발사체의 최종 속도: HSC 물리학 가이드

한 발사체가 곧 지면에 충돌하려고 합니다. 그 순간 발사체는 오른쪽으로 \(17.3\text{ m s}^{-1}\), 아래쪽으로 \(9.6\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있습니다. 이 발사체의 최종 속도는 얼마일까요?

\(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\)라고 답하고 싶을 수 있습니다. 하지만 이 두 수치는 서로 수직인 방향의 운동을 나타내므로, 일반적인 덧셈을 사용할 수 없습니다. 실제 속도는 대각선 방향입니다.

계속 읽기 전에 다음을 예상해 보세요. 최종 속력은 \(17.3\text{ m s}^{-1}\)보다 작을까요, 같을까요, 아니면 클까요?

더 커야 합니다. 발사체는 수평 운동과 수직 운동을 동시에 하고 있습니다. 이 성분들을 다시 결합하는 것은 많은 HSC 발사체 문제의 마지막 단계입니다.

01두 성분에서 하나의 속도로

오른쪽을 \(x\)의 양의 방향, 위쪽을 \(y\)의 양의 방향으로 정한다고 해 봅시다.

그러면 발사체의 속도는 두 성분을 사용해 나타낼 수 있습니다.

• \(v_x\): 수평 속도 성분, 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)
• \(v_y\): 수직 속도 성분, 단위는 \(\text{m s}^{-1}\)

발사체가 오른쪽 아래 방향으로 움직인다면 \(v_x\)는 양수이고 \(v_y\)는 음수입니다.

예를 들어,

\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]

라고 해서 한 속도가 다른 속도와 서로 반대 작용을 한다는 뜻은 아닙니다. 두 성분 모두 같은 운동을 설명합니다.

직사각형을 떠올려 보세요. \(v_x\)는 수평 변이고, \(v_y\)는 수직 변이며, 실제 속도 벡터는 대각선입니다.

두 성분은 서로 수직이므로, 속도 벡터의 크기인 속력 \(v\)는 피타고라스 정리를 이용해 구합니다.

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

아래쪽을 향하는 \(v_y\)의 음의 부호는 제곱하면 사라집니다. 이는 타당합니다. 속력은 크기이므로 음수가 될 수 없기 때문입니다.

방향은 삼각법을 이용해 구합니다. 발사체가 오른쪽으로 이동하고 있다면,

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]

여기서 \(\theta\)는 수평선 위 또는 아래의 각도입니다.

절댓값 \(|v_y|\)는 수직 성분의 크기를 나타냅니다. 그런 다음 \(v_y\)의 부호를 사용해 방향이 수평선 위인지 아래인지 나타냅니다.

따라서 \(v_y<0\)이라면 다음과 같이 쓰면 됩니다.

수평선 아래 \(29^\circ\).

방향을 결정하기 전에 부호를 없애지 마세요.

02최종 속도 성분은 어디에서 오는가

속도 성분을 다시 결합하는 것은 일반적으로 마지막 단계이지, 발사체 계산의 전부가 아닙니다.

공기 저항을 무시하는 표준 HSC 발사체 모델에서는,

\[ a_x=0 \]

이므로 수평 속도는 일정하게 유지됩니다.

\[ v_x=u_x \]

여기서 \(u_x\)는 초기 수평 속도 성분입니다.

수직 방향에서는,

\[ a_y=-g \]

이며, 위쪽을 양의 방향으로 정한 경우 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)입니다.

따라서,

\[ v_y=u_y-gt \]

여기서:

• \(u_y\)는 초기 수직 속도 성분
• \(t\)는 경과 시간(초)
• \(v_y\)는 그 시간이 지난 뒤의 수직 속도

초기 발사 속력과 각도를 \(u_x\)와 \(u_y\)로 바꾸는 방법을 다시 확인하고 싶다면 HSC 물리학을 위한 발사체 초기 속도 성분을 참고하세요.

유용한 판단 표는 다음과 같습니다.

한 가지 중요한 점이 있습니다. “최종 속도”가 자동으로 “지면에 충돌할 때의 속도”를 의미하는 것은 아닙니다. 이는 분석하고 있는 시간 구간의 끝에서의 속도를 의미합니다.

03\(v_y\)의 부호가 알려 주는 것

계산기에서 다음 결과가 나왔다고 해 봅시다.

\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]

\(14\)는 속도의 수직 방향 성분이 얼마나 큰지를 나타냅니다. 음의 부호는 그 성분이 아래쪽을 향하고 있음을 알려 줍니다.

학생들은 때때로 \(-14\)를 다음 식에 그대로 대입합니다.

\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]

그러면 음의 각도가 나옵니다. 계산기가 틀린 것은 아닙니다. 예를 들어 \(-35^\circ\)라는 각도는 양의 수평축에서 아래로 \(35^\circ\)라는 뜻입니다.

HSC 답안에서는 일반적으로 각도의 크기를 쓰고, 그다음 방향을 말로 명시하는 것이 더 명확합니다.

\[ \text{수평선 아래 }35^\circ. \]

물리적 방향을 계산기가 대신 결정하게 하려고 하기보다는 간단한 스케치를 그리는 것이 더 안전합니다.

04비행 시간이 항상 필요한 것은 아니다

발사체가 발사 지점보다 낮은 곳에 착지한다고 해 봅시다. 최종 속도를 구하기 전에 반드시 비행 시간을 계산해야 한다고 생각할 수 있습니다.

때로는 그렇습니다. 하지만 수직 변위를 알고 있다면 다음 식을 사용해 초기 수직 성분에서 최종 수직 성분으로 바로 갈 수 있습니다.

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

다만 주의할 점이 있습니다. 제곱하면 \(v_y\)의 부호가 사라집니다. 제곱근을 취한 뒤에는 물리적 상황을 바탕으로 \(v_y\)가 양수인지 음수인지 결정해야 합니다.

충돌 순간 발사체가 하강 중이라면 음의 근을 선택합니다.

05대칭성을 이용한 지름길과 그 한계

다음과 같이 예측해 봅시다.

발사체가 수평선 위 \(\alpha\)의 각도로 속력 \(u\)로 발사됩니다. 이후 정확히 같은 높이로 돌아옵니다. 공기 저항이 없다면 이때의 속도는 어떻게 될까요?

수평 성분은 변하지 않았습니다.

\[ v_x=u\cos\alpha \]

같은 높이를 내려오는 중에는 수직 성분의 크기가 처음과 같지만 부호는 반대입니다.

\[ v_y=-u\sin\alpha \]

따라서 최종 속력은

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]

이며, 방향은 수평선 아래 \(\alpha\)입니다.

따라서 수평선 위 \(37^\circ\), \(25\text{ m s}^{-1}\)로 발사한 발사체는 같은 높이로 돌아왔을 때 수평선 아래 \(37^\circ\), \(25\text{ m s}^{-1}\)로 움직입니다.

흔한 실수 중 하나는 최종 속도가 단순히 초기 속도의 음수라고 말하는 것입니다.

그렇지 않습니다.

만약

\[ \vec u=(u_x,u_y), \]

라면 같은 높이의 하강 구간에서는,

\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]

오직 수직 성분만 반전됩니다. 수평 성분은 여전히 같은 방향을 가리킵니다.

최종 높이가 초기 높이와 다르거나, 공기 저항이 중요하거나, 다른 힘이 발사체에 수평 가속도를 준다면 이 지름길도 사용할 수 없습니다.

06신뢰할 수 있는 최종 속도 풀이 절차

HSC 문제에서 최종 속도를 묻는다면 다음 순서를 사용하세요.

1. 양의 방향을 정합니다.
2. \(v_x\)를 구하고 부호를 유지합니다.
3. \(v_y\)를 구하고 부호를 유지합니다.
4. 두 성분을 스케치합니다.
5. \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\)를 사용해 속력을 계산합니다.
6. 삼각법을 사용해 기준각을 계산합니다.
7. “수평선 아래”와 같이 방향을 명확하게 씁니다.

부호가 물리적으로 무엇을 의미하는지 알기 전에 각도를 계산하지 마세요.

07문제와 풀이

문제 1

발사체의 최종 속도 성분이 다음과 같습니다.

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]

최종 속력과 방향을 구하세요.

풀이 1

최종 속도는 수평선 아래 \(22.6^\circ\) 방향으로 \(13.0\text{ m s}^{-1}\)입니다.

속력은 서로 수직인 두 성분으로 이루어진 벡터의 크기입니다.

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

방향은,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]

\(v_y\)가 음수이므로 발사체는 아래쪽으로 움직이고 있습니다. 따라서 방향은 수평선 아래 \(22.6^\circ\)입니다.

하기 쉬운 실수는 \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\)로 계산하는 것입니다. 이는 서로 수직인 성분을 마치 같은 직선 위에서 작용하는 것처럼 취급한 것입니다.

문제 2

발사체가 \(2.50\text{ s}\) 동안 수평으로 \(40.0\text{ m}\) 이동합니다. 같은 시간 동안 최종 위치는 발사 지점보다 \(5.00\text{ m}\) 낮습니다.

공기 저항을 무시하고 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)를 사용하세요.

다음을 구하세요.

• 초기 수직 속도 성분
• 최종 속도 성분
• 최종 속력과 방향

풀이 2

초기 수직 성분은 위쪽으로 \(10.25\text{ m s}^{-1}\)이고, 최종 속도는 대략 수평선 아래 \(41.7^\circ\) 방향으로 \(21.4\text{ m s}^{-1}\)입니다.

먼저 수평 속도를 구합니다. 수평 가속도가 0이므로,

\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

이제 수직 변위 식을 사용합니다.

\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

여기서,

\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

대입하면,

\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

최종 수직 성분은,

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

따라서 최종 성분은,

\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]

이제 두 성분을 다시 결합합니다.

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

방향은,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]

\(v_y<0\)이므로 방향은 수평선 아래 \(41.7^\circ\)입니다.

하기 쉬운 방법은 평균 수직 속도,

\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]

를 최종 수직 속도로 사용하는 것입니다. 하지만 이는 잘못된 방법입니다. 중력 때문에 \(v_y\)가 계속 변하기 때문입니다. 해당 시간 구간의 평균 수직 속도는 최종 수직 속도와 같지 않습니다.

문제 3

점 \(A\)에서 발사체는 수평선 위 \(25^\circ\) 방향으로 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있습니다.

이후 발사체는 점 \(A\)보다 \(3.00\text{ m}\) 낮은 점 \(B\)에 도달합니다. \(B\)에서 발사체는 하강하고 있습니다.

공기 저항을 무시하세요.

다음을 구하세요.

• 점 \(B\)에서 발사체의 속도
• \(A\)에서 \(B\)까지 이동하는 데 걸린 시간

풀이 3

점 \(B\)에서 발사체는 대략 수평선 아래 \(33.5^\circ\) 방향으로 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이며, \(A\)에서 \(B\)까지의 이동 시간은 \(1.88\text{ s}\)입니다.

먼저 \(A\)에서의 속도를 성분으로 분해합니다.

\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

그리고,

\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

수평 성분은 일정하게 유지되므로,

\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]

수직 성분은 다음 식을 사용합니다.

\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]

여기서,

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]

따라서,

\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]

그러므로,

\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]

문제에서 발사체가 \(B\)에서 하강하고 있다고 했으므로 물리적으로 올바른 근은,

\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]

입니다.

이제 속력을 구합니다.

\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

방향은,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]

따라서 속도는 수평선 아래 \(33.5^\circ\) 방향으로 \(19.6\text{ m s}^{-1}\)입니다.

시간을 구하려면,

\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]

를 사용합니다.

따라서,

\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]

주의해야 할 부분은 제곱근입니다. \(v_{By}^2\)에 대한 방정식은 수학적으로 두 가지 가능성을 만듭니다. \(B\)에 도달할 때 발사체가 하강하고 있다는 조건이 음의 값을 선택하게 해 줍니다.

문제 4

발사체가 점 \(O\)에서 발사됩니다. 나중에 \(O\)보다 \(8.00\text{ m}\) 높은 점 \(P\)에서, 발사체는 수평선 아래 \(30^\circ\) 방향으로 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 움직이고 있습니다.

공기 저항이 없는 표준 발사체 운동을 가정하세요.

다음을 구하세요.

• 발사체의 발사 속력
• 수평선 위로 측정한 발사각
• 발사부터 \(P\)에 도달할 때까지의 시간

풀이 4

발사체는 대략 수평선 위 \(42.8^\circ\) 방향으로 \(23.6\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 발사되었으며, \(2.66\text{ s}\) 후 \(P\)에 도달합니다.

이 문제의 특이한 점은 나중의 속도로부터 더 이른 시점의 속도를 역으로 구한다는 것입니다.

\(P\)에서,

\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

이며 발사체가 하강하고 있으므로,

\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

수평 속도는 비행 전체에서 변하지 않으므로 초기 수평 성분 역시,

\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]

입니다.

이제 다음 식을 사용해 수직 방향으로 거꾸로 계산합니다.

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

\(O\)에서 \(P\)까지,

\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]

이고,

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

따라서,

\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]

따라서,

\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]

양의 근을 선택해야 합니다.

\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]

왜 \(-16.0\text{ m s}^{-1}\)을 제외할 수 있을까요?

발사체가 처음부터 아래쪽으로 움직였고 수직 가속도도 아래쪽이었다면, 이후 발사 위치보다 \(8.00\text{ m}\) 높은 지점에 도달할 수 없습니다. 음의 근은 제곱된 방정식은 만족하지만 실제 물리적 경로는 만족하지 않습니다.

이제 초기 성분을 다시 결합합니다.

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

발사각은,

\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]

마지막으로,

\[ v_y=u_y+a_yt, \]

이므로,

\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]

하기 쉬운 실수는 나중의 속도가 아래쪽을 향하고 있다는 사실을 보고 발사체 역시 처음부터 아래쪽으로 발사되었다고 가정하는 것입니다. 발사체 운동에서는 수직 성분의 방향이 바뀔 수 있습니다. 위쪽 운동은 점점 느려져 0이 된 뒤 아래쪽 운동으로 바뀝니다.

문제 5

보정된 발사 센서가 플랫폼에서 발사되는 발사체의 속도를 수평선 위 \(35^\circ\), \(26.0\text{ m s}^{-1}\)로 기록합니다.

비행이 끝날 때 고속 영상은 최종 속도의 방향이 수평선 아래 \(50^\circ\)임을 신뢰성 있게 보여 줍니다. 별도의 속력 표시 장치는 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)를 나타냅니다.

발사체가 이상적인 HSC 모델, 즉 공기 저항을 무시하고 중력 가속도가 아래쪽으로 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)인 모델을 따른다고 가정하세요.

세 측정값이 모두 옳을 수 있을까요?

그렇지 않다면 다음을 구하세요.

• 어떤 점이 일관되지 않는지 확인
• 이상적인 발사체 모델에서 요구되는 최종 속력
• 최종 수직 속도 성분
• 발사 지점을 기준으로 한 최종 지점의 수직 변위

풀이 5

아닙니다. 이상적인 발사체 모델에서는 세 측정값이 모두 옳을 수 없습니다. 발사 데이터와 최종 방향을 함께 적용하면 최종 속력은 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)가 아니라 약 \(33.1\text{ m s}^{-1}\)이어야 하며, 최종 지점은 발사 지점보다 약 \(21.5\text{ m}\) 아래에 있습니다.

핵심 제약 조건은 가장 놓치기 쉬운 조건입니다. 수평 속도는 일정하게 유지되어야 합니다.

발사 데이터로부터,

\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

따라서 비행 전체에서,

\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]

입니다.

이제 최종 속력이 \(30.0\text{ m s}^{-1}\), 방향이 수평선 아래 \(50^\circ\)라는 측정값을 확인해 봅시다.

그 수평 성분은,

\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

가 됩니다.

하지만 이상적인 발사체 모델에서는 \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\)이어야 합니다.

따라서 측정값들은 서로 일관되지 않습니다.

발사 측정값은 보정된 센서의 결과이고 최종 방향도 신뢰할 수 있다고 제시되어 있으므로, 잘못된 측정값은 최종 속력이어야 합니다.

물리적으로 일관된 최종 속력을 \(v_f\)라고 합시다. 그러면,

\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]

따라서,

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

수직 성분은 아래쪽을 향합니다.

\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

이제 초기 수직 성분을 구합니다.

\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

다음 식을 사용합니다.

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

대입하면,

\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]

따라서,

\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]

그러므로 최종 지점은 발사 지점보다 약 \(21.5\text{ m}\) 아래에 있습니다.

하기 쉬운 방법은 보고된 \(30.0\text{ m s}^{-1}\)를 그대로 받아들이고 즉시 그 수직 성분을 운동학 방정식에 사용하는 것입니다. 그러면 수치적인 답은 얻을 수 있지만, 그 답은 이미 발사체 모델을 위반하고 있는 데이터로부터 만들어진 것입니다.

더 근본적인 확인을 먼저 해야 합니다. 성분을 다시 결합하거나 다른 방정식을 적용하기 전에 수평 성분이 일관되는지 확인하세요. 겉보기에 물리적으로 그럴듯한 속력과 각도라고 해서 나머지 운동과 자동으로 양립하는 것은 아닙니다.

08이를 바탕으로 다음에 할 수 있는 것

\(v_x\), \(v_y\), 속력, 방향 사이를 자신 있게 오갈 수 있게 되면 발사체 문제를 훨씬 쉽게 정리할 수 있습니다.

속도 성분은 중력이 무엇을 바꾸었고 무엇을 바꾸지 않았는지를 알려 줍니다. 이 성분들을 다시 결합하면 특정 순간에 발사체가 실제로 어떻게 움직이고 있는지를 알 수 있습니다.

같은 개념을 이용하면 발사 속도, 최고점에서의 속도, 충돌 속도를 정확하게 비교할 수 있습니다. 최고점에서는 \(v_y=0\)이지만 \(v_x\)는 남아 있습니다. 같은 높이에 착지할 때는 \(v_y\)의 부호가 반대로 바뀝니다. 더 낮은 곳에 착지할 때는 아래쪽을 향하는 수직 성분의 크기가 더 큽니다.

따라서 유용한 습관은 단순히 다음 식을 기억하는 것만이 아닙니다.

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

두 성분을 하나의 최종 속도 벡터로 다시 바꾸기 전에, 그 두 성분이 말해 주는 물리적 상황을 읽어 내는 법을 익히는 것이 중요합니다.