등속 원운동에서 구심력이 일을 하지 않는 이유

고무 마개가 줄에 매달린 채 일정한 속력으로 빙글빙글 돌고 있습니다. 줄은 계속 안쪽으로 당기고 있고, 마개도 계속 가속되고 있습니다. 20바퀴를 돈 뒤, 이 안쪽을 향한 힘이 마개에 추가적인 운동 에너지를 주었을까요?

그랬을 것처럼 느껴집니다. 힘이 작용하고 있습니다. 마개는 상당한 거리를 이동합니다. 하지만 이상적인 등속 원운동에서는 구심력이 전혀 일을 하지 않습니다.

그 이유는 힘이 너무 작아서도 아니고, 물체가 한 바퀴를 돌 때마다 어떻게든 일을 “상쇄”해서도 아닙니다. 힘의 방향이 물체의 속력을 변화시키기에는 정확히 맞지 않는 방향을 향하고 있기 때문입니다.

01힘은 속력을 바꾸지 않고도 속도를 바꿀 수 있다

먼저 운동 자체부터 살펴봅시다.

등속 원운동을 하는 물체는 어느 순간이든 다음과 같습니다.

• 물체의 속도는 원의 접선 방향을 향하고,
• 구심 가속도는 중심을 향하며,
• 합력은 중심을 향하고,
• 속력은 일정하게 유지됩니다.

속력과 속도의 차이가 헷갈린다면 핵심만 다시 확인해 봅시다. 속력은 물체가 얼마나 빠르게 움직이는지를 나타냅니다. 속도에는 방향도 포함됩니다.

따라서 원을 따라 움직이는 물체는 속력이 일정하면서도 매 순간 속도가 변할 수 있습니다.

이 안쪽 방향의 가속도가 방향 변화의 원인입니다. 속도 벡터의 길이는 늘이거나 줄이지 않으면서 그 방향을 계속 바꿉니다.

가속도가 왜 이 방향을 향하는지 다시 확인하고 싶다면 구심 가속도: HSC 물리에서 왜 안쪽을 향하는가를 참고하세요.

대략적인 직관을 얻기 위해, 여러분이 달리는 동안 옆에 있는 친구가 계속 여러분의 가방을 옆쪽으로 잡아당긴다고 생각해 볼 수 있습니다. 모든 당김이 운동 방향에 정확히 수직이라면, 친구는 여러분을 더 빠르게 밀거나 더 느리게 끌지 않으면서도 이동 경로를 휘게 만들 수 있습니다.

실제 상황에서는 친구가 힘을 완벽하게 수직으로 유지하지 못할 가능성이 크고 마찰도 영향을 주기 때문에 이 비유에는 한계가 있습니다. 이상적인 물리 상황은 더 단순합니다.

02일은 힘의 방향에 따라 달라진다

힘이 물체의 변위 방향 성분을 가질 때 그 힘은 일을 합니다.

일정한 힘이 직선 변위에 걸쳐 작용할 때,

\[ W = Fs\cos\theta \]

여기서:

• \(W\)는 일이며 단위는 줄(J),
• \(F\)는 힘의 크기이며 단위는 뉴턴(N),
• \(s\)는 변위의 크기이며 단위는 미터(m),
• \(\theta\)는 힘과 변위 사이의 각도입니다.

힘이 변위와 같은 방향을 향한다고 해 봅시다. 그러면 \(\theta=0^\circ\)이므로 \(\cos 0^\circ=1\)입니다. 힘은 양의 일을 합니다.

힘이 변위와 정확히 반대 방향을 향한다고 해 봅시다. 그러면 \(\theta=180^\circ\)이므로 힘은 음의 일을 합니다.

이제 예측해 봅시다. 힘이 변위에 정확히 수직이면 어떻게 될까요?

\(90^\circ\)에서는

\[ \cos 90^\circ=0 \]

이므로 일은 0입니다.

이것이 바로 이상적인 등속 원운동의 기하학적 관계입니다. 순간적인 변위는 원의 접선 방향이고, 구심력은 반지름 방향입니다.

두 방향은 서로 수직입니다.

03중요한 단어는 ‘순간적인’이다

여기에는 조심해야 할 작은 함정이 있습니다.

물체가 원의 4분의 1을 이동했다면 분명 상당한 거리를 이동한 것입니다. 또한 출발 위치와 도착 위치를 잇는 선도 일반적으로 출발점에서의 힘에 수직이 아닙니다.

따라서 하나의 구심력 벡터를 잡아 전체 이동 거리와 곱한 뒤, 힘의 방향이 계속 일정했던 것처럼 \(W=Fs\cos\theta\)를 사용할 수는 없습니다.

힘의 방향은 일정하지 않습니다. 물체가 움직이는 동안 구심력의 방향도 계속 회전합니다.

대신 경로를 매우 많은 작은 변위로 나누어 생각해 봅시다. 각각의 아주 작은 변위에 대해,

\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]

입니다. 여기서 \(dW\)는 아주 작은 일의 양, \(F_c\)는 구심력의 크기, \(ds\)는 경로를 따라 이동한 아주 작은 거리입니다.

각각의 작은 기여가 모두 0입니다. 따라서 모두 더해도 여전히 0입니다.

HSC 문제에서는 같은 결론을 훨씬 더 빠르게 확인할 수 있는 경우가 많습니다. 일-에너지 정리를 사용하면 됩니다.

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

운동 에너지는

\[ K=\frac12mv^2 \]

입니다. 여기서 \(m\)은 킬로그램(kg) 단위의 질량이고, \(v\)는 미터 매 초(m s\(^{-1}\)) 단위의 속력입니다.

등속 원운동에서는 속력이 일정하므로 \(v\)가 변하지 않습니다. 따라서 \(K\)도 변하지 않습니다.

그러므로

\[ \Delta K=0 \]

이고, 따라서

\[ W_{\text{net}}=0 \]

입니다.

이는 같은 물리 현상을 두 가지 관점에서 본 것입니다.

• 기하학적으로는 합력이 운동 방향에 수직이고,
• 에너지 관점에서는 속력과 운동 에너지가 일정하게 유지됩니다.

04구심력은 별도의 추가 힘이 아니다

또 하나 자주 혼동하는 부분이 있습니다.

“구심력”은 물체가 원운동을 할 때마다 새롭게 나타나는 특별한 종류의 힘을 뜻하지 않습니다. 원운동을 만들어 내는 데 필요한 안쪽 방향 합력을 가리키는 이름입니다.

등속 원운동에서 그 크기는

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

입니다. 여기서 \(r\)은 원형 경로의 반지름이며 단위는 미터입니다.

안쪽 방향의 힘은 다음과 같은 힘이 제공할 수 있습니다.

• 장력,
• 중력,
• 수직항력,
• 마찰력,
• 또는 여러 실제 힘의 조합.

예를 들어 완벽한 원궤도를 도는 위성에서는 중력이 구심력을 제공합니다. 줄에 매달린 물체가 수평 원운동을 할 때는 장력이 구심력을 제공할 수 있습니다.

하나의 실제 힘이 완전히 방사 방향으로 작용하면서 구심력을 제공한다면, 이상적인 등속 원운동에서 그 실제 힘은 일을 하지 않습니다.

하지만 표현에 주의해야 합니다. 개별적인 실제 힘들이 양의 일이나 음의 일을 하더라도 그 힘들의 접선 방향 효과가 서로 상쇄될 수 있습니다. 등속 원운동에서 반드시 참이어야 하는 것은 합력이 방사 방향이라는 점이며, 따라서 알짜일은 0입니다.

어떤 실제 힘이 안쪽 방향의 역할을 하는지 구별하는 방법에 대해서는 구심력: HSC 물리에서 실제 힘을 식별하는 방법을 참고하세요.

05가속된다고 해서 자동으로 일이 이루어지는 것은 아니다

학생들은 흔히 다음과 같이 추론합니다.

힘이 있으므로 가속도가 있다. 가속도가 있다면 물체는 에너지를 얻어야 한다.

첫 번째 단계는 맞습니다. 두 번째 단계는 그렇지 않습니다.

가속도는 속도가 변하고 있다는 뜻입니다. 속도는 두 가지 방식으로 변할 수 있습니다.

• 크기가 변할 수 있으며, 이는 속력이 변한다는 뜻입니다.
• 방향이 변할 수 있습니다.

등속 원운동의 구심 가속도는 두 번째 변화만 일으킵니다.

가속도를 방사 성분과 접선 성분으로 나누면 이 차이는 더욱 분명해집니다.

방사 성분은 방향을 바꿉니다. 접선 성분은 속력을 바꿉니다.

따라서:

이를 통해 시험에서 유용하게 사용할 수 있는 판단 기준을 얻을 수 있습니다. 물체가 반지름이 일정한 원을 따라 움직이지만 속력이 변하고 있다면, 합력에는 방사 성분뿐 아니라 접선 성분도 반드시 존재해야 합니다.

06안쪽 방향의 힘은 언제부터 일을 하기 시작하는가?

“구심력은 일을 하지 않는다”라는 말은 학생들이 가끔 잊는 한 가지 조건에 의존합니다. 안쪽 방향의 힘이 물체의 속도에 수직이어야 한다는 것입니다.

반지름이 고정된 이상적인 원운동에서는 속도가 원의 접선 방향이므로 이 조건이 항상 성립합니다.

반지름이 변하면 상황도 달라질 수 있습니다.

마찰이 없는 수평 테이블 위의 퍽이 중앙의 구멍을 통과하는 줄에 연결되어 있다고 생각해 봅시다. 퍽이 일정한 반지름의 원을 따라 움직이는 동안 속도는 원의 접선 방향입니다. 장력은 방사 방향이므로 장력은 일을 하지 않습니다.

이제 누군가가 구멍을 통해 줄을 아래로 당깁니다.

퍽은 원을 도는 동시에 안쪽으로도 움직이기 시작합니다.

이제 퍽의 속도에는 두 성분이 있습니다.

• 구멍 주위를 도는 접선 성분,
• 구멍을 향하는 방사 성분.

장력은 여전히 안쪽을 향하지만 이제 전체 속도에 수직이 아닙니다. 따라서 장력은 양의 일을 할 수 있습니다.

이 때문에 “안쪽 방향의 힘이면 일이 0이다”라는 규칙은 안전하지 않습니다.

안전한 규칙은 다음과 같습니다.

힘이 물체의 순간적인 속도에 수직일 때 그 힘의 순간적인 일률은 0이고, 순간적으로 일을 하지 않습니다.

일률에 대해서는 같은 생각을 다음과 같이 나타냅니다.

\[ P=\vec F\cdot\vec v \]

힘과 속도가 서로 수직이면 내적은 0입니다. 속도의 일부가 힘과 같은 방향의 성분을 가지면 일률은 0이 아닙니다.

07시험에서 가장 빠르게 판단하는 방법

일과 원운동이 함께 나오는 문제에서는 문구를 외우기보다 다음 조건을 확인하세요.

1. 반지름이 고정되어 있는가?
2. 속력이 일정한가?
3. 분석하고 있는 힘이 완전히 방사 방향인가?
4. 그 힘이 순간적인 속도에 수직인가?

이상적인 등속 원운동에서는 네 질문의 답이 모두 ‘예’입니다. 방사 방향 합력은 일을 하지 않습니다.

속력이 변한다면 접선 방향 힘 성분을 찾아보세요.

반지름이 변한다면 속도에 방사 성분이 생길 수 있으므로 방사 방향 힘조차 일을 할 수 있습니다.

여러 실제 힘이 작용한다면, 전체 속력이 일정하다는 이유만으로 모든 힘이 각각 일을 하지 않는다고 가정해서는 안 됩니다.

08문제와 풀이

문제 1

\(0.75\) kg의 물체가 반지름 \(1.5\) m인 수평 원을 따라 \(6.0\) m s\(^{-1}\)의 일정한 속력으로 움직입니다.

다음을 계산하세요.

a. 구심력, 그리고
b. 반 바퀴를 도는 동안 구심력이 한 일.

풀이 1

구심력은 안쪽 방향으로 \(18\) N이고, 반 바퀴를 도는 동안 한 일은 \(0\) J입니다.

a에서,

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]

입니다.

b에서 순간적인 운동 방향은 원의 접선 방향이고 힘은 방사 방향입니다. 두 방향은 운동 전체에 걸쳐 계속 수직입니다.

따라서 각각의 아주 작은 일의 기여가 0이므로

\[ W=0\text{ J} \]

입니다.

쉽게 빠지는 실수는 반원의 거리를 계산한 뒤 거기에 \(18\) N을 곱하는 것입니다. 그렇게 하면 일이 각 변위에 대한 힘의 상대적인 방향에 따라 달라진다는 점과, 힘의 방향이 계속 변한다는 점을 무시하게 됩니다.

물체의 운동 에너지로도 결과를 확인할 수 있습니다.

\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]

속력은 변하지 않으므로 운동 에너지도 \(13.5\) J로 유지됩니다.

문제 2

질량 \(500\) kg의 위성이 반지름 \(7.0\times10^6\) m인 원궤도를 \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\)의 일정한 속력으로 이동합니다. 중력만 작용한다고 가정하세요.

a. 중력의 크기를 계산하세요.
b. 반 바퀴의 궤도를 이동하는 동안 중력이 한 일을 구하세요.
c. 한 학생은 위성이 반 바퀴를 돈 뒤의 전체 변위가 중심을 가로질러 향하며 처음의 중력 방향과 대략 같으므로, 중력이 양의 일을 했을 것이라고 주장합니다. 이 주장에 어떤 문제가 있는지 설명하세요.

풀이 2

중력의 크기는 약 \(4.0\times10^3\) N이지만, 반 바퀴를 도는 동안 한 일은 \(0\) J입니다.

a에서,

\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]

입니다.

b에서 위성의 속력이 일정하므로 운동 에너지는 변하지 않습니다.

일-에너지 정리를 사용하면,

\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]

입니다.

중력만 작용하므로,

\[ W_g=0\text{ J} \]

입니다.

c에서 학생의 주장은 반 바퀴를 도는 동안 중력의 방향이 고정되어 있었던 것처럼 잘못 다루고 있습니다.

중력의 방향은 고정되어 있지 않습니다. 중력은 항상 위성에서 지구 중심을 향하므로 위성이 이동하는 동안 힘 벡터는 계속 회전합니다.

경로 전체에서 힘의 방향이 변하는 상황에서는 출발점부터 도착점까지의 전체 변위를 처음의 힘 벡터와 짝지어 하나의 \(W=Fs\cos\theta\) 계산에 사용할 수 없습니다.

매 순간 중력은 방사 방향이고 위성의 속도는 접선 방향입니다. 두 벡터의 내적은 0이므로 중력은 일을 하지 않습니다.

두 번째 에너지 확인 방법으로도 같은 결론을 얻을 수 있습니다. 궤도 반지름이 일정하므로 위성의 중력 퍼텐셜 에너지는 일정하고, 속력도 일정하므로 운동 에너지 역시 일정합니다.

문제 3

\(2.0\) kg의 물체가 반지름 \(4.0\) m인 원을 따라 \(4.0\) m s\(^{-1}\)의 일정한 속력으로 움직입니다.

두 실제 힘 A와 B가 물체에 작용합니다. 매 순간 물체를 기준으로:

• 힘 A에는 안쪽 방향 \(6.0\) N의 성분과 진행 방향 접선 성분 \(8.0\) N이 있습니다.
• 힘 B에는 등속 원운동을 유지하는 데 필요한 나머지 성분이 있습니다.

다음을 구하세요.

a. 힘 B의 방사 성분과 접선 성분,
b. 각 힘이 전달하는 순간적인 일률, 그리고
c. “등속 원운동이므로 두 힘 모두 일을 하지 않는다”라는 말이 맞는지 여부.

풀이 3

힘 B는 안쪽 방향으로 \(2.0\) N의 성분과 뒤쪽 접선 방향으로 \(8.0\) N의 성분을 가져야 합니다. 힘 A는 \(+32\) W를 전달하고 힘 B는 \(-32\) W를 전달하며, 어느 힘도 일을 하지 않는다는 주장은 틀렸습니다.

먼저 필요한 알짜 방사 방향 힘을 구합니다.

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]

힘 A가 이미 안쪽 방향으로 \(6.0\) N을 제공하고 있으므로 힘 B는 나머지

\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N, 안쪽 방향} \]

을 제공해야 합니다.

또한 등속 원운동에서는 속력이 일정하므로 알짜 접선 방향 힘이 0이어야 합니다.

힘 A에는 진행 방향으로 \(8.0\) N의 접선 성분이 있으므로 힘 B에는 뒤쪽 방향으로 \(8.0\) N의 접선 성분이 있어야 합니다.

힘 A에서는 접선 성분만 일률에 기여합니다.

\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]

이 성분이 운동 방향을 향하므로 부호는 양수입니다.

힘 B의 경우,

\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]

입니다.

이 힘의 접선 성분은 같은 비율로 에너지를 제거합니다.

따라서,

\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]

입니다.

방사 성분들은 속도에 수직이므로 일을 하지 않습니다.

쉽게 빠지는 오류는 “등속 원운동”이라는 말을 듣고 모든 힘이 반드시 0의 일을 한다고 판단하는 것입니다. 등속 원운동이 실제로 보장하는 것은 알짜일이 0이라는 사실입니다. 개별적인 힘들은 서로 반대 방향으로 에너지를 전달할 수 있으며, 그동안 전체 운동 에너지는 변하지 않을 수 있습니다.

문제 4

\(0.50\) kg의 구슬이 반지름 \(1.20\) m인 매끄러운 수직 원형 트랙을 따라 일정한 속력으로 움직이도록 구동됩니다. 모터는 필요할 때마다 트랙의 접선 방향으로 힘을 가할 수 있습니다. 구슬의 속력은 운동 내내 \(4.0\) m s\(^{-1}\)로 유지됩니다.

\(g=9.8\) m s\(^{-2}\)로 두세요.

a. 구슬이 원의 바닥에서 꼭대기까지 이동할 때 중력이 한 일을 구하세요.
b. 같은 이동 동안 모터가 한 일을 구하세요.
c. 트랙의 수직항력은 얼마나 많은 일을 합니까?
d. 원의 오른쪽 지점에서 구슬이 위쪽으로 움직이고 있을 때, 모터가 가해야 하는 접선 방향 힘을 구하세요.
e. 한 바퀴 전체에서 모터의 알짜일은 0입니다. 이것이 모터가 구슬에 에너지를 전달하거나 구슬에서 에너지를 가져가는 일이 전혀 없다는 뜻인가요?

풀이 4

바닥에서 꼭대기까지 중력은 \(-11.8\) J의 일을 하고, 모터는 \(+11.8\) J의 일을 하며, 수직항력은 \(0\) J의 일을 합니다. 원의 오른쪽 지점에서는 모터가 트랙을 따라 위쪽으로 \(4.9\) N의 힘을 제공해야 합니다. 한 바퀴 전체에서 모터가 한 일이 0이라고 해서 모든 순간에 에너지 전달이 0이라는 뜻은 아닙니다.

바닥에서 꼭대기까지 구슬은 원의 지름과 같은 높이만큼 올라갑니다.

\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]

중력이 한 일은 중력 퍼텐셜 에너지 변화량의 음수입니다.

\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]

따라서,

\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]

입니다.

구슬의 속력이 일정하므로,

\[ \Delta K=0 \]

이고 따라서 전체 일은 0이어야 합니다.

수직항력은 항상 트랙을 따라 움직이는 구슬의 순간적인 운동 방향에 수직이므로,

\[ W_N=0 \]

입니다.

따라서 모터는 중력이 제거한 에너지를 정확히 보충해야 합니다.

\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]

\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]

따라서,

\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]

입니다.

원의 오른쪽 지점에서 구슬은 수직으로 위쪽을 향해 움직입니다. 중력은 수직 아래쪽으로 작용하며 운동 방향과 정확히 반대입니다.

속력을 일정하게 유지하려면 알짜 접선 방향 힘이 0이어야 합니다. 따라서 모터는 구슬의 무게와 같은 크기의 위쪽 접선 방향 힘을 제공해야 합니다.

\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]

원의 아래로 내려오는 반 바퀴 동안에는 중력이 양의 일을 합니다. 구슬이 빨라지는 것을 막으려면 모터가 음의 일을 하여 그 에너지를 제거해야 합니다.

한 바퀴 전체에서는 이러한 양의 기여와 음의 기여가 서로 상쇄됩니다.

쉽게 빠지는 실수는 속력이 일정하면 모든 힘이 0의 일을 한다고 생각하는 것입니다. 일정한 속력이 요구하는 것은 전체 일이 0이라는 것뿐입니다. 이 경우 중력과 모터는 구슬과 에너지를 주고받는 반면, 방사 방향의 수직항력은 일을 하지 않습니다.

문제 5

\(0.40\) kg의 퍽이 마찰이 없는 수평 테이블 위에서 움직이며, 테이블의 작은 구멍을 통과하는 줄에 연결되어 있습니다.

처음에 퍽은 구멍 주위를 돕니다. 이후 실험자가 줄을 아래쪽으로 당깁니다. 어느 순간:

• 퍽의 접선 속도는 \(3.0\) m s\(^{-1}\),
• 안쪽 방향의 방사 속도는 \(0.25\) m s\(^{-1}\),
• 줄의 장력은 안쪽 방향으로 \(18\) N입니다.

그다음 퍽이 방사 방향으로 안쪽으로 \(0.12\) m 이동하는 동안 장력은 \(18\) N에서 \(30\) N까지 선형적으로 증가합니다. 퍽에 일을 하는 힘은 장력뿐이라고 가정하세요.

a. 처음 순간 장력이 전달하는 순간적인 일률을 구하세요.
b. 안쪽으로 \(0.12\) m 이동하는 동안 장력이 한 일을 구하세요.
c. 퍽의 최종 속력을 구하세요.
d. 이 결과가 구심력이 일을 하지 않는다는 말과 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

풀이 5

처음에 장력이 전달하는 일률은 \(4.5\) W이고, 안쪽으로 이동하는 동안 \(2.88\) J의 양의 일을 하며, 퍽의 최종 속력은 약 \(4.84\) m s\(^{-1}\)입니다. 퍽이 더 이상 반지름이 고정된 등속 원운동을 하지 않기 때문에 모순이 없습니다.

처음 순간 장력은 방사 방향으로 안쪽을 향합니다. 이제 퍽에는 안쪽 방향으로 \(0.25\) m s\(^{-1}\)의 방사 속도 성분이 있습니다.

힘과 같은 방향의 속도 성분만 일률에 기여하므로,

\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]

입니다.

힘과 방사 방향 운동이 같은 방향을 향하므로 일률은 양수입니다.

그다음 \(0.12\) m 동안 장력은 \(18\) N에서 \(30\) N까지 선형적으로 변합니다. 따라서 이 변위 동안 장력의 평균값은

\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]

입니다.

힘과 방사 방향 변위가 같은 방향이므로,

\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]

입니다.

일-에너지 정리에 따라,

\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]

입니다.

이제 처음의 전체 속력을 구합니다. 방사 속도 성분과 접선 속도 성분은 서로 수직이므로,

\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]

입니다.

처음 운동 에너지는

\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]

입니다.

따라서,

\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]

입니다.

\(K_f=\frac12mv_f^2\)를 사용하면,

\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]

\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]

\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]

입니다.

쉽게 떠올릴 수 있는 오답은 장력이 “중심을 향한다”는 이유로 \(0\) J라고 하는 것입니다. 이는 퍽이 순수한 접선 속도를 가지며 반지름이 고정된 원을 따라 움직일 때만 맞습니다.

줄을 안쪽으로 당기기 시작하면 퍽에는 방사 방향 운동이 생깁니다. 따라서 장력은 더 이상 퍽의 전체 속도에 수직이 아닙니다.

힘이 “안쪽”을 향한다고 해서 자동으로 그 힘이 한 일이 0이 되는 것은 아닙니다. 일이 0이 되는 결과는 이상적인 고정 반지름 원운동에서 힘과 속도가 서로 수직이기 때문에 나타납니다.

09이 내용을 바탕으로 다음에 분석할 수 있는 것

실제로 유용한 구분은 “원운동의 힘과 일반적인 힘”의 차이가 아닙니다. 중요한 것은 방사 방향과 접선 방향의 구분입니다.

방사 방향 힘 성분은 속력을 바꾸지 않으면서 속도 벡터의 방향을 바꿀 수 있습니다. 접선 방향 성분은 속력을 바꾸므로 운동 에너지도 변화시킵니다. 반지름 자체가 변하기 시작하면 물체에 방사 방향 운동이 생기므로 방사 방향 힘조차 에너지를 전달할 수 있습니다.

이러한 구분은 속력이 변하는 원운동, 수직 원운동, 궤도 운동, 그리고 여러 실제 힘이 운동에 함께 기여하는 상황처럼 더 어려운 원운동 문제를 분석하는 데 필요합니다.