زمن طيران المقذوف عند الهبوط على مستوى واحد ومستويات غير متساوية

أطلق مقذوفين من النقطة نفسها وبالسرعة الرأسية الابتدائية نفسها إلى أعلى، لكن أعطِ أحدهما سرعة أفقية أكبر بكثير. أيهما يبقى في الهواء مدة أطول؟

في حالة الهبوط على المستوى نفسه، لا أحد منهما. فكلاهما يهبط في الوقت نفسه. تغيّر السرعة الأفقية موضع هبوط المقذوف، لكنها لا تغيّر وقت عودته إلى الارتفاع الأصلي.

هذه النتيجة مفيدة لأنها تحوّل مسألة مقذوفات ثنائية الأبعاد إلى سؤال أبسط بكثير: ماذا يحدث رأسيًا؟ لكن هناك شرطًا مهمًا؛ فهذا الاختصار لا يعمل إلا عندما يهبط المقذوف عند الارتفاع نفسه الذي أُطلق منه. فإذا كانت نقطة الهبوط على جرف، أو في وادٍ، أو على منصة مرتفعة، فعلينا أن نكون أكثر حذرًا.

01زمن الطيران هو أساسًا مسألة حركة رأسية

للمقذوف حركة أفقية وحركة رأسية تحدثان في الوقت نفسه.

تخيّل هاتين الحركتين كشخصين في الموعد نفسه لا يكادان يتحدثان. إنهما يشتركان في ساعة واحدة، لكن الجاذبية تؤثر فقط في الحركة الرأسية. تحدد الحركة الأفقية مكان المقذوف، بينما تحدد الحركة الرأسية ارتفاعه.

هذه الصورة مفيدة، لكنها لها حدود. فإذا كان ارتفاع سطح الهبوط نفسه يعتمد على الموضع الأفقي، كما يحدث على سطح مائل، تصبح الحركتان مترابطتين من خلال شرط الهبوط. سنعود إلى ذلك لاحقًا.

في مسائل المقذوفات المعتادة في HSC، ما لم يذكر السؤال خلاف ذلك، نفترض أن:

• مقاومة الهواء مهملة
• تسارع الجاذبية ثابت
• \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)، واتجاهه إلى أسفل
• التسارع الأفقي يساوي صفرًا.

إذا أُطلق المقذوف بسرعة \(u\) وبزاوية \(\theta\) فوق الأفقي، فإن سرعته الرأسية الابتدائية هي

\[
u_y=u\sin\theta
\]

وسرعته الأفقية الابتدائية هي

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

إذا كان تحليل سرعة الإطلاق إلى مركبات ما يزال غير واضح بالنسبة لك، فراجع مركبات السرعة الابتدائية للمقذوف في فيزياء HSC قبل المتابعة.

02المعادلة التي تتحكم في زمن الطيران

اعتبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا. ولتكن:

• \(u_y\) السرعة الرأسية الابتدائية بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)
• \(t\) الزمن بعد الإطلاق بالثواني
• \(g\) مقدار تسارع الجاذبية بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-2}}\)
• \(\Delta y=y_f-y_i\) الارتفاع النهائي ناقص الارتفاع الابتدائي، بالأمتار.

معادلة الإزاحة الرأسية هي

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

هذه هي المعادلة الأساسية لإيجاد زمن الطيران.

لاحظ ما لا يظهر فيها: السرعة الأفقية. فعندما يكون سطح الهبوط عند ارتفاع ثابت، يأتي زمن الطيران من الحركة الرأسية.

03تساوي ارتفاع الإطلاق والهبوط

افترض أن المقذوف يهبط عند الارتفاع نفسه تمامًا الذي أُطلق منه.

إذن

\[
\Delta y=0.
\]

عوّض بذلك في معادلة الإزاحة الرأسية:

\[
0=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

أخرج \(t\) عاملًا مشتركًا:

\[
0=t\left(u_y-\frac{1}{2}gt\right).
\]

يوجد حلان:

\[
t=0
\]

أو

\[
t=\frac{2u_y}{g}.
\]

الحل الأول ليس رحلة إضافية غامضة، بل هو ببساطة لحظة الإطلاق. أما الحل الثاني فهو الزمن الذي يعود فيه المقذوف إلى ارتفاعه الأصلي.

لذلك، بالنسبة إلى مقذوف يُطلق إلى أعلى ويهبط عند الارتفاع نفسه،

\[
\boxed{T=\frac{2u_y}{g}}
\]

حيث \(T\) هو زمن الطيران الكلي.

وبما أن \(u_y=u\sin\theta\)، فإن

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

لماذا يساوي زمن الطيران ضعفي زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع؟

عند أقصى ارتفاع، تكون السرعة الرأسية صفرًا.

باستخدام

\[
v_y=u_y-gt,
\]

نحصل على

\[
0=u_y-gt_{\text{صعود}},
\]

ومن ثم

\[
t_{\text{صعود}}=\frac{u_y}{g}.
\]

عندما يكون الهبوط عند الارتفاع نفسه، يكون الجزء الهابط متناظرًا رأسيًا مع الجزء الصاعد. لذلك،

\[
T=2t_{\text{صعود}}=\frac{2u_y}{g}.
\]

ينشأ هذا التناظر من ثبات تسارع الجاذبية وتساوي ارتفاعي البداية والنهاية. وليس قاعدة تنص على أن كل مقذوف يقضي زمنًا متساويًا في الصعود والهبوط.

04ماذا يتغير عندما يختلف ارتفاع الهبوط؟

الآن أطلق المقذوف نفسه من جرف.

هل ستظل تستخدم

\[
T=\frac{2u_y}{g}?
\]

لا. فهذه المعادلة تعطي الزمن اللازم للعودة إلى ارتفاع الإطلاق. وبعد ذلك يواصل المقذوف السقوط إلى الأرض الواقعة أسفله.

وهذا أحد أكثر الأخطاء شيوعًا في حركة المقذوفات: ملاحظة أن الجسم يصعد ثم يهبط، ثم مضاعفة زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع تلقائيًا.

الطريقة الصحيحة هي استخدام الإزاحة الرأسية الفعلية.

على سبيل المثال:

• الهبوط على بعد \(12\ \mathrm{m}\) أسفل نقطة الإطلاق يعني أن \(\Delta y=-12\ \mathrm{m}\)
• الهبوط على بعد \(5\ \mathrm{m}\) أعلى نقطة الإطلاق يعني أن \(\Delta y=+5\ \mathrm{m}\).

احتفظ بالإشارة. لا تحوّل كل إزاحة إلى مسافة موجبة.

بدءًا من

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2,
\]

أعد الترتيب:

\[
\frac{1}{2}gt^2-u_yt+\Delta y=0.
\]

هذه معادلة تربيعية في \(t\). وباستخدام القانون العام للمعادلة التربيعية نحصل على

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g}.
\]

لا تحفظ إشارة \(+\) على أنها «إشارة زمن الطيران». افحص الجذور واختر الزمن الذي يتوافق مع الحالة الفيزيائية.

05الهبوط أعلى نقطة الإطلاق أكثر تعقيدًا

افترض بدلًا من ذلك أنك تريد معرفة متى يكون المقذوف على ارتفاع \(8\ \mathrm{m}\) فوق نقطة إطلاقه.

قد تحصل على زمنين موجبين.

لماذا؟

يمكن للمقذوف أن يمر بالارتفاع المرتفع نفسه مرة أثناء صعوده ومرة أخرى أثناء هبوطه.

بالنسبة إلى

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g},
\]

فإن المقدار تحت الجذر التربيعي،

\[
u_y^2-2g\Delta y,
\]

يخبرنا بشيء مفيد.

إذا كان:

• موجبًا، فقد يوجد تقاطعان مع ذلك الارتفاع
• صفرًا، يكون الارتفاع المطلوب هو أقصى ارتفاع تمامًا
• سالبًا، فلا يصل المقذوف إلى ذلك الارتفاع أصلًا.

هذه هي الفيزياء نفسها المستخدمة عند حساب أقصى ارتفاع لمقذوف.

لكن توجد ملاحظة أخرى. وجود زمنين لتقاطع رأسي لا يعني تلقائيًا وجود زمنين محتملين للهبوط.

افترض أن هناك شرفة ضيقة لا تمتد إلا من \(x=40\ \mathrm{m}\) إلى \(x=50\ \mathrm{m}\). قد يمر المقذوف بارتفاع الشرفة مرة عند \(x=5\ \mathrm{m}\)، ومرة أخرى عند \(x=45\ \mathrm{m}\). لا يمكن أن يحدث الاصطدام بالشرفة إلا عند التقاطع الثاني.

لذلك، بالنسبة إلى منصة محدودة الطول:

• استخدم الحركة الرأسية لإيجاد الأوقات التي يكون فيها المقذوف عند ارتفاع المنصة
• استخدم \(x=u_xt\) لإيجاد موضعه عند كل واحد من تلك الأوقات
• حدّد أول تقاطع فعلي مع المنصة.

وهذا أدق من مجرد اختيار الجذر الأكبر للمعادلة التربيعية.

06قاعدة مختصرة لاتخاذ القرار

في حالة الإطلاق الأفقي من ارتفاع \(h\)، تصبح المعادلة الرأسية

\[
-h=-\frac{1}{2}gt^2,
\]

ومن ثم

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
\]

ومرة أخرى، لا تؤثر السرعة الأفقية في الزمن اللازم للسقوط عبر مسافة رأسية ثابتة.

07الاختصارات المغرية التي لا تنجح

لا يكون الاختصار مفيدًا إلا إذا عرفت الشروط التي ينطبق فيها.

القول إن «زمن الهبوط يساوي زمن الصعود» صحيح عندما ينتهي المقذوف عند ارتفاع إطلاقه. أما إذا هبط أسفل نقطة الإطلاق، فإن رحلة الهبوط تستمر مدة أطول.

والقول إن «السرعة الأفقية لا تؤثر أبدًا في زمن الطيران» غير مكتمل أيضًا. فعند وجود مستوى هبوط أفقي ثابت، لا تؤثر السرعة الأفقية في زمن الطيران. لكن إذا كان ارتفاع الهبوط يعتمد على الموضع الأفقي، كما يحدث على أرض مائلة، فقد تغيّر الحركة الأفقية الزمن الذي يلتقي فيه المقذوف بالسطح.

كما أن «اختر دائمًا الإشارة الموجبة في القانون العام للمعادلة التربيعية» ليست قاعدة موثوقة. فالهبوط أسفل نقطة الإطلاق يعطي عادةً جذرًا موجبًا وآخر سالبًا، لكن هدفًا مرتفعًا يمكن أن يعطي جذرين موجبين. وهندسة سطح الهبوط الفعلي هي التي تحدد أي تقاطع هو المهم.

وأخيرًا، لا تحوّل سرعة رأسية ذات إشارة إلى مقدار سرعة فقط في منتصف الحساب. فإذا كان المقذوف يتحرك إلى أسفل وكان الاتجاه إلى أعلى موجبًا، فإن سرعته الرأسية تكون سالبة. وتخبر هذه الإشارة المعادلة بالاتجاه الذي يتحرك فيه المقذوف.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

أُطلق مقذوف من أرض مستوية بسرعة \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وبزاوية \(30.0^\circ\) فوق الأفقي. وهبط عند الارتفاع نفسه.

احسب زمن طيرانه. اعتبر \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

الحل 1

يبقى المقذوف في الهواء لمدة \(2.04\ \mathrm{s}\).

أوجد أولًا سرعته الرأسية الابتدائية:

\[
u_y=u\sin\theta
=(20.0)\sin30.0^\circ
=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

لأن المقذوف يهبط عند ارتفاع إطلاقه،

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

إذن،

\[
T=\frac{2(10.0)}{9.8}
=2.04\ \mathrm{s}.
\]

الخطأ المغري هو استخدام سرعة الإطلاق الكلية \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) في معادلة زمن الطيران. المركبة الرأسية وحدها هي التي تتحكم في الزمن اللازم للعودة إلى الارتفاع نفسه.

السؤال 2

أُطلق مقذوف من مستوى الأرض بسرعة \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وبزاوية \(55.0^\circ\) فوق الأفقي.

توجد منصة أفقية على ارتفاع \(8.0\ \mathrm{m}\) فوق نقطة الإطلاق وتمتد من \(x=45.0\ \mathrm{m}\) إلى \(x=55.0\ \mathrm{m}\).

أهمل مقاومة الهواء وسمك المنصة.

هل يصطدم المقذوف بالمنصة؟ إذا كان يصطدم بها، فأوجد زمن الطيران حتى أول تماس. وإذا لم يكن يصطدم بها، فأوجد الزمن حتى يعود إلى مستوى الأرض.

الحل 2

يصطدم المقذوف بالمنصة في أثناء هبوطه، بعد \(3.55\ \mathrm{s}\) من الإطلاق.

حلّل السرعة الابتدائية:

\[
u_x=(24.0)\cos55.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

\[
u_y=(24.0)\sin55.0^\circ
=19.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

عند ارتفاع المنصة،

\[
\Delta y=8.0\ \mathrm{m}.
\]

استخدم المعادلة الرأسية:

\[
8.0=(19.7)t-4.90t^2.
\]

وبإعادة الترتيب،

\[
4.90t^2-19.7t+8.0=0.
\]

الجذران هما تقريبًا

\[
t=0.460\ \mathrm{s}
\]

و

\[
t=3.55\ \mathrm{s}.
\]

وكلاهما يمثل تقاطعًا رأسيًا ذا معنى فيزيائيًا. الأول أثناء الصعود، والثاني أثناء الهبوط.

لكن المنصة لا توجد في كل موضع عند \(y=8.0\ \mathrm{m}\)، لذلك علينا التحقق من المواضع الأفقية.

عند \(t=0.460\ \mathrm{s}\)،

\[
x=u_xt=(13.8)(0.460)=6.33\ \mathrm{m}.
\]

لا توجد منصة عند هذا الموضع.

وعند \(t=3.55\ \mathrm{s}\)،

\[
x=(13.8)(3.55)=48.9\ \mathrm{m}.
\]

يقع هذا داخل نطاق المنصة من \(45.0\ \mathrm{m}\) إلى \(55.0\ \mathrm{m}\). لذلك يلامس المقذوف المنصة عند

\[
T=3.55\ \mathrm{s}.
\]

من الطرق المغرية اختيار الجذر الموجب الأكبر للمعادلة التربيعية ببساطة لأنه «يبدو كأنه زمن الهبوط». ويصادف أن يعطي ذلك زمن التماس الصحيح هنا، لكنه ليس طريقة عامة صحيحة. الشرط الحاسم هو الموضع الأفقي للمنصة.

السؤال 3

أُطلق مقذوف من مستوى الأرض.

يمر على ارتفاع \(15.0\ \mathrm{m}\) أثناء صعوده، ثم يمر بالارتفاع نفسه بعد \(1.00\ \mathrm{s}\) بالضبط أثناء هبوطه.

لم تُعطَ سرعة الإطلاق ولا زاويته.

أوجد:

• أقصى ارتفاع للمقذوف
• سرعته الرأسية الابتدائية
• زمن طيرانه الكلي حتى عودته إلى مستوى الأرض
• زمن طيرانه الكلي إذا كان سطح الهبوط الفعلي يقع بدلًا من ذلك على بعد \(5.0\ \mathrm{m}\) أسفل نقطة الإطلاق.

اعتبر \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

الحل 3

أقصى ارتفاع هو \(16.2\ \mathrm{m}\)، والسرعة الرأسية الابتدائية هي \(17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، وزمن الطيران للعودة إلى المستوى نفسه هو \(3.64\ \mathrm{s}\)، والزمن اللازم للوصول إلى سطح يقع \(5.0\ \mathrm{m}\) أسفل نقطة الإطلاق هو \(3.90\ \mathrm{s}\).

الفكرة الأساسية هي أن المقذوف يمر بالارتفاع نفسه مرتين، وتقع نقطة أقصى ارتفاع في منتصف الزمن بين هذين المرورين.

الفاصل الزمني بين المرورين هو \(1.00\ \mathrm{s}\)، لذلك يقع كل مرور على بُعد

\[
0.500\ \mathrm{s}
\]

زمنيًا من لحظة أقصى ارتفاع.

عند أقصى ارتفاع، \(v_y=0\). لذلك يكون مقدار السرعة الرأسية عند أي من المرورين بارتفاع \(15.0\ \mathrm{m}\) هو

\[
|v_y|=g(0.500)
=(9.8)(0.500)
=4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

الآن انظر إلى المرور أثناء الصعود. من ارتفاع \(15.0\ \mathrm{m}\) إلى أقصى ارتفاع، استخدم

\[
v_y^2=u_y^2+2a\Delta y,
\]

حيث السرعة الرأسية الابتدائية لهذا الجزء القصير هي \(4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، والسرعة الرأسية النهائية تساوي صفرًا، و\(a=-9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

إذن،

\[
0=(4.90)^2+2(-9.8)\Delta y,
\]

ومن ثم

\[
\Delta y=1.225\ \mathrm{m}.
\]

لذلك يكون أقصى ارتفاع

\[
H=15.0+1.225=16.225\ \mathrm{m}
\approx16.2\ \mathrm{m}.
\]

والآن ارجع بالحساب من مستوى الإطلاق إلى أقصى ارتفاع:

\[
0=u_y^2+2(-9.8)(16.225).
\]

ومن ثم،

\[
u_y=\sqrt{2(9.8)(16.225)}
=17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

للعودة إلى ارتفاع الإطلاق،

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(17.8)}{9.8}
=3.64\ \mathrm{s}.
\]

أما إذا كان سطح الهبوط على بعد \(5.0\ \mathrm{m}\) أسفل نقطة الإطلاق،

\[
\Delta y=-5.0\ \mathrm{m}.
\]

لذلك،

\[
-5.0=(17.8)t-4.90t^2,
\]

أو

\[
4.90t^2-17.8t-5.0=0.
\]

ويعطي الحل الجذر الموجب

\[
t=3.90\ \mathrm{s}.
\]

الخطأ المغري هو اعتبار \(1.00\ \mathrm{s}\) بين المرورين عند ارتفاع \(15.0\ \mathrm{m}\) إما زمن الوصول إلى أقصى ارتفاع أو نصف زمن الرحلة الكلي. لكنه ليس أيًا منهما. المهم هو التناظر حول نقطة أقصى ارتفاع: تقع القمة في منتصف الزمن بين مرورين بالارتفاع نفسه.

السؤال 4

يغادر مقذوف حافة جرف. وبعد \(2.00\ \mathrm{s}\) بالضبط، يمر بارتفاع الإطلاق مرة أخرى أثناء حركته إلى أسفل.

يقع البحر على بعد \(9.80\ \mathrm{m}\) أسفل نقطة الإطلاق. والسرعة الأفقية للمقذوف ثابتة عند \(12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

يقول طالب:

يستغرق المقذوف \(2.00\ \mathrm{s}\) ليعود إلى ارتفاع الجرف. ثم يسقط ببساطة مسافة إضافية مقدارها \(9.80\ \mathrm{m}\)، لذلك يمكنني إضافة زمن السقوط الحر من السكون.

حدّد:

• زمن الطيران الكلي الفعلي
• المسافة الأفقية من الجرف إلى نقطة الاصطدام
• السرعة الرأسية قبل الاصطدام مباشرة
• السبب الدقيق لفشل طريقة الطالب.

الحل 4

زمن الطيران الكلي الفعلي هو \(2.73\ \mathrm{s}\)، ويهبط المقذوف على بعد أفقي مقداره \(32.8\ \mathrm{m}\) من الجرف، وتبلغ سرعته الرأسية عند الاصطدام نحو \(17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) إلى أسفل.

إن العودة إلى ارتفاع الإطلاق بعد \(2.00\ \mathrm{s}\) تتيح لنا إيجاد السرعة الرأسية الابتدائية.

بالنسبة إلى العودة إلى الارتفاع نفسه،

\[
2.00=\frac{2u_y}{9.8}.
\]

لذلك،

\[
u_y=9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

في أي زمن لاحق،

\[
\Delta y=u_yt-\frac12gt^2.
\]

عند البحر،

\[
\Delta y=-9.80\ \mathrm{m},
\]

إذن

\[
-9.80=(9.80)t-4.90t^2.
\]

اقسم على \(4.90\):

\[
-2=2t-t^2.
\]

لذلك،

\[
t^2-2t-2=0.
\]

الجذر الموجب هو

\[
t=1+\sqrt3
=2.73\ \mathrm{s}.
\]

المسافة الأفقية هي

\[
x=u_xt
=(12.0)(2.73)
=32.8\ \mathrm{m}.
\]

السرعة الرأسية عند الاصطدام هي

\[
v_y=u_y-gt.
\]

إذن،

\[
v_y
=9.80-(9.8)(2.73)
=-17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

تعني الإشارة السالبة أن الاتجاه إلى أسفل.

فكرة الطالب في تقسيم الحركة إلى مرحلتين ليست خاطئة تلقائيًا. المشكلة هي الشرط الابتدائي الذي استخدمه للمرحلة الثانية.

عندما يعود المقذوف إلى ارتفاع الجرف بعد \(2.00\ \mathrm{s}\)، فإنه لا يكون ساكنًا لحظيًا. بل تكون سرعته الرأسية

\[
v_y=9.80-(9.8)(2.00)
=-9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

أي أنه يتحرك بالفعل إلى أسفل بسرعة \(9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). ومعاملة آخر \(9.80\ \mathrm{m}\) على أنها سقوط حر من السكون تهمل هذه السرعة، ولذلك تتنبأ بزمن إضافي أكبر من الصحيح.

هذا تنبيه مفيد عند تقسيم الحركة إلى مراحل: عندما تنتهي مرحلة، تصبح سرعتها النهائية هي السرعة الابتدائية للمرحلة التالية.

السؤال 5

أُطلق مقذوفان من النقطة نفسها على منحدر مستقيم يرتفع بزاوية \(20.0^\circ\) فوق الأفقي.

لكلا المقذوفين السرعة الرأسية الابتدائية نفسها:

\[
u_y=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

للمقذوف A:

\[
u_{x,A}=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

بينما للمقذوف B:

\[
u_{x,B}=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

يمتد المنحدر إلى ما لا نهاية.

يقول طالب إن المقذوفين لا بد أن يكون لهما زمن الطيران نفسه لأن سرعتيهما الرأسيتين الابتدائيتين متطابقتان.

حدّد زمن طيران كل مقذوف حتى يلتقي بالمنحدر مرة أخرى.

ثم افترض أن المنحدر يميل بدلًا من ذلك إلى أسفل بزاوية \(20.0^\circ\). أوجد أزمنة الطيران الجديدة واشرح لماذا ينعكس ترتيبها.

وأخيرًا، بيّن ما يحدث في حالة الحد الذي تصبح فيه الأرض مستوية.

الحل 5

على المنحدر الصاعد، يبقى المقذوف A في الهواء لمدة \(2.69\ \mathrm{s}\)، والمقذوف B لمدة \(2.32\ \mathrm{s}\)؛ وعلى المنحدر الهابط، يبقى A في الهواء لمدة \(3.43\ \mathrm{s}\)، وB لمدة \(3.80\ \mathrm{s}\). تفشل حجة الطالب القائمة على تساوي \(u_y\) لأن ارتفاع الهبوط لم يعد ثابتًا.

ضع نقطة الإطلاق عند الأصل.

بالنسبة إلى منحدر يرتفع بزاوية \(20.0^\circ\)،

\[
y=x\tan20.0^\circ.
\]

الموضع الرأسي لأي من المقذوفين هو

\[
y=15.0t-4.90t^2.
\]

وموضعه الأفقي هو

\[
x=u_xt.
\]

عند الاصطدام، يجب أن يكون للمقذوف والمنحدر القيمتان نفسيهما لـ \(x\) و\(y\)، ولذلك

\[
15.0t-4.90t^2=u_xt\tan20.0^\circ.
\]

أخرج \(t\) عاملًا مشتركًا:

\[
t\left(15.0-u_x\tan20.0^\circ-4.90t\right)=0.
\]

الجذر \(t=0\) هو لحظة الإطلاق. أما التقاطع التالي فيحدث عند

\[
t=\frac{15.0-u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

بالنسبة إلى المقذوف A،

\[
t_A
=\frac{15.0-(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.69\ \mathrm{s}.
\]

وبالنسبة إلى المقذوف B،

\[
t_B
=\frac{15.0-(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.32\ \mathrm{s}.
\]

إذن يهبط المقذوف ذو السرعة الأفقية الأكبر في وقت أقصر.

لماذا؟ لأن B يتحرك أفقيًا بسرعة أكبر، فإن المنحدر الصاعد تحته يصل أيضًا إلى ارتفاعات أكبر بسرعة أكبر. لذلك لا يحتاج B إلى الهبوط مسافة رأسية كبيرة قبل أن يلتقي بالأرض.

والآن اعكس اتجاه الميل. بالنسبة إلى منحدر يهبط بزاوية \(20.0^\circ\)،

\[
y=-x\tan20.0^\circ.
\]

يصبح شرط الاصطدام

\[
15.0t-4.90t^2=-u_xt\tan20.0^\circ.
\]

وبالنسبة إلى الجذر غير الصفري،

\[
t=\frac{15.0+u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

لذلك يكون للمقذوف A

\[
t_A
=\frac{15.0+(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.43\ \mathrm{s},
\]

بينما يكون للمقذوف B

\[
t_B
=\frac{15.0+(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.80\ \mathrm{s}.
\]

الآن يبقى المقذوف ذو السرعة الأفقية الأكبر في الهواء مدة أطول. فبقطعه مسافة أفقية أكبر، يصل إلى جزء أخفض من السطح المنحدر إلى أسفل، ولذلك يجب أن يسقط مسافة أكبر قبل الاصطدام.

يوضح حد الأرض المستوية الافتراض الخفي. اجعل زاوية الميل \(0^\circ\):

\[
\tan0^\circ=0.
\]

فتصبح العبارتان كلتاهما

\[
t=\frac{15.0}{4.90}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

وهذا يساوي تمامًا

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(15.0)}{9.8}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

إذن العبارة «تساوي السرعة الرأسية يعني تساوي زمن الطيران» لا تتعلق بالمقذوفات في حد ذاتها. بل تتعلق بالمقذوفات التي لها الحركة الرأسية نفسها وارتفاع الهبوط الثابت نفسه.

بمجرد أن يصبح السطح مائلًا، يحدد الموضع الأفقي ارتفاع الأرض، ولذلك لم يعد من الممكن فصل الحركة الأفقية عن الحركة الرأسية عند تحديد زمن الاصطدام.

09ما الذي يتيح لك زمن الطيران حسابه بعد ذلك؟

بمجرد معرفة زمن الطيران الصحيح، يصبح حساب عدة كميات أخرى للمقذوف مباشرًا.

عندما تكون السرعة الأفقية ثابتة،

\[
x=u_xt,
\]

لذلك يعطي زمن الطيران الموضع الأفقي للمقذوف عند الهبوط. ويمكن إيجاد سرعته الرأسية عند الاصطدام من

\[
v_y=u_y-gt.
\]

ويمكن بعد ذلك جمع مركبتي السرعة هاتين لإيجاد مقدار سرعة الاصطدام واتجاهها.

والخطوة المهمة التالية هي فهم ما يحدث عندما تتغير زاوية الإطلاق. عادةً ما تؤدي زيادة الزاوية إلى زيادة \(u_y\)، وهو ما يميل إلى زيادة زمن الطيران، لكنها تقلل \(u_x\) في الوقت نفسه. وهذه التأثيرات المتنافسة هي التي تنتج العلاقة المألوفة بين زاوية إطلاق المقذوف وارتفاعه وزمن طيرانه ومداه.