चुंबकीय क्षेत्र मॉडल: क्षेत्र रेखाओं से क्षेत्र की तीव्रता तक
जानें कि चुंबकीय क्षेत्र-रेखा आरेख दिशा और सापेक्ष तीव्रता कैसे दिखाते हैं, और इन्हें चुंबकीय क्षेत्र की मापी व गणना की गई तीव्रता से कैसे जोड़ा जाता है।
दो विद्यार्थी एक ही दंड चुंबक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का रेखाचित्र बनाते हैं। एक आठ क्षेत्र रेखाएँ बनाता है। दूसरा बीस। क्या दूसरे विद्यार्थी ने अनजाने में अधिक शक्तिशाली चुंबक बना दिया है?
नहीं। पृष्ठ पर रेखाओं की संख्या कुछ हद तक चित्र बनाने का चुनाव है। लेकिन उन रेखाओं की व्यवस्था फिर भी हमें वास्तविक क्षेत्र के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बताती है।
यही वह समस्या है जिसे चुंबकीय क्षेत्र मॉडलों को हल करना होता है। क्षेत्र-रेखा आरेख दिशा, आकार और सापेक्ष तीव्रता दिखाने के लिए बहुत उपयोगी है। यह अपने-आप आपको यह नहीं बताता कि क्षेत्र \(3.2 \times 10^{-3}\ \text{T}\) है। उसके लिए आपको मापन या गणना की आवश्यकता होती है।
महत्वपूर्ण कौशल यह है कि इन दोनों वर्णनों के बीच सही ढंग से जा सकें, बिना किसी एक को वास्तविकता से अधिक भौतिक मान लेने के।
01क्षेत्र-रेखा आरेख वास्तव में आपको क्या बता रहा है
कल्पना कीजिए कि आप किसी चुंबक के चारों ओर अलग-अलग बिंदुओं पर एक बहुत छोटा कंपास रखते हैं। हर स्थिति पर कंपास एक विशेष दिशा में स्थिर हो जाता है।
अब कल्पना कीजिए कि जहाँ भी आप कंपास रखते हैं, वहाँ एक छोटा तीर बनाते हैं। यदि आप उन तीरों को जोड़ दें जो एक-दूसरे की दिशा में सहज रूप से आगे बढ़ते हैं, तो आपको चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ मिलती हैं।
इसलिए ये रेखाएँ एक सदिश क्षेत्र का मॉडल हैं। हर उस बिंदु पर जहाँ चुंबकीय क्षेत्र शून्य नहीं है, क्षेत्र के पास:
- एक दिशा, और
- एक परिमाण, या तीव्रता होती है।
चुंबकीय क्षेत्र सदिश को \(\vec B\) लिखा जाता है। इसके परिमाण को \(B\) लिखा जाता है।
दिशा स्पर्शरेखा से मिलती है
मान लीजिए आप किसी वक्र क्षेत्र रेखा पर एक बिंदु चुनते हैं। वहाँ चुंबकीय क्षेत्र किस दिशा में होगा?
निकटतम चुंबकीय ध्रुव की ओर संकेत न करें। इसके बजाय, उस ठीक बिंदु पर वक्र को छूता हुआ एक छोटा तीर कल्पना करें। चुंबकीय क्षेत्र उस स्पर्शरेखा की दिशा में होता है।
स्थायी चुंबक के लिए, चुंबक के बाहर क्षेत्र-रेखा के तीर उत्तर ध्रुव से दक्षिण ध्रुव की ओर संकेत करते हैं।
धारा-वाहित सीधे तार के चारों ओर रेखाएँ वृत्त बनाती हैं। उनकी दिशा दाएँ हाथ की पकड़ के नियम से मिलती है। आप इस ज्यामिति को धारा-वाहित तार के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र: HSC Physics में दोहरा सकते हैं।
रेखाओं के बीच की दूरी सापेक्ष क्षेत्र-तीव्रता दर्शाती है
अब चुंबक के ध्रुव के पास स्थित बिंदु P की तुलना दूर स्थित बिंदु Q से करें।
आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए कि चुंबकीय-क्षेत्र सेंसर सामान्यतः क्या दिखाएगा। क्या \(B\), P पर अधिक होगा या Q पर?
P पर। एक सुसंगत क्षेत्र-रेखा आरेख में पास-पास की रेखाएँ अधिक प्रबल क्षेत्र को दर्शाती हैं, जबकि दूर-दूर स्थित रेखाएँ कमज़ोर क्षेत्र को दर्शाती हैं।
इससे हमें एक गुणात्मक मॉडल मिलता है:
| क्षेत्र-रेखा की विशेषता | भौतिक अर्थ |
|---|---|
| रेखाएँ पास-पास | अपेक्षाकृत बड़ा \(B\) |
| रेखाएँ दूर-दूर | अपेक्षाकृत छोटा \(B\) |
| सीधी, समानांतर और लगभग समान दूरी वाली रेखाएँ | लगभग एकसमान क्षेत्र |
| वक्र रेखाएँ | स्थिति के साथ क्षेत्र की दिशा बदलती है |
| किसी रेखा पर तीर | \(\vec B\) की दिशा |
| किसी सामान्य बिंदु पर क्षेत्र रेखाएँ एक-दूसरे को नहीं काटतीं | उस बिंदु पर केवल एक क्षेत्र-दिशा होती है |
सापेक्ष शब्द महत्वपूर्ण है।
यदि P पर रेखाएँ Q की तुलना में स्पष्ट रूप से अधिक सघन हैं, तो आप उचित रूप से निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि \(B_P>B_Q\)। सामान्यतः केवल इसलिए यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता कि \(B_P=3B_Q\), क्योंकि चित्र में प्रति सेंटीमीटर लगभग तीन गुना रेखाएँ दिखाई देती हैं।
02क्षेत्र रेखाएँ चुंबकीय स्पेगेटी नहीं हैं
एक आकर्षक कल्पना यह हो सकती है कि चुंबक किसी तरह अंतरिक्ष में अदृश्य धागे छोड़ता है और अधिक शक्तिशाली चुंबक में अधिक धागे होते हैं।
ऐसा नहीं है।
क्षेत्र रेखाएँ हमारी बनाई हुई रेखाएँ हैं, जो उस क्षेत्र को दर्शाने में मदद करती हैं जो पूरे अंतरिक्ष में लगातार मौजूद रहता है। आप अपने रेखाचित्र में पाँच और रेखाएँ जोड़ सकते हैं, और इससे चुंबक बिल्कुल नहीं बदलेगा।
एक उपयोगी तुलना किसी पर्वत के समोच्च मानचित्र से की जा सकती है। पास-पास की समोच्च रेखाएँ बताती हैं कि भूभाग तेजी से बदल रहा है, उसी तरह सामान्य चित्रण परंपरा में पास-पास की क्षेत्र रेखाएँ प्रबल चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाती हैं।
लेकिन यह तुलना एक महत्वपूर्ण बिंदु पर टूट जाती है। वास्तविक स्थलाकृतिक समोच्च रेखाओं पर सामान्यतः ऊँचाइयाँ लिखी होती हैं, जैसे 200 m या 250 m। सामान्य HSC चुंबकीय क्षेत्र-रेखा रेखाचित्र में प्रत्येक रेखा के साथ कोई संख्यात्मक मान नहीं दिया जाता।
जब तक किसी आरेख को विशेष रूप से कैलिब्रेट न किया गया हो, रेखा घनत्व संख्यात्मक नहीं बल्कि गुणात्मक होता है।
यह अंतर इस विषय की सबसे सामान्य गलतियों में से एक को रोकता है:
अधिक रेखाएँ बनाई गई हों, तो इसका अर्थ आवश्यक रूप से अधिक चुंबकीय क्षेत्र नहीं होता। एक ही सुसंगत क्षेत्र मानचित्र में अधिक पास-पास की रेखाएँ अधिक चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाती हैं।
03चित्र को संख्या में बदलना
चुंबकीय क्षेत्र के मात्रात्मक मॉडल के लिए हमें \(B\) का वास्तविक मान चाहिए।
HSC Physics में \(B\) को सामान्यतः टेस्ला में मापा जाता है, जिसका प्रतीक \(\text{T}\) है। अधिक सटीक रूप से, \(B\) चुंबकीय फ्लक्स घनत्व है, हालांकि HSC के प्रश्न अक्सर इसे केवल चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता कहते हैं।
उपयोगी छोटी इकाइयाँ हैं:
\[
1\ \text{mT}=10^{-3}\ \text{T}
\]
और
\[
1\ \mu\text{T}=10^{-6}\ \text{T}.
\]
क्षेत्र का संख्यात्मक मान प्राप्त करने के दो मुख्य तरीके हैं:
- उसका मापन करना, या
- किसी मॉडल से उसकी गणना करना।
\(B\) का मापन
हॉल प्रोब किसी विशेष स्थान पर चुंबकीय क्षेत्र को माप सकता है।
मान लीजिए आप हॉल प्रोब को चुंबक के किसी एक ध्रुव से दूर ले जाते हैं। क्षेत्र-रेखा रेखाचित्र से अनुमान मिलता है कि रेखाएँ फैलने के साथ क्षेत्र कमज़ोर होना चाहिए। हॉल प्रोब इस गुणात्मक अनुमान को संख्याओं में बदल देता है।
आपको इस प्रकार के आँकड़े मिल सकते हैं:
| स्थिति | मापा गया \(B\) |
|---|---|
| ध्रुव के पास | \(4.8\ \text{mT}\) |
| और दूर | \(2.1\ \text{mT}\) |
| बहुत अधिक दूर | \(0.7\ \text{mT}\) |
आरेख और मापन, दोनों एक ही क्षेत्र का अलग-अलग स्तर के विवरण पर वर्णन कर रहे हैं।
एक प्रयोगात्मक विवरण याद रखना उपयोगी है। हॉल सेंसर किसी विशेष अक्ष के अनुदिश चुंबकीय क्षेत्र के घटक के प्रति संवेदनशील हो सकता है। इसलिए उसकी अभिविन्यास दिशा महत्वपूर्ण होती है। असामान्य रूप से छोटा मापन आवश्यक रूप से यह नहीं बताता कि क्षेत्र स्वयं कमज़ोर है; हो सकता है कि प्रोब ठीक से संरेखित न हो।
04लंबे सीधे तार के चारों ओर क्षेत्र की गणना
कुछ क्षेत्र आकृतियों के सरल गणितीय मॉडल होते हैं।
धारा \(I\) वहन करने वाले लंबे, सीधे तार के लिए, तार से लंबवत दूरी \(r\) पर चुंबकीय क्षेत्र है
\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]
जहाँ:
- \(B\) टेस्ला, \(\text{T}\), में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है,
- \(I\) एम्पियर, \(\text{A}\), में धारा है,
- \(r\) मीटर, \(\text{m}\), में तार से लंबवत दूरी है, और
- \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\) निर्वात की चुंबकीय पारगम्यता है।
कोई भी गणना करने से पहले देखें कि समीकरण क्या कहता है।
नियत धारा के लिए,
\[
B\propto\frac{1}{r}.
\]
इसलिए यदि आप तार से अपनी दूरी दुगुनी कर दें, तो अनुमान लगाइए कि \(B\) के साथ क्या होगा।
यह आधा हो जाएगा।
यह बात आपके गुणात्मक रेखाचित्र में भी दिखाई देनी चाहिए। तार के पास बनाए गए वृत्ताकार क्षेत्र रेखाओं वाले क्षेत्र, तार से अधिक दूर वाले क्षेत्रों की तुलना में अधिक प्रबल क्षेत्र को दर्शाने चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण: सीधे तार के पास क्षेत्र की तीव्रता
एक लंबा सीधा तार \(6.0\ \text{A}\) धारा वहन करता है। तार से \(4.0\ \text{cm}\) दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता की गणना कीजिए। फिर \(8.0\ \text{cm}\) पर क्षेत्र की तीव्रता का अनुमान लगाइए।
चरण 1
\[
r=4.0\ \text{cm}=0.040\ \text{m}.
\]
चरण 2
\[
\begin{aligned}
B&=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}\\
&=\frac{(4\pi\times10^{-7})(6.0)}
{2\pi(0.040)}\\
&=3.0\times10^{-5}\ \text{T}.
\end{aligned}
\]
इसलिए क्षेत्र है
\[
B=30\ \mu\text{T}.
\]
चरण 3
\(8.0\ \text{cm}\) पर \(r\) दुगुना हो गया है। क्योंकि \(B\propto 1/r\),
\[
B=\frac{30\ \mu\text{T}}{2}=15\ \mu\text{T}.
\]
यह परिणाम क्षेत्र-रेखा मॉडल से मेल खाता है: तार से दूर जाने पर क्षेत्र कमज़ोर होता जाता है। आदर्श लंबे सीधे तार के लिए संख्यात्मक गणना हमें ठीक-ठीक बताती है कि क्षेत्र कितना कमज़ोर होता है।
05सोलेनॉइड के भीतर क्षेत्र की गणना
एक लंबा सोलेनॉइड एक और विशेष रूप से उपयोगी क्षेत्र-पैटर्न उत्पन्न करता है।
केंद्र के पास क्षेत्र रेखाएँ लगभग सीधी, समानांतर और समान दूरी पर होती हैं। यह लगभग एकसमान चुंबकीय क्षेत्र का दृश्य संकेत है।
वायु में एक आदर्श लंबे सोलेनॉइड के लिए,
\[
B=\mu_0 nI,
\]
जहाँ \(n\) प्रति मीटर कुंडलियों की संख्या है।
चूँकि
\[
n=\frac{N}{L},
\]
इसलिए हम यह भी लिख सकते हैं
\[
B=\mu_0\frac{N}{L}I,
\]
जहाँ:
- \(N\) कुंडलियों की कुल संख्या है,
- \(L\) मीटर में सोलेनॉइड की लंबाई है, और
- \(I\) एम्पियर में धारा है।
यह मॉडल ऐसी बात का अनुमान लगाता है जिसकी ओर क्षेत्र-रेखा रेखाचित्र केवल संकेत करता है। धारा बढ़ाने से \(B\) बढ़ता है। प्रति मीटर कुंडलियों की संख्या बढ़ाने से भी \(B\) बढ़ता है।
क्षेत्र-पैटर्न का विस्तृत वर्णन सोलेनॉइड के भीतर चुंबकीय क्षेत्र: HSC Physics की व्याख्या में दिया गया है।
यहाँ एक महत्वपूर्ण सीमा है। समीकरण एक लंबे आदर्श सोलेनॉइड को मानता है और उसके केंद्र के पास सबसे अच्छा काम करता है। वास्तविक सोलेनॉइड के सिरे होते हैं, इसलिए उन सिरों के पास उसका क्षेत्र कम एकसमान हो जाता है।
हल किया हुआ उदाहरण: सोलेनॉइड मॉडल की मापन से तुलना
एक सोलेनॉइड में \(1200\) कुंडलियाँ हैं, उसकी लंबाई \(0.60\ \text{m}\) है, और उसमें \(1.8\ \text{A}\) धारा बहती है। उसके केंद्र के पास आदर्श चुंबकीय क्षेत्र की गणना कीजिए। एक हॉल प्रोब \(4.25\ \text{mT}\) मापता है। मापन की मॉडल से तुलना कीजिए।
चरण 1
\[
n=\frac{N}{L}
=\frac{1200}{0.60}
=2000\ \text{m}^{-1}.
\]
चरण 2
\[
\begin{aligned}
B&=\mu_0 nI\\
&=(4\pi\times10^{-7})(2000)(1.8)\\
&=4.52\times10^{-3}\ \text{T}.
\end{aligned}
\]
अतः,
\[
B_{\text{आदर्श}}=4.52\ \text{mT}.
\]
चरण 3
हॉल प्रोब देता है
\[
B_{\text{मापा गया}}=4.25\ \text{mT}.
\]
अंतर है
\[
4.52-4.25=0.27\ \text{mT}.
\]
आदर्श अनुमान के सापेक्ष यह लगभग
\[
\frac{0.27}{4.52}\times100\%\approx6.0\%.
\]
मापा गया क्षेत्र आदर्श मान से लगभग \(6\%\) कम है।
इसका यह अर्थ अपने-आप नहीं है कि प्रयोग गलत है। समीकरण एक आदर्श, पर्याप्त रूप से लंबे सोलेनॉइड और सिरों से अच्छी तरह दूर किए गए मापन को मानता है। वास्तविक कुंडली की लंबाई सीमित होती है, उसकी ज्यामिति पूर्ण नहीं होती, और मापन में अनिश्चितता होती है।
क्षेत्र-रेखा मॉडल, समीकरण और मापन को अपने व्यापक अनुमान में सहमत होना चाहिए, जबकि समीकरण की मान्यताओं के कारण उत्पन्न उचित अंतरों की गुंजाइश भी बनी रहनी चाहिए।
06जब क्षेत्र एक से अधिक स्रोतों से आता है
वास्तविक चुंबकीय क्षेत्र अक्सर एक-दूसरे पर अध्यारोपित होते हैं।
मान लीजिए दो स्रोत एक ही बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र \(\vec B_1\) और \(\vec B_2\) उत्पन्न करते हैं। वास्तविक क्षेत्र केवल वह नहीं होता जो आरेख में अधिक प्रबल दिखाई देता है।
यह सदिश योग होता है:
\[
\vec B_{\text{कुल}}=\vec B_1+\vec B_2.
\]
अब दिशा उतनी ही महत्वपूर्ण है जितना परिमाण।
यदि दो \(3\ \text{mT}\) क्षेत्र एक ही दिशा में हों, तो कुल क्षेत्र \(6\ \text{mT}\) होता है।
यदि वे विपरीत दिशाओं में हों, तो कुल क्षेत्र शून्य होता है।
यह शून्य वास्तविक है, भले ही दोनों स्रोत अलग-अलग अभी भी चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न कर रहे हों। क्षेत्र गायब नहीं हुए हैं; उस स्थान पर उनके सदिश एक-दूसरे को रद्द कर देते हैं।
यहीं मात्रात्मक गणनाएँ ऐसी बात उजागर कर सकती हैं जिसे रेखाचित्र में आसानी से नज़रअंदाज़ किया जा सकता है।
07कैसे तय करें कि कौन-सा मॉडल इस्तेमाल करना है
HSC के लिए एक उपयोगी निर्णय नियम है:
| प्रश्न क्या पूछता है | सबसे अच्छा प्रारंभिक तरीका |
|---|---|
| क्षेत्र किस दिशा में है? | क्षेत्र-रेखा की स्पर्शरेखा, कंपास की दिशा, या दाएँ हाथ का नियम |
| क्षेत्र अपेक्षाकृत कहाँ अधिक प्रबल है? | एक ही सुसंगत आरेख के भीतर क्षेत्र-रेखाओं की दूरी की तुलना करें |
| \(B\) का संख्यात्मक मान क्या है? | उपयुक्त समीकरण या मापन का उपयोग करें |
| दूरी या धारा बदलने पर क्या होता है? | समीकरण से मिलने वाले समानुपाती संबंधों का उपयोग करें |
| कई चुंबकीय क्षेत्र एक साथ कार्य करते हैं | क्षेत्रों को सदिशों की तरह जोड़ें |
| गणना और प्रयोग में थोड़ा अंतर है | मान्यताओं और अनिश्चितता की जाँच करें |
| दो अलग-अलग रेखाचित्रों में रेखाओं की संख्या अलग है | जब तक निरूपण कैलिब्रेट न हो, रेखाओं की संख्या की तुलना न करें |
मुख्य बात गुणात्मक और मात्रात्मक मॉडल में से किसी एक को चुनना नहीं है। सामान्यतः आपको दोनों की आवश्यकता होती है।
रेखाचित्र आपको बताता है कि भौतिक रूप से किस प्रकार का उत्तर उचित है। समीकरण या मापन बताता है कि क्षेत्र वास्तव में कितना बड़ा है।
08सबसे आकर्षक भ्रांति
मान लीजिए किसी सोलेनॉइड के एक आरेख में भीतर छह क्षेत्र रेखाएँ हैं और दूसरे में बारह।
क्या आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरे सोलेनॉइड की चुंबकीय क्षेत्र तीव्रता दुगुनी है?
नहीं।
चित्रकार ने केवल अधिक रेखाएँ बनाई हो सकती हैं।
अब स्थिति बदलें। मान लीजिए दोनों सोलेनॉइड एक ही सावधानी से बनाए गए आरेख में दिखाई देते हैं, जिसमें समान पैमाना और समान रेखा-घनत्व परंपरा का उपयोग किया गया है, और एक सोलेनॉइड के भीतर की रेखाएँ स्पष्ट रूप से अधिक सघन हैं।
तब यह निष्कर्ष निकालना उचित है कि उसका क्षेत्र अधिक प्रबल है।
इस विचार का एक अधिक गहरा रूप भी है। यदि आरेख को स्पष्ट रूप से इस प्रकार बनाया गया हो कि प्रत्येक रेखा चुंबकीय फ्लक्स की समान मात्रा का प्रतिनिधित्व करे और स्थानिक पैमाना ज्ञात हो, तो क्षेत्र-रेखा घनत्व को मात्रात्मक बनाया जा सकता है। सामान्य HSC क्षेत्र रेखाचित्र प्रायः ऐसा कैलिब्रेशन प्रदान नहीं करते।
इसलिए हाथ से बनाई गई दो क्षेत्र रेखाओं के बीच मिलीमीटर की दूरी मापकर उसे टेस्ला में न बदलें। ऐसा करना रेखाचित्र को ऐसी सटीकता देना है जिसका उसने कभी दावा ही नहीं किया।
09प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक स्थायी चुंबक के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र-रेखा आरेख में बिंदु P एक ध्रुव के पास है, जहाँ रेखाएँ सघन हैं, और बिंदु Q उससे दूर है, जहाँ रेखाएँ अधिक दूर-दूर हैं। P पर क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा दाईं ओर संकेत करती है।
P पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा बताइए और P पर क्षेत्र की तीव्रता की तुलना Q पर क्षेत्र की तीव्रता से कीजिए। क्या केवल आरेख का उपयोग करके संख्यात्मक अनुपात \(B_P/B_Q\) की गणना की जा सकती है?
समाधान 1
P पर चुंबकीय क्षेत्र दाईं ओर है और \(B_P>B_Q\), लेकिन किसी अनकैलिब्रेटेड क्षेत्र-रेखा रेखाचित्र से सामान्यतः संख्यात्मक अनुपात \(B_P/B_Q\) निर्धारित नहीं किया जा सकता।
P पर चुंबकीय क्षेत्र की दिशा क्षेत्र रेखा की स्पर्शरेखा के अनुदिश होती है, इसलिए दाईं ओर संकेत करती स्पर्शरेखा \(\vec B\) की दिशा देती है।
P पर रेखाएँ Q की तुलना में अधिक सघन हैं। सामान्य सुसंगत चित्रण परंपरा के अनुसार, यह P पर अधिक प्रबल क्षेत्र को दर्शाता है।
आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि रेखाएँ गिन ली जाएँ या पृष्ठ पर उनकी दूरी मापकर उसे सीधे क्षेत्र की तीव्रताओं के अनुपात में बदल दिया जाए। सामान्य क्षेत्र-रेखा चित्र सापेक्ष तीव्रता बताता है, संख्यात्मक पैमाना नहीं। अतिरिक्त कैलिब्रेशन के बिना हम यह नहीं कह सकते कि P पर क्षेत्र Q की तुलना में ठीक दुगुना, तिगुना या किसी अन्य निश्चित गुणक जितना है।
प्रश्न 2
एक लंबा सीधा ऊर्ध्वाधर तार क्षैतिज बेंच से ऊपर की ओर गुजरता है। एक हॉल प्रोब को उत्तर-दक्षिण दिशा में संरेखित किया गया है और पहले तार से \(4.0\ \text{cm}\) पूर्व में तथा फिर \(4.0\ \text{cm}\) पश्चिम में रखा जाता है। धनात्मक रीडिंग का अर्थ है कि क्षेत्र उत्तर की ओर है।
मापन हैं:
- तार के पूर्व में: \(+55\ \mu\text{T}\),
- तार के पश्चिम में: \(-5\ \mu\text{T}\)।
मान लें कि उत्तर या दक्षिण दिशा में एक समान पृष्ठभूमि चुंबकीय क्षेत्र भी मौजूद है। तार को अनंत लंबा मानें।
निर्धारित कीजिए:
- पृष्ठभूमि क्षेत्र का परिमाण और दिशा,
- \(4.0\ \text{cm}\) पर तार द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र,
- तार में धारा, और
- धारा बेंच के आर-पार ऊपर की ओर जाती है या नीचे की ओर।
समाधान 2
पृष्ठभूमि क्षेत्र \(25\ \mu\text{T}\) उत्तर की ओर है, तार \(4.0\ \text{cm}\) पर \(30\ \mu\text{T}\) क्षेत्र उत्पन्न करता है, धारा \(6.0\ \text{A}\) है, और वह बेंच के आर-पार ऊपर की ओर जाती है।
सीधे तार के दोनों ओर समान दूरी पर, तार का चुंबकीय क्षेत्र परिमाण में समान लेकिन दिशाओं में विपरीत होता है।
\(B_0\) को चिह्न सहित पृष्ठभूमि क्षेत्र और \(B_w\) को पूर्वी ओर तार का क्षेत्र मानें। उत्तर को धनात्मक लेते हुए,
\[
B_0+B_w=55\ \mu\text{T}
\]
और
\[
B_0-B_w=-5\ \mu\text{T}.
\]
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर
\[
2B_0=50\ \mu\text{T},
\]
अतः
\[
B_0=25\ \mu\text{T}.
\]
धनात्मक चिह्न का अर्थ उत्तर दिशा है।
इसे पूर्वी मापन में रखने पर,
\[
25+B_w=55,
\]
इसलिए
\[
B_w=30\ \mu\text{T}
=3.0\times10^{-5}\ \text{T}.
\]
अब उपयोग करें
\[
B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.
\]
पुनर्व्यवस्थित करने पर,
\[
I=\frac{2\pi rB}{\mu_0}.
\]
जहाँ \(r=0.040\ \text{m}\),
\[
\begin{aligned}
I&=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-5})}
{4\pi\times10^{-7}}\\
&=6.0\ \text{A}.
\end{aligned}
\]
पूर्वी ओर तार का क्षेत्र उत्तर की ओर है। इसलिए दाएँ हाथ की पकड़ का नियम बताता है कि धारा बेंच के आर-पार ऊपर की ओर बहती है।
आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह होगा कि हॉल प्रोब की किसी एक रीडिंग को सीधे सीधे-तार वाले समीकरण में रख दिया जाए। इससे कुल मापे गए क्षेत्र को गलत ढंग से ऐसा मान लिया जाएगा मानो वह केवल तार से आया हो। पहले पृष्ठभूमि क्षेत्र को तार के योगदान से अलग करना आवश्यक है।
प्रश्न 3
दो लंबे सोलेनॉइड एक ही अक्ष के अनुदिश एक-दूसरे के ऊपर स्थित हैं। सिरों के प्रभावों को नज़रअंदाज़ करें।
सोलेनॉइड A में प्रति मीटर \(1000\) कुंडलियाँ हैं और उसमें \(2.0\ \text{A}\) धारा बहती है। अतिव्यापन क्षेत्र में उसका क्षेत्र पूर्व की ओर है।
सोलेनॉइड B में प्रति मीटर \(1500\) कुंडलियाँ हैं और उसमें धारा विपरीत दिशा में बहती है, इसलिए उसका क्षेत्र पश्चिम की ओर है।
अतिव्यापन में एक हॉल प्रोब \(0.25\ \text{mT}\) पूर्व की ओर कुल क्षेत्र मापता है।
सोलेनॉइड B में धारा की गणना कीजिए। फिर अतिव्यापन क्षेत्र में अपेक्षित क्षेत्र-रेखा घनत्व की तुलना उस क्षेत्र से कीजिए जो सोलेनॉइड A के भीतर है लेकिन सोलेनॉइड B के भीतर नहीं।
समाधान 3
सोलेनॉइड B में लगभग \(1.20\ \text{A}\) धारा बहती है, और अतिव्यापन क्षेत्र में क्षेत्र रेखाएँ केवल सोलेनॉइड A के क्षेत्र वाले भाग की तुलना में बहुत कम सघन होनी चाहिए।
आदर्श सोलेनॉइड के लिए,
\[
B=\mu_0 nI.
\]
सोलेनॉइड A उत्पन्न करता है
\[
\begin{aligned}
B_A
&=(4\pi\times10^{-7})(1000)(2.0)\\
&=2.51\times10^{-3}\ \text{T}\\
&=2.51\ \text{mT}.
\end{aligned}
\]
पूर्व को धनात्मक मानें। चूँकि सोलेनॉइड B पश्चिम की ओर क्षेत्र उत्पन्न करता है,
\[
B_{\text{कुल}}=B_A-B_B.
\]
इसलिए,
\[
0.25\times10^{-3}
=\mu_0(1000)(2.0)-\mu_0(1500)I_B.
\]
\(\mu_0\) से भाग देने पर:
\[
\frac{0.25\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}}
=2000-1500I_B.
\]
बाईं ओर का मान लगभग \(199\ \text{A m}^{-1}\) है, इसलिए
\[
1500I_B\approx2000-199=1801.
\]
अतः
\[
I_B\approx1.20\ \text{A}.
\]
केवल सोलेनॉइड A के भीतर क्षेत्र लगभग \(2.51\ \text{mT}\) है। अतिव्यापन में कुल क्षेत्र केवल \(0.25\ \text{mT}\) है, इसलिए एक सुसंगत गुणात्मक क्षेत्र मानचित्र को वहाँ बहुत कम क्षेत्र-रेखा घनत्व दिखाना चाहिए।
आकर्षक गलती यह है कि केवल इसलिए \(B_A\) और \(B_B\) जोड़ दिए जाएँ क्योंकि दो चुंबकीय स्रोत मौजूद हैं। चुंबकीय क्षेत्र सदिश होते हैं। यहाँ उनकी दिशाएँ विपरीत हैं, इसलिए दूसरा सोलेनॉइड कुल क्षेत्र को बढ़ाने के बजाय घटाता है।
प्रश्न 4
दो लंबे समानांतर तार पृष्ठ से लंबवत बाहर की ओर निकलते हैं। उनके बीच की दूरी \(12\ \text{cm}\) है।
बाएँ तार में \(6.0\ \text{A}\) धारा पृष्ठ से बाहर की ओर बहती है। दाएँ तार में \(3.0\ \text{A}\) धारा पृष्ठ से बाहर की ओर बहती है।
एक विद्यार्थी तर्क देता है कि मध्यबिंदु पर कुल चुंबकीय क्षेत्र अवश्य शून्य होगा क्योंकि मध्यबिंदु दोनों तारों से समान दूरी पर है।
ज्ञात कीजिए:
- तारों के बीच वह स्थान जहाँ कुल क्षेत्र वास्तव में शून्य है,
- मध्यबिंदु पर कुल क्षेत्र का परिमाण और दिशा, और
- एक अच्छे गुणात्मक क्षेत्र-रेखा निरूपण में शून्य-क्षेत्र स्थान किस प्रकार दिखना चाहिए।
समाधान 4
कुल क्षेत्र \(6.0\ \text{A}\) वाले तार से \(8.0\ \text{cm}\) और \(3.0\ \text{A}\) वाले तार से \(4.0\ \text{cm}\) दूरी पर शून्य होता है। मध्यबिंदु पर कुल क्षेत्र पृष्ठ पर ऊपर की ओर \(10\ \mu\text{T}\) है।
पृष्ठ से बाहर की ओर बहने वाली दो धाराओं के बीच उनके चुंबकीय क्षेत्र एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
\(x\) को \(6.0\ \text{A}\) वाले तार से शून्य-क्षेत्र बिंदु तक की दूरी मानें। \(3.0\ \text{A}\) वाले तार से दूरी \(0.12-x\) होगी।
रद्द होने के लिए क्षेत्र के परिमाण समान होने चाहिए:
\[
\frac{\mu_0(6.0)}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0(3.0)}{2\pi(0.12-x)}.
\]
समान गुणकों को काटने पर:
\[
\frac{6.0}{x}
=
\frac{3.0}{0.12-x}.
\]
अतः,
\[
6.0(0.12-x)=3.0x,
\]
इसलिए
\[
0.72=9.0x
\]
और
\[
x=0.080\ \text{m}=8.0\ \text{cm}.
\]
शून्य बिंदु कमज़ोर \(3.0\ \text{A}\) वाले तार के अधिक पास है। यह भौतिक रूप से उचित है: कमज़ोर स्रोत के क्षेत्र को अधिक शक्तिशाली स्रोत के क्षेत्र के बराबर करने के लिए आपको कमज़ोर स्रोत के अधिक पास होना पड़ता है।
मध्यबिंदु पर प्रत्येक तार से \(r=0.060\ \text{m}\) है।
\(6.0\ \text{A}\) वाले तार के लिए,
\[
\begin{aligned}
B_1
&=\frac{(4\pi\times10^{-7})(6.0)}
{2\pi(0.060)}\\
&=2.0\times10^{-5}\ \text{T}\\
&=20\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]
\(3.0\ \text{A}\) वाले तार के लिए,
\[
B_2=10\ \mu\text{T}.
\]
दाएँ हाथ के नियम का उपयोग करने पर, बाएँ तार का क्षेत्र मध्यबिंदु पर पृष्ठ के ऊपर की ओर है, जबकि दाएँ तार का क्षेत्र नीचे की ओर है।
अतः,
\[
B_{\text{कुल}}=20-10=10\ \mu\text{T}
\]
ऊपर की ओर।
एक गुणात्मक क्षेत्र मानचित्र को वास्तविक रद्दीकरण बिंदु के आसपास, जो बाएँ तार से \(8.0\ \text{cm}\) दूर है, बहुत कमज़ोर क्षेत्र वाला भाग दिखाना चाहिए-स्वतः ज्यामितीय मध्यबिंदु पर नहीं।
आकर्षक तर्क केवल दूरी की सममिति पर आधारित है। व्यवस्था भौतिक रूप से सममित नहीं है क्योंकि धाराएँ अलग-अलग हैं। जब \(I\) समान नहीं है, तो समान दूरी पर समान क्षेत्र उत्पन्न नहीं होते।
प्रश्न 5
एक लंबा ऊर्ध्वाधर तार किसी क्षैतिज सतह से ऊपर की ओर गुजरता है और \(10\ \text{A}\) धारा वहन करता है। एक अलग समान चुंबकीय क्षेत्र \(40\ \mu\text{T}\) उत्तर की ओर है।
ऊपर से देखने पर तार का चुंबकीय क्षेत्र वामावर्त दिशा में घूमता है।
एक हॉल प्रोब तार से होकर गुजरने वाली पूर्व-पश्चिम रेखा के अनुदिश चलता है, और धनात्मक रीडिंग को उत्तर दिशा के रूप में परिभाषित किया गया है।
निर्धारित कीजिए:
- क्या तार के पूर्व या पश्चिम में कोई ऐसा बिंदु है जहाँ कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,
- तार से \(4.0\ \text{cm}\) पश्चिम और \(6.0\ \text{cm}\) पश्चिम पर हॉल प्रोब की चिह्न सहित रीडिंग, और
- जब प्रोब शून्य-क्षेत्र बिंदु से गुजरता है तो क्षेत्र की दिशा के साथ क्या होता है।
इसके बाद एक विद्यार्थी कहता है, “चुंबकीय क्षेत्र रेखा को उस बिंदु से सीधे और सुचारु रूप से आगे बढ़ना ही चाहिए, क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र रेखाएँ कभी एक-दूसरे को काटती या समाप्त नहीं होतीं।” इस कथन का मूल्यांकन कीजिए।
समाधान 5
तार से \(5.0\ \text{cm}\) पश्चिम में एक शून्य-क्षेत्र बिंदु है, तार के पूर्व में ऐसा कोई शून्य बिंदु नहीं है, और जब प्रोब पश्चिमी शून्य बिंदु से गुजरता है तो कुल क्षेत्र की दिशा उलट जाती है। ठीक शून्य बिंदु पर \(\vec B=0\), इसलिए चुंबकीय क्षेत्र की दिशा अपरिभाषित होती है।
ऊपर की ओर धारा वहन करने वाले तार के पश्चिमी ओर, तार का वामावर्त चुंबकीय क्षेत्र दक्षिण की ओर होता है। इसलिए वह \(40\ \mu\text{T}\) उत्तर की ओर वाले पृष्ठभूमि क्षेत्र का विरोध करता है।
रद्दीकरण के लिए,
\[
B_{\text{तार}}=B_{\text{पृष्ठभूमि}}.
\]
उपयोग करते हुए
\[
B_{\text{तार}}
=\frac{\mu_0 I}{2\pi r},
\]
हमें मिलता है
\[
40\times10^{-6}
=
\frac{(4\pi\times10^{-7})(10)}
{2\pi r}.
\]
चूँकि
\[
\frac{\mu_0 I}{2\pi}
=2.0\times10^{-6}\ \text{T m},
\]
\[
r=\frac{2.0\times10^{-6}}
{40\times10^{-6}}
=0.050\ \text{m}.
\]
अतः,
\[
r=5.0\ \text{cm}
\]
तार के पश्चिम में।
पूर्वी ओर तार का क्षेत्र उत्तर की ओर है। इसलिए वह उत्तर की ओर वाले पृष्ठभूमि क्षेत्र का विरोध करने के बजाय उसमें जुड़ता है, अतः वहाँ कोई शून्य बिंदु नहीं बनता।
तार से \(4.0\ \text{cm}\) पश्चिम में,
\[
\begin{aligned}
B_{\text{तार}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.040}\\
&=50\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]
यह क्षेत्र दक्षिण की ओर है, जबकि पृष्ठभूमि क्षेत्र \(40\ \mu\text{T}\) उत्तर की ओर है। उत्तर को धनात्मक मानते हुए,
\[
B_{\text{कुल}}=40-50=-10\ \mu\text{T}.
\]
इसलिए प्रोब पढ़ता है
\[
-10\ \mu\text{T},
\]
अर्थात \(10\ \mu\text{T}\) दक्षिण की ओर।
तार से \(6.0\ \text{cm}\) पश्चिम में,
\[
\begin{aligned}
B_{\text{तार}}
&=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.060}\\
&=33.3\ \mu\text{T}.
\end{aligned}
\]
अतः,
\[
B_{\text{कुल}}=40-33.3
=+6.7\ \mu\text{T}.
\]
अब क्षेत्र उत्तर की ओर है।
इसलिए \(4.0\ \text{cm}\) पश्चिम से \(6.0\ \text{cm}\) पश्चिम की ओर बढ़ने पर कुल क्षेत्र दक्षिण दिशा से घटते हुए \(5.0\ \text{cm}\) पर शून्य होता है और फिर उत्तर दिशा में हो जाता है।
विद्यार्थी के तर्क में सामान्य क्षेत्र-रेखा नियमों के पीछे की एक महत्वपूर्ण शर्त छूट जाती है। किसी सामान्य बिंदु पर जहाँ \(B\neq0\), क्षेत्र रेखा की एक अद्वितीय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र की एक अद्वितीय दिशा होती है। लेकिन रद्दीकरण बिंदु पर,
\[
\vec B=0.
\]
शून्य सदिश की कोई दिशा नहीं होती। इसलिए सामान्य निर्देश “क्षेत्र रेखा को \(\vec B\) की स्पर्शरेखा के रूप में बनाओ” उस ठीक बिंदु पर कोई अद्वितीय दिशा परिभाषित नहीं कर सकता।
एक सावधानीपूर्वक बनाया गया क्षेत्र मानचित्र रद्दीकरण बिंदु के आसपास कमज़ोर-क्षेत्र या शून्य-क्षेत्र वाला भाग दिखाएगा, और आसपास का क्षेत्र-पैटर्न इस प्रकार बदलेगा कि प्रतिस्पर्धी क्षेत्रों में से कौन-सा प्रभावी हो रहा है। आप ऐसे नियम को लागू करके यह ज़ोर नहीं दे सकते कि कोई सामान्य क्षेत्र रेखा शून्य बिंदु से सीधे गुजरती रहे, क्योंकि वह नियम स्वयं गैर-शून्य क्षेत्र-दिशा मानकर चलता है।
पहला आकर्षक उत्तर यह हो सकता है कि दोनों स्रोत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न कर रहे हैं, इसलिए हर स्थान पर कुछ न कुछ चुंबकीय क्षेत्र अवश्य बचना चाहिए। निर्णायक बात सदिश अध्यारोपण है: दो गैर-शून्य क्षेत्र समान परिमाण और विपरीत दिशा होने पर शून्य कुल क्षेत्र उत्पन्न कर सकते हैं।
10इससे आप आगे क्या कर सकते हैं
जब आप क्षेत्र-रेखा आरेखों और \(B\) के संख्यात्मक मानों के बीच विश्वसनीय रूप से आ-जा सकते हैं, तो चुंबकीय बल से जुड़े प्रश्न बहुत कम रहस्यमय लगने लगते हैं।
क्षेत्र-रेखा मॉडल आपको बताता है कि क्षेत्र किस दिशा में है और अंतरिक्ष में उसकी तीव्रता कैसे बदलती है। मात्रात्मक मॉडल आपको \(B\) का वह मान देता है जिसकी आवश्यकता \(F=BIL\sin\theta\) या \(F=qvB\sin\theta\) जैसे समीकरणों में होती है।
यही उपयोगी कार्य-विभाजन है: चित्र आपको बताता है कि क्षेत्र क्या कर रहा है, जबकि संख्या बताती है कि वह उस क्षेत्र में रखी किसी वस्तु को कितनी प्रबलता से प्रभावित कर सकता है।