समान वृत्तीय गति में अभिकेन्द्रीय बल कार्य क्यों नहीं करता
जानें कि अभिकेन्द्रीय बल किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा बदले बिना उसे लगातार त्वरण कैसे दे सकता है, और किन परिस्थितियों में शून्य-कार्य का यह परिणाम लागू नहीं रहता।
एक रबर स्टॉपर डोरी से बँधा हुआ स्थिर चाल से घूम रहा है। डोरी पूरे समय उसे भीतर की ओर खींच रही है, और स्टॉपर पूरे समय त्वरण में है। 20 चक्कर पूरे करने के बाद, क्या उस भीतर की ओर लगने वाले बल ने स्टॉपर को अतिरिक्त गतिज ऊर्जा दी है?
ऐसा लग सकता है कि उसे देनी चाहिए थी। बल मौजूद है। स्टॉपर काफी बड़ी दूरी तय करता है। फिर भी आदर्श समान वृत्तीय गति में अभिकेन्द्रीय बल बिल्कुल भी कार्य नहीं करता।
इसका कारण यह नहीं है कि बल बहुत छोटा है, या वस्तु किसी तरह हर चक्कर के बाद किए गए कार्य को “निरस्त” कर देती है। बल ठीक उस दिशा में लग रहा है जिसमें वह वस्तु की चाल को बदल नहीं सकता।
01कोई बल चाल बदले बिना वेग बदल सकता है
सबसे पहले गति को ही देखें।
समान वृत्तीय गति में किसी भी क्षण:
- वस्तु का वेग वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है,
- अभिकेन्द्रीय त्वरण केंद्र की ओर होता है,
- परिणामी बल केंद्र की ओर होता है, और
- चाल स्थिर रहती है।
यदि चाल और वेग का अंतर स्पष्ट नहीं है, तो यह मुख्य बात याद रखें: चाल बताती है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से चल रही है। वेग में दिशा भी शामिल होती है।
इसलिए किसी वृत्त पर चलती वस्तु की चाल स्थिर रह सकती है, जबकि उसका वेग हर क्षण बदलता रहता है।
भीतर की ओर का त्वरण दिशा में होने वाले इसी परिवर्तन के लिए जिम्मेदार है। यह वेग सदिश को लगातार घुमाता रहता है, बिना उसकी लंबाई बढ़ाए या घटाए।
यदि आप फिर से समझना चाहते हैं कि त्वरण इसी दिशा में क्यों होता है, तो अभिकेन्द्रीय त्वरण: HSC भौतिकी में यह भीतर की ओर क्यों होता है देखें।
एक मोटा-सा मानसिक उदाहरण यह है कि आप दौड़ रहे हों और आपके पास खड़ा कोई मित्र आपके बैकपैक को लगातार बगल की ओर खींचता रहे। यदि हर खिंचाव आपकी गति की दिशा के ठीक लंबवत हो, तो वह आपका रास्ता मोड़ सकता है, बिना आपको तेज या धीमा किए।
वास्तविक जीवन में यह उदाहरण पूरी तरह लागू नहीं होता क्योंकि संभव है कि आपका मित्र बल को बिल्कुल लंबवत न रख पाए, और घर्षण भी प्रभाव डालेगा। आदर्श भौतिकी की स्थिति इससे अधिक सरल है।
02कार्य बल की दिशा पर निर्भर करता है
कोई बल तब कार्य करता है जब उसका कोई घटक वस्तु के विस्थापन की दिशा में हो।
किसी सीधी विस्थापन दूरी पर स्थिर बल के लिए,
\[ W = Fs\cos\theta \]
जहाँ:
- \(W\) कार्य है, जिसे जूल (J) में मापा जाता है,
- \(F\) बल का परिमाण है, जिसे न्यूटन (N) में मापा जाता है,
- \(s\) विस्थापन का परिमाण है, जिसे मीटर (m) में मापा जाता है, और
- \(\theta\) बल और विस्थापन के बीच का कोण है।
मान लें कि बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं। तब \(\theta=0^\circ\), इसलिए \(\cos 0^\circ=1\)। बल धनात्मक कार्य करता है।
यदि बल विस्थापन की ठीक विपरीत दिशा में हो, तो \(\theta=180^\circ\), इसलिए बल ऋणात्मक कार्य करता है।
अब अनुमान लगाइए। जब बल विस्थापन के बिल्कुल लंबवत हो तो क्या होगा?
\(90^\circ\) पर,
\[ \cos 90^\circ=0 \]
इसलिए कार्य शून्य होता है।
आदर्श समान वृत्तीय गति में ज्यामिति बिल्कुल ऐसी ही होती है। तात्क्षणिक विस्थापन वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है, जबकि अभिकेन्द्रीय बल त्रिज्यीय होता है।
वे एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
03महत्वपूर्ण शब्द है तात्क्षणिक
यहाँ एक छोटी-सी उलझन हो सकती है।
वृत्त के एक-चौथाई भाग में वस्तु स्पष्ट रूप से काफी दूरी तय करती है। उसके प्रारंभिक और अंतिम स्थानों को जोड़ने वाली रेखा भी सामान्यतः प्रारंभिक बिंदु पर बल के लंबवत नहीं होती।
इसलिए आप केवल एक अभिकेन्द्रीय बल सदिश लेकर उसे कुल तय की गई दूरी से गुणा नहीं कर सकते और \(W=Fs\cos\theta\) का उपयोग ऐसे नहीं कर सकते मानो बल की दिशा स्थिर रही हो।
वह स्थिर नहीं रहती। वस्तु के चलते ही अभिकेन्द्रीय बल लगातार दिशा बदलता है।
इसके बजाय, पथ को बहुत बड़ी संख्या में अत्यंत छोटे विस्थापनों में बाँटकर सोचें। प्रत्येक छोटे विस्थापन के लिए,
\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]
जहाँ \(dW\) कार्य की एक बहुत छोटी मात्रा है, \(F_c\) अभिकेन्द्रीय बल का परिमाण है, और \(ds\) पथ के साथ एक बहुत छोटी दूरी है।
हर छोटा योगदान शून्य है। उन सभी को जोड़ने पर भी परिणाम शून्य ही मिलता है।
HSC प्रश्नों में इसी परिणाम को देखने का अक्सर एक और तेज तरीका होता है: कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करें।
\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]
गतिज ऊर्जा है
\[ K=\frac12mv^2 \]
जहाँ \(m\) द्रव्यमान है, जिसे किलोग्राम (kg) में मापा जाता है, और \(v\) चाल है, जिसे मीटर प्रति सेकंड (m s\(^{-1}\)) में मापा जाता है।
समान वृत्तीय गति में चाल स्थिर होती है, इसलिए \(v\) नहीं बदलता। अतः \(K\) भी नहीं बदलता।
इसलिए,
\[ \Delta K=0 \]
और परिणामस्वरूप,
\[ W_{\text{net}}=0 \]
ये उसी भौतिकी को देखने के दो तरीके हैं:
- ज्यामितीय रूप से, परिणामी बल गति के लंबवत होता है;
- ऊर्जा की दृष्टि से, चाल और गतिज ऊर्जा स्थिर रहती हैं।
04अभिकेन्द्रीय बल कोई अतिरिक्त बल नहीं है
यह भ्रम का एक और सामान्य कारण है।
“अभिकेन्द्रीय बल” का अर्थ कोई विशेष नया बल नहीं है जो हर बार किसी वस्तु के वृत्त में चलने पर प्रकट हो जाए। यह वृत्तीय गति उत्पन्न करने के लिए आवश्यक परिणामी भीतर की ओर बल का नाम है।
समान वृत्तीय गति में इसका परिमाण है
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]
जहाँ \(r\) वृत्तीय पथ की त्रिज्या है, मीटर में।
भीतर की ओर का बल इनसे मिल सकता है:
- तनाव बल,
- गुरुत्वाकर्षण,
- अभिलंब बल,
- घर्षण, या
- कई वास्तविक बलों का संयोजन।
उदाहरण के लिए, पूर्णतः वृत्तीय कक्षा में किसी उपग्रह के लिए गुरुत्वाकर्षण अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है। डोरी पर क्षैतिज वृत्त में घूमते किसी द्रव्यमान के लिए तनाव बल यह भूमिका निभा सकता है।
यदि कोई एक वास्तविक बल पूरी तरह त्रिज्यीय है और वही अभिकेन्द्रीय बल प्रदान करता है, तो आदर्श समान वृत्तीय गति में वह वास्तविक बल कोई कार्य नहीं करता।
लेकिन भाषा का प्रयोग सावधानी से करें। यह संभव है कि अलग-अलग वास्तविक बल धनात्मक या ऋणात्मक कार्य करें, जबकि उनके कुल स्पर्शरेखीय प्रभाव एक-दूसरे को निरस्त कर दें। समान वृत्तीय गति में जो बात अवश्य सत्य होनी चाहिए, वह यह है कि परिणामी बल त्रिज्यीय हो, इसलिए कुल कार्य शून्य हो।
यह पहचानने के बारे में और जानने के लिए कि कौन-सा वास्तविक बल भीतर की ओर की भूमिका निभा रहा है, अभिकेन्द्रीय बल: HSC भौतिकी में वास्तविक बल की पहचान कैसे करें देखें।
हल किया हुआ उदाहरण: एक स्टॉपर वृत्त का एक-चौथाई भाग पूरा करता है
एक \(0.60\) kg का रबर स्टॉपर \(1.2\) m त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में \(3.0\) m s\(^{-1}\) की स्थिर चाल से चलता है। अभिकेन्द्रीय बल और स्टॉपर द्वारा एक चक्कर का एक-चौथाई भाग पूरा करने के दौरान उस बल द्वारा किए गए कार्य की गणना करें।
चरण 1
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.60)(3.0)^2}{1.2} =4.5\text{ N} \]
परिणामी बल \(4.5\) N है और केंद्र की ओर है।
चरण 2
हर क्षण स्टॉपर का अत्यंत छोटा विस्थापन वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। \(4.5\) N का बल त्रिज्यीय रूप से भीतर की ओर होता है।
इसलिए उनके बीच का कोण \(90^\circ\) है।
चरण 3
पथ के प्रत्येक छोटे भाग के लिए,
\[ dW=F_c\,ds\cos90^\circ=0 \]
इसलिए पूरे एक-चौथाई वृत्त के लिए,
\[ W=0\text{ J} \]
चरण 4
स्टॉपर की गतिज ऊर्जा है
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.60)(3.0)^2 =2.7\text{ J} \]
उसकी चाल \(3.0\) m s\(^{-1}\) ही रहती है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा \(2.7\) J ही रहती है।
इस परिणाम का अर्थ है कि भीतर की ओर बल ने स्टॉपर के वेग की दिशा में काफी परिवर्तन किया है, लेकिन उसमें कोई शुद्ध ऊर्जा स्थानांतरित नहीं की है।
05त्वरण का अर्थ अपने-आप कार्य होना क्यों नहीं है
विद्यार्थी अक्सर इस प्रकार तर्क करते हैं:
बल है, इसलिए त्वरण है। यदि त्वरण है, तो वस्तु को ऊर्जा अवश्य प्राप्त होगी।
पहला चरण सही है। दूसरा नहीं।
त्वरण का अर्थ है कि वेग बदल रहा है। वेग दो तरह से बदल सकता है:
- उसका परिमाण बदल सकता है, अर्थात चाल बदलती है;
- उसकी दिशा बदल सकती है।
समान वृत्तीय गति में अभिकेन्द्रीय त्वरण केवल दूसरा परिवर्तन करता है।
यदि आप त्वरण को त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय घटकों में बाँटें, तो यह अंतर और भी स्पष्ट हो जाता है।
त्रिज्यीय घटक दिशा बदलता है। स्पर्शरेखीय घटक चाल बदलता है।
इसलिए:
| घटक | दिशा | मुख्य प्रभाव |
|---|---|---|
| त्रिज्यीय या अभिकेन्द्रीय | केंद्र की ओर | वेग की दिशा बदलता है |
| स्पर्शरेखीय | गति की दिशा में या उसके विपरीत | चाल बदलता है |
| शुद्ध समान वृत्तीय गति | केवल त्रिज्यीय | चाल स्थिर रहती है |
इससे परीक्षा के लिए एक उपयोगी निर्णय नियम मिलता है: यदि वस्तु एक निश्चित वृत्त में चल रही है लेकिन उसकी चाल बदल रही है, तो परिणामी बल में त्रिज्यीय घटक के साथ एक स्पर्शरेखीय घटक भी अवश्य होना चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण: वस्तु वृत्त पर चलते हुए तेज हो रही है
एक \(1.5\) kg की वस्तु \(3.0\) m त्रिज्या के वृत्त पर चलती है। किसी क्षण उसकी चाल \(4.0\) m s\(^{-1}\) है, और उसका स्पर्शरेखीय त्वरण \(2.0\) m s\(^{-2}\) है। त्रिज्यीय बल घटक, स्पर्शरेखीय बल घटक और वह तात्क्षणिक दर ज्ञात करें जिस पर परिणामी बल कार्य कर रहा है।
चरण 1
\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{(4.0)^2}{3.0} =5.33\text{ m s}^{-2} \]
चरण 2
\[ F_r=ma_r =(1.5)(5.33) =8.0\text{ N} \]
यह \(8.0\) N का घटक केंद्र की ओर है। यह वेग की दिशा बदलता है, लेकिन तात्क्षणिक रूप से कोई कार्य नहीं करता।
चरण 3
\[ F_t=ma_t =(1.5)(2.0) =3.0\text{ N} \]
वस्तु की चाल बढ़ रही है, इसलिए यह घटक गति की दिशा में है।
चरण 4
शक्ति हमें बताती है कि कार्य कितनी तेजी से किया जा रहा है। वेग के समानांतर बल घटक के लिए,
\[ P=F_tv \]
जहाँ \(P\) शक्ति है, वाट (W) में।
इसलिए,
\[ P=(3.0)(4.0)=12\text{ W} \]
उस क्षण परिणामी बल वस्तु को प्रत्येक सेकंड \(12\) J ऊर्जा स्थानांतरित कर रहा है।
महत्वपूर्ण बात यह है कि \(8.0\) N का अभिकेन्द्रीय घटक अभी भी कोई कार्य नहीं करता। बढ़ती हुई गतिज ऊर्जा के लिए \(3.0\) N का स्पर्शरेखीय घटक जिम्मेदार है।
06भीतर की ओर का बल कब कार्य करना शुरू करता है?
“अभिकेन्द्रीय बल कोई कार्य नहीं करता” यह कथन एक ऐसी शर्त पर निर्भर है जिसे विद्यार्थी कभी-कभी भूल जाते हैं: भीतर की ओर का बल वस्तु के वेग के लंबवत होना चाहिए।
निश्चित वृत्त पर आदर्श गति में यह शर्त निश्चित रूप से पूरी होती है क्योंकि वेग वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
त्रिज्या बदलें, तो स्थिति भी बदल सकती है।
कल्पना करें कि घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर एक पक रखा है जो एक डोरी से जुड़ा है, और वह डोरी केंद्र पर बने एक छेद से गुजरती है। जब तक पक स्थिर त्रिज्या वाले वृत्त पर घूमता है, उसका वेग वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। तनाव बल त्रिज्यीय है, इसलिए तनाव बल कोई कार्य नहीं करता।
अब कोई व्यक्ति डोरी को छेद से नीचे की ओर खींचता है।
पक अब वृत्त के चारों ओर घूमने के साथ-साथ भीतर की ओर भी चलने लगता है।
अब उसके वेग के दो घटक हैं:
- छेद के चारों ओर एक स्पर्शरेखीय घटक, और
- छेद की ओर एक त्रिज्यीय घटक।
तनाव बल अभी भी भीतर की ओर है, लेकिन अब वह कुल वेग के लंबवत नहीं है। इसलिए वह अब धनात्मक कार्य कर सकता है।
इसी कारण “भीतर की ओर बल का अर्थ शून्य कार्य है” एक सुरक्षित नियम नहीं है।
सुरक्षित नियम यह है:
कोई बल तब तात्क्षणिक रूप से शून्य कार्य करता है जब वह वस्तु के तात्क्षणिक वेग के लंबवत हो।
शक्ति के लिए यही विचार इस प्रकार लिखा जाता है
\[ P=\vec F\cdot\vec v \]
यदि बल और वेग एक-दूसरे के लंबवत हैं, तो डॉट गुणनफल शून्य है। यदि वेग का कोई भाग बल की दिशा में है, तो शक्ति शून्य नहीं होगी।
07परीक्षा में निर्णय लेने का सबसे तेज तरीका
जब किसी प्रश्न में कार्य और वृत्तीय गति दोनों हों, तो कोई नारा याद करने के बजाय इन शर्तों की जाँच करें।
- क्या त्रिज्या स्थिर है?
- क्या चाल स्थिर है?
- क्या जिस बल का आप विश्लेषण कर रहे हैं वह पूरी तरह त्रिज्यीय है?
- क्या वह बल तात्क्षणिक वेग के लंबवत है?
आदर्श समान वृत्तीय गति में चारों उत्तर हाँ हैं। त्रिज्यीय परिणामी बल कोई कार्य नहीं करता।
यदि चाल बदलती है, तो स्पर्शरेखीय बल घटक खोजें।
यदि त्रिज्या बदलती है, तो वेग में त्रिज्यीय घटक आ सकता है, इसलिए कोई त्रिज्यीय बल भी कार्य कर सकता है।
यदि कई वास्तविक बल कार्य कर रहे हों, तो केवल इसलिए यह न मानें कि प्रत्येक बल अलग-अलग शून्य कार्य करता है क्योंकि कुल चाल स्थिर है।
08प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक \(0.75\) kg का द्रव्यमान \(1.5\) m त्रिज्या के क्षैतिज वृत्त में \(6.0\) m s\(^{-1}\) की स्थिर चाल से चलता है।
गणना करें:
a. अभिकेन्द्रीय बल, और
b. आधा चक्कर पूरा करने के दौरान अभिकेन्द्रीय बल द्वारा किया गया कार्य।
समाधान 1
अभिकेन्द्रीय बल \(18\) N भीतर की ओर है, और आधे चक्कर के दौरान यह \(0\) J कार्य करता है।
भाग a के लिए,
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]
भाग b के लिए, तात्क्षणिक गति वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होती है, जबकि बल त्रिज्यीय होता है। पूरी गति के दौरान वे एक-दूसरे के लंबवत रहते हैं।
इसलिए कार्य में प्रत्येक छोटा योगदान शून्य है, अतः
\[ W=0\text{ J} \]
एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि आधे वृत्त की दूरी निकालकर उसे \(18\) N से गुणा कर दिया जाए। ऐसा करने पर यह तथ्य अनदेखा हो जाएगा कि कार्य प्रत्येक विस्थापन के सापेक्ष बल की दिशा पर निर्भर करता है और बल की दिशा लगातार बदलती रहती है।
वस्तु की गतिज ऊर्जा भी इस परिणाम की पुष्टि करती है:
\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]
चाल नहीं बदलती, इसलिए गतिज ऊर्जा \(13.5\) J पर बनी रहती है।
प्रश्न 2
एक \(500\) kg का उपग्रह \(7.0\times10^6\) m त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\) की स्थिर चाल से चलता है। मान लें कि गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र बल है।
a. गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण ज्ञात करें।
b. आधी कक्षा के दौरान गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य निर्धारित करें।
c. एक विद्यार्थी तर्क देता है कि आधी कक्षा के बाद उपग्रह का कुल विस्थापन केंद्र से होकर गुजरने वाली दिशा में है, जो लगभग उसके प्रारंभिक गुरुत्वाकर्षण बल की दिशा के समान है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण ने धनात्मक कार्य किया होगा। इस तर्क की त्रुटि समझाइए।
समाधान 2
गुरुत्वाकर्षण बल का परिमाण लगभग \(4.0\times10^3\) N है, लेकिन आधी कक्षा के दौरान यह \(0\) J कार्य करता है।
भाग a के लिए,
\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]
भाग b के लिए, उपग्रह की चाल स्थिर है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा नहीं बदलती।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,
\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]
गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र बल है, इसलिए
\[ W_g=0\text{ J} \]
भाग c के लिए, विद्यार्थी का तर्क गलत तरीके से गुरुत्वाकर्षण को ऐसा मानता है मानो आधी कक्षा के दौरान उसकी दिशा स्थिर रही हो।
ऐसा नहीं है। गुरुत्वाकर्षण हमेशा उपग्रह से पृथ्वी के केंद्र की ओर होता है, इसलिए उपग्रह की गति के साथ बल सदिश लगातार घूमता रहता है।
जब पूरे पथ के दौरान बल की दिशा बदलती रहती है, तब प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक के कुल विस्थापन को प्रारंभिक बल सदिश के साथ जोड़कर एक ही \(W=Fs\cos\theta\) गणना नहीं की जा सकती।
हर क्षण गुरुत्वाकर्षण त्रिज्यीय होता है और उपग्रह का वेग स्पर्शरेखीय होता है। उनका डॉट गुणनफल शून्य है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण कोई कार्य नहीं करता।
ऊर्जा की एक दूसरी जाँच भी यही निष्कर्ष देती है: कक्षीय त्रिज्या स्थिर है, इसलिए उपग्रह की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा स्थिर है, और उसकी चाल स्थिर है, इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा भी स्थिर है।
प्रश्न 3
एक \(2.0\) kg की वस्तु \(4.0\) m त्रिज्या के वृत्त पर \(4.0\) m s\(^{-1}\) की स्थिर चाल से चलती है।
उस पर दो वास्तविक बल, A और B, कार्य करते हैं। हर क्षण वस्तु के सापेक्ष:
- बल A का \(6.0\) N का भीतर की ओर घटक और \(8.0\) N का आगे की ओर स्पर्शरेखीय घटक है;
- बल B के वे घटक हैं जो समान वृत्तीय गति बनाए रखने के लिए आवश्यक हैं।
निर्धारित करें:
a. बल B के त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय घटक,
b. प्रत्येक बल द्वारा दी जाने वाली तात्क्षणिक शक्ति, और
c. क्या यह कथन सही है कि “कोई भी बल कार्य नहीं करता क्योंकि गति समान वृत्तीय गति है”।
समाधान 3
बल B में \(2.0\) N का भीतर की ओर घटक और \(8.0\) N का पीछे की ओर स्पर्शरेखीय घटक होना चाहिए; बल A \(+32\) W देता है, बल B \(-32\) W देता है, और यह कथन कि कोई भी बल कार्य नहीं करता, गलत है।
पहले आवश्यक परिणामी त्रिज्यीय बल ज्ञात करें:
\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]
बल A पहले ही \(6.0\) N भीतर की ओर देता है, इसलिए बल B को शेष
\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N भीतर की ओर} \]
देना होगा।
समान वृत्तीय गति के लिए शुद्ध स्पर्शरेखीय बल भी शून्य होना चाहिए क्योंकि चाल स्थिर है।
बल A का \(8.0\) N आगे की ओर स्पर्शरेखीय घटक है, इसलिए बल B का \(8.0\) N पीछे की ओर स्पर्शरेखीय घटक होना चाहिए।
बल A के लिए केवल उसका स्पर्शरेखीय घटक शक्ति में योगदान देता है:
\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]
चिह्न धनात्मक है क्योंकि यह घटक गति की दिशा में है।
बल B के लिए,
\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]
उसका स्पर्शरेखीय घटक उसी दर से ऊर्जा हटाता है।
इसलिए,
\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]
त्रिज्यीय घटक कोई कार्य नहीं करते क्योंकि वे वेग के लंबवत हैं।
आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि “समान वृत्तीय गति” सुनकर घोषित कर दिया जाए कि हर बल को शून्य कार्य करना चाहिए। वास्तव में समान वृत्तीय गति केवल यह सुनिश्चित करती है कि शुद्ध कार्य शून्य हो। अलग-अलग बल विपरीत दिशाओं में ऊर्जा स्थानांतरित कर सकते हैं, जबकि कुल गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है।
प्रश्न 4
एक \(0.50\) kg की मनका \(1.20\) m त्रिज्या वाले एक चिकने ऊर्ध्वाधर वृत्तीय ट्रैक पर स्थिर चाल से चलाई जाती है। आवश्यकता पड़ने पर एक मोटर ट्रैक की स्पर्शरेखा की दिशा में बल लगा सकती है। पूरे पथ के दौरान मनके की चाल \(4.0\) m s\(^{-1}\) रहती है।
\(g=9.8\) m s\(^{-2}\) लें।
a. जब मनका वृत्त के निचले बिंदु से ऊपरी बिंदु तक जाता है, तब गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें।
b. उसी यात्रा में मोटर द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें।
c. ट्रैक का अभिलंब बल कितना कार्य करता है?
d. वृत्त के दाएँ ओर, जब मनका ऊपर की ओर चल रहा हो, तब मोटर को कितना स्पर्शरेखीय बल लगाना चाहिए?
e. पूरे एक चक्कर में मोटर द्वारा किया गया शुद्ध कार्य शून्य है। क्या इसका अर्थ है कि मोटर कभी भी मनके को ऊर्जा नहीं देती या उससे ऊर्जा नहीं लेती?
समाधान 4
नीचे से ऊपर तक गुरुत्वाकर्षण \(-11.8\) J कार्य करता है, मोटर \(+11.8\) J कार्य करती है, अभिलंब बल \(0\) J कार्य करता है, और वृत्त के दाएँ ओर मोटर को ट्रैक के साथ ऊपर की ओर \(4.9\) N बल देना चाहिए। पूरे चक्कर में मोटर का शून्य शुद्ध कार्य यह अर्थ नहीं रखता कि हर क्षण ऊर्जा स्थानांतरण शून्य है।
नीचे से ऊपर तक, मनका वृत्त के व्यास के बराबर ऊँचाई तक उठता है:
\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन का ऋणात्मक मान है:
\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]
इसलिए,
\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]
मनके की चाल स्थिर है, इसलिए
\[ \Delta K=0 \]
और इसलिए कुल कार्य शून्य होना चाहिए।
अभिलंब बल हमेशा ट्रैक के साथ मनके की तात्क्षणिक गति के लंबवत होता है, इसलिए
\[ W_N=0 \]
अतः मोटर को गुरुत्वाकर्षण द्वारा हटाई गई ऊर्जा की ठीक उतनी ही मात्रा वापस देनी होगी:
\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]
\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]
इसलिए
\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]
वृत्त के दाएँ ओर मनका ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर चल रहा है। गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है, यानी गति की बिल्कुल विपरीत दिशा में।
चाल को स्थिर रखने के लिए शुद्ध स्पर्शरेखीय बल शून्य होना चाहिए। इसलिए मोटर को मनके के भार के बराबर ऊपर की ओर स्पर्शरेखीय बल देना होगा:
\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]
लूप के नीचे उतरते आधे भाग में गुरुत्वाकर्षण धनात्मक कार्य करता है। मनके को तेज होने से रोकने के लिए मोटर को ऋणात्मक कार्य करके वह ऊर्जा हटानी पड़ती है।
पूरे चक्कर में ये धनात्मक और ऋणात्मक योगदान एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं।
आकर्षक लेकिन गलत निष्कर्ष यह है कि स्थिर चाल का अर्थ है कि हर बल शून्य कार्य करता है। स्थिर चाल के लिए केवल कुल कार्य का शून्य होना आवश्यक है। इस मामले में गुरुत्वाकर्षण और मोटर मनके के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं, जबकि त्रिज्यीय अभिलंब बल कोई कार्य नहीं करता।
प्रश्न 5
एक \(0.40\) kg का पक घर्षणरहित क्षैतिज मेज पर चलता है और एक डोरी से जुड़ा है जो मेज के छोटे-से छेद से होकर गुजरती है।
प्रारंभ में पक छेद के चारों ओर घूमता है। फिर एक प्रयोगकर्ता डोरी को नीचे की ओर खींचता है। किसी क्षण:
- पक का स्पर्शरेखीय वेग \(3.0\) m s\(^{-1}\) है,
- उसका त्रिज्यीय वेग \(0.25\) m s\(^{-1}\) भीतर की ओर है, और
- डोरी में तनाव \(18\) N भीतर की ओर है।
अगले \(0.12\) m के भीतर की ओर त्रिज्यीय विस्थापन के दौरान तनाव \(18\) N से \(30\) N तक रैखिक रूप से बढ़ता है। मान लें कि पक पर कार्य करने वाला एकमात्र बल तनाव बल है।
a. प्रारंभिक क्षण पर तनाव द्वारा दी जाने वाली तात्क्षणिक शक्ति ज्ञात करें।
b. \(0.12\) m भीतर की ओर गति के दौरान तनाव द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें।
c. पक की अंतिम चाल ज्ञात करें।
d. समझाइए कि यह परिणाम इस कथन का खंडन क्यों नहीं करता कि अभिकेन्द्रीय बल कोई कार्य नहीं करता।
समाधान 5
प्रारंभ में तनाव बल \(4.5\) W शक्ति देता है, भीतर की ओर गति के दौरान यह \(2.88\) J धनात्मक कार्य करता है, और पक की अंतिम चाल लगभग \(4.84\) m s\(^{-1}\) है। इसमें कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि पक अब स्थिर त्रिज्या वाली समान वृत्तीय गति में नहीं है।
प्रारंभिक क्षण पर तनाव त्रिज्यीय रूप से भीतर की ओर है। अब पक में \(0.25\) m s\(^{-1}\) का भीतर की ओर त्रिज्यीय वेग घटक है।
केवल बल की दिशा में स्थित वेग घटक ही शक्ति में योगदान देता है, इसलिए
\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]
शक्ति धनात्मक है क्योंकि बल और त्रिज्यीय गति एक ही दिशा में हैं।
अगले \(0.12\) m में तनाव \(18\) N से \(30\) N तक रैखिक रूप से बदलता है। इसलिए उस विस्थापन पर इसका औसत मान है
\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]
बल और त्रिज्यीय विस्थापन एक ही दिशा में हैं, इसलिए
\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,
\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]
अब प्रारंभिक कुल चाल ज्ञात करें। त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय वेग घटक एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए
\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा है
\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]
इसलिए,
\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]
\(K_f=\frac12mv_f^2\) का उपयोग करते हुए,
\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]
\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]
\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]
आकर्षक लेकिन गलत उत्तर \(0\) J है, क्योंकि तनाव “केंद्र की ओर” है। यह केवल तभी सही होता जब पक स्थिर वृत्त पर शुद्ध रूप से स्पर्शरेखीय वेग के साथ चल रहा होता।
जैसे ही डोरी भीतर की ओर खींची जाती है, पक में त्रिज्यीय गति आ जाती है। इसलिए तनाव बल अब पक के कुल वेग के लंबवत नहीं रहता।
किसी बल को “भीतर की ओर” कहने मात्र से उसका कार्य अपने-आप शून्य नहीं हो जाता। शून्य-कार्य वाला परिणाम आदर्श, स्थिर-त्रिज्या वृत्तीय गति में बल और वेग के लंबवत होने से आता है।
09इससे आगे आप क्या विश्लेषण कर सकते हैं
उपयोगी अंतर वास्तव में “वृत्तीय बल बनाम साधारण बल” का नहीं है। यह त्रिज्यीय बनाम स्पर्शरेखीय का अंतर है।
त्रिज्यीय बल घटक चाल बदले बिना वेग सदिश को मोड़ सकता है। स्पर्शरेखीय घटक चाल बदलता है और इसलिए गतिज ऊर्जा भी बदलता है। यदि स्वयं त्रिज्या बदलने लगे, तो त्रिज्यीय बल भी ऊर्जा स्थानांतरित कर सकता है क्योंकि अब वस्तु में त्रिज्यीय गति भी होती है।
यही विभाजन आपको अधिक कठिन वृत्तीय-गति समस्याओं के लिए चाहिए, जिनमें बदलती चाल, ऊर्ध्वाधर वृत्त, कक्षीय गति और ऐसी स्थितियाँ शामिल हैं जहाँ कई वास्तविक बल गति में योगदान देते हैं।