من الاتجاه عكس عقارب الساعة. اختر أحدهما فقط والتزم به.
بالنسبة إلى مصدر جهد مثالي:
- العبور من طرفه السالب إلى طرفه الموجب يمثل ارتفاعًا في الجهد، لذا استخدم \(+V\)
- العبور من طرفه الموجب إلى طرفه السالب يمثل انخفاضًا في الجهد، لذا استخدم \(-V\)
بالنسبة إلى مقاومة مقدارها \(R\) يمر خلالها تيار \(I\):
- التحرك عبر المقاومة مع اتجاه التيار يعطي تغيرًا في الجهد مقداره \(-IR\)
- التحرك عكس اتجاه التيار يعطي تغيرًا في الجهد مقداره \(+IR\)
هنا \(V\) هو فرق الجهد بالفولت، و\(I\) هو التيار بالأمبير، و\(R\) هي المقاومة بالأوم (\(\Omega\)). تأتي العلاقة \(V=IR\) من قانون أوم لمقاومة أومية. ويمكنك مراجعة هذه العلاقة في قانون أوم في فيزياء HSC: عندما تكون المقاومة ثابتة.
لا تحاول حفظ الإشارات على أنها قواعد عشوائية. اسأل عما يحدث فيزيائيًا. يمكن للبطارية أن ترفع الجهد الكهربائي عندما تتحرك من طرفها السالب إلى طرفها الموجب. أما المقاومة العادية فتنقل الطاقة الكهربائية إلى أشكال أخرى، ولذلك ينخفض الجهد عندما تتحرك خلالها في اتجاه التيار الاصطلاحي.
مثال محلول: التيار في حلقة واحدة
تتصل بطارية مثالية جهدها \(12.0\ \text{V}\) على التوالي بمقاومة \(2.0\ \Omega\) ومقاومة \(4.0\ \Omega\). أوجد التيار.
الخطوة 1
افترض أن التيار \(I\) يتحرك مع عقارب الساعة. يمكننا اختيار هذا الاتجاه قبل أن نعرف ما إذا كان صحيحًا.
الخطوة 2
العبور عبر البطارية من السالب إلى الموجب يعطي \(+12.0\ \text{V}\).
والتحرك عبر مقاومتي \(2.0\ \Omega\) و\(4.0\ \Omega\) مع اتجاه التيار يعطي تغيرين في الجهد مقدارهما \(-2.0I\) و\(-4.0I\).
لذلك يعطي KVL
\[
12.0-2.0I-4.0I=0
\]
الخطوة 3
\[
\begin{aligned}
12.0-6.0I&=0\\
6.0I&=12.0\\
I&=2.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]
الخطوة 4
عبر المقاومة \(2.0\ \Omega\)،
\[
V_1=IR=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}
\]
وعبر المقاومة \(4.0\ \Omega\)،
\[
V_2=IR=(2.0)(4.0)=8.0\ \text{V}
\]
إجمالي انخفاض الجهد هو
\[
4.0+8.0=12.0\ \text{V}
\]
وهو يطابق تمامًا ارتفاع الجهد الذي توفره البطارية وقدره \(12.0\ \text{V}\).
إذًا تبلغ شدة التيار \(2.0\ \text{A}\)، وقد تم حساب انتقال الطاقة لكل كولوم من البطارية بالكامل من خلال المقاومتين.
04استخدام KCL وKVL معًا
تصبح القوانين أكثر فائدة عندما تحتوي الدائرة على عقد ومسارات متعددة يمكن أن تشكل حلقات.
الطريقة ليست «اعثر على القانون المناسب». بل هي:
- عيّن متغيرات للتيارات
- استخدم KCL عند العقد
- اختر حلقات مغلقة مفيدة
- استخدم KVL حول تلك الحلقات
- استخدم علاقات المكونات مثل \(V=IR\)
- حل المعادلات معًا
- فسّر أي إشارات سالبة فيزيائيًا
افترض أن بطارية مثالية جهدها \(12\ \text{V}\) ترسل تيارًا عبر مقاومة \(2\ \Omega\) قبل أن يصل إلى عقدة. ثم ينقسم التيار بين فرع مقاومته \(6\ \Omega\) وفرع مقاومته \(3\ \Omega\) قبل أن يتحد من جديد.
لنفرض أن:
- \(I\) هو التيار المار عبر المقاومة \(2\ \Omega\)
- \(I_1\) هو التيار المار عبر فرع \(6\ \Omega\)
- \(I_2\) هو التيار المار عبر فرع \(3\ \Omega\)
قبل الحساب، توقّع أي فرعي التوازي ينبغي أن يحمل تيارًا أكبر.
فرع \(3\ \Omega\) له المقاومة الأقل. وكلا فرعي التوازي متصلان بين العقدتين نفسيهما، ولذلك يكون فرق الجهد عبرهما متساويًا. لذا ينبغي أن تتوقع أن يحمل فرع \(3\ \Omega\) تيارًا أكبر.
والآن يمكن لقوانين كيرشوف أن تخبرنا بدقة مقدار هذا الفرق.
مثال محلول: حل دائرة تحتوي على عقدة وحلقتين
تتصل بطارية مثالية جهدها \(12\ \text{V}\) بمقاومة \(2\ \Omega\) على التوالي مع فرعين متوازيين مقاومتهما \(6\ \Omega\) و\(3\ \Omega\). أوجد \(I\) و\(I_1\) و\(I_2\) باستخدام قوانين كيرشوف.
الخطوة 1
ينقسم التيار \(I\) إلى \(I_1\) و\(I_2\):
\[
I=I_1+I_2
\]
الخطوة 2
\[
12-2I-6I_1=0
\]
الخطوة 3
\[
12-2I-3I_2=0
\]
تظهر البطارية \(12\ \text{V}\) والمقاومة \(2\ \Omega\) في كلتا المعادلتين لأن كلتا الحلقتين تمران بهما.
الخطوة 4
بما أن كلا الطرفين الأيسرين يساوي صفرًا،
\[
6I_1=3I_2
\]
إذًا
\[
I_2=2I_1
\]
وهذا يطابق توقعنا: يحمل فرع \(3\ \Omega\) ضعف التيار الذي يحمله فرع \(6\ \Omega\).
الخطوة 5
\[
\begin{aligned}
I&=I_1+I_2\\
&=I_1+2I_1\\
&=3I_1
\end{aligned}
\]
عوّض \(I=3I_1\) في معادلة الحلقة الأولى:
\[
\begin{aligned}
12-2(3I_1)-6I_1&=0\\
12-12I_1&=0\\
I_1&=1.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]
لذلك،
\[
I_2=2.0\ \text{A}
\]
و
\[
I=3.0\ \text{A}
\]
الخطوة 6
عند العقدة،
\[
3.0=1.0+2.0
\]
لذلك يتوازن تدفق الشحنة.
انخفاض الجهد عبر المقاومة \(2\ \Omega\) هو
\[
V=(3.0)(2)=6.0\ \text{V}
\]
والجهد عبر فرع \(6\ \Omega\) هو
\[
V=(1.0)(6)=6.0\ \text{V}
\]
وعبر فرع \(3\ \Omega\)،
\[
V=(2.0)(3)=6.0\ \text{V}
\]
لذلك تحتوي كل حلقة كاملة على ارتفاع في الجهد مقداره \(12\ \text{V}\)، وانخفاضات مجموعها \(6\ \text{V}+6\ \text{V}=12\ \text{V}\).
وبذلك تم حساب كل من الشحنة والطاقة بالكامل.
05الفكرة الخاطئة التي تسبب أكبر قدر من المشكلات
يرى طالب تيارًا يمر عبر مقاومة ويفكر:
تستخدم المقاومة جزءًا من التيار، لذلك يجب أن تكون شدة التيار بعدها أقل مما كانت عليه قبلها.
يبدو هذا منطقيًا لأن المقاومات تنقل الطاقة الكهربائية إلى طاقة حرارية. هناك بالفعل شيء يتم نقله.
لكن هذا الشيء هو الطاقة، وليس الشحنة.
في مسار واحد على التوالي، يمر معدل تدفق الشحنة نفسه عبر كل مكوّن. فإذا مر \(2.0\ \text{C}\) عبر المقاومة الأولى كل ثانية، فلا بد أن يغادرها أيضًا \(2.0\ \text{C}\) كل ثانية. وإلا لتراكمت الشحنة باستمرار داخل المقاومة.
ما يتغير عبر المقاومة هو طاقة الوضع الكهربائية لكل كولوم. ولهذا يوجد انخفاض في الجهد.
أبقِ هاتين الفكرتين منفصلتين:
- التيار يتتبع الشحنة في الثانية
- الجهد يتتبع الطاقة لكل كولوم
يتعامل KCL مع الأولى. ويتعامل KVL مع الثانية.
06التيار السالب معلومة، وليس خطأ
عند إعداد مسألة باستخدام قوانين كيرشوف، تضطر غالبًا إلى اختيار اتجاه للتيار قبل أن تعرف اتجاهه الحقيقي.
وهذا لا يسبب مشكلة.
افترض أنك اعتبرت \(I\) في اتجاه عقارب الساعة، ثم حللت المعادلات فحصلت على
\[
I=-0.60\ \text{A}
\]
لا تعني الإشارة السالبة أن «كهرباء سالبة» تتدفق. بل تعني أن السهم الذي اخترته في البداية كان يشير إلى الاتجاه الخطأ.
التيار الفيزيائي هو \(0.60\ \text{A}\) في الاتجاه المعاكس.
وهذا أحد أسباب قوة طريقة كيرشوف. لست مضطرًا إلى تخمين كل اتجاه بصورة صحيحة قبل أن تبدأ. لكن عليك الحفاظ على اتساق الإشارات.
07قاعدة مختصرة لاتخاذ القرار
عندما تواجه دائرة غير مألوفة، لا تبدأ فورًا بالبحث عن المقاومة المكافئة.
اسأل:
هل توجد عقدة؟
اكتب معادلة KCL تربط بين التيارات الداخلة إليها والخارجة منها.
هل توجد حلقة مغلقة؟
اكتب معادلة KVL بحيث يساوي مجموع جميع ارتفاعات وانخفاضات الجهد حول تلك الحلقة صفرًا.
هل توجد مقاومة؟
بالنسبة إلى مقاومة أومية، اربط بين جهدها وتيارها ومقاومتها باستخدام \(V=IR\).
هل ظهر تيار مجهول بقيمة سالبة؟
احتفظ بالمقدار واعكس الاتجاه الذي افترضته.
هل تحافظ إجابتك النهائية على كل من الشحنة والطاقة؟
تحقق من تيارات العقد ومن توازن الجهد قبل قبول الإجابة.
08الأسئلة والحلول
السؤال 1
يدخل تيار شدته \(1.80\ \text{A}\) إلى عقدة. يحمل أحد الفروع الخارجة تيارًا شدته \(0.40\ \text{A}\). ويحمل فرع ثانٍ تيارًا \(I\). أوجد \(I\).
الحل 1
التيار المجهول هو \(1.40\ \text{A}\) خارجًا من العقدة.
يتطلب قانون كيرشوف للتيار أن يساوي إجمالي التيار الداخل إلى العقدة إجمالي التيار الخارج منها:
\[
I_{\text{الداخل}}=I_1+I
\]
بالتعويض،
\[
\begin{aligned}
1.80&=0.40+I\\
I&=1.80-0.40\\
I&=1.40\ \text{A}
\end{aligned}
\]
إذًا تغادر شحنة مقدارها \(1.40\ \text{C}\) عبر الفرع الثاني كل ثانية. ومعًا، يحمل التياران الخارجان \(1.80\ \text{A}\)، وهو ما يطابق التيار الداخل.
السؤال 2
تتصل بطارية مثالية جهدها \(9.0\ \text{V}\) في حلقة واحدة بمقاومة \(3.0\ \Omega\) ومقاومة \(6.0\ \Omega\). أوجد التيار وانخفاض الجهد عبر كل مقاومة.
الحل 2
التيار هو \(1.0\ \text{A}\)، مع انخفاضين في الجهد مقدارهما \(3.0\ \text{V}\) و\(6.0\ \text{V}\) عبر مقاومتي \(3.0\ \Omega\) و\(6.0\ \Omega\) على الترتيب.
بتطبيق KVL حول الحلقة،
\[
9.0-3.0I-6.0I=0
\]
إذًا
\[
\begin{aligned}
9.0-9.0I&=0\\
I&=1.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]
عبر المقاومة \(3.0\ \Omega\)،
\[
V_1=IR=(1.0)(3.0)=3.0\ \text{V}
\]
وعبر المقاومة \(6.0\ \Omega\)،
\[
V_2=IR=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}
\]
والتحقق هو
\[
3.0+6.0=9.0\ \text{V}
\]
لذلك تساوي انخفاضات الجهد ارتفاع الجهد الذي توفره البطارية. وتُحفظ الطاقة لكل كولوم حول الحلقة.
السؤال 3
تتصل بطارية جهدها \(10\ \text{V}\) على التوالي بمقاومة \(2.0\ \Omega\) ومقاومة \(3.0\ \Omega\). يقول طالب إن التيار يجب أن يكون أكبر قبل المقاومة الأولى منه بعد المقاومة الثانية لأن كل مقاومة «تستخدم جزءًا من التيار».
حدد التيار في الدائرة واشرح ما الذي خلط الطالب بينه.
الحل 3
التيار هو \(2.0\ \text{A}\) في كل مكان على طول المسار المتصل على التوالي. تنقل المقاومات الطاقة، لكنها لا تستهلك الشحنة أو التيار.
طبّق KVL:
\[
10-2.0I-3.0I=0
\]
إذًا،
\[
\begin{aligned}
10-5.0I&=0\\
I&=2.0\ \text{A}
\end{aligned}
\]
للمقاومة الأولى انخفاض في الجهد مقداره
\[
V_1=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}
\]
وللمقاومة الثانية انخفاض في الجهد مقداره
\[
V_2=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}
\]
إذًا
\[
4.0+6.0=10\ \text{V}
\]
الخطأ المغري هنا هو التعامل مع الجهد والتيار كما لو كانا يقيسان الشيء نفسه. وهما لا يفعلان ذلك. التيار هو معدل تدفق الشحنة، ولذلك يجب أن يمر التيار نفسه البالغ \(2.0\ \text{A}\) عبر كل نقطة في هذا المسار الواحد المتصل على التوالي. أما الجهد فيصف الطاقة المنتقلة لكل كولوم، ولذلك يمكن أن ينخفض عبر كل مقاومة بينما يظل التيار دون تغير.
السؤال 4
تتصل بطارية مثالية جهدها \(12\ \text{V}\) بمقاومة \(2.0\ \Omega\). بعد هذه المقاومة، تنقسم الدائرة إلى فرعين متوازيين يحتويان على مقاومتي \(4.0\ \Omega\) و\(12\ \Omega\) قبل أن يتحدا من جديد.
ليكن \(I\) هو التيار المار عبر المقاومة \(2.0\ \Omega\)، و\(I_1\) التيار المار عبر فرع \(4.0\ \Omega\)، و\(I_2\) التيار المار عبر فرع \(12\ \Omega\).
يكتب أحد الطلاب
\[
12-2I-4I_1-12I_2=0
\]
على أنها معادلة KVL.
اشرح لماذا لا تمثل هذه المعادلة معادلة صحيحة لحلقة واحدة، ثم أوجد \(I\) و\(I_1\) و\(I_2\).
الحل 4
معادلة الحلقة التي كتبها الطالب غير صحيحة لأنه لا يوجد مسار مغلق واحد يمر عبر مقاومتي التوازي الواحدة بعد الأخرى. التيارات الصحيحة هي \(I=2.40\ \text{A}\)، و\(I_1=1.80\ \text{A}\)، و\(I_2=0.60\ \text{A}\).
عند العقدة، يعطي KCL
\[
I=I_1+I_2
\]
وتعطي حلقة تمر عبر فرع \(4.0\ \Omega\)
\[
12-2I-4I_1=0
\]
وتعطي حلقة أخرى تمر عبر فرع \(12\ \Omega\)
\[
12-2I-12I_2=0
\]
يشترك فرعا التوازي في العقدتين نفسيهما، ولذلك يجب أن يكون انخفاض الجهد عبرهما متساويًا:
\[
4I_1=12I_2
\]
لذلك،
\[
I_1=3I_2
\]
وباستخدام KCL،
\[
I=3I_2+I_2=4I_2
\]
عوّض بذلك في معادلة الحلقة التي تحتوي على فرع \(12\ \Omega\):
\[
\begin{aligned}
12-2(4I_2)-12I_2&=0\\
12-20I_2&=0\\
I_2&=0.60\ \text{A}
\end{aligned}
\]
ومن ثم،
\[
I_1=3(0.60)=1.80\ \text{A}
\]
و
\[
I=1.80+0.60=2.40\ \text{A}
\]
تحقق من انخفاضات الجهد. عبر المقاومة المشتركة \(2.0\ \Omega\)،
\[
V=(2.40)(2.0)=4.80\ \text{V}
\]
لذلك يجب أن يكون عبر كل فرع متوازٍ
\[
12.0-4.80=7.20\ \text{V}
\]
بالنسبة إلى فرع \(4.0\ \Omega\)،
\[
(1.80)(4.0)=7.20\ \text{V}
\]
وبالنسبة إلى فرع \(12\ \Omega\)،
\[
(0.60)(12)=7.20\ \text{V}
\]
تحقق كلتا الحلقتين KVL، وتحقق العقدة KCL.
لم يكن الفخ في الجبر، بل في هندسة الدائرة. يجب أن تتبع معادلة KVL مسارًا مغلقًا حقيقيًا عبر الدائرة.
السؤال 5
تحتوي حلقة دائرة واحدة على بطاريتين مثاليتين ومقاومتين. عند التحرك مع عقارب الساعة، تعبر البطارية الأولى من السالب إلى الموجب، مما يعطي ارتفاعًا في الجهد مقداره \(6.0\ \text{V}\). ثم تعبر البطارية الثانية من الموجب إلى السالب، مما يعطي انخفاضًا في الجهد مقداره \(9.0\ \text{V}\). المقاومتان هما \(1.0\ \Omega\) و\(4.0\ \Omega\).
افترض أن التيار \(I\) يسير مع عقارب الساعة.
أوجد \(I\)، وحدد الاتجاه الحقيقي للتيار، واشرح لماذا لا تعني النتيجة السالبة أن قانون كيرشوف للجهد قد فشل.
الحل 5
يعطي الحساب \(I=-0.60\ \text{A}\)، ولذلك فإن التيار الحقيقي هو \(0.60\ \text{A}\) عكس عقارب الساعة. تعني الإشارة السالبة أن الاتجاه المفترض كان معاكسًا للاتجاه الحقيقي.
باستخدام الاتجاه المفترض مع عقارب الساعة، يعطي KVL
\[
6.0-9.0-1.0I-4.0I=0
\]
لذلك،
\[
\begin{aligned}
-3.0-5.0I&=0\\
-5.0I&=3.0\\
I&=-0.60\ \text{A}
\end{aligned}
\]
ومن ثم فإن مقدار التيار هو
\[
|I|=0.60\ \text{A}
\]
لكن اتجاهه عكس عقارب الساعة.
وهذا منطقي فيزيائيًا. فالمصدر ذو \(9.0\ \text{V}\) أقوى من المصدر ذي \(6.0\ \text{V}\)، ولذلك يكون جهد الدفع الصافي
\[
9.0-6.0=3.0\ \text{V}
\]
والمقاومة الكلية هي
\[
R=1.0+4.0=5.0\ \Omega
\]
ولذلك يكون مقدار التيار
\[
I=\frac{3.0}{5.0}=0.60\ \text{A}
\]
لقد أدى قانون كيرشوف وظيفته كما ينبغي تمامًا. فقد صحح الجبر التخمين الأولي لاتجاه التيار.
بمجرد أن تتمكن من الانتقال بين KCL عند العقد وKVL حول الحلقات، تتوقف الدوائر الأكثر تعقيدًا عن كونها مجموعة من الحالات الخاصة. يمكنك تحليلها بتتبع كميتين محفوظتين: تدفق الشحنة عند كل عقدة، والطاقة لكل كولوم حول كل مسار مغلق. والخطوة المفيدة التالية هي ربط تلك التيارات وفروق الجهد بالقدرة الكهربائية، بحيث تتمكن من تحديد ليس فقط كيفية تحرك الشحنة والطاقة عبر الدائرة، بل أيضًا مدى سرعة نقل المكونات لتلك الطاقة.