श्रेणी परिपथ: धारा, वोल्टेज, प्रतिरोध और शक्ति

दो प्रतिरोधकों को एक बैटरी के साथ श्रेणीक्रम में जोड़िए। एक प्रतिरोधक का प्रतिरोध दूसरे से तीन गुना है। कोई गणना करने से पहले दो बातों का अनुमान लगाइए: क्या पहले प्रतिरोधक से बाहर आने वाली धारा उसमें प्रवेश करने वाली धारा से कम होगी, और क्या प्रत्येक प्रतिरोधक को बैटरी के वोल्टेज का आधा मिलेगा?

दोनों अनुमान सहज लग सकते हैं। दोनों गलत हैं।

श्रेणी परिपथ में प्रत्येक अवयव से समान धारा गुजरती है। वोल्टेज बँटता है, लेकिन सामान्यतः बराबर नहीं। साधारण नियत प्रतिरोधकों के लिए, अधिक प्रतिरोध वाले प्रतिरोधक पर अधिक वोल्टेज-पतन होता है। ऐसा क्यों होता है, यह समझ लेने पर श्रेणी नेटवर्क में धारा, वोल्टेज, प्रतिरोध और शक्ति का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक लगभग सारी बातें समझ में आ जाती हैं।

01किसी परिपथ को “श्रेणी” परिपथ क्या बनाता है?

श्रेणी परिपथ में धारा के लिए केवल एक मार्ग होता है। ऐसा कोई जंक्शन नहीं होता जहाँ धारा अलग-अलग शाखाओं में बँट सके।

कल्पना कीजिए कि लोग कोंगा लाइन में कई टर्नस्टाइलों से गुजर रहे हैं। यदि हर मिनट 20 लोग पहले टर्नस्टाइल से गुजरते हैं, तो हर मिनट 20 लोगों को दूसरे टर्नस्टाइल से भी गुजरना होगा। उनके बीच लोग गायब नहीं हो जाते।

धारा भी इसी तरह व्यवहार करती है। यदि किसी एक अवयव से \(0.50\ \text{A}\) की धारा बह रही है, तो स्थिर अवस्था में उस श्रेणी लूप के हर दूसरे अवयव से भी \(0.50\ \text{A}\) की धारा ही गुजरेगी।

इस उपमा की एक सीमा है। आवेश वास्तव में बैटरी से किसी शुरू में खाली तार के भीतर वैसे नहीं चलते जैसे लोग किसी कतार में प्रवेश करते हैं। धातु चालक में आवेश वाहक पहले से ही हर जगह मौजूद होते हैं, और परिपथ के चारों ओर स्थापित विद्युत क्षेत्र उन्हें ड्रिफ्ट करने का कारण बनता है। यदि यह बात अपरिचित लगती है, तो यह दोबारा देखना उपयोगी होगा कि चालकों में विद्युत धारा कैसे व्यवहार करती है।

एक आदर्श श्रेणी परिपथ के लिए,

\[ I_{\text{source}} = I_1 = I_2 = I_3 = \cdots \]

जहाँ \(I\) धारा है, जिसे ऐम्पियर, \(\text{A}\), में मापा जाता है।

यह आवेश संरक्षण का परिणाम है। स्थिर अवस्था में, अवयवों के बीच आवेश लगातार जमा नहीं होता रहता।

02धारा “खर्च” नहीं होती

एक सामान्य गलती यह मानना है कि प्रत्येक प्रतिरोधक कुछ धारा का उपभोग कर लेता है।

मान लीजिए कि \(0.40\ \text{A}\) धारा पहले प्रतिरोधक में प्रवेश करती है। कोई विद्यार्थी यह अनुमान लगा सकता है कि केवल \(0.30\ \text{A}\) ही बाहर निकलेगी क्योंकि प्रतिरोधक ने कुछ धारा “खर्च” कर ली है।

इसका अर्थ होगा कि प्रतिरोधक के अंदर आवेश जमा हो रहा है। यदि ऐसा लगातार होता रहे, तो संचित आवेश की मात्रा हर सेकंड बढ़ती जाएगी। स्थिर DC परिपथ में ऐसा नहीं होता।

प्रतिरोधक ऊर्जा का स्थानांतरण करता है, आवेश का नहीं।

आवेश के प्रवाह की वही दर पूरे परिपथ में बनी रहती है, लेकिन जब आवेश अवयवों से गुजरता है तो विद्युत स्थितिज ऊर्जा ऊष्मीय ऊर्जा और अन्य रूपों में स्थानांतरित होती है।

इसी अंतर के कारण किसी परिपथ में:

• श्रेणीक्रम में हर जगह समान धारा हो सकती है, लेकिन
• अलग-अलग अवयवों पर अलग-अलग विभवांतर हो सकते हैं।

03वोल्टेज ऊर्जा स्थानांतरण के बारे में बताता है

विभवांतर प्रति इकाई आवेश स्थानांतरित ऊर्जा को मापता है।

यदि \(12\ \text{V}\) का स्रोत प्रत्येक कूलॉम आवेश को \(12\ \text{J}\) ऊर्जा देता है, तो लूप के अवयवों को मिलकर वह \(12\ \text{J}\) प्रति कूलॉम ऊर्जा कहीं और स्थानांतरित करनी होगी।

दो प्रतिरोधकों के लिए,

\[ V_s = V_1 + V_2 \]

जहाँ:

• \(V_s\) वोल्ट में आपूर्ति विभवांतर है,
• \(V_1\) पहले प्रतिरोधक के सिरों के बीच का विभवांतर है, और
• \(V_2\) दूसरे प्रतिरोधक के सिरों के बीच का विभवांतर है।

अधिक अवयवों के लिए,

\[ V_s = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \]

यह ऊर्जा संरक्षण का कथन है। एक पूर्ण लूप में, स्रोत से प्रति कूलॉम प्राप्त ऊर्जा, अवयवों द्वारा प्रति कूलॉम स्थानांतरित ऊर्जा के बराबर होती है।

आदर्श संयोजक तारों के लिए हम तार का प्रतिरोध नगण्य मानते हैं, इसलिए उन पर वोल्टेज-पतन लगभग शून्य होता है। वास्तविक तारों में कुछ प्रतिरोध अवश्य होता है, लेकिन HSC परिपथ गणनाओं में यह सन्निकटन सामान्यतः उचित होता है, जब तक कि दी गई जानकारी कुछ और संकेत न दे।

04वोल्टेज सामान्यतः बराबर क्यों नहीं बँटता

अब मूल अनुमान पर वापस आइए। मान लीजिए कि श्रेणीक्रम में जुड़े एक प्रतिरोधक का प्रतिरोध दूसरे से तीन गुना है।

किस पर अधिक वोल्टेज-पतन होगा?

अधिक प्रतिरोध वाले प्रतिरोधक पर।

ओम के नियम का पालन करने वाले नियत प्रतिरोधक के लिए,

\[ V = IR \]

जहाँ \(V\) प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर है, \(I\) उसमें प्रवाहित धारा है, और \(R\) उसका प्रतिरोध ओम, \(\Omega\), में है।

श्रेणीक्रम में प्रत्येक प्रतिरोधक से समान \(I\) गुजरती है। इसलिए, यदि एक प्रतिरोधक का प्रतिरोध तीन गुना है, तो उस पर वोल्टेज-पतन भी तीन गुना होगा।

उदाहरण के लिए, यदि

\[ R_2 = 3R_1, \]

तो

\[ V_2 = IR_2 = I(3R_1) = 3V_1. \]

इसलिए वोल्टेज प्रतिरोध के अनुपात में बँटता है।

यह तर्क मानता है कि अवयवों को नियत प्रतिरोधक माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, फिलामेंट लैम्प का तापमान बदलने पर उसका प्रतिरोध भी बदल सकता है। श्रेणीक्रम में जुड़े अवयवों से धारा फिर भी समान रहती है, और वोल्टेज-पतनों का योग फिर भी आपूर्ति वोल्टेज के बराबर होता है, लेकिन आप बिना सोचे लैम्प के प्रतिरोध को नियत नहीं मान सकते।

\(V=IR\) का सीधे उपयोग कब किया जा सकता है, इसे दोहराने के लिए HSC Physics में Ohm’s Law देखें।

05श्रेणी प्रतिरोध क्यों जोड़े जाते हैं

मान लीजिए दो प्रतिरोधक \(R_1\) और \(R_2\) श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।

आपूर्ति वोल्टेज है

\[ V_s = V_1 + V_2. \]

\(V=IR\) का उपयोग करने पर,

\[ V_s = IR_1 + IR_2. \]

धारा \(I\) दोनों प्रतिरोधकों के लिए समान है, इसलिए

\[ V_s = I(R_1 + R_2). \]

यदि हम दोनों प्रतिरोधकों को एक अकेले तुल्य प्रतिरोध \(R_{\text{eq}}\) से बदलें, तो उसी आपूर्ति से उसे वही धारा लेनी चाहिए:

\[ V_s = IR_{\text{eq}}. \]

इसलिए,

\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2. \]

श्रेणीक्रम में किसी भी संख्या में नियत प्रतिरोधकों के लिए,

\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots \]

इसलिए श्रेणीक्रम में एक और प्रतिरोधक जोड़ने से परिपथ का कुल प्रतिरोध बढ़ जाता है।

यदि आपूर्ति वोल्टेज नियत रहता है, तो \(R_{\text{eq}}\) बढ़ने का अर्थ है कि परिपथ की धारा घटती है:

\[ I = \frac{V_s}{R_{\text{eq}}}. \]

पूरे तंत्र में होने वाला यह परिवर्तन महत्वपूर्ण है। आप केवल एक प्रतिरोधक जोड़कर यह नहीं मान सकते कि बाकी सभी धाराएँ, वोल्टेज और शक्तियाँ पहले जैसी ही रहेंगी।

06जानने योग्य चार नियम

तालिका उपयोगी है, लेकिन इसे चार असंबंधित सूत्रों की तरह न देखें। अधिकांश तर्क के पीछे धारा संरक्षण और ऊर्जा संरक्षण ही काम कर रहे हैं।

07एक उपयोगी वोल्टेज-विभाजक संबंध

श्रेणीक्रम में जुड़े दो नियत प्रतिरोधकों के लिए,

\[ I = \frac{V_s}{R_1+R_2}. \]

इसलिए \(R_1\) के सिरों के बीच वोल्टेज है

\[ V_1 = IR_1 = \frac{V_sR_1}{R_1+R_2}. \]

इसी प्रकार,

\[ V_2 = \frac{V_sR_2}{R_1+R_2}. \]

अधिक सामान्य रूप में,

\[ V_i = V_s\frac{R_i}{R_{\text{eq}}}, \]

जहाँ \(V_i\), किसी विशेष प्रतिरोधक \(R_i\) के सिरों के बीच का वोल्टेज है।

इसे किसी रहस्यमय नए नियम की तरह याद करने की आवश्यकता नहीं है। यह सीधे दो तथ्यों से आता है:

1. प्रत्येक प्रतिरोधक से समान धारा गुजरती है, और
2. \(V=IR\)।

यदि किसी प्रतिरोधक का प्रतिरोध कुल श्रेणी प्रतिरोध का एक-चौथाई है, तो उसे आपूर्ति वोल्टेज का एक-चौथाई मिलेगा।

08श्रेणी परिपथ में शक्ति

विद्युत शक्ति वह दर है जिस पर ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

किसी अवयव के लिए,

\[ P=VI, \]

जहाँ \(P\) वाट में शक्ति है, \(V\) अवयव के सिरों के बीच विभवांतर है, और \(I\) उसमें प्रवाहित धारा है।

नियत प्रतिरोधक के लिए, \(P=VI\) को ओम के नियम के साथ मिलाने पर मिलता है

\[ P=I^2R \]

और

\[ P=\frac{V^2}{R}. \]

सही तरह लागू करने पर ये रूप एक-दूसरे के समतुल्य हैं।

यहाँ एक महत्वपूर्ण फँसाव है। \(P=V^2/R\) में, \(V\) वही वोल्टेज होना चाहिए जो उस प्रतिरोधक के सिरों के बीच है। श्रेणी परिपथ में आप हर प्रतिरोधक के लिए अपने-आप कुल आपूर्ति वोल्टेज नहीं रख सकते।

एक ही श्रेणी परिपथ में सभी प्रतिरोधकों से समान धारा गुजरती है। इसलिए

\[ P_i=I^2R_i. \]

इसका अर्थ है कि अधिक प्रतिरोध वाला प्रतिरोधक कम प्रतिरोध वाले प्रतिरोधक की तुलना में अधिक शक्ति नष्ट करता है, जब दोनों में समान धारा प्रवाहित हो रही हो।

लेकिन दो अलग-अलग परिपथों की तुलना करते समय सावधान रहें। किसी प्रतिरोध को बदलने पर आम तौर पर धारा भी बदल जाती है। पूरे परिपथ को बदलने के बाद अधिक प्रतिरोध का अर्थ अपने-आप अधिक शक्ति नहीं होता।

11श्रेणी परिपथ के प्रश्न हल करने का विश्वसनीय तरीका

जब किसी प्रश्न में कई विद्युत राशियाँ हों, तो केवल उस सूत्र को चुनने की जल्दबाजी न करें जिसमें अज्ञात राशि दिखाई दे रही हो। पूरे परिपथ को एक तंत्र की तरह समझकर आगे बढ़ें।

एक विश्वसनीय क्रम है:

1. पुष्टि कीजिए कि यह वास्तव में श्रेणी परिपथ है। जिन अवयवों का आप विश्लेषण कर रहे हैं, उनके बीच धारा के लिए केवल एक मार्ग होना चाहिए।
2. तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कीजिए, यदि अलग-अलग प्रतिरोध ज्ञात हों।
3. समान धारा ज्ञात कीजिए, कुल आपूर्ति वोल्टेज और तुल्य प्रतिरोध का उपयोग करके।
4. अलग-अलग वोल्टेज-पतन ज्ञात कीजिए, \(V_i=IR_i\) का उपयोग करके।
5. अलग-अलग शक्तियाँ ज्ञात कीजिए, उस मान्य रूप का उपयोग करके जिसके लिए आवश्यक राशियाँ आपके पास पहले से हैं।
6. कुल मानों की जाँच कीजिए। अलग-अलग वोल्टेज-पतनों का योग आपूर्ति वोल्टेज के बराबर होना चाहिए, और अलग-अलग शक्तियों का योग कुल आपूर्ति शक्ति के बराबर होना चाहिए।

कभी-कभी दी गई जानकारी किसी अलग प्रारंभिक बिंदु का संकेत देती है। दूसरे हल किए हुए उदाहरण में कुल शक्ति से पहले धारा ज्ञात की गई। भौतिकी के नियम नहीं बदले; केवल उनका उपयोग करने का सबसे कुशल क्रम बदला।

12वह गलत धारणा जो सबसे अधिक परेशानी पैदा करती है

मान लीजिए कि एक \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक सीधे \(12\ \text{V}\) की आपूर्ति से जुड़ा है। फिर आप उसके साथ श्रेणीक्रम में एक और \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक जोड़ते हैं।

कोई विद्यार्थी कह सकता है, “पहला प्रतिरोधक अभी भी उसी 12 V बैटरी से जुड़ा है, इसलिए उसके सिरों के बीच अभी भी 12 V होना चाहिए।”

यदि आप यह सोचते हैं कि बैटरी हर अवयव को सीधे \(12\ \text{V}\) देती है, तो यह बात उचित लग सकती है।

लेकिन बैटरी \(12\ \text{V}\) पूरे नेटवर्क के सिरों के बीच प्रदान करती है।

शुरुआत में,

\[ I=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

दूसरा प्रतिरोधक जोड़ने के बाद,

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega, \]

इसलिए

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

अब मूल प्रतिरोधक के सिरों के बीच वोल्टेज है

\[ V_1=IR_1=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

दूसरा प्रतिरोधक जोड़ने से कुल प्रतिरोध बदला, जिससे धारा बदली, और उससे पहले प्रतिरोधक के सिरों के बीच वोल्टेज भी बदल गया।

तर्क की यह शृंखला केवल यह याद रखने से अधिक उपयोगी है कि “समान प्रतिरोधक वोल्टेज को बराबर बाँटते हैं”। यह तब भी काम करती है जब प्रतिरोधक समान न हों।

13प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक \(5.0\ \Omega\) प्रतिरोधक और एक \(10\ \Omega\) प्रतिरोधक एक आदर्श \(15\ \text{V}\) आपूर्ति के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।

परिपथ की धारा और प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच विभवांतर की गणना कीजिए।

समाधान 1

परिपथ की धारा \(1.0\ \text{A}\) है। \(5.0\ \Omega\) प्रतिरोधक के सिरों के बीच \(5.0\ \text{V}\) और \(10\ \Omega\) प्रतिरोधक के सिरों के बीच \(10\ \text{V}\) है।

पहले तुल्य प्रतिरोध ज्ञात कीजिए:

\[ R_{\text{eq}}=5.0+10=15\ \Omega. \]

श्रेणीक्रम में समान धारा है

\[ I=\frac{V_s}{R_{\text{eq}}} =\frac{15}{15} =1.0\ \text{A}. \]

अब प्रत्येक प्रतिरोधक के लिए \(V=IR\) का उपयोग कीजिए:

\[ \begin{aligned} V_1&=(1.0)(5.0)=5.0\ \text{V}\\ V_2&=(1.0)(10)=10\ \text{V}. \end{aligned} \]

वोल्टेज-पतनों का योग सही है:

\[ 5.0+10=15\ \text{V}. \]

\(10\ \Omega\) प्रतिरोधक को दोगुना वोल्टेज मिलता है क्योंकि उसका प्रतिरोध दोगुना है और उसमें वही धारा प्रवाहित होती है।

प्रश्न 2

\(2.0\ \Omega\), \(3.0\ \Omega\), और \(7.0\ \Omega\) के तीन प्रतिरोधक एक आदर्श \(24\ \text{V}\) स्रोत के साथ श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।

धारा, प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच वोल्टेज, प्रत्येक प्रतिरोधक में नष्ट होने वाली शक्ति और स्रोत द्वारा दी जाने वाली कुल शक्ति की गणना कीजिए।

समाधान 2

धारा \(2.0\ \text{A}\) है। वोल्टेज-पतन \(4.0\ \text{V}\), \(6.0\ \text{V}\), और \(14\ \text{V}\) हैं, तथा उनके अनुरूप शक्तियाँ \(8.0\ \text{W}\), \(12\ \text{W}\), और \(28\ \text{W}\) हैं। स्रोत \(48\ \text{W}\) शक्ति देता है।

कुल प्रतिरोध है

\[ R_{\text{eq}}=2.0+3.0+7.0=12\ \Omega. \]

इसलिए,

\[ I=\frac{24}{12}=2.0\ \text{A}. \]

वोल्टेज-पतन हैं

\[ \begin{aligned} V_1&=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}\\ V_2&=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}\\ V_3&=(2.0)(7.0)=14\ \text{V}. \end{aligned} \]

इनका योग है

\[ 4.0+6.0+14=24\ \text{V}. \]

क्योंकि तीनों प्रतिरोधकों से समान धारा गुजरती है, इसलिए \(P=I^2R\) सुविधाजनक है:

\[ \begin{aligned} P_1&=(2.0)^2(2.0)=8.0\ \text{W}\\ P_2&=(2.0)^2(3.0)=12\ \text{W}\\ P_3&=(2.0)^2(7.0)=28\ \text{W}. \end{aligned} \]

इसलिए,

\[ P_{\text{total}}=8.0+12+28=48\ \text{W}. \]

स्रोत से भी वही परिणाम मिलता है:

\[ P_{\text{source}}=V_sI=(24)(2.0)=48\ \text{W}. \]

\(7.0\ \Omega\) प्रतिरोधक पर सबसे अधिक वोल्टेज-पतन होता है और उसमें सबसे अधिक शक्ति नष्ट होती है क्योंकि तीनों प्रतिरोधकों से समान धारा गुजरती है।

प्रश्न 3

एक \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक को शुरुआत में अकेले एक आदर्श \(12\ \text{V}\) आपूर्ति से जोड़ा जाता है। फिर उसके साथ श्रेणीक्रम में दूसरा \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक जोड़ा जाता है।

दूसरा प्रतिरोधक जोड़ने से पहले और बाद में मूल प्रतिरोधक में प्रवाहित धारा और उसमें नष्ट होने वाली शक्ति की गणना कीजिए। समझाइए कि आपूर्ति \(12\ \text{V}\) ही रहने के बावजूद शक्ति क्यों बदलती है।

समाधान 3

मूल प्रतिरोधक की शक्ति \(24\ \text{W}\) से घटकर \(6.0\ \text{W}\) हो जाती है। दूसरा प्रतिरोधक जोड़ने से कुल प्रतिरोध दोगुना हो जाता है, धारा आधी हो जाती है, और मूल प्रतिरोधक के सिरों के बीच केवल \(6.0\ \text{V}\) रह जाता है।

दूसरा प्रतिरोधक जोड़ने से पहले,

\[ I_{\text{before}}=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

उसकी शक्ति है

\[ P_{\text{before}}=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\ \text{W}. \]

श्रेणीक्रम में एक और \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक जोड़ने के बाद,

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

नई धारा है

\[ I_{\text{after}}=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

अब मूल प्रतिरोधक में नष्ट होने वाली शक्ति है

\[ P_{\text{after}}=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

उसका वोल्टेज भी बदल गया है:

\[ V=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

गलती यह मानने में है कि परिपथ बदलने के बाद भी किसी अवयव के सिरों के बीच पूरा स्रोत वोल्टेज बना रहता है। \(12\ \text{V}\) पूरे श्रेणी नेटवर्क के सिरों के बीच है, प्रत्येक प्रतिरोधक के सिरों के बीच अलग-अलग नहीं।

ध्यान दीजिए कि धारा को आधा करने से प्रतिरोधक की शक्ति उसके पिछले मान की एक-चौथाई हो गई क्योंकि \(P=I^2R\)।

प्रश्न 4

एक आदर्श \(18\ \text{V}\) स्रोत को एक अज्ञात प्रतिरोधक \(R\) और एक \(12\ \Omega\) प्रतिरोधक के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। \(12\ \Omega\) प्रतिरोधक के सिरों के बीच जोड़ा गया एक आदर्श वोल्टमीटर \(9.0\ \text{V}\) पढ़ता है।

\(R\) और प्रत्येक प्रतिरोधक में नष्ट होने वाली शक्ति ज्ञात कीजिए।

इसके बाद ऐसा वास्तविक वोल्टमीटर उपयोग किया जाता है जिसका प्रतिरोध अत्यंत बड़ा नहीं है। समझाइए कि वही सरल श्रेणी-विश्लेषण अब वास्तविक परिपथ मान क्यों नहीं दे सकता।

समाधान 4

अज्ञात प्रतिरोध \(12\ \Omega\) है, और प्रत्येक प्रतिरोधक \(6.75\ \text{W}\) शक्ति नष्ट करता है। एक गैर-आदर्श वोल्टमीटर परिपथ को बदल सकता है क्योंकि वह मापे जा रहे प्रतिरोधक के सिरों के बीच एक अतिरिक्त धारा-पथ बना देता है।

\(12\ \Omega\) प्रतिरोधक से गुजरने वाली धारा है

\[ I=\frac{V}{R} =\frac{9.0}{12} =0.75\ \text{A}. \]

आदर्श वोल्टमीटर में कोई धारा नहीं बहती। इसलिए दोनों प्रतिरोधक एक सरल श्रेणी परिपथ ही बने रहते हैं, और वही \(0.75\ \text{A}\) धारा अज्ञात प्रतिरोधक से भी गुजरती है।

स्रोत \(18\ \text{V}\) देता है और \(9.0\ \text{V}\) ज्ञात प्रतिरोधक के सिरों के बीच है। इसलिए अज्ञात प्रतिरोधक के सिरों के बीच भी

\[ V_R=18-9.0=9.0\ \text{V} \]

है।

उसका प्रतिरोध है

\[ R=\frac{V_R}{I} =\frac{9.0}{0.75} =12\ \Omega. \]

प्रत्येक प्रतिरोधक में शक्ति है

\[ P=VI=(9.0)(0.75)=6.75\ \text{W}. \]

यहाँ महत्वपूर्ण छिपी हुई धारणा आदर्श शब्द था। आदर्श वोल्टमीटर का प्रतिरोध प्रभावी रूप से अनंत होता है, इसलिए वह कोई धारा नहीं लेता।

वास्तविक वोल्टमीटर का प्रतिरोध सीमित होता है। जब उसे \(12\ \Omega\) प्रतिरोधक के सिरों के बीच जोड़ा जाता है, तो वह उन्हीं दो बिंदुओं के बीच एक और मार्ग बना देता है। तब कुछ धारा मीटर से भी प्रवाहित हो सकती है, इसलिए प्रतिरोधक और मीटर एक समानांतर खंड बनाते हैं। अब पूरा परिपथ केवल दो ऐसे प्रतिरोधकों का नहीं रहता जिनमें एक ही समान धारा प्रवाहित हो रही हो।

सामान्य स्कूल मापों में वोल्टमीटर बहुत अधिक प्रतिरोध के साथ बनाए जाते हैं ताकि यह प्रभाव छोटा रहे, लेकिन तर्क के लिए यह आदर्शीकरण फिर भी महत्वपूर्ण है।

प्रश्न 5

एक परिवर्ती प्रतिरोधक \(R\), एक नियत \(6.0\ \Omega\) प्रतिरोधक के साथ एक आदर्श \(12\ \text{V}\) स्रोत पर श्रेणीक्रम में जुड़ा है।

एक विद्यार्थी कहता है:

परिवर्ती प्रतिरोधक को \(18\ \Omega\) पर सेट करने से उसमें \(6.0\ \Omega\) पर सेट करने की तुलना में अधिक शक्ति नष्ट होनी ही चाहिए, क्योंकि \(P=I^2R\) और \(18\ \Omega\) बड़ा प्रतिरोध है।

\(R=6.0\ \Omega\) और \(R=18\ \Omega\) पर परिवर्ती प्रतिरोधक में नष्ट होने वाली शक्ति की गणना कीजिए। स्पष्ट रूप से समझाइए कि विद्यार्थी के तर्क में क्या गलत है।

समाधान 5

परिवर्ती प्रतिरोधक को \(6.0\ \Omega\) पर सेट करने पर उसमें \(6.0\ \text{W}\) शक्ति नष्ट होती है, लेकिन \(18\ \Omega\) पर सेट करने पर केवल \(4.5\ \text{W}\)। विद्यार्थी की गलती यह मानना है कि \(R\) बदलते समय धारा \(I\) नियत रहती है।

\(R=6.0\ \Omega\) पर कुल प्रतिरोध है

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

धारा है

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

इसलिए परिवर्ती प्रतिरोधक की शक्ति है

\[ P_R=I^2R=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

अब परिवर्ती प्रतिरोधक को \(18\ \Omega\) पर सेट कीजिए।

कुल प्रतिरोध हो जाता है

\[ R_{\text{eq}}=6.0+18=24\ \Omega. \]

अब धारा है

\[ I=\frac{12}{24}=0.50\ \text{A}. \]

उसकी शक्ति है

\[ P_R=(0.50)^2(18) =4.5\ \text{W}. \]

विद्यार्थी द्वारा \(P=I^2R\) का उपयोग अपने-आप में गलत नहीं है। छिपी हुई गलती यह मानना है कि \(I\) अपरिवर्तित रहती है।

परिवर्ती प्रतिरोध को \(6.0\ \Omega\) से \(18\ \Omega\) तक बढ़ाने से परिपथ का कुल प्रतिरोध भी बढ़ जाता है। धारा \(1.0\ \text{A}\) से घटकर \(0.50\ \text{A}\) हो जाती है। क्योंकि \(P=I^2R\) में धारा का वर्ग आता है, इसलिए धारा में यह कमी \(R\) की वृद्धि के प्रभाव से बड़ी हो जाती है।

सुरक्षित नियम यह है: एक ही अपरिवर्तित श्रेणी परिपथ के भीतर, अधिक प्रतिरोध वाला प्रतिरोधक अधिक शक्ति नष्ट करता है क्योंकि धारा सभी में समान होती है। यदि आप परिपथ को ही बदलते हैं, तो शक्तियों की तुलना करने से पहले धारा की फिर से गणना कीजिए।

14श्रेणी परिपथ आगे किस चीज़ के लिए तैयार करते हैं

श्रेणी परिपथ आपको उन दो विचारों का सबसे सरल रूप देते हैं जो परिपथ विश्लेषण में बार-बार सामने आते हैं: आवेश संरक्षित रहता है और ऊर्जा संरक्षित रहती है।

एकल-पथ परिपथ में, आवेश संरक्षण के कारण हर जगह एक ही धारा होती है, जबकि ऊर्जा संरक्षण के कारण वोल्टेज-पतनों का योग स्रोत वोल्टेज के बराबर होता है। जब किसी परिपथ में शाखाएँ बनने लगती हैं, तो गणना का तरीका बदल जाता है। जंक्शनों पर धारा विभाजित हो सकती है, जबकि एक ही दो बिंदुओं के बीच जुड़े अवयव समान विभवांतर साझा कर सकते हैं।

अगला उपयोगी कदम यही है: ठीक-ठीक पहचानना कि सरल श्रेणी नियम कब लागू होना बंद हो जाते हैं, और फिर उन्हीं संरक्षण सिद्धांतों का उपयोग करके समानांतर तथा मिश्रित नेटवर्क का विश्लेषण करना।