HSC 물리에서 포물선 운동을 성분으로 분해하기

같은 높이에 똑같은 공 두 개가 있다고 생각해 보자. 하나는 수직으로 그대로 떨어뜨린다. 정확히 같은 순간에 다른 하나는 수평으로 발사한다.

어느 공이 먼저 땅에 닿을까?

발사한 공은 “추가적인 운동”을 하고 있으므로 공중에 더 오래 머물 것이라고 생각하기 쉽다. 하지만 이상적인 포물선 운동 모형에서는 두 공이 동시에 땅에 닿는다. 두 번째 공의 수평 속도는 수직 낙하를 늦추지 않는다.

이 결과가 포물선 운동의 핵심이다. 수평 운동과 수직 운동을 서로 따로 분석하되 같은 시간을 사용하고, 발사체의 실제 위치나 속도가 필요할 때 두 성분을 다시 결합한다.

01하나의 발사체, 두 가지 운동

공이 손을 떠난 뒤 공중을 움직이는 모습을 생각해 보자. 공기 저항은 무시한다고 하자.

공에는 어떤 힘이 작용할까?

공의 무게뿐이다. 중력은 수직 아래 방향으로 작용한다. 수평 방향의 힘은 없다.

따라서 하나의 곡선 경로 안에는 훨씬 단순한 두 가지 운동이 숨어 있다.

지구 표면 근처에서 \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\)이다.

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따라서 곡선 궤적은 하나의 복잡한 운동이 아니다. 옆 방향으로는 일정한 속도의 운동이 일어나고, 동시에 수직 방향으로는 일정한 가속도의 운동이 일어난다.

유용한 비유로, 두 학생이 커다란 화이트보드의 양쪽 끝을 들고 있다고 생각해 보자. 한 학생은 오직 옆 방향의 움직임만 조절하고, 다른 학생은 오직 위아래 방향의 움직임만 조절한다. 화이트보드의 최종 위치는 두 움직임 모두에 의해 결정되지만, 어느 학생도 다른 학생이 하는 일을 직접 바꾸지는 않는다.

물론 발사체는 두 사람이 아니라 하나의 물체이므로 이 비유에는 한계가 있다. 중요한 점은 서로 수직인 운동 성분을 따로 분석할 수 있다는 것이다.

02초기 속도 분해하기

발사체가 수평선 위로 \(\theta\)의 각도를 이루며 속력 \(u\)로 발사된다고 하자.

속도 벡터는 다음과 같이 분해할 수 있다.

\[ u_x = u\cos\theta \]

그리고

\[ u_y = u\sin\theta \]

여기서:

• \(u_x\)는 단위가 초당 미터인 초기 수평 속도이고,
• \(u_y\)는 단위가 초당 미터인 초기 수직 속도이며,
• \(u\)는 단위가 초당 미터인 발사 속력이고,
• \(\theta\)는 수평선 위로 측정한 발사각이다.

이는 단순한 직각삼각형의 삼각법이다. \(\theta\)가 수평선에서 측정된 각도라면 수평 성분은 그 각도에 인접한 변이므로 코사인을 사용한다. 수직 성분은 맞은편 변이므로 사인을 사용한다.

예를 들어 공을 \(20\ \text{m s}^{-1}\)의 속력으로 \(30^\circ\)의 각도로 발사하면,

\[ u_x = 20\cos30^\circ = 17.3\ \text{m s}^{-1} \]

그리고

\[ u_y = 20\sin30^\circ = 10.0\ \text{m s}^{-1}. \]

따라서 발사체는 수평으로 \(17.3\ \text{m s}^{-1}\), 위쪽으로 \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)인 두 운동을 동시에 시작한다.

속력이 갑자기 \(27.3\ \text{m s}^{-1}\)이 된 것은 아니다. 두 성분은 서로 직각 방향으로 작용하므로 보통의 숫자처럼 단순히 더하지 않는다.

03두 방향에서 같은 시간이 흐른다

이 점이 포물선 운동 문제를 풀 수 있게 해 주는 핵심이다.

발사체가 \(1.2\ \text{s}\) 동안 움직였다고 하자. 수평 운동도 \(1.2\ \text{s}\) 동안 일어났고, 수직 운동도 역시 \(1.2\ \text{s}\) 동안 일어났다.

서로 다른 두 시간이 있는 것이 아니다.

수평 운동에서는 \(a_x=0\)이므로,

\[ x = x_0 + u_x t \]

그리고

\[ v_x = u_x. \]

수직 운동에서는 위쪽을 양의 방향으로 잡으면,

\[ y = y_0 + u_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]

그리고

\[ v_y = u_y-gt. \]

여기서:

• \(x_0\)와 \(y_0\)는 단위가 미터인 초기 좌표이고,
• \(x\)와 \(y\)는 이후의 좌표이며,
• \(t\)는 단위가 초인 경과 시간이고,
• \(v_x\)와 \(v_y\)는 단위가 초당 미터인 이후의 속도 성분이다.

두 식의 묶음을 연결하는 것이 무엇인지 주목하자. 바로 \(t\)이다.

이 공통된 시간은 보통 한 성분에서 다른 성분으로 넘어갈 때 사용한다. 예를 들어 수직 운동을 이용해 발사체가 공중에 머무는 시간을 구한 다음, 그 시간을 수평 운동 식에 대입해 수평 이동 거리를 구할 수 있다.

04“독립적”이라는 말의 의미와 그렇지 않은 의미

수평 운동과 수직 운동이 독립적이라고 말할 때, 그 말을 지나치게 문자 그대로 받아들이면 문제가 생길 수 있다.

이 말은 이상적인 모형에서 중력이 수평 속도를 바꾸지 않고 수직 속도만 바꾼다는 뜻이다.

수평 계산과 수직 계산이 서로 아무 관련이 없다는 뜻은 아니다. 두 계산은 같은 발사체를 설명하므로 반드시 같은 시간을 사용해야 한다.

발사체가 \(2.0\ \text{s}\) 후에 벽에 도달한다고 하자. 단지 더 편리한 높이가 나온다는 이유로 수직 운동 식에 \(1.6\ \text{s}\)를 사용할 수는 없다. 두 성분은 같은 순간을 설명한다.

이처럼 시간을 공유해야 한다는 조건은 포물선 운동에서 오류를 확인하는 데 매우 유용하다.

05최고점에서도 중력은 “사라지지” 않는다

이제 비스듬히 발사된 경우를 생각해 보자.

발사체가 상승하는 동안 중력이 아래쪽으로 작용하므로 \(v_y\)는 감소한다. 최고점에서는,

\[ v_y=0. \]

그 순간 가속도에는 어떤 일이 일어날지 예측해 보자. 가속도도 0이 될까?

아니다. 중력은 여전히 작용하므로,

\[ a_y=-9.8\ \text{m s}^{-2} \]

이며 이는 정확히 최고점에서도 마찬가지이다.

수직 속도가 0이라는 것은 발사체가 한 순간 동안 위쪽으로 움직이지 않는다는 뜻이다. 중력이 사라졌다는 뜻은 아니다.

한편,

\[ v_x=u_x \]

는 이상적인 비행 전체 동안 유지된다.

따라서 보통의 비스듬한 포물선 운동에서 최고점의 속도는 수평 방향이지만, 가속도는 수직 아래 방향이다.

06운동 성분 다시 결합하기

어떤 문제에서는 수평 거리나 최대 높이만 물을 수 있다. 그런 경우에는 성분을 다시 결합할 필요가 전혀 없을 수도 있다.

하지만 발사체의 실제 속도가 필요하다면 피타고라스 정리를 사용한다.

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

수평선에 대한 방향은 다음 식으로 구할 수 있다.

\[ \tan\phi=\frac{v_y}{v_x}. \]

부호에 주의해야 한다. \(v_x>0\)인 상태에서 \(v_y<0\)이면 발사체는 수평선 아래 방향으로 움직이고 있다.

변위 성분에도 같은 방법을 적용할 수 있다. 어떤 물체가 기준점에서 수평으로 \(x\)미터, 수직으로 \(y\)미터 이동했다면, 이 두 성분을 함께 사용해 발사체의 2차원 위치를 나타낼 수 있다.

07궤적이 곡선인 이유

발사체가 \(x=0\)에서 시작한다면 수평 변위는 시간에 따라 선형적으로 증가한다.

\[ x=u_x t \]

수직 변위에는 \(t^2\) 항이 포함된다.

\[ y=y_0+u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

\(u_x\neq0\)이면,

\[ t=\frac{x}{u_x}. \]

이를 수직 운동 식에 대입하면,

\[ y=y_0+\frac{u_y}{u_x}x-\frac{g}{2u_x^2}x^2. \]

속력 \(u\), 각도 \(\theta\)로 발사한 경우에는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

\[ y=y_0+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}. \]

중요한 특징은 \(x^2\) 항이다. 중력이 일정한 이상적인 모형에서 궤적은 포물선이다.

모든 포물선 운동 문제에서 이 식을 사용할 필요는 없다. 같은 시간을 공유하는 성분별 운동 방정식을 사용하는 편이 더 명확하고 실수를 줄이기 쉬운 경우가 많다.

08문제의 절반을 일으키는 오개념

흔히 다음과 같이 생각한다.

발사체를 앞으로 밀었으니, 어떤 전방 힘이 계속 작용해 앞으로 움직이게 할 것이다.

일상에서 물체를 밀고 나면 보통 속도가 줄어들기 때문에 이 생각은 그럴듯하게 느껴진다.

하지만 물체가 느려지는 이유는 대개 마찰이나 공기 저항 때문이다. 이상적인 포물선 운동 모형에서는 물체가 발사 장치를 떠난 뒤에는 지속적으로 작용하는 수평 힘이 없다.

따라서 뉴턴의 제1법칙에 의해 수평 속도는 일정하게 유지된다.

반대로 다음과 같은 실수도 하기 쉽다. “중력이 발사체에 작용하니까 속도의 모든 성분이 줄어들 것이다.”

중력은 중력과 평행한 속도 성분만 바꾼다. 보통 사용하는 좌표축에서는 그것이 \(v_y\)이다. 중력은 \(v_x\)를 직접 바꾸지 않는다.

09단순한 성분 모형이 더 이상 정확하지 않은 경우

HSC 포물선 운동 모형에서는 일반적으로 다음을 가정한다.

• 공기 저항은 무시할 수 있고,
• 중력 가속도는 일정하며 수직 아래 방향이고,
• 해당 거리 범위에서는 지구의 곡률과 자전을 무시할 수 있다.

이 가정 아래에서는,

\[ a_x=0,\qquad a_y=-g. \]

실제 발사체에는 항력이 작용할 수 있다. 항력은 물체의 속도와 반대 방향으로 작용하므로 수평 성분과 수직 성분을 모두 가질 수 있다. 이 경우 \(v_x\)는 더 이상 일정하게 유지되지 않는다.

그래도 벡터를 성분으로 분해하는 것 자체는 여전히 유효하다. 달라지는 것은 각 성분의 방정식에 적용하는 물리이다.

이 구분은 중요하다. 성분 분해는 수학적 방법인 반면, “수평 속도가 일정하다”는 것은 특정한 물리적 모형에서 따라 나오는 결과이다.

10HSC 포물선 운동 문제를 푸는 신뢰할 수 있는 방법

포물선 운동 문제가 복잡해 보이면 다음 순서를 사용하자.

1. 양의 \(x\) 방향과 \(y\) 방향을 정한다.
2. 초기 속도 벡터를 그리거나 확인한다.
3. 초기 속도를 \(u_x\)와 \(u_y\)로 분해한다.
4. 이상적인 포물선 운동 가정이 적용된다면 \(a_x=0\), \(a_y=-g\)라고 쓴다.
5. 어느 성분에 시간을 구하기에 충분한 정보가 있는지 판단한다.
6. 그 같은 시간을 다른 성분에도 사용한다.
7. 전체 속력, 방향 또는 변위를 요구할 때만 성분을 다시 결합한다.
8. 부호와 물리적 결과가 타당한지 확인한다.

\(v_y\)가 음수인 것은 충분히 자연스러울 수 있다. 이는 발사체가 하강하고 있다는 뜻이다. 반면 음의 시간은 보통 원하는 물리적 해가 아니다.

11문제와 풀이

문제 1

공이 높이 \(19.6\ \text{m}\)인 절벽 꼭대기에서 \(14.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속도로 수평 방향으로 발사된다. 공기 저항은 무시한다.

다음을 구하여라.

a. 지면에 도달하는 데 걸리는 시간,
b. 수평 이동 거리, 그리고
c. 충돌 직전의 속도.

풀이 1

공이 낙하하는 데 걸리는 시간은 \(2.00\ \text{s}\)이고, 수평으로 \(28.0\ \text{m}\) 이동하며, \(24.1\ \text{m s}^{-1}\)의 속력으로 수평선 아래 \(54.5^\circ\) 방향에서 지면에 충돌한다.

수직 운동에 대해,

\[ u_y=0,\qquad \Delta y=-19.6\ \text{m},\qquad a_y=-9.8\ \text{m s}^{-2}. \]

다음을 사용하면,

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2, \]

다음을 얻는다.

\[ -19.6=-4.9t^2. \]

따라서,

\[ t=2.00\ \text{s}. \]

여기서 하기 쉬운 실수는 낙하 시간을 계산할 때 \(14.0\ \text{m s}^{-1}\)의 수평 속도를 사용하는 것이다. 이 값은 수직 운동 방정식과는 관계가 없다.

이제 같은 \(2.00\ \text{s}\)를 수평 운동에 사용한다.

\[ \Delta x=u_x t=(14.0)(2.00)=28.0\ \text{m}. \]

충돌 직전에,

\[ v_x=14.0\ \text{m s}^{-1} \]

그리고

\[ v_y=u_y-gt=0-(9.8)(2.00)=-19.6\ \text{m s}^{-1}. \]

따라서,

\[ v=\sqrt{(14.0)^2+(-19.6)^2}=24.1\ \text{m s}^{-1}. \]

충돌 각도는

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{19.6}{14.0}\right)=54.5^\circ. \]

\(v_y\)가 음수이므로 이는 수평선 아래 \(54.5^\circ\)이다.

문제 2

발사체가 지면에서 \(25.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속력으로, 수평선 위 \(53.1^\circ\)의 각도로 발사된다. 발사 지점에서 \(30.0\ \text{m}\) 떨어진 곳에 높이 \(19.5\ \text{m}\)의 벽이 서 있다.

유효숫자 세 자리까지 \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\), \(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\)라고 가정한다.

다음을 판단하여라.

a. 발사체가 벽을 넘어가는지,
b. 벽을 지날 때 상승 중인지 하강 중인지, 그리고
c. 최종적으로 발사 높이로 돌아오는 수평 위치.

풀이 2

발사체는 벽보다 \(0.90\ \text{m}\) 높게 지나가며, 벽을 지날 때 아주 조금씩이나마 여전히 상승하고 있고, 발사 지점에서 약 \(61.2\ \text{m}\) 떨어진 곳에서 다시 발사 높이로 돌아온다.

먼저 발사체가 벽에 도달하는 시간을 구한다.

\[ t=\frac{x}{u_x} =\frac{30.0}{15.0} =2.00\ \text{s}. \]

이 시간에서,

\[ y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

따라서,

\[ y=(20.0)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2 =40.0-19.6 =20.4\ \text{m}. \]

벽의 높이는 \(19.5\ \text{m}\)이므로 벽과의 높이 차는

\[ 20.4-19.5=0.90\ \text{m}. \]

이제 수직 속도를 확인한다.

\[ v_y=u_y-gt =20.0-(9.8)(2.00) =0.40\ \text{m s}^{-1}. \]

양수이므로 발사체는 여전히 위쪽으로 움직이고 있다.

이는 대략적인 스케치의 모양만 보고 운동 방향을 판단해서는 안 된다는 점을 잘 보여 준다. 발사체는 최고점에 매우 가까워졌지만 아직 정확히 최고점에 도달하지는 않았다.

발사 높이로 다시 돌아오는 시간을 구하려면 수직 변위를 0으로 둔다.

\[ 0=20.0t-4.9t^2. \]

인수분해하면,

\[ 0=t(20.0-4.9t). \]

\(t=0\)이라는 해는 발사 순간이다. 나중의 해는

\[ t=\frac{20.0}{4.9}=4.08\ \text{s}. \]

따라서 수평 도달 거리는

\[ R=(15.0)(4.08)=61.2\ \text{m}. \]

흔히 잘못 접근하는 방법은 \(2.00\ \text{s}\) 후 벽에 도달했으므로 \(2.00\ \text{s}\)가 전체 비행 시간의 “약 절반”이라는 이유로 발사체가 최고점에 있다고 가정하는 것이다. 성분 방정식은 정확한 답을 준다. \(v_y\)는 여전히 \(+0.40\ \text{m s}^{-1}\)이다.

문제 3

산비탈을 다음 직선으로 근사한다.

\[ y=0.250x, \]

여기서 \(x\)와 \(y\)는 발사 지점으로부터 미터 단위로 측정한다.

발사체를 원점에서 \(24.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속력으로, 수평선 위 \(50.0^\circ\)의 각도로 발사한다. 공기 저항은 무시한다.

발사체가 다음으로 산비탈에 충돌하는 지점과 충돌 직전의 속도를 구하여라.

풀이 3

발사체는 대략 \((45.7\ \text{m},\,11.4\ \text{m})\)에서 산비탈에 충돌하며, 충돌 속력은 \(18.8\ \text{m s}^{-1}\), 방향은 수평선 아래 \(34.7^\circ\)이다.

초기 속도를 분해하면,

\[ u_x=(24.0)\cos50.0^\circ=15.4\ \text{m s}^{-1}, \]

\[ u_y=(24.0)\sin50.0^\circ=18.4\ \text{m s}^{-1}. \]

시간 \(t\)에서,

\[ x=15.4t \]

그리고

\[ y=18.4t-4.9t^2. \]

충돌 순간 발사체는 산비탈 위에 있어야 하므로 다음 식도 만족해야 한다.

\[ y=0.250x. \]

\(x=15.4t\)를 대입하면,

\[ 18.4t-4.9t^2=0.250(15.4t). \]

따라서,

\[ 18.4t-4.9t^2=3.86t. \]

정리하면,

\[ t(14.5-4.9t)=0. \]

\(t=0\)이라는 해는 발사 지점이다. 다음 교점은

\[ t=\frac{14.5}{4.9}\approx2.96\ \text{s}. \]

따라서 수평 좌표는

\[ x=(15.4)(2.96)\approx45.7\ \text{m}. \]

그 위치에서 산비탈의 높이는

\[ y=0.250(45.7)\approx11.4\ \text{m}. \]

이제 충돌 속도를 구한다. 수평 방향에서는,

\[ v_x=15.4\ \text{m s}^{-1}. \]

수직 방향에서는,

\[ v_y=18.4-(9.8)(2.96) \approx-10.7\ \text{m s}^{-1}. \]

따라서,

\[ v=\sqrt{(15.4)^2+(-10.7)^2} \approx18.8\ \text{m s}^{-1}. \]

방향은

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{10.7}{15.4}\right) \approx34.7^\circ \]

이며 수평선 아래쪽이다.

하기 쉬운 잘못된 지름길은 충돌 시간을 구하기 위해 \(y=0\)으로 두는 것이다. 그렇게 하면 발사체가 발사 지점과 같은 수평 높이로 다시 돌아오는 위치를 구하게 된다. 그러나 여기서 지면은 수평이 아니다. 발사 이후 지면은 \(y=0.250x\)를 따른다. 물리적 경계 조건은 실제 산비탈과 일치해야 한다.

문제 4

발사체가 지면에서 발사된 뒤 점 \(A\)를 지난다. 점 \(A\)는 발사 지점에서 수평으로 \(20.0\ \text{m}\), 수직으로 \(15.0\ \text{m}\) 위에 있다.

하강하는 도중 발사체는 점 \(B\)를 지나는데, 점 \(B\)는 발사 지점에서 수평으로 \(50.0\ \text{m}\) 떨어져 있으며 역시 높이가 \(15.0\ \text{m}\)이다.

공기 저항은 무시한다.

다음을 구하여라.

a. 초기 수평 및 수직 속도 성분,
b. 발사 속력과 각도, 그리고
c. 최고점의 수평 위치와 높이.

풀이 4

초기 성분은 \(u_x=18.1\ \text{m s}^{-1}\), \(u_y=19.0\ \text{m s}^{-1}\)이다. 발사 속력은 \(26.2\ \text{m s}^{-1}\), 발사각은 \(46.4^\circ\)이며, 최고점은 \(x=35.0\ \text{m}\), 발사 지점보다 \(18.4\ \text{m}\) 높은 곳에 있다.

점 \(A\)와 \(B\)에 도달하는 시간을 각각 \(t_1\)과 \(t_2\)라고 하자.

수평 속도는 일정하므로,

\[ t_1=\frac{20.0}{u_x}, \qquad t_2=\frac{50.0}{u_x}. \]

수직 방향에서 두 점은 모두 다음 식을 만족한다.

\[ 15.0=u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

정리하면 다음 이차방정식을 얻는다.

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+15.0=0. \]

이 식의 두 근은 \(t_1\)과 \(t_2\)이다.

이차방정식 \(at^2+bt+c=0\)에서 두 근의 곱은 \(c/a\)이다. 따라서,

\[ t_1t_2=\frac{15.0}{4.9}. \]

하지만 수평 운동에서,

\[ t_1t_2 = \frac{20.0}{u_x}\frac{50.0}{u_x} = \frac{1000}{u_x^2}. \]

따라서,

\[ \frac{1000}{u_x^2}=\frac{15.0}{4.9}. \]

그러므로,

\[ u_x^2=\frac{1000(4.9)}{15.0}, \]

따라서

\[ u_x=18.1\ \text{m s}^{-1}. \]

이에 해당하는 시간은

\[ t_1=\frac{20.0}{18.1}=1.11\ \text{s}, \]

\[ t_2=\frac{50.0}{18.1}=2.77\ \text{s}. \]

같은 이차방정식에서 두 근의 합은

\[ t_1+t_2=\frac{u_y}{4.9}. \]

따라서,

\[ u_y=4.9(t_1+t_2) =4.9(1.11+2.77) \approx19.0\ \text{m s}^{-1}. \]

발사 속력은

\[ u=\sqrt{u_x^2+u_y^2} =\sqrt{(18.1)^2+(19.0)^2} =26.2\ \text{m s}^{-1}. \]

발사각은

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{19.0}{18.1}\right) =46.4^\circ. \]

최고점에서는,

\[ v_y=0. \]

따라서,

\[ 0=u_y-gt, \]

이므로,

\[ t_{\text{apex}}=\frac{19.0}{9.8}=1.94\ \text{s}. \]

따라서,

\[ x_{\text{apex}}=(18.1)(1.94)=35.0\ \text{m}. \]

최고점까지의 수직 상승 거리는 다음 식으로 구할 수 있다.

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

따라서,

\[ 0=(19.0)^2-2(9.8)\Delta y, \]

그러므로,

\[ \Delta y=18.4\ \text{m}. \]

하기 쉬운 예상은 \(A\)와 \(B\)의 높이가 같으므로 두 점에 도달하는 시간도 somehow 같아야 한다고 생각하는 것이다. 하지만 그럴 수 없다. 발사체는 서로 다른 두 위치에 있기 때문이다.

대칭적인 것은 최고점을 기준으로 한 두 순간의 시간이다. 실제로,

\[ \frac{t_1+t_2}{2} = \frac{1.11+2.77}{2} = 1.94\ \text{s}, \]

로 정확히 최고 높이에 도달하는 시간과 같다. 이것은 최고점이 \(x=20.0\ \text{m}\)와 \(x=50.0\ \text{m}\)의 정확히 중간에 있는 이유이기도 하다. \(v_x\)가 일정할 때 같은 시간 간격은 같은 수평 거리와 대응한다.

문제 5

발사체 \(A\)는 \(t=0\)에서 \((0,0)\)으로부터 다음 초기 속도 성분을 가지고 발사된다.

\[ u_{Ax}=18.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad u_{Ay}=22.0\ \text{m s}^{-1}. \]

발사체 \(B\)는 처음에 \((54.0\ \text{m},12.0\ \text{m})\)에 있다. 다음 속도 성분으로 발사된다.

\[ u_{Bx}=-9.00\ \text{m s}^{-1}, \qquad u_{By}=16.0\ \text{m s}^{-1}. \]

두 발사체는 같은 중력 가속도를 받으며 공기 저항은 무시할 수 있다.

a. 두 발사체를 동시에 발사한다면, 어느 한쪽이 지면에 닿기 전에 충돌하는지 판단하여라. 충돌한다면 충돌 위치를 구하여라.

b. 이제 발사체 \(B\)를 \(A\)보다 \(0.500\ \text{s}\) 늦게, 이전과 같은 속도로 발사한다. 한 학생은 중력이 두 발사체를 똑같이 가속하므로 이 시간 지연은 아무 차이를 만들지 않는다고 주장한다. 두 발사체가 같은 수평 위치에 도달했을 때의 수직 간격을 구해 이 주장을 검토하여라.

c. \(0.500\ \text{s}\)의 지연과 \(u_{Bx}=-9.00\ \text{m s}^{-1}\)는 그대로 유지하면서, 실제로 충돌하기 위해 필요한 \(u_{By}\)의 값을 구하여라.

풀이 5

동시에 발사하면 두 발사체는 \(t=2.00\ \text{s}\)에서 \((36.0\ \text{m},24.4\ \text{m})\) 지점에서 충돌한다. 발사체 \(B\)를 \(0.500\ \text{s}\) 늦게 발사하면 두 발사체의 수평 위치가 같아질 때 \(B\)가 \(A\)보다 \(0.392\ \text{m}\) 위를 지나간다. \(B\)의 수직 발사 속도 성분을 약 \(15.8\ \text{m s}^{-1}\)로 줄이면 다시 충돌하게 된다.

a에서는 수평 위치를 식으로 나타낸다.

\(A\)에 대해,

\[ x_A=18.0t. \]

\(B\)에 대해,

\[ x_B=54.0-9.00t. \]

충돌하려면,

\[ x_A=x_B. \]

따라서,

\[ 18.0t=54.0-9.00t, \]

이므로,

\[ 27.0t=54.0 \]

그리고

\[ t=2.00\ \text{s}. \]

이제 바로 이 같은 시간에서 수직 위치를 확인한다.

\(A\)에 대해,

\[ y_A=22.0t-4.9t^2. \]

따라서,

\[ y_A=(22.0)(2.00)-4.9(2.00)^2 =44.0-19.6 =24.4\ \text{m}. \]

\(B\)에 대해,

\[ y_B=12.0+16.0t-4.9t^2. \]

따라서,

\[ y_B=12.0+(16.0)(2.00)-4.9(2.00)^2 =24.4\ \text{m}. \]

같은 시간에 수평 좌표와 수직 좌표가 모두 일치하므로 두 발사체는

\[ (36.0\ \text{m},24.4\ \text{m}). \]

에서 충돌한다.

이 결과에 숨어 있는 상쇄 효과는 중요하다. 두 물체가 같은 중력 가속도를 받으므로 둘 다 비행 중인 동안 상대 가속도는 0이다. 중력은 두 발사체의 수직 속도를 같은 양만큼 변화시킨다.

b에서는 발사체 \(B\)가 이제 \(0.500\ \text{s}\) 늦게 출발한다.

\(t\)를 여전히 \(A\)가 발사된 뒤 지난 시간이라고 하자. 그러면 \(B\)가 실제로 움직인 시간은

\[ t_B=t-0.500. \]

\(A\)에 대해,

\[ x_A=18.0t. \]

\(B\)에 대해,

\[ x_B=54.0-9.00(t-0.500). \]

두 식을 같게 두면,

\[ 18.0t = 54.0-9.00(t-0.500). \]

전개하면,

\[ 18.0t=58.5-9.00t. \]

따라서,

\[ 27.0t=58.5 \]

그리고

\[ t=2.167\ \text{s}. \]

이 순간 \(B\)가 움직인 시간은

\[ t_B=2.167-0.500=1.667\ \text{s}. \]

발사체 \(A\)의 높이는

\[ y_A = (22.0)(2.167)-4.9(2.167)^2 = 24.664\ \text{m}. \]

발사체 \(B\)의 높이는

\[ y_B = 12.0+(16.0)(1.667)-4.9(1.667)^2 = 25.056\ \text{m}. \]

따라서,

\[ y_B-y_A = 25.056-24.664 = 0.392\ \text{m}. \]

따라서 \(B\)는 \(A\)보다 약 \(0.392\ \text{m}\) 위를 지나간다. 충돌은 일어나지 않는다.

학생의 추론에는 미묘하게 맞는 부분이 있지만 그것을 잘못 적용했다. \(B\)가 발사된 뒤에는 두 발사체가 실제로 같은 중력 가속도를 받으므로 상대 가속도는 0이다.

하지만 처음 \(0.500\ \text{s}\) 동안에는 \(A\)만 포물선 운동을 하고 있다. \(B\)가 움직이기 시작할 때에는 이미 \(A\)의 위치와 수직 속도가 변해 있다. 그 시점 이후 두 물체가 같은 가속도를 받는다고 해서 서로 다른 초기 상태가 없어지는 것은 아니다.

c에서는 \(B\)의 수직 발사 속도 성분만 조정하므로 두 발사체가 수평으로 만나는 시간은 변하지 않는다. 따라서,

\[ t=2.167\ \text{s}, \qquad t_B=1.667\ \text{s}. \]

충돌하려면 \(B\)의 높이가 \(A\)의 높이와 같아야 하며, 앞에서 \(A\)의 높이가 \(24.664\ \text{m}\)임을 구했다.

필요한 \(B\)의 수직 발사 속도 성분을 \(u_{By}\)라고 하자. 그러면,

\[ 24.664 = 12.0+u_{By}(1.667)-4.9(1.667)^2. \]

정리하면,

\[ u_{By} = \frac{24.664-12.0+4.9(1.667)^2}{1.667}. \]

따라서,

\[ u_{By}=15.8\ \text{m s}^{-1} \]

이며 이는 유효숫자 세 자리 값이다.

놀라운 점은 \(B\)에 이전보다 더 큰 수직 성분이 아니라 약간 더 작은 수직 성분이 필요하다는 것이다. \(u_{By}=16.0\ \text{m s}^{-1}\)일 때는 두 발사체가 같은 수평 위치에 도달했을 때 이미 \(B\)가 너무 높이 있었다.

이것이 성분 분석에서 반드시 지켜야 할 핵심 원칙이다. 하나의 좌표만 일치한다고 해서 충분한 것은 아니다. 충돌, 접촉 또는 그 밖의 어떤 2차원 사건이 일어나려면 수평 조건과 수직 조건이 같은 순간에 동시에 만족되어야 한다.

이 개념을 확실히 이해했다면, 다음으로 같은 성분 분해 방법을 상대 운동, 발사체 궤적, 그리고 착지면 자체가 움직이거나 기울어진 상황에 적용해 보는 것이 유용하다.