자기장 모형: 자기력선에서 자기장 세기까지

학생 두 명이 같은 막대자석 주위의 자기장을 스케치합니다. 한 학생은 자기력선을 여덟 개 그렸고, 다른 학생은 스무 개를 그렸습니다. 두 번째 학생이 실수로 더 강한 자석을 만들어 낸 것일까요?

아닙니다. 종이에 그리는 자기력선의 개수는 어느 정도 그림을 그리는 방식에 따라 달라집니다. 하지만 그 선들이 어떻게 배치되어 있는지는 실제 자기장에 관한 중요한 정보를 여전히 알려 줍니다.

이것이 자기장 모형이 해결해야 하는 문제입니다. 자기력선 그림은 방향, 형태, 상대적인 세기를 나타내는 데 매우 유용합니다. 하지만 자기장이 \(3.2 \times 10^{-3}\ \text{T}\)라고 자동으로 알려 주지는 않습니다. 그런 값을 알려면 측정이나 계산이 필요합니다.

중요한 능력은 이 두 가지 표현 사이를 오가면서, 어느 한쪽을 실제보다 더 물리적인 것으로 취급하지 않는 것입니다.

01자기력선 그림이 실제로 알려 주는 것

자석 주위의 여러 지점에 작은 나침반을 놓는다고 상상해 봅시다. 각 위치에서 나침반 바늘은 특정한 방향으로 정렬됩니다.

이제 나침반을 놓은 각 지점에 짧은 화살표를 그린다고 생각해 봅시다. 서로 부드럽게 이어지는 방향의 화살표들을 연결하면 자기력선을 얻을 수 있습니다.

따라서 자기력선은 벡터장을 나타내는 모형입니다. 자기장이 0이 아닌 모든 지점에서 자기장은 다음 두 가지를 가집니다.

• 방향
• 크기, 즉 세기

자기장 벡터는 \(\vec B\)로 나타냅니다. 그 크기는 \(B\)로 나타냅니다.

방향은 접선으로 알 수 있습니다

휘어진 자기력선 위의 한 점을 선택했다고 해 봅시다. 그 지점에서 자기장은 어느 방향을 가리킬까요?

가장 가까운 자석의 극을 향한다고 생각하면 안 됩니다. 대신 바로 그 점에서 곡선에 접하는 작은 화살표를 상상해 보세요. 자기장은 그 접선 방향을 향합니다.

영구자석의 경우 자석 바깥에서 자기력선의 화살표는 북극에서 남극을 향합니다.

전류가 흐르는 곧은 도선 주위에서는 자기력선이 원을 이룹니다. 그 방향은 오른손 감기 법칙으로 정할 수 있습니다. 이 기하학적 관계는 Magnetic Field Around a Current-Carrying Wire: HSC Physics에서 다시 확인할 수 있습니다.

자기력선의 간격은 상대적인 자기장 세기를 나타냅니다

이제 자석의 한 극에 가까운 P점과 더 멀리 있는 Q점을 비교해 봅시다.

계속 읽기 전에 자기장 센서가 일반적으로 어떤 값을 보여 줄지 예측해 보세요. \(B\)는 P에서 더 클까요, Q에서 더 클까요?

P입니다. 일관된 방식으로 그린 자기력선 그림에서는 선들이 빽빽한 곳이 더 강한 자기장을, 선들 사이가 넓은 곳이 더 약한 자기장을 나타냅니다.

이를 통해 다음과 같은 정성적 모형을 얻을 수 있습니다.

여기서 상대적이라는 말이 중요합니다.

P에서의 선이 Q에서보다 눈에 띄게 더 빽빽하다면 \(B_P>B_Q\)라고 합리적으로 결론 내릴 수 있습니다. 하지만 그림에서 1 cm당 선의 개수가 세 배쯤 많아 보인다는 이유만으로 일반적으로 \(B_P=3B_Q\)라고 결론 내릴 수는 없습니다.

02자기력선은 실제로 존재하는 ‘자기장 스파게티’가 아닙니다

자석이 우주 공간으로 보이지 않는 실 같은 것을 내보내고, 더 강한 자석일수록 더 많은 실을 가지고 있다고 생각하기 쉽습니다.

하지만 그렇지 않습니다.

자기력선은 공간 전체에 연속적으로 존재하는 자기장을 표현하기 위해 만들어 낸 선입니다. 스케치에 자기력선을 다섯 개 더 추가해도 실제 자석에는 아무 변화가 없습니다.

산의 등고선 지도를 떠올리면 도움이 됩니다. 등고선이 빽빽한 곳은 지형의 높이가 빠르게 변한다는 뜻입니다. 마찬가지로 일반적인 자기력선 표현에서는 자기력선이 빽빽할수록 강한 자기장을 나타냅니다.

하지만 이 비유가 맞지 않는 중요한 부분이 하나 있습니다. 실제 지형도의 등고선에는 일반적으로 200 m나 250 m처럼 높이 값이 표시되어 있습니다. 보통의 HSC 자기력선 스케치에서는 각 선에 수치가 붙어 있지 않습니다.

그림이 특별히 보정되어 있지 않는 한 자기력선의 밀도는 수치적 정보가 아니라 정성적 정보입니다.

이 차이를 이해하면 이 주제에서 가장 흔한 실수 중 하나를 피할 수 있습니다.

더 많은 선이 그려져 있다고 해서 반드시 자기장이 더 강한 것은 아닙니다. 일관된 방식으로 그린 하나의 자기장 지도 안에서는 선의 간격이 더 좁은 곳이 더 강한 자기장을 나타냅니다.

03그림을 수치로 바꾸기

정량적인 자기장 모형에서는 \(B\)의 실제 수치를 알고 싶습니다.

HSC Physics에서 \(B\)는 일반적으로 테슬라, 기호 \(\text{T}\)로 측정합니다. 더 정확히 말하면 \(B\)는 자기 선속 밀도이지만, HSC 문제에서는 흔히 단순히 자기장 세기라고 부릅니다.

유용한 더 작은 단위는 다음과 같습니다.

\[ 1\ \text{mT}=10^{-3}\ \text{T} \]

그리고

\[ 1\ \mu\text{T}=10^{-6}\ \text{T}. \]

자기장의 수치 값을 얻는 주요 방법은 두 가지입니다.

1. 측정하기
2. 모형을 이용해 계산하기

\(B\) 측정하기

홀 프로브는 특정 위치의 자기장을 측정할 수 있습니다.

자석의 한 극에서 홀 프로브를 점점 멀리 이동한다고 해 봅시다. 자기력선 스케치에서는 멀어질수록 선들이 퍼지므로 자기장이 약해져야 한다고 예측할 수 있습니다. 홀 프로브는 이 정성적 예측을 수치로 바꾸어 줍니다.

예를 들어 다음과 같은 데이터를 얻을 수 있습니다.

그림과 측정값은 같은 자기장을 서로 다른 수준의 세부 정보로 표현하고 있습니다.

한 가지 기억해 둘 만한 실험상의 세부 사항이 있습니다. 홀 센서는 특정 축 방향의 자기장 성분에 민감할 수 있습니다. 따라서 센서의 방향이 중요합니다. 측정값이 이상할 정도로 작다고 해서 반드시 자기장 자체가 약하다는 뜻은 아닙니다. 단순히 프로브의 정렬이 좋지 않을 수도 있습니다.

04긴 곧은 도선 주위의 자기장 계산하기

일부 자기장 형태에는 간단한 수학적 모형이 있습니다.

전류 \(I\)가 흐르는 긴 곧은 도선에서 수직 거리 \(r\)만큼 떨어진 곳의 자기장은

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \]

입니다. 여기서

• \(B\)는 테슬라 \(\text{T}\) 단위의 자기장 세기,
• \(I\)는 암페어 \(\text{A}\) 단위의 전류,
• \(r\)은 도선으로부터의 수직 거리이며 단위는 미터 \(\text{m}\),
• \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)는 자유 공간의 투자율입니다.

계산을 하기 전에 식이 무엇을 의미하는지 먼저 살펴봅시다.

전류가 일정할 때

\[ B\propto\frac{1}{r}. \]

따라서 도선으로부터의 거리를 두 배로 늘리면 \(B\)가 어떻게 되는지 예측해 보세요.

절반이 됩니다.

이 사실은 정성적인 스케치에도 반영되어야 합니다. 도선 가까이의 원형 자기력선은 도선에서 더 먼 영역보다 강한 자기장을 나타내야 합니다.

05솔레노이드 내부의 자기장 계산하기

긴 솔레노이드는 또 하나의 특히 유용한 자기장 패턴을 만듭니다.

중앙 부근에서 자기력선은 대략 직선이고 평행하며 간격도 고르게 나타납니다. 이것은 대략 균일한 자기장의 시각적 특징입니다.

공기 중의 이상적인 긴 솔레노이드에 대해

\[ B=\mu_0 nI, \]

이며, 여기서 \(n\)은 미터당 감은 횟수입니다.

또한

\[ n=\frac{N}{L}, \]

이므로 다음과 같이 쓸 수도 있습니다.

\[ B=\mu_0\frac{N}{L}I, \]

여기서

• \(N\)은 전체 감은 횟수,
• \(L\)은 미터 단위의 솔레노이드 길이,
• \(I\)는 암페어 단위의 전류입니다.

이 모형은 자기력선 그림이 암시만 하는 사실을 예측합니다. 전류를 증가시키면 \(B\)가 증가합니다. 미터당 감은 횟수를 증가시켜도 \(B\)가 증가합니다.

자기장 패턴의 자세한 내용은 Magnetic Field Inside a Solenoid: HSC Physics Explained에서 다룹니다.

중요한 제한 조건이 하나 있습니다. 이 식은 길이가 긴 이상적인 솔레노이드를 가정하며 중앙 부근에서 가장 잘 맞습니다. 실제 솔레노이드에는 끝부분이 있으므로 그 끝에 가까워질수록 자기장이 덜 균일해집니다.

06자기장이 둘 이상의 원천에서 생길 때

실제 자기장은 흔히 서로 겹칩니다.

두 원천이 같은 지점에서 각각 자기장 \(\vec B_1\)과 \(\vec B_2\)를 만든다고 해 봅시다. 실제 자기장은 그림에서 단지 더 강해 보이는 쪽이 아닙니다.

실제 자기장은 벡터합입니다.

\[ \vec B_{\text{합성}}=\vec B_1+\vec B_2. \]

이제는 크기만큼이나 방향도 중요합니다.

\(3\ \text{mT}\)인 두 자기장이 같은 방향을 가리키면 합성 자기장은 \(6\ \text{mT}\)입니다.

서로 반대 방향을 가리키면 합성 자기장은 0입니다.

두 원천이 각각 여전히 자기장을 만들고 있음에도 이 0은 실제입니다. 자기장이 사라진 것이 아니라 그 위치에서 벡터들이 상쇄된 것입니다.

이런 경우에는 정량적인 계산을 통해 스케치만으로는 놓치기 쉬운 사실을 알아낼 수 있습니다.

07어떤 모형을 사용할지 결정하는 방법

유용한 HSC 판단 기준은 다음과 같습니다.

핵심은 정성적 모형과 정량적 모형 중 하나를 선택하는 것이 아닙니다. 보통은 둘 다 필요합니다.

스케치는 어떤 종류의 답이 물리적으로 타당한지를 알려 줍니다. 방정식이나 측정값은 자기장의 실제 크기를 알려 줍니다.

08가장 빠지기 쉬운 오개념

한 솔레노이드 그림에는 내부 자기력선이 여섯 개, 다른 그림에는 열두 개가 그려져 있다고 해 봅시다.

두 번째 솔레노이드의 자기장 세기가 두 배라고 결론 내릴 수 있을까요?

아닙니다.

그림을 그린 사람이 단순히 선을 더 많이 그렸을 수도 있습니다.

이제 상황을 바꿔 봅시다. 두 솔레노이드가 같은 축척과 같은 선 밀도 규칙을 사용한 하나의 정교하게 구성된 그림 안에 함께 나타나고, 한 솔레노이드 내부의 선이 분명히 더 빽빽하다고 해 봅시다.

그렇다면 그 솔레노이드의 자기장이 더 강하다고 추론하는 것은 합리적입니다.

이 생각에는 더 깊은 의미도 있습니다. 각 선이 같은 양의 자기 선속을 나타내도록 그림을 명시적으로 구성하고 공간 축척까지 알려 준다면, 자기력선의 밀도를 정량적으로 만들 수도 있습니다. 하지만 일반적인 HSC 자기력선 스케치에는 보통 그런 보정 정보가 없습니다.

따라서 손으로 그린 자기력선 두 개 사이의 간격을 밀리미터로 측정해 테슬라 값으로 바꾸어서는 안 됩니다. 그것은 스케치가 애초에 제공하지 않은 정밀도를 억지로 부여하는 것입니다.

09문제와 해설

문제 1

영구자석 주위의 자기력선 그림에서 P점은 한 극 가까이에 있어 선들이 빽빽하고, Q점은 더 멀리 있어 선들이 더 넓게 벌어져 있습니다. P점에서 자기력선의 접선은 오른쪽을 향합니다.

P점에서 자기장의 방향을 말하고, P점의 자기장 세기와 Q점의 자기장 세기를 비교하세요. 이 그림만으로 \(B_P/B_Q\)의 수치 비율을 계산할 수 있습니까?

해설 1

P점에서 자기장은 오른쪽을 향하고 \(B_P>B_Q\)이지만, 보정되지 않은 자기력선 스케치만으로는 일반적으로 \(B_P/B_Q\)의 수치 비율을 구할 수 없습니다.

자기장의 방향은 P점에서 자기력선에 접하는 방향이므로, 오른쪽을 향하는 접선이 \(\vec B\)의 방향을 나타냅니다.

P점에서의 선들이 Q점에서보다 더 빽빽합니다. 일반적인 일관된 작도 규칙에 따르면 이는 P점의 자기장이 더 강하다는 뜻입니다.

빠지기 쉬운 실수는 선의 개수를 세거나 종이 위에서의 간격을 측정해 그것을 곧바로 자기장 세기의 비율로 바꾸는 것입니다. 일반적인 자기력선 그림은 상대적인 세기를 보여 줄 뿐 수치 축척을 제공하지 않습니다. 추가적인 보정 정보가 없다면 P의 자기장이 Q보다 정확히 두 배, 세 배 또는 다른 어떤 정확한 배수만큼 강하다고 말할 수 없습니다.

문제 2

긴 곧은 수직 도선이 수평인 책상을 아래에서 위로 관통합니다. 홀 프로브는 남북 방향으로 정렬되어 있으며, 도선에서 동쪽으로 \(4.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳과 서쪽으로 \(4.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에 차례로 놓입니다. 양의 측정값은 자기장이 북쪽을 향한다는 뜻입니다.

측정값은 다음과 같습니다.

• 도선 동쪽: \(+55\ \mu\text{T}\)
• 도선 서쪽: \(-5\ \mu\text{T}\)

또한 북쪽 또는 남쪽을 향하는 균일한 배경 자기장이 존재한다고 가정하세요. 도선은 무한히 길다고 가정합니다.

다음을 구하세요.

1. 배경 자기장의 크기와 방향
2. 도선이 \(4.0\ \text{cm}\) 거리에서 만드는 자기장
3. 도선에 흐르는 전류
4. 전류가 책상을 위쪽으로 관통하는지, 아래쪽으로 관통하는지

해설 2

배경 자기장은 북쪽을 향하는 \(25\ \mu\text{T}\)이고, 도선은 \(4.0\ \text{cm}\) 거리에서 \(30\ \mu\text{T}\)의 자기장을 만들며, 전류는 \(6.0\ \text{A}\)이고 책상을 위쪽으로 관통합니다.

곧은 도선에서 같은 거리만큼 떨어진 서로 반대쪽 두 지점에서는 도선이 만드는 자기장의 크기는 같고 방향은 반대입니다.

\(B_0\)를 부호를 포함한 배경 자기장, \(B_w\)를 도선 동쪽에서 도선이 만드는 자기장이라고 하겠습니다. 북쪽을 양의 방향으로 두면

\[ B_0+B_w=55\ \mu\text{T} \]

이고

\[ B_0-B_w=-5\ \mu\text{T}. \]

두 식을 더하면

\[ 2B_0=50\ \mu\text{T}, \]

이므로

\[ B_0=25\ \mu\text{T}. \]

입니다.

양의 부호는 북쪽을 뜻합니다.

이를 동쪽에서의 측정식에 대입하면

\[ 25+B_w=55, \]

이므로

\[ B_w=30\ \mu\text{T} =3.0\times10^{-5}\ \text{T}. \]

이제

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}. \]

을 사용합니다.

정리하면

\[ I=\frac{2\pi rB}{\mu_0}. \]

\(r=0.040\ \text{m}\)를 대입하면

\[ \begin{aligned} I&=\frac{2\pi(0.040)(3.0\times10^{-5})} {4\pi\times10^{-7}}\\ &=6.0\ \text{A}. \end{aligned} \]

도선의 동쪽에서는 도선이 만드는 자기장이 북쪽을 향합니다. 따라서 오른손 감기 법칙을 적용하면 전류는 책상을 위쪽으로 관통합니다.

빠지기 쉬운 방법은 홀 프로브의 두 측정값 중 하나를 그대로 곧은 도선 식에 대입하는 것입니다. 그렇게 하면 전체 측정 자기장을 도선만이 만든 것으로 잘못 취급하게 됩니다. 먼저 배경 자기장과 도선이 만드는 자기장 성분을 분리해야 합니다.

문제 3

두 개의 긴 솔레노이드가 같은 축을 따라 서로 겹쳐 있습니다. 끝 효과는 무시하세요.

솔레노이드 A는 미터당 \(1000\)회 감겨 있고 \(2.0\ \text{A}\)의 전류가 흐릅니다. 겹치는 구간에서 이 솔레노이드의 자기장은 동쪽을 향합니다.

솔레노이드 B는 미터당 \(1500\)회 감겨 있으며 전류가 반대 방향으로 흐르므로 자기장은 서쪽을 향합니다.

겹치는 구간에 놓인 홀 프로브가 동쪽 방향으로 \(0.25\ \text{mT}\)의 합성 자기장을 측정합니다.

솔레노이드 B의 전류를 계산하세요. 그런 다음 겹치는 구간의 예상 자기력선 밀도를 솔레노이드 A 내부이지만 솔레노이드 B 내부는 아닌 구간과 비교하세요.

해설 3

솔레노이드 B에는 약 \(1.20\ \text{A}\)의 전류가 흐르며, 겹치는 구간의 자기력선은 솔레노이드 A의 자기장만 존재하는 구간보다 훨씬 덜 빽빽해야 합니다.

이상적인 솔레노이드에 대해

\[ B=\mu_0 nI. \]

입니다.

솔레노이드 A가 만드는 자기장은

\[ \begin{aligned} B_A &=(4\pi\times10^{-7})(1000)(2.0)\\ &=2.51\times10^{-3}\ \text{T}\\ &=2.51\ \text{mT}. \end{aligned} \]

입니다.

동쪽을 양의 방향으로 둡니다. 솔레노이드 B가 서쪽 방향의 자기장을 만들기 때문에

\[ B_{\text{합성}}=B_A-B_B. \]

따라서

\[ 0.25\times10^{-3} =\mu_0(1000)(2.0)-\mu_0(1500)I_B. \]

양변을 \(\mu_0\)로 나누면

\[ \frac{0.25\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}} =2000-1500I_B. \]

왼쪽 항은 약 \(199\ \text{A m}^{-1}\)이므로

\[ 1500I_B\approx2000-199=1801. \]

따라서

\[ I_B\approx1.20\ \text{A}. \]

솔레노이드 A만 있는 내부 영역의 자기장은 약 \(2.51\ \text{mT}\)입니다. 겹치는 구간에서의 합성 자기장은 겨우 \(0.25\ \text{mT}\)이므로, 일관된 정성적 자기장 지도에서는 그곳의 자기력선 밀도가 훨씬 낮게 나타나야 합니다.

빠지기 쉬운 실수는 자기장 원천이 두 개라는 이유만으로 \(B_A\)와 \(B_B\)를 단순히 더하는 것입니다. 자기장은 벡터입니다. 여기서는 두 자기장의 방향이 서로 반대이므로 두 번째 솔레노이드는 합성 자기장을 증가시키는 대신 감소시킵니다.

문제 4

두 개의 긴 평행 도선이 종이 면에서 수직으로 밖을 향해 나옵니다. 두 도선 사이의 거리는 \(12\ \text{cm}\)입니다.

왼쪽 도선에는 종이 밖으로 \(6.0\ \text{A}\)의 전류가 흐릅니다. 오른쪽 도선에는 종이 밖으로 \(3.0\ \text{A}\)의 전류가 흐릅니다.

한 학생은 중점이 두 도선에서 같은 거리만큼 떨어져 있기 때문에 합성 자기장이 반드시 0이라고 주장합니다.

다음을 구하세요.

1. 두 도선 사이에서 합성 자기장이 실제로 0이 되는 위치
2. 중점에서 합성 자기장의 크기와 방향
3. 좋은 정성적 자기력선 표현이 자기장이 0인 위치를 어떻게 나타내야 하는지

해설 4

합성 자기장은 \(6.0\ \text{A}\) 도선에서 \(8.0\ \text{cm}\), \(3.0\ \text{A}\) 도선에서 \(4.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에서 0이 됩니다. 중점에서 합성 자기장은 종이 위쪽 방향으로 \(10\ \mu\text{T}\)입니다.

종이 밖을 향하는 두 전류 사이에서는 두 도선이 만드는 자기장의 방향이 서로 반대입니다.

\(x\)를 \(6.0\ \text{A}\) 도선에서 자기장이 0인 지점까지의 거리라고 합시다. \(3.0\ \text{A}\) 도선으로부터의 거리는 \(0.12-x\)입니다.

상쇄되려면 두 자기장의 크기가 같아야 합니다.

\[ \frac{\mu_0(6.0)}{2\pi x} = \frac{\mu_0(3.0)}{2\pi(0.12-x)}. \]

공통 인자를 약분하면

\[ \frac{6.0}{x} = \frac{3.0}{0.12-x}. \]

따라서

\[ 6.0(0.12-x)=3.0x, \]

이므로

\[ 0.72=9.0x \]

이고

\[ x=0.080\ \text{m}=8.0\ \text{cm}. \]

입니다.

자기장이 0인 지점은 더 약한 \(3.0\ \text{A}\) 도선에 더 가깝습니다. 이는 물리적으로도 타당합니다. 더 약한 원천의 자기장이 더 강한 원천의 자기장과 같아지려면 더 약한 원천에 더 가까이 가야 합니다.

중점에서는 각 도선까지의 거리가 \(r=0.060\ \text{m}\)입니다.

\(6.0\ \text{A}\) 도선의 경우

\[ \begin{aligned} B_1 &=\frac{(4\pi\times10^{-7})(6.0)} {2\pi(0.060)}\\ &=2.0\times10^{-5}\ \text{T}\\ &=20\ \mu\text{T}. \end{aligned} \]

\(3.0\ \text{A}\) 도선의 경우

\[ B_2=10\ \mu\text{T}. \]

입니다.

오른손 법칙을 적용하면 중점에서 왼쪽 도선이 만드는 자기장은 종이 위쪽을 향하고, 오른쪽 도선이 만드는 자기장은 아래쪽을 향합니다.

따라서

\[ B_{\text{합성}}=20-10=10\ \mu\text{T} \]

이며 방향은 위쪽입니다.

정성적인 자기장 지도에서는 단순히 기하학적 중점이 아니라, 실제 상쇄 지점인 왼쪽 도선에서 \(8.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳 주변에 매우 약한 자기장 영역이 나타나야 합니다.

빠지기 쉬운 추론은 거리의 대칭성만을 근거로 합니다. 전류의 크기가 서로 다르기 때문에 이 배치는 물리적으로 대칭이 아닙니다. \(I\)가 서로 다르면 같은 거리에서 같은 크기의 자기장이 생기지 않습니다.

문제 5

긴 수직 도선이 수평면을 아래에서 위로 관통하며 \(10\ \text{A}\)의 전류가 흐릅니다. 별도의 균일한 \(40\ \mu\text{T}\) 자기장이 북쪽을 향합니다.

위에서 내려다보면 도선의 자기장은 반시계 방향으로 순환합니다.

홀 프로브는 도선을 지나는 동서 방향의 직선을 따라 움직이며, 양의 측정값은 북쪽 방향으로 정의합니다.

다음을 구하세요.

1. 도선의 동쪽 또는 서쪽에 합성 자기장이 0이 되는 지점이 있는지
2. 도선에서 서쪽으로 \(4.0\ \text{cm}\)와 \(6.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에서의 부호를 포함한 홀 프로브 측정값
3. 프로브가 자기장이 0인 지점을 통과할 때 자기장 방향에 어떤 일이 일어나는지

그런 다음 한 학생이 다음과 같이 말합니다. “자기력선은 서로 교차하거나 멈추지 않으므로 그 점에서도 자기력선 하나가 계속 매끄럽게 직선으로 이어져야 한다.” 이 주장을 평가하세요.

해설 5

자기장이 0이 되는 지점은 도선에서 서쪽으로 \(5.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에 하나 있으며, 동쪽에는 이에 대응하는 0 지점이 없습니다. 또한 프로브가 서쪽의 0 지점을 통과하면 합성 자기장의 방향이 반전됩니다. 정확히 그 0 지점에서는 \(\vec B=0\)이므로 자기장의 방향은 정의되지 않습니다.

전류가 위쪽으로 흐르는 도선의 서쪽에서는 반시계 방향으로 도는 도선의 자기장이 남쪽을 향합니다. 따라서 북쪽을 향하는 \(40\ \mu\text{T}\)의 배경 자기장과 반대 방향입니다.

상쇄 조건은

\[ B_{\text{도선}}=B_{\text{배경}}. \]

입니다.

다음 식을 사용하면

\[ B_{\text{도선}} =\frac{\mu_0 I}{2\pi r}, \]

따라서

\[ 40\times10^{-6} = \frac{(4\pi\times10^{-7})(10)} {2\pi r}. \]

입니다.

또한

\[ \frac{\mu_0 I}{2\pi} =2.0\times10^{-6}\ \text{T m}, \]

이므로

\[ r=\frac{2.0\times10^{-6}} {40\times10^{-6}} =0.050\ \text{m}. \]

따라서

\[ r=5.0\ \text{cm} \]

이며 도선의 서쪽입니다.

도선 동쪽에서는 도선이 만드는 자기장이 북쪽을 향합니다. 따라서 북쪽을 향하는 배경 자기장과 상쇄되는 대신 더해지므로 그쪽에는 자기장이 0인 지점이 없습니다.

도선에서 서쪽으로 \(4.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에서는

\[ \begin{aligned} B_{\text{도선}} &=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.040}\\ &=50\ \mu\text{T}. \end{aligned} \]

입니다.

이 자기장은 남쪽을 향하고, 배경 자기장은 북쪽으로 \(40\ \mu\text{T}\)입니다. 북쪽을 양의 방향으로 두면

\[ B_{\text{합성}}=40-50=-10\ \mu\text{T}. \]

따라서 프로브의 측정값은

\[ -10\ \mu\text{T}, \]

이며 이는 남쪽으로 \(10\ \mu\text{T}\)를 의미합니다.

도선에서 서쪽으로 \(6.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에서는

\[ \begin{aligned} B_{\text{도선}} &=\frac{2.0\times10^{-6}}{0.060}\\ &=33.3\ \mu\text{T}. \end{aligned} \]

입니다.

따라서

\[ B_{\text{합성}}=40-33.3 =+6.7\ \mu\text{T}. \]

이제 자기장은 북쪽을 향합니다.

따라서 도선에서 서쪽으로 \(4.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳에서 \(6.0\ \text{cm}\) 떨어진 곳으로 이동하면, 합성 자기장은 남쪽을 향하다가 \(5.0\ \text{cm}\)에서 0이 된 뒤 북쪽으로 바뀝니다.

학생의 주장은 일반적인 자기력선 규칙에 포함된 중요한 조건을 놓치고 있습니다. \(B\neq0\)인 일반적인 지점에서는 자기장이 하나의 고유한 방향을 가지므로 자기력선도 하나의 고유한 접선을 가집니다. 하지만 상쇄 지점에서는

\[ \vec B=0. \]

입니다.

0 벡터에는 방향이 없습니다. 따라서 “자기력선은 \(\vec B\)에 접하도록 그린다”라는 일반적인 지시는 바로 그 점에서 하나의 고유한 방향을 정의할 수 없습니다.

정교한 자기장 지도라면 상쇄 지점 주위에 약한 자기장 또는 영자기장 영역을 나타내고, 서로 경쟁하는 두 자기장 중 어느 쪽이 우세해지는지에 따라 주변의 자기장 패턴이 변하는 모습을 보여 줄 것입니다. 0이 아닌 자기장 방향을 전제로 하는 규칙을 적용해 하나의 보통 자기력선이 반드시 그 0 지점을 그대로 직선으로 통과해야 한다고 주장할 수는 없습니다.

처음에 빠지기 쉬운 생각은 두 원천 모두 자기장을 만들고 있으므로 모든 곳에 어떤 자기장이 반드시 남아 있어야 한다는 것입니다. 핵심 조건은 벡터의 중첩입니다. 0이 아닌 두 자기장도 크기가 같고 방향이 반대이면 합성 자기장이 0이 될 수 있습니다.

10이제 무엇을 할 수 있는가

자기력선 그림과 \(B\)의 수치 사이를 자신 있게 오갈 수 있게 되면 자기력 문제도 훨씬 덜 어렵게 느껴집니다.

자기력선 모형은 자기장이 어느 방향을 가리키는지, 그리고 공간을 따라 그 세기가 어떻게 변하는지를 알려 줍니다. 정량적 모형은 \(F=BIL\sin\theta\) 또는 \(F=qvB\sin\theta\) 같은 식에 필요한 \(B\) 값을 제공합니다.

이것이 두 표현의 유용한 역할 분담입니다. 그림은 자기장이 어떻게 행동하는지를 알려 주고, 수치는 그 자기장 안에 놓인 물체에 얼마나 강하게 영향을 줄 수 있는지를 알려 줍니다.