원뿔 진자: HSC 물리학에서 장력과 무게를 성분으로 분해하기

질량이 줄에 매달린 채 완벽한 수평 원을 따라 움직입니다. 중력이 계속 아래쪽으로 당기고 있는데도 질량의 높이는 일정하게 유지됩니다.

그렇다면 이런 의문이 생깁니다. 질량에 수직 가속도가 없다면 무엇이 질량이 떨어지는 것을 막을까요? 그리고 줄이 기울어져 있다면, 실제로 어떤 힘이 질량을 원운동하게 만들까요?

계속 읽기 전에 먼저 예상해 보세요. 줄의 장력은 구심력과 같을까요?

그렇지 않습니다. 이렇게 생각하기 쉬운 점이 이 모형에서 발생하는 대부분의 실수의 원인입니다.

01하나의 장력이 두 가지 역할을 한다

질량을 옆에서 바라본다고 생각해 봅시다. 줄은 질량에서 고정된 회전축까지 대각선 위쪽으로 이어집니다.

질량에 작용하는 힘은 단 두 가지뿐입니다.

• 무게 \(mg\), 수직 아래 방향
• 장력 \(F_T\), 줄을 따라 회전축을 향하는 방향

“구심력”이라는 별도의 힘이 존재하는 것은 아닙니다. 구심력은 원형 경로의 중심을 향하는 알짜힘을 가리키는 이름입니다. 이 구분이 명확하지 않다면 구심력: HSC 물리학에서 실제 힘을 식별하는 방법을 참고하세요.

줄이 수직선으로부터 \(\theta\)의 각도를 이룬다고 합시다.

장력은 대각선 방향으로 작용하므로 서로 수직인 두 성분으로 분해할 수 있습니다.

• \(F_T\cos\theta\): 수직 위 방향
• \(F_T\sin\theta\): 수평으로 원의 중심을 향하는 방향

수직 성분은 질량이 떨어지는 것을 막습니다. 수평 성분은 질량이 방향을 바꾸며 원운동하도록 만듭니다.

이는 손잡이가 위쪽으로 기울어진 바퀴 달린 여행 가방을 끄는 것과 조금 비슷합니다. 하나의 당기는 힘이 위쪽 성분과 앞쪽 성분을 동시에 가질 수 있습니다. 다만 여행 가방에는 지면이 가하는 힘도 작용하는 반면, 여기서 다루는 질량에는 장력과 무게만 작용하므로 비유는 여기까지만 성립합니다.

02힘보다 가속도부터 생각하라

“수평 원”이라는 표현은 가속도에 관한 매우 중요한 정보를 알려 줍니다.

질량은 위아래로 움직이지 않습니다. 따라서 수직 가속도는 0입니다.

하지만 수평 속도의 방향은 계속 변하므로 질량은 중심을 향하는 구심 가속도를 갖습니다.

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

여기서:

• \(a_c\)는 \(\text{m s}^{-2}\) 단위의 구심 가속도
• \(v\)는 \(\text{m s}^{-1}\) 단위의 속력
• \(r\)은 미터 단위의 수평 원의 반지름

이제 뉴턴의 제2법칙을 수직 방향과 수평 방향에 각각 적용할 수 있습니다.

이 두 방정식이 이 모형의 핵심입니다.

이 식들이 물리적으로 무엇을 뜻하는지 주목하세요. 장력 전체가 구심 가속도를 만들어 내는 것이 아닙니다. 장력의 수평 성분만이 구심 가속도를 만들어 냅니다.

03장력이 구심력보다 큰 이유

처음에는 흔히 다음과 같이 쓰기 쉽습니다.

\[ F_T=\frac{mv^2}{r} \]

하지만 위에서 본 것처럼 줄이 기울어져 있다면 이 식은 맞을 수 없습니다.

장력 전체가 수평 방향에 사용된다면 \(mg\)와 평형을 이루는 위쪽 힘이 존재하지 않게 됩니다. 그러면 질량은 아래쪽으로 가속되므로 한 수평면 안에서 계속 움직일 수 없습니다.

대신,

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

이고

\[ F_T\cos\theta=mg \]

입니다.

\(F_T\)가 두 성분을 모두 제공해야 하므로,

\[ F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2} \]

입니다.

따라서 \(F_T\)는 \(mg\)보다도 크고, 필요한 수평 구심력보다도 큽니다.

또 하나의 유용한 관계식이 있습니다. 수평 방향 방정식을 수직 방향 방정식으로 나누면,

\[ \frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta} = \frac{mv^2/r}{mg} \]

이므로

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

입니다.

질량 \(m\)은 소거됩니다. 따라서 속력과 반지름이 주어졌을 때 질량을 바꾸더라도 필요한 각도는 변하지 않습니다. 그러나 장력은 변합니다.

04반지름은 보통 줄의 길이와 같지 않다

이제 줄의 길이가 \(L\)이라고 합시다.

\(r=L\)이라고 쓰고 싶을 수 있습니다. 하지만 이는 줄이 수평일 때만 맞습니다.

원뿔 진자에서 수평 원의 반지름은 줄 길이의 수평 성분입니다.

\[ r=L\sin\theta \]

회전축에서 원운동 평면까지의 수직 거리는

\[ L\cos\theta \]

입니다.

문제에서 반지름 대신 줄의 길이를 줄 때는 이 기하학적 관계가 중요해집니다.

05원뿔 진자에 유용한 관계식

각속도를 이용해 운동을 나타내는 또 다른 방법이 있습니다.

각속도는

\[ \omega=\frac{v}{r} \]

이며, 여기서 \(\omega\)의 단위는 \(\text{rad s}^{-1}\)입니다.

수평 방향 힘의 방정식은

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

이 되고, \(r=L\sin\theta\)이므로

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta \]

입니다.

실제로 반지름이 0이 아닌 원운동을 하는 경우에는 \(\sin\theta\neq0\)이므로,

\[ F_T=m\omega^2L \]

입니다.

이를

\[ F_T\cos\theta=mg \]

와 결합하면,

\[ m\omega^2L\cos\theta=mg \]

를 얻으며, 따라서

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

입니다.

\(P=2\pi/\omega\)이므로,

\[ P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}} \]

입니다.

이 관계식은 약간 놀라운 결과를 보여 줍니다. 주기는 반지름에 직접 의존하는 것이 아니라, 회전축에서 원형 경로까지의 수직 거리 \(L\cos\theta\)에 의존합니다.

이 관찰은 아래의 마지막 문제에서 중요해집니다.

06간단한 판단 규칙

기울어진 줄에 매달린 질량이 수평 원을 따라 움직이는 문제를 보면 다음과 같이 접근하세요.

1. 실제로 존재하는 힘만 그립니다. 장력과 무게입니다.
2. 수직 방향과 수평으로 중심을 향하는 방향을 선택합니다.
3. 수직 가속도가 0임을 이용합니다.

\[ F_T\cos\theta=mg \]

1. 수평 방향에는 구심 가속도를 적용합니다.

\[ F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r} \]

1. 줄의 길이가 주어졌다면 힘의 모형과 기하학적 관계를 연결합니다.

\[ r=L\sin\theta \]

이 방정식들은 \(\theta\)가 수직선으로부터 측정된 각도라고 가정합니다. 문제에서 각도를 수평선으로부터 측정한다면 사인과 코사인 성분이 서로 바뀝니다. 두 번째 방정식 세트를 외우려고 하기보다 삼각형을 다시 그리세요.

07문제와 풀이

문제 1

\(0.30\ \text{kg}\)의 질량이 반지름 \(0.80\ \text{m}\)인 수평 원을 \(3.0\ \text{m s}^{-1}\)의 속력으로 움직입니다. 다음을 구하세요.

a. 장력의 수평 성분
b. 장력의 수직 성분
c. 전체 장력
d. 줄이 수직선과 이루는 각도

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용하세요.

풀이 1

수평 성분과 수직 성분은 각각 \(3.38\ \text{N}\), \(2.94\ \text{N}\)이며, 이에 따른 전체 장력은 \(4.48\ \text{N}\), 수직선으로부터의 각도는 \(48.9^\circ\)입니다.

수평 방향에서,

\[ F_{T,x} = \frac{mv^2}{r} = \frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80} = 3.375\ \text{N} \]

이므로,

\[ F_{T,x}=3.38\ \text{N} \]

입니다.

수직 방향의 가속도는 0이므로,

\[ F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N} \]

입니다.

전체 장력은 벡터의 크기로 구합니다.

\[ F_T = \sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2} = 4.48\ \text{N} \]

마지막으로,

\[ \tan\theta=\frac{3.375}{2.94} \]

이므로,

\[ \theta=48.9^\circ \]

입니다.

\(3.38\ \text{N}\)이 \(mv^2/r\)와 같다는 이유로 이를 장력이라고 부르는 것이 흔히 생각하기 쉬운 지름길입니다. 하지만 이는 장력의 수평 성분일 뿐입니다. 같은 장력 벡터가 무게와 평형을 이루는 \(2.94\ \text{N}\)의 위쪽 성분도 제공해야 합니다.

문제 2

\(0.20\ \text{kg}\)의 질량이 길이 \(1.00\ \text{m}\)인 줄에 매달려 원뿔 진자로 움직입니다. 줄은 수직선으로부터 \(50^\circ\) 기울어져 있습니다.

다음을 계산하세요.

a. 원형 경로의 반지름
b. 줄의 장력
c. 질량의 속력
d. 주기

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용하세요.

풀이 2

반지름은 \(0.766\ \text{m}\), 장력은 \(3.05\ \text{N}\), 속력은 \(2.99\ \text{m s}^{-1}\), 주기는 \(1.61\ \text{s}\)입니다.

먼저 줄의 기하학적 관계를 이용합니다.

\[ r=L\sin\theta =(1.00)\sin50^\circ =0.766\ \text{m} \]

수직 방향에서,

\[ F_T\cos50^\circ=mg \]

이므로,

\[ F_T = \frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ} = 3.05\ \text{N} \]

입니다.

장력의 수평 성분은

\[ F_T\sin50^\circ = (3.05)\sin50^\circ = 2.34\ \text{N} \]

입니다.

따라서,

\[ 2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766} \]

이고, 이 식으로부터

\[ v = \sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}} = 2.99\ \text{m s}^{-1} \]

를 얻습니다.

주기는

\[ P = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi(0.766)}{2.99} = 1.61\ \text{s} \]

입니다.

흔히 하기 쉬운 실수는 \(r=1.00\ \text{m}\)라고 두는 것입니다. 줄의 길이는 기하학적 삼각형의 빗변이고, 원의 반지름은 그 수평 성분인 \(L\sin\theta\)입니다.

문제 3

질량이 주기 \(1.80\ \text{s}\)로 원뿔 진자 운동을 합니다.

처음에 줄의 길이는 \(1.00\ \text{m}\)입니다.

a. 줄이 수직선과 이루는 각도와 원의 반지름을 구하세요.

그다음 어떤 장치가 주기를 정확히 \(1.80\ \text{s}\)로 유지하려는 상태에서 줄의 길이를 \(0.70\ \text{m}\)로 줄입니다.

b. 질량이 그 주기를 유지하면서 반지름이 0이 아닌 원뿔 진자 운동 상태에 도달할 수 있습니까? 물리적·수학적으로 근거를 들어 설명하세요.

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용하세요.

풀이 3

처음에는 각도가 \(36.5^\circ\), 반지름이 \(0.594\ \text{m}\)입니다. 줄을 \(0.70\ \text{m}\)로 줄인 뒤에는 주기가 \(1.80\ \text{s}\)인 반지름 0이 아닌 원뿔 진자 상태가 존재할 수 없습니다.

주기에 해당하는 각속도는

\[ \omega = \frac{2\pi}{P} = \frac{2\pi}{1.80} = 3.49\ \text{rad s}^{-1} \]

입니다.

원뿔 진자에서는

\[ \omega^2=\frac{g}{L\cos\theta} \]

이므로,

\[ \cos\theta=\frac{g}{\omega^2L} \]

입니다.

\(L=1.00\ \text{m}\)일 때,

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)} = 0.804 \]

입니다.

따라서,

\[ \theta=36.5^\circ \]

이고,

\[ r=L\sin\theta = (1.00)\sin36.5^\circ = 0.594\ \text{m} \]

입니다.

이제 같은 \(\omega\)를 유지하면서 줄을 \(0.70\ \text{m}\)로 줄여 봅시다.

\[ \cos\theta = \frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)} = 1.15 \]

하지만 실제 각도에서 \(\cos\theta>1\)일 수는 없습니다.

따라서 요구된 정상적인 원운동은 불가능합니다.

흔히 떠올리기 쉬운 생각은 줄이 짧아져도 계가 장력을 단순히 더 크게 만들면 된다는 것입니다. 그러나 장력만으로 모든 조건을 서로 독립적으로 만족시킬 수 있는 것은 아닙니다. 수직 방향의 평형, 수평 방향의 구심 가속도, 지정된 각속도, 고정된 줄의 기하학적 관계가 모두 동시에 성립해야 합니다. 여기서는 이 조건들이 불가능한 \(\cos\theta\) 값을 요구합니다.

같은 내용을 다른 방식으로 말하면, 이 각속도에서 가능한 줄 길이에는 최솟값이 있습니다.

\[ L_{\min}=\frac{g}{\omega^2} = \frac{9.8}{(3.49)^2} = 0.804\ \text{m} \]

제시된 \(0.70\ \text{m}\)의 줄은 이 한계보다 짧습니다.

문제 4

\(0.40\ \text{kg}\)의 질량이 길이 \(1.00\ \text{m}\)인 줄에 매달려 원뿔 진자 운동을 하고 있습니다. 질량이 그리는 원형 경로는 수평 바닥에서 \(1.25\ \text{m}\) 위에 있습니다.

줄이 갑자기 끊어집니다. 공기 저항은 무시하세요. 질량은 줄이 끊어진 순간의 위치 바로 아래에 있는 바닥의 점으로부터 수평으로 \(1.10\ \text{m}\) 떨어진 곳에 착지합니다.

다음을 구하세요.

a. 줄이 끊어지기 직전의 속력
b. 줄이 수직선과 이루고 있던 각도
c. 줄이 끊어지기 직전의 장력

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용하세요.

풀이 4

줄이 끊어지기 직전 질량의 속력은 \(2.18\ \text{m s}^{-1}\), 줄은 수직선으로부터 \(38.1^\circ\) 기울어져 있었으며, 장력은 \(4.98\ \text{N}\)이었습니다.

줄이 끊어지는 순간, 질량은 그 순간의 속도를 그대로 유지합니다. 이 속도는 수평 방향이며 원형 경로의 접선 방향입니다.

따라서 초기 수직 속도는 0입니다.

\(1.25\ \text{m}\) 낙하하는 동안,

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

이므로,

\[ 1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2 \]

이고,

\[ t = \sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}} = 0.505\ \text{s} \]

입니다.

수평 방향에서는,

\[ v=\frac{d}{t} = \frac{1.10}{0.505} = 2.18\ \text{m s}^{-1} \]

입니다.

줄이 끊어지기 전 원뿔 진자의 관계식은

\[ \tan\theta=\frac{v^2}{rg} \]

이었지만, 아직 반지름을 알 수 없습니다. 줄의 길이가 \(L=1.00\ \text{m}\)이므로,

\[ r=L\sin\theta \]

입니다.

따라서,

\[ v^2 = gL\sin\theta\tan\theta = gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \]

입니다.

\(c=\cos\theta\)라고 둡시다. \(\sin^2\theta=1-c^2\)이므로,

\[ \frac{v^2}{gL} = \frac{1-c^2}{c} \]

입니다.

\(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\)를 사용하면,

\[ \frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)} = 0.484 \]

이므로,

\[ 0.484=\frac{1-c^2}{c} \]

이고, 따라서

\[ c^2+0.484c-1=0 \]

입니다.

물리적으로 의미가 있는 해는

\[ c=0.787 \]

이므로,

\[ \cos\theta=0.787 \]

이고,

\[ \theta=38.1^\circ \]

입니다.

마지막으로, 줄이 끊어지기 전의 수직 방향 평형으로부터

\[ F_T\cos\theta=mg \]

이므로,

\[ F_T = \frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ} = 4.98\ \text{N} \]

입니다.

흔히 선택하기 쉬운 잘못된 방법은 포물선 운동에서의 \(1.10\ \text{m}\) 수평 변위를 원래 원운동의 반지름으로 보는 것입니다. 그렇지 않습니다. 줄이 끊어지면 질량은 처음에 원래 경로의 접선 방향으로 움직입니다. 포물선 운동을 통해 알 수 있는 것은 접선 속력이며, 원래의 반지름은 그다음 줄의 기하학적 관계와 원운동 방정식을 이용해 구해야 합니다.

문제 5

서로 다른 두 원뿔 진자의 회전축이 같은 수평 높이에 있습니다.

진자 A의 줄 길이는 \(1.20\ \text{m}\)입니다. 진자 B의 줄 길이는 \(0.80\ \text{m}\)입니다.

두 경우 모두 수평 원형 경로는 회전축보다 정확히 \(0.60\ \text{m}\) 아래에 있습니다. 두 질량은 서로 같지 않아도 됩니다.

한 학생이 다음과 같이 주장합니다.

진자 A는 원의 반지름이 더 크므로 한 바퀴를 도는 데 반드시 더 오래 걸릴 것이다.

두 진자의 주기가 실제로 다른지 판단하세요. 그런 다음 각 질량의 반지름과 선속력을 계산하세요.

\(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)를 사용하세요.

풀이 5

진자 A의 반지름이 더 크고 선속력도 더 크지만, 두 진자의 주기는 정확히 동일한 \(1.55\ \text{s}\)입니다.

회전축에서 원운동 평면까지의 수직 거리를 \(h\)라고 합시다.

기하학적 관계로부터,

\[ h=L\cos\theta \]

입니다.

힘의 평형에서는,

\[ F_T\cos\theta=mg \]

이고,

\[ F_T\sin\theta=m\omega^2r \]

입니다.

수평 방향 방정식을 수직 방향 방정식으로 나누면,

\[ \tan\theta=\frac{\omega^2r}{g} \]

입니다.

한편 줄의 기하학적 관계에서도,

\[ \tan\theta=\frac{r}{h} \]

를 얻습니다.

따라서,

\[ \frac{r}{h} = \frac{\omega^2r}{g} \]

입니다.

두 진자 모두 반지름이 0이 아니므로 \(r\)을 소거할 수 있습니다.

\[ \omega^2=\frac{g}{h} \]

이 식이 핵심적인 조건입니다. 반지름이 중요해 보이지만, 힘의 방정식과 줄의 기하학적 관계를 동시에 만족시켜야 한다는 조건을 적용하면 각속도 식에서 반지름이 사라집니다.

\(h=0.60\ \text{m}\)이므로,

\[ \omega = \sqrt{\frac{9.8}{0.60}} = 4.04\ \text{rad s}^{-1} \]

입니다.

따라서,

\[ P = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4.04} = 1.55\ \text{s} \]

이며, 두 진자의 주기는 같습니다.

이제 반지름을 구합니다.

진자 A의 경우,

\[ r_A = \sqrt{L_A^2-h^2} = \sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2} = 1.04\ \text{m} \]

입니다.

진자 B의 경우,

\[ r_B = \sqrt{L_B^2-h^2} = \sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2} = 0.529\ \text{m} \]

입니다.

선속력은 \(v=\omega r\)입니다.

따라서,

\[ v_A = (4.04)(1.04) = 4.20\ \text{m s}^{-1} \]

이고,

\[ v_B = (4.04)(0.529) = 2.14\ \text{m s}^{-1} \]

입니다.

진자 A는 실제로 더 큰 원둘레를 따라 움직이지만, 주기가 변하지 않도록 필요한 만큼 정확히 더 빠르게 움직입니다.

학생의 주장은 반지름과 속력 중 하나가 변할 때 다른 하나는 그대로일 수 있다고 가정합니다. 원뿔 진자에서는 두 양이 힘의 평형과 기하학적 관계를 통해 서로 연결되어 있습니다. 수직 거리 \(h=L\cos\theta\)가 같다면 각속도는

\[ \omega=\sqrt{\frac{g}{h}} \]

로 정해지며, 질량이나 반지름과는 무관합니다.

08이 모형을 바탕으로 다음 단계에서 할 수 있는 것

여기서 중요한 습관은 두 성분 방정식을 암기하는 것이 아닙니다. 실제로 어느 방향에 가속도가 존재하는지를 판단하는 것입니다.

수평 원형 경로에서는 수직 가속도가 0이므로 수직 방향의 힘이 평형을 이룹니다. 수평 방향에는 중심을 향하는 가속도가 있으므로, 실제 힘들의 수평 성분이 \(mv^2/r\)을 만들어 내야 합니다.

같은 접근법은 더 어려운 원운동 문제에도 그대로 적용됩니다. 원이 기울어져 있거나 수직이거나, 두 개 이상의 힘이 물체를 지지하는 경우에는 성분 방정식이 달라지지만 방법 자체는 변하지 않습니다. 반지름 방향을 정하고, 실제 힘을 식별하고, 힘을 성분으로 분해한 다음, 그 후에 뉴턴의 제2법칙을 쓰면 됩니다.