السعة الحرارية النوعية: استخدام Q = mcΔT في فيزياء HSC
تعرّف على كيفية تحكم السعة الحرارية النوعية في تغير درجة الحرارة، وكيفية استخدام Q = mcΔT، وكيفية مقارنة الاستجابة الحرارية للمواد المختلفة.
ضع \(500\ \text{g}\) من النحاس و\(500\ \text{g}\) من الماء على سخانين متماثلين. زوِّد كلًّا منهما بالكمية نفسها تمامًا من الطاقة. أيهما سيشهد ارتفاعًا أكبر في درجة الحرارة؟
قد يبدو من المغري التفكير: «الكتلة نفسها، والطاقة نفسها، إذن التغير نفسه في درجة الحرارة». لكن النحاس يصبح أكثر سخونة بكثير. والفكرة الناقصة هنا هي أن المواد المختلفة تحتاج إلى كميات مختلفة من الطاقة لتغيير درجة حرارتها.
ويُوصف هذا الاختلاف بواسطة السعة الحرارية النوعية.
01ابدأ بالطاقة، لا بالمعادلة
تخيّل تزويد مادة ما بـ\(1000\ \text{J}\) من الطاقة الحرارية. تزيد هذه الطاقة من الطاقة الداخلية للمادة. وعادةً ما ترتفع درجة حرارتها نتيجة لذلك.
لكن مقدار ارتفاع درجة الحرارة يعتمد على عاملين قبل أن نفكر أصلًا في نوع المادة:
- كمية المادة الموجودة
- مقدار الطاقة التي يحتاج إليها كل كيلوغرام لإحداث تغير في درجة الحرارة مقداره \(1^\circ\text{C}\)
يصعب تسخين قدر كبير من الماء أكثر من ملعقة من الماء لأن كتلته أكبر. ولكن حتى عندما تكون الكتل متساوية، تستجيب المواد المختلفة بطرق مختلفة.
فعلى سبيل المثال، القيم التقريبية للسعات الحرارية النوعية هي:
| المادة | السعة الحرارية النوعية، \(c\) |
|---|---|
| الماء | \(4180\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\) |
| الألومنيوم | \(900\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\) |
| النحاس | \(390\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\) |
يحتاج الماء إلى طاقة أكبر بكثير من النحاس لإحداث التغير نفسه في درجة الحرارة للكتلة نفسها.
إليك طريقة مفيدة لتصوّر ذلك. افترض أن كل كيلوغرام من المادة عليه أن «يدفع» طاقة مقابل كل درجة ترتفع بها حرارته. النحاس قليل التكلفة نسبيًا، أما الماء فمرتفع التكلفة. وإذا أعطيت كليهما ميزانية الطاقة نفسها، فإن النحاس يستطيع تحقيق زيادة أكبر بكثير في درجة الحرارة.
هذا التصور مفيد، لكنه مجرد تشبيه. فالمادة لا تنفق الطاقة حرفيًا في حزم ثابتة. وإنما تصف السعة الحرارية النوعية كيفية ارتباط التغيرات في الطاقة الداخلية بدرجة الحرارة تحت ظروف معينة.
02المعادلة \(Q = mc\Delta T\)
عند التسخين أو التبريد من دون تغير في الحالة، تكون العلاقة
\[
Q = mc\Delta T
\]
حيث:
- \(Q\) هي الطاقة الحرارية المنتقلة، بوحدة الجول (J)
- \(m\) هي الكتلة، بوحدة الكيلوغرام (kg)
- \(c\) هي السعة الحرارية النوعية، بوحدة \(\text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\)
- \(\Delta T\) هو التغير في درجة الحرارة، بوحدة الدرجة المئوية (\(^\circ\text{C}\))
يُعطى التغير في درجة الحرارة بالعلاقة
\[
\Delta T = T_{\text{final}} – T_{\text{initial}}
\]
ولأن فرق درجة الحرارة البالغ \(1^\circ\text{C}\) يساوي في المقدار فرقًا قدره \(1\text{ K}\)، يمكن أيضًا كتابة وحدة السعة الحرارية النوعية على الصورة \(\text{J kg}^{-1}\text{K}^{-1}\).
ما الذي تعنيه \(c\) فعليًا؟
افترض أن مادة ما لها
\[
c = 900\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}
\]
هذا يعني أن رفع درجة حرارة \(1\ \text{kg}\) من هذه المادة بمقدار \(1^\circ\text{C}\) يتطلب تقريبًا \(900\ \text{J}\) من الطاقة.
إذن، بالنسبة إلى \(1\ \text{kg}\):
- يتطلب الارتفاع بمقدار \(1^\circ\text{C}\) طاقة قدرها 900 J
- يتطلب الارتفاع بمقدار \(2^\circ\text{C}\) طاقة قدرها 1800 J
- يتطلب الارتفاع بمقدار \(10^\circ\text{C}\) طاقة قدرها 9000 J
وإذا ضاعفت الكتلة أيضًا، فإنك تضاعف الطاقة المطلوبة مرة أخرى.
ولهذا تُضرب \(m\) و\(c\) و\(\Delta T\) معًا في \(Q = mc\Delta T\).
03التنبؤ بأي مادة تسخن أكثر
أعد ترتيب المعادلة بحيث يصبح التغير في درجة الحرارة هو موضوعها:
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
تخيّل الآن أن كتلتين متساويتين من النحاس والماء تستقبلان المقدار نفسه من الطاقة.
أي كمية تختلف؟ فقط \(c\).
وبما أن \(c\) موجودة في المقام، فإن السعة الحرارية النوعية الأكبر تؤدي إلى تغير أصغر في درجة الحرارة.
إذن:
- انخفاض \(c\) يعني أن درجة الحرارة تتغير بسهولة نسبيًا
- ارتفاع \(c\) يعني أن هناك حاجة إلى طاقة أكبر لإحداث التغير نفسه في درجة الحرارة
ومن ذلك نحصل على قاعدة سريعة للمقارنة.
| الحالة | التأثير في \(\Delta T\) |
|---|---|
| \(Q\) أكبر | تغير أكبر في درجة الحرارة |
| \(m\) أكبر | تغير أصغر في درجة الحرارة |
| \(c\) أكبر | تغير أصغر في درجة الحرارة |
تفترض هذه المقارنات بقاء الكميات الأخرى دون تغيير.
مثال محلول: كم ترتفع درجة حرارة الألومنيوم؟
تستقبل كتلة من الألومنيوم مقدارها \(0.50\ \text{kg}\) طاقة حرارية قدرها \(18\,000\ \text{J}\). تبلغ السعة الحرارية النوعية للألومنيوم \(900\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\). احسب مقدار الزيادة في درجة حرارته.
الخطوة 1
\[
Q = mc\Delta T
\]
نحتاج إلى \(\Delta T\)، لذا نعيد ترتيب المعادلة:
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
الخطوة 2
\[
\Delta T
= \frac{18\,000}{(0.50)(900)}
= \frac{18\,000}{450}
= 40^\circ\text{C}
\]
الخطوة 3
ترتفع درجة حرارة كتلة الألومنيوم بمقدار
\[
\boxed{40^\circ\text{C}}
\]
لاحظ أن هذه تغير في درجة الحرارة، وليست درجة الحرارة النهائية. فإذا بدأت الكتلة عند \(22^\circ\text{C}\)، فستكون درجة حرارتها النهائية \(62^\circ\text{C}\).
04المقارنة المباشرة بين مادتين
لا تحتاج دائمًا إلى حساب درجتي الحرارة كلتيهما من البداية.
افترض أن جسمين يستقبلان الطاقة الحرارية نفسها \(Q\) ولهما الكتلة نفسها \(m\). عندئذٍ
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
في هذه الظروف، تكون \(Q\) و\(m\) متساويتين للجسمين. لذلك،
\[
\Delta T \propto \frac{1}{c}
\]
يتناسب التغير في درجة الحرارة عكسيًا مع السعة الحرارية النوعية.
إذا كانت السعة الحرارية النوعية لمادة ما ضعف السعة الحرارية النوعية لمادة أخرى، فإن تغير درجة حرارتها سيكون نصف مقدار تغير درجة حرارة المادة الأخرى، بشرط تساوي الكتلتين والطاقة المنتقلة.
مثال محلول: النحاس مقابل الماء
تستقبل عينة نحاس كتلتها \(0.20\ \text{kg}\) وعينة ماء كتلتها \(0.20\ \text{kg}\) مقدار \(8.0\ \text{kJ}\) من الطاقة الحرارية لكل منهما.
استخدم:
\[
c_{\text{copper}} = 390\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}
\]
و
\[
c_{\text{water}} = 4180\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}
\]
احسب ارتفاع درجة حرارة كل عينة وقارن استجابتيهما.
الخطوة 1
\[
8.0\ \text{kJ} = 8000\ \text{J}
\]
الخطوة 2
\[
\Delta T_{\text{Cu}}
= \frac{Q}{mc}
= \frac{8000}{(0.20)(390)}
= \frac{8000}{78}
\approx 103^\circ\text{C}
\]
الخطوة 3
\[
\Delta T_{\text{water}}
= \frac{8000}{(0.20)(4180)}
= \frac{8000}{836}
\approx 9.57^\circ\text{C}
\]
الخطوة 4
يؤدي المقدار نفسه، \(8000\ \text{J}\)، إلى تغيرين تقريبيين قدرهما
\[
\boxed{\Delta T_{\text{Cu}} = 103^\circ\text{C}}
\]
و
\[
\boxed{\Delta T_{\text{water}} = 9.57^\circ\text{C}}
\]
تتغير درجة حرارة النحاس بدرجة أكبر بكثير لأن سعته الحرارية النوعية أقل بكثير.
يفترض الحساب أن الطاقة المزوَّدة تُستخدم في تغيير درجتي حرارة العينتين. وفي تجربة حقيقية، يمكن أن تسخّن بعض الطاقة الوعاء والوسط المحيط أيضًا.
05إعادة ترتيب مفيدة للمقارنات
أحيانًا يسأل السؤال عن مقدار الطاقة المطلوبة بدلًا من مقدار تغير درجة الحرارة.
عندئذٍ استخدم الصورة الأصلية:
\[
Q = mc\Delta T
\]
افترض أن كتلتين متساويتين يجب أن ترتفع درجة حرارتهما بالمقدار نفسه. تحتاج المادة ذات \(c\) الأكبر إلى طاقة أكبر.
فعلى سبيل المثال، لأن السعة الحرارية النوعية للماء تزيد على عشرة أمثال السعة الحرارية النوعية للنحاس، فإن تسخين كتلتين متساويتين من الماء والنحاس عبر المجال نفسه من درجات الحرارة يتطلب طاقة أكبر بكثير للماء.
وتنطبق العلاقة نفسها على التبريد. فإذا فقد جسم طاقة حرارية، انخفضت درجة حرارته. وباستخدام اصطلاح الإشارة
\[
\Delta T = T_{\text{final}} – T_{\text{initial}}
\]
يكون للجسم الذي يبرد \(\Delta T < 0\)، ولذلك تكون \(Q\) سالبة أيضًا إذا اعتُبرت الطاقة التي يكتسبها الجسم موجبة.
وفي كثير من مسائل HSC، قد تستخدم بدلًا من ذلك مقدار الطاقة المنتقلة وتذكر بصورة منفصلة أن الطاقة قد فُقدت.
06المفهوم الخاطئ: السعة الحرارية النوعية العالية لا تعني «أكثر سخونة»
من الأخطاء الشائعة تفسير عبارة «سعة حرارية نوعية عالية» على أنها تعني أن المادة «تصبح شديدة السخونة».
لكنها تعني تقريبًا العكس في ظروف التسخين المتساوي.
فالمادة ذات \(c\) العالية تحتاج إلى طاقة أكبر لكل كيلوغرام مقابل كل درجة من التغير في درجة الحرارة. وإذا استقبلت كتل متساوية طاقة متساوية، فإن المادة ذات \(c\) الأعلى تشهد ارتفاعًا أصغر في درجة الحرارة.
ومن الأخطاء المغرية الأخرى الخلط بين السعة الحرارية النوعية والموصلية الحرارية.
فهما تجيبان عن سؤالين مختلفين:
- السعة الحرارية النوعية تخبرك بمقدار الطاقة المرتبط بتغير في درجة الحرارة
- الموصلية الحرارية تخبرك بمدى سهولة انتقال الطاقة الحرارية عبر مادة ما
قد يبدو الجسم المعدني أبرد عند اللمس من جسم خشبي عند درجة الحرارة نفسها لأن المعدن ينقل الطاقة بعيدًا عن يدك بسرعة أكبر. وهذا الإحساس وحده لا يخبرك أي المادتين لها السعة الحرارية النوعية الأكبر.
07متى لا تكون \(Q = mc\Delta T\) كافية؟
المعادلة مفيدة للغاية، لكن لها حدودًا.
وتنطبق بصورة مباشرة عندما:
- تبقى المادة في الحالة نفسها
- يمكن اعتبار سعتها الحرارية النوعية ثابتة عبر نطاق درجات الحرارة
- تمثل \(Q\) الطاقة الحرارية المرتبطة بتغير درجة حرارة المادة
لكنها ليست المعادلة المناسبة بمفردها أثناء تغير الطور.
فعلى سبيل المثال، أثناء انصهار الجليد عند درجة انصهاره، يمكن أن تدخل الطاقة من دون أن تسبب ارتفاع درجة الحرارة الذي تتنبأ به \(Q = mc\Delta T\). إذ تدخل تلك الطاقة بدلًا من ذلك في تغيير الحالة.
وهذا دليل مهم في المسائل الأصعب: قبل استخدام \(Q = mc\Delta T\)، تحقّق من وجود تغير فعلي في درجة الحرارة ضمن حالة واحدة من حالات المادة.
08الأسئلة والحلول
السؤال 1
جسم زجاجي كتلته \(0.30\ \text{kg}\) وسعته الحرارية النوعية \(840\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\). يُسخَّن من \(20^\circ\text{C}\) إلى \(45^\circ\text{C}\).
احسب الطاقة الحرارية المنتقلة إلى الزجاج.
الحل 1
يكتسب الزجاج
\[
\boxed{6.3\times10^3\ \text{J}}
\]
من الطاقة الحرارية.
التغير في درجة الحرارة هو
\[
\Delta T = 45 – 20 = 25^\circ\text{C}
\]
وباستخدام
\[
Q = mc\Delta T
\]
نحصل على
\[
\begin{aligned}
Q &= (0.30)(840)(25)\\
&= 6300\ \text{J}
\end{aligned}
\]
إذن
\[
\boxed{Q = 6.3\ \text{kJ}}
\]
تكون الطاقة موجبة لأن الزجاج يكتسب طاقة حرارية وترتفع درجة حرارته.
السؤال 2
تستقبل كتلتان مقدار كل منهما \(0.40\ \text{kg}\) المقدار نفسه من الطاقة، وهو \(12\,000\ \text{J}\).
للكتلة A قيمة \(c = 500\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\).
وللكتلة B قيمة \(c = 1500\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}\).
من دون حساب تغيري درجة الحرارة كليهما أولًا، تنبأ بأي الكتلتين يكون ارتفاع درجة حرارتها أكبر. ثم احسب كلا الارتفاعين.
الحل 2
يكون ارتفاع درجة حرارة الكتلة A أكبر لأنها تمتلك السعة الحرارية النوعية الأصغر.
عند تساوي \(Q\) و\(m\)،
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
ولذلك تؤدي \(c\) الأكبر إلى \(\Delta T\) أصغر.
بالنسبة إلى الكتلة A:
\[
\begin{aligned}
\Delta T_A
&= \frac{12\,000}{(0.40)(500)}\\
&= \frac{12\,000}{200}\\
&= 60^\circ\text{C}
\end{aligned}
\]
وبالنسبة إلى الكتلة B:
\[
\begin{aligned}
\Delta T_B
&= \frac{12\,000}{(0.40)(1500)}\\
&= \frac{12\,000}{600}\\
&= 20^\circ\text{C}
\end{aligned}
\]
إذن،
\[
\boxed{\Delta T_A = 60^\circ\text{C},\qquad \Delta T_B = 20^\circ\text{C}}
\]
للكتلة B سعة حرارية نوعية تساوي ثلاثة أمثال سعة الكتلة A، ولذلك، في ظروف تساوي الكتلة والطاقة هذه، يكون ارتفاع درجة حرارتها ثلث ارتفاع درجة حرارة A.
السؤال 3
تستقبل عينة معدنية كتلتها \(250\ \text{g}\) طاقة مقدارها \(5.4\ \text{kJ}\)، فترتفع درجة حرارتها من \(18^\circ\text{C}\) إلى \(42^\circ\text{C}\).
احسب سعتها الحرارية النوعية.
الحل 3
السعة الحرارية النوعية للمعدن هي
\[
\boxed{900\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}}
\]
أولًا، حوّل الكتلة والطاقة:
\[
250\ \text{g} = 0.250\ \text{kg}
\]
\[
5.4\ \text{kJ} = 5400\ \text{J}
\]
التغير في درجة الحرارة هو
\[
\Delta T = 42 – 18 = 24^\circ\text{C}
\]
أعد ترتيب
\[
Q = mc\Delta T
\]
لنحصل على
\[
c = \frac{Q}{m\Delta T}
\]
ثم
\[
\begin{aligned}
c
&= \frac{5400}{(0.250)(24)}\\
&= \frac{5400}{6.00}\\
&= 900\ \text{J kg}^{-1}\,^\circ\text{C}^{-1}
\end{aligned}
\]
تعني النتيجة أن رفع درجة حرارة \(1\ \text{kg}\) من المعدن بمقدار \(1^\circ\text{C}\) يتطلب تقريبًا \(900\ \text{J}\).
السؤال 4
كتلة العينة X تساوي ضعف كتلة العينة Y. وكلتاهما مصنوعتان من المادة نفسها وتستقبلان المقدار نفسه من الطاقة الحرارية.
يقول طالب: «إنهما من المادة نفسها، لذلك لا بد أن يكون ارتفاع درجة حرارتهما متساويًا».
هل الطالب على صواب؟ حدّد العلاقة بين تغيري درجة حرارتهما.
الحل 4
الطالب غير صحيح. يكون ارتفاع درجة حرارة العينة X نصف ارتفاع درجة حرارة العينة Y.
للعينتين السعة الحرارية النوعية نفسها \(c\)، وكلتاهما تستقبلان الطاقة نفسها \(Q\). لكن كتلتيهما مختلفتان.
باستخدام
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
تكون للعينة X
\[
m_X = 2m_Y
\]
ولذلك
\[
\Delta T_X
= \frac{Q}{(2m_Y)c}
= \frac{1}{2}\frac{Q}{m_Yc}
\]
إذن،
\[
\boxed{\Delta T_X = \frac{1}{2}\Delta T_Y}
\]
يكمن الفخ في التركيز على المادة فقط. السعة الحرارية النوعية خاصية للمادة، لكن الاستجابة الكلية للجسم تعتمد أيضًا على كتلته.
السؤال 5
يبدأ جسمان عند درجة الحرارة نفسها.
للجسم P كتلة \(m\) وسعة حرارية نوعية \(c\).
وللجسم R كتلة \(2m\) وسعة حرارية نوعية \(\frac{c}{2}\).
يستقبل كل جسم المقدار نفسه من الطاقة الحرارية. ويتنبأ طالب بأن R سيسخن بدرجة أقل لأن كتلته تساوي ضعف الكتلة.
حدّد أي الجسمين له ارتفاع أكبر في درجة الحرارة، أو ما إذا كان الارتفاعان متساويين.
الحل 5
للجسمين الارتفاع نفسه في درجة الحرارة.
الكمية المهمة ليست الكتلة وحدها، بل حاصل الضرب \(mc\).
بالنسبة إلى P:
\[
m_Pc_P = mc
\]
وبالنسبة إلى R:
\[
m_Rc_R = (2m)\left(\frac{c}{2}\right) = mc
\]
وباستخدام
\[
\Delta T = \frac{Q}{mc}
\]
فإن للجسمين بالتالي
\[
\boxed{\Delta T_P = \Delta T_R}
\]
لاحظ الطالب الكتلة الأكبر، لكنه أغفل السعة الحرارية النوعية الأصغر. وهذان التغيران يلغي أحدهما الآخر تمامًا.
ولهذا تكون أسئلة المقارنة أكثر أمانًا عندما تفحص المقام كله، \(mc\)، بدلًا من إصدار الحكم اعتمادًا على الكتلة أو السعة الحرارية النوعية وحدها.
السؤال 6
ينقل سخان طاقة إلى مادة كتلتها \(0.50\ \text{kg}\). خلال الدقائق القليلة الأولى، ترتفع درجة حرارة المادة بثبات. وبعد ذلك تستمر الطاقة في الدخول، لكن درجة الحرارة المقاسة تظل ثابتة لفترة من الزمن.
يواصل طالب استخدام \(Q = mc\Delta T\) خلال فترة ثبات درجة الحرارة، ويستنتج أن أي طاقة لم تدخل لأن \(\Delta T = 0\).
اشرح الخطأ في هذا الاستنتاج.
الحل 6
الاستنتاج غير صحيح لأن \(Q = mc\Delta T\) لا تصف جميع أشكال انتقال الطاقة الممكنة.
إذا ظلت درجة الحرارة ثابتة بينما تستمر الطاقة في الدخول، فمن التفسيرات المرجحة أن المادة تمر بعملية تغير طور. وخلال تلك الفترة، تغيّر الطاقة الداخلة حالة المادة بدلًا من زيادة درجة حرارتها.
إن وضع \(\Delta T = 0\) في
\[
Q = mc\Delta T
\]
يعطي \(Q=0\)، لكن هذا يخبرنا فقط بأنه لا توجد طاقة يجري احتسابها كتسخين محسوس ناتج عن تغير في درجة الحرارة. ولا يثبت أن أي طاقة لم تنتقل على الإطلاق.
الافتراض الضمني وراء \(Q = mc\Delta T\) هو أن انتقال الطاقة مرتبط بتغير في درجة الحرارة بينما تظل المادة في الطور نفسه.
ويقودنا هذا التمييز مباشرةً إلى الفكرة المفيدة التالية: الحرارة الكامنة. وبمجرد فهم كل من \(Q = mc\Delta T\) وطاقة تغير الطور، يمكنك تحليل منحنيات التسخين والمسائل الحرارية متعددة المراحل التي تسخن فيها مادة، ثم تتغير حالتها، ثم تسخن من جديد.