Con lắc hình nón: Phân tích lực căng và trọng lực trong Vật lý HSC

Một vật khối lượng dao động trên một sợi dây theo một đường tròn hoàn toàn nằm ngang. Độ cao của vật không đổi, mặc dù trọng lực liên tục kéo nó xuống dưới.

Vậy đây là điều cần giải thích: nếu vật không có gia tốc theo phương thẳng đứng, điều gì ngăn nó rơi xuống? Và nếu sợi dây nghiêng, lực nào thực sự làm vật chuyển động theo đường tròn?

Trước khi đọc tiếp, hãy dự đoán điều này: lực căng của dây có bằng lực hướng tâm không?

Không. Ý tưởng có vẻ hợp lý này chính là nguồn gốc của phần lớn sai sót trong mô hình này.

01Một lực căng đảm nhiệm hai vai trò

Hãy hình dung vật từ góc nhìn bên. Sợi dây chạy chéo từ vật lên điểm treo cố định.

Chỉ có hai lực tác dụng lên vật:

• trọng lực của nó, \(mg\), hướng thẳng đứng xuống dưới
• lực căng, \(F_T\), dọc theo sợi dây và hướng về điểm treo

Không có một lực riêng biệt nào gọi là “lực hướng tâm”. Lực hướng tâm là tên gọi của hợp lực hướng về tâm của quỹ đạo tròn. Nếu sự phân biệt này chưa rõ, hãy xem Lực hướng tâm: Cách xác định lực thực sự trong Vật lý HSC.

Giả sử sợi dây tạo với phương thẳng đứng một góc \(\theta\).

Lực căng hướng theo phương chéo, vì vậy ta có thể phân tích nó thành hai thành phần vuông góc:

• \(F_T\cos\theta\) hướng thẳng đứng lên trên
• \(F_T\sin\theta\) hướng ngang vào tâm đường tròn

Thành phần thẳng đứng ngăn vật rơi xuống. Thành phần nằm ngang làm vật đổi hướng.

Điều này hơi giống với việc kéo một chiếc vali có bánh xe bằng tay cầm nghiêng lên trên. Một lực kéo có thể vừa có thành phần hướng lên trên vừa có thành phần hướng về phía trước. Sự tương tự chỉ dừng ở đó, vì chiếc vali còn chịu các lực từ mặt đất, trong khi vật của chúng ta chỉ chịu lực căng và trọng lực.

02Bắt đầu từ các gia tốc, không phải các lực

Cụm từ “đường tròn nằm ngang” cho bạn biết một điều rất quan trọng về gia tốc.

Vật không chuyển động lên hoặc xuống. Vì vậy, gia tốc theo phương thẳng đứng của nó bằng không.

Nhưng vận tốc theo phương ngang của nó liên tục đổi hướng, nên vật có gia tốc hướng tâm về phía tâm:

\[
a_c=\frac{v^2}{r}
\]

trong đó:

• \(a_c\) là gia tốc hướng tâm, đơn vị \(\text{m s}^{-2}\)
• \(v\) là tốc độ, đơn vị \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) là bán kính của đường tròn nằm ngang, tính bằng mét

Bây giờ có thể áp dụng định luật II Newton riêng biệt theo phương thẳng đứng và phương ngang.

Cặp phương trình này là cốt lõi của mô hình.

Hãy chú ý ý nghĩa vật lý của chúng. Toàn bộ lực căng không tạo ra gia tốc hướng tâm. Chỉ thành phần nằm ngang của nó làm điều đó.

03Vì sao lực căng lớn hơn lực hướng tâm

Một cách làm ban đầu thường gặp là

\[
F_T=\frac{mv^2}{r}
\]

nhưng điều này không thể đúng đối với sợi dây nghiêng như ở trên.

Nếu toàn bộ lực căng được dùng theo phương ngang, sẽ không có lực hướng lên trên để cân bằng \(mg\). Vật sẽ gia tốc xuống dưới, vì vậy quỹ đạo của nó không thể duy trì trong một mặt phẳng nằm ngang.

Thay vào đó,

\[
F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r}
\]

và

\[
F_T\cos\theta=mg
\]

Vì \(F_T\) phải cung cấp cả hai thành phần,

\[
F_T=\sqrt{\left(\frac{mv^2}{r}\right)^2+(mg)^2}
\]

Do đó, \(F_T\) lớn hơn cả \(mg\) và lực hướng tâm theo phương ngang cần thiết.

Còn có một hệ thức hữu ích khác. Chia phương trình theo phương ngang cho phương trình theo phương thẳng đứng:

\[
\frac{F_T\sin\theta}{F_T\cos\theta}
=
\frac{mv^2/r}{mg}
\]

suy ra

\[
\tan\theta=\frac{v^2}{rg}
\]

Khối lượng bị triệt tiêu. Với một tốc độ và bán kính cho trước, việc thay đổi khối lượng không làm thay đổi góc cần thiết. Tuy nhiên, nó làm thay đổi lực căng.

04Bán kính thường không bằng chiều dài sợi dây

Bây giờ giả sử sợi dây có chiều dài \(L\).

Ta rất dễ viết \(r=L\). Điều đó chỉ đúng nếu sợi dây nằm ngang.

Đối với con lắc hình nón, bán kính theo phương ngang là thành phần nằm ngang của chiều dài sợi dây:

\[
r=L\sin\theta
\]

Khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm treo đến mặt phẳng của đường tròn là

\[
L\cos\theta
\]

Hình học này trở nên quan trọng bất cứ khi nào đề bài cho chiều dài sợi dây thay vì bán kính.

05Một hệ thức hữu ích cho con lắc hình nón

Có một cách khác để mô tả chuyển động bằng tốc độ góc.

Tốc độ góc là

\[
\omega=\frac{v}{r}
\]

trong đó \(\omega\) được đo bằng \(\text{rad s}^{-1}\).

Phương trình lực theo phương ngang trở thành

\[
F_T\sin\theta=m\omega^2r
\]

và vì \(r=L\sin\theta\),

\[
F_T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta
\]

Đối với một quỹ đạo tròn thực sự, \(\sin\theta\neq0\), nên

\[
F_T=m\omega^2L
\]

Kết hợp điều này với

\[
F_T\cos\theta=mg
\]

ta được

\[
m\omega^2L\cos\theta=mg
\]

và do đó

\[
\omega^2=\frac{g}{L\cos\theta}
\]

Vì \(P=2\pi/\omega\),

\[
P=2\pi\sqrt{\frac{L\cos\theta}{g}}
\]

Hệ thức này cho một kết quả hơi bất ngờ: chu kỳ phụ thuộc vào khoảng cách theo phương thẳng đứng \(L\cos\theta\) từ điểm treo đến quỹ đạo tròn, chứ không phụ thuộc trực tiếp vào bán kính.

Nhận xét này trở nên quan trọng trong câu hỏi cuối cùng bên dưới.

06Quy tắc quyết định ngắn gọn

Khi bạn thấy một vật chuyển động theo đường tròn nằm ngang trên một sợi dây nghiêng:

1. Chỉ vẽ các lực thực sự: lực căng và trọng lực.
2. Chọn các phương thẳng đứng và phương ngang hướng vào tâm.
3. Dùng điều kiện gia tốc theo phương thẳng đứng bằng không:

\[
F_T\cos\theta=mg
\]

1. Dùng gia tốc hướng tâm theo phương ngang:

\[
F_T\sin\theta=\frac{mv^2}{r}
\]

1. Nếu đề bài cho chiều dài sợi dây, hãy liên hệ mô hình lực với hình học:

\[
r=L\sin\theta
\]

Các phương trình này giả sử \(\theta\) được đo từ phương thẳng đứng. Nếu đề bài đo góc từ phương ngang, các thành phần sin và cos sẽ đổi chỗ. Hãy vẽ lại tam giác thay vì cố ghi nhớ một bộ phương trình thứ hai.

07Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một vật khối lượng \(0.30\ \text{kg}\) chuyển động với tốc độ \(3.0\ \text{m s}^{-1}\) theo một đường tròn nằm ngang có bán kính \(0.80\ \text{m}\). Hãy tìm:

a. thành phần nằm ngang của lực căng
b. thành phần thẳng đứng của lực căng
c. tổng lực căng
d. góc của sợi dây so với phương thẳng đứng

Dùng \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Lời giải 1

Các thành phần theo phương ngang và phương thẳng đứng lần lượt là \(3.38\ \text{N}\) và \(2.94\ \text{N}\), cho tổng lực căng \(4.48\ \text{N}\) ở góc \(48.9^\circ\) so với phương thẳng đứng.

Theo phương ngang,

\[
F_{T,x}
=
\frac{mv^2}{r}
=
\frac{(0.30)(3.0)^2}{0.80}
=
3.375\ \text{N}
\]

nên

\[
F_{T,x}=3.38\ \text{N}
\]

Theo phương thẳng đứng, gia tốc bằng không:

\[
F_{T,y}=mg=(0.30)(9.8)=2.94\ \text{N}
\]

Tổng lực căng là độ lớn của vectơ:

\[
F_T
=
\sqrt{(3.375)^2+(2.94)^2}
=
4.48\ \text{N}
\]

Cuối cùng,

\[
\tan\theta=\frac{3.375}{2.94}
\]

nên

\[
\theta=48.9^\circ
\]

Một cách làm tắt dễ mắc sai lầm là gọi \(3.38\ \text{N}\) là lực căng vì nó bằng \(mv^2/r\). Đây chỉ là thành phần nằm ngang của lực căng. Cùng một vectơ lực căng còn phải cung cấp thành phần hướng lên trên \(2.94\ \text{N}\) để cân bằng trọng lực.

Câu hỏi 2

Một vật khối lượng \(0.20\ \text{kg}\) treo bằng một sợi dây dài \(1.00\ \text{m}\) và chuyển động như một con lắc hình nón. Sợi dây lệch \(50^\circ\) so với phương thẳng đứng.

Tính:

a. bán kính của quỹ đạo tròn
b. lực căng trong dây
c. tốc độ của vật
d. chu kỳ

Dùng \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Lời giải 2

Bán kính là \(0.766\ \text{m}\), lực căng là \(3.05\ \text{N}\), tốc độ là \(2.99\ \text{m s}^{-1}\), và chu kỳ là \(1.61\ \text{s}\).

Trước tiên, dùng hình học của sợi dây:

\[
r=L\sin\theta
=(1.00)\sin50^\circ
=0.766\ \text{m}
\]

Theo phương thẳng đứng,

\[
F_T\cos50^\circ=mg
\]

nên

\[
F_T
=
\frac{(0.20)(9.8)}{\cos50^\circ}
=
3.05\ \text{N}
\]

Thành phần nằm ngang của lực căng là

\[
F_T\sin50^\circ
=
(3.05)\sin50^\circ
=
2.34\ \text{N}
\]

Do đó,

\[
2.34=\frac{(0.20)v^2}{0.766}
\]

suy ra

\[
v
=
\sqrt{\frac{(2.34)(0.766)}{0.20}}
=
2.99\ \text{m s}^{-1}
\]

Chu kỳ là

\[
P
=
\frac{2\pi r}{v}
=
\frac{2\pi(0.766)}{2.99}
=
1.61\ \text{s}
\]

Sai lầm dễ mắc là lấy \(r=1.00\ \text{m}\). Chiều dài sợi dây là cạnh huyền của tam giác hình học; bán kính quỹ đạo tròn là thành phần nằm ngang của nó, \(L\sin\theta\).

Câu hỏi 3

Một vật chuyển động như một con lắc hình nón với chu kỳ \(1.80\ \text{s}\).

Ban đầu, sợi dây của nó dài \(1.00\ \text{m}\).

a. Xác định góc của sợi dây so với phương thẳng đứng và bán kính của đường tròn.

Sau đó, sợi dây được rút ngắn còn \(0.70\ \text{m}\), trong khi một cơ cấu cố gắng giữ chu kỳ chính xác ở \(1.80\ \text{s}\).

b. Vật có thể ổn định thành một con lắc hình nón có bán kính khác không với chu kỳ đó hay không? Hãy giải thích bằng cả lập luận vật lý và toán học.

Dùng \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Lời giải 3

Ban đầu, góc là \(36.5^\circ\) và bán kính là \(0.594\ \text{m}\). Sau khi sợi dây được rút ngắn xuống \(0.70\ \text{m}\), không thể tồn tại trạng thái con lắc hình nón có bán kính khác không với chu kỳ \(1.80\ \text{s}\).

Tốc độ góc tương ứng với chu kỳ là

\[
\omega
=
\frac{2\pi}{P}
=
\frac{2\pi}{1.80}
=
3.49\ \text{rad s}^{-1}
\]

Đối với con lắc hình nón,

\[
\omega^2=\frac{g}{L\cos\theta}
\]

nên

\[
\cos\theta=\frac{g}{\omega^2L}
\]

Với \(L=1.00\ \text{m}\),

\[
\cos\theta
=
\frac{9.8}{(3.49)^2(1.00)}
=
0.804
\]

Do đó,

\[
\theta=36.5^\circ
\]

và

\[
r=L\sin\theta
=
(1.00)\sin36.5^\circ
=
0.594\ \text{m}
\]

Bây giờ rút ngắn sợi dây xuống \(0.70\ \text{m}\) trong khi giữ nguyên \(\omega\):

\[
\cos\theta
=
\frac{9.8}{(3.49)^2(0.70)}
=
1.15
\]

Nhưng không có góc thực nào có \(\cos\theta>1\).

Vì vậy, chuyển động tròn đều ổn định được yêu cầu là không thể.

Một ý tưởng dễ nghĩ tới là hệ chỉ cần tăng lực căng cho đến khi sợi dây ngắn hơn hoạt động được. Lực căng không thể tùy ý điều chỉnh mọi điều kiện một cách độc lập. Cân bằng theo phương thẳng đứng, gia tốc hướng tâm theo phương ngang, tốc độ góc đã cho và hình học cố định của sợi dây đều phải đồng thời được thỏa mãn. Ở đây, các điều kiện đó đòi hỏi một giá trị không thể có của \(\cos\theta\).

Tương đương, với tốc độ góc này, tồn tại một chiều dài dây nhỏ nhất có thể:

\[
L_{\min}=\frac{g}{\omega^2}
=
\frac{9.8}{(3.49)^2}
=
0.804\ \text{m}
\]

Sợi dây \(0.70\ \text{m}\) được đề xuất ngắn hơn giới hạn này.

Câu hỏi 4

Một vật khối lượng \(0.40\ \text{kg}\) đang chuyển động như một con lắc hình nón trên một sợi dây dài \(1.00\ \text{m}\). Quỹ đạo tròn của nó nằm cách một sàn ngang \(1.25\ \text{m}\).

Sợi dây đột ngột bị đứt. Bỏ qua lực cản không khí. Vật rơi xuống sàn tại vị trí cách \(1.10\ \text{m}\) theo phương ngang so với điểm trên sàn nằm ngay bên dưới vị trí sợi dây bị đứt.

Xác định:

a. tốc độ ngay trước khi sợi dây bị đứt
b. góc mà sợi dây tạo với phương thẳng đứng
c. lực căng trong dây ngay trước khi bị đứt

Dùng \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Lời giải 4

Ngay trước khi dây đứt, vật đang chuyển động với tốc độ \(2.18\ \text{m s}^{-1}\), sợi dây lệch \(38.1^\circ\) so với phương thẳng đứng, và lực căng của nó là \(4.98\ \text{N}\).

Tại thời điểm sợi dây đứt, vật giữ nguyên vận tốc tức thời của nó. Vận tốc đó nằm ngang và tiếp tuyến với quỹ đạo tròn.

Do đó, vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng bằng không.

Đối với quãng rơi \(1.25\ \text{m}\),

\[
h=\frac{1}{2}gt^2
\]

nên

\[
1.25=\frac{1}{2}(9.8)t^2
\]

và

\[
t
=
\sqrt{\frac{2(1.25)}{9.8}}
=
0.505\ \text{s}
\]

Theo phương ngang,

\[
v=\frac{d}{t}
=
\frac{1.10}{0.505}
=
2.18\ \text{m s}^{-1}
\]

Trước khi dây đứt, hệ thức của con lắc hình nón là

\[
\tan\theta=\frac{v^2}{rg}
\]

nhưng bán kính vẫn chưa biết. Vì sợi dây có chiều dài \(L=1.00\ \text{m}\),

\[
r=L\sin\theta
\]

Do đó,

\[
v^2
=
gL\sin\theta\tan\theta
=
gL\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}
\]

Đặt \(c=\cos\theta\). Vì \(\sin^2\theta=1-c^2\),

\[
\frac{v^2}{gL}
=
\frac{1-c^2}{c}
\]

Dùng \(v=2.18\ \text{m s}^{-1}\),

\[
\frac{(2.18)^2}{(9.8)(1.00)}
=
0.484
\]

nên

\[
0.484=\frac{1-c^2}{c}
\]

và do đó

\[
c^2+0.484c-1=0
\]

Nghiệm có ý nghĩa vật lý là

\[
c=0.787
\]

nên

\[
\cos\theta=0.787
\]

và

\[
\theta=38.1^\circ
\]

Cuối cùng, cân bằng theo phương thẳng đứng trước khi dây đứt cho

\[
F_T\cos\theta=mg
\]

nên

\[
F_T
=
\frac{(0.40)(9.8)}{\cos38.1^\circ}
=
4.98\ \text{N}
\]

Một cách làm dễ mắc sai lầm là coi độ dịch chuyển \(1.10\ \text{m}\) của chuyển động ném là bán kính của đường tròn ban đầu. Không phải như vậy. Khi sợi dây đứt, vật ban đầu chuyển động theo tiếp tuyến với quỹ đạo cũ. Chuyển động ném cho biết tốc độ tiếp tuyến; sau đó phải tìm lại bán kính ban đầu bằng hình học của sợi dây và các phương trình chuyển động tròn.

Câu hỏi 5

Hai con lắc hình nón khác nhau có các điểm treo nằm trên cùng một độ cao.

Đối với con lắc A, chiều dài sợi dây là \(1.20\ \text{m}\). Đối với con lắc B, chiều dài sợi dây là \(0.80\ \text{m}\).

Trong cả hai trường hợp, quỹ đạo tròn nằm ngang nằm chính xác \(0.60\ \text{m}\) theo phương thẳng đứng bên dưới điểm treo. Khối lượng của hai vật không nhất thiết phải bằng nhau.

Một học sinh lập luận:

Con lắc A có bán kính quỹ đạo lớn hơn, nên chắc chắn phải mất nhiều thời gian hơn để hoàn thành mỗi vòng quay.

Hãy xác định xem chu kỳ của chúng có thực sự khác nhau hay không. Sau đó tính bán kính và tốc độ tuyến tính của mỗi vật.

Dùng \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

Lời giải 5

Hai con lắc có chu kỳ hoàn toàn bằng nhau, \(1.55\ \text{s}\), mặc dù con lắc A có bán kính lớn hơn và chuyển động với tốc độ tuyến tính lớn hơn.

Gọi khoảng cách theo phương thẳng đứng từ điểm treo đến mặt phẳng của đường tròn là \(h\).

Từ hình học,

\[
h=L\cos\theta
\]

Đối với cân bằng lực,

\[
F_T\cos\theta=mg
\]

và

\[
F_T\sin\theta=m\omega^2r
\]

Chia phương trình theo phương ngang cho phương trình theo phương thẳng đứng:

\[
\tan\theta=\frac{\omega^2r}{g}
\]

Nhưng hình học của sợi dây cũng cho

\[
\tan\theta=\frac{r}{h}
\]

Do đó,

\[
\frac{r}{h}
=
\frac{\omega^2r}{g}
\]

Cả hai con lắc đều có bán kính khác không, nên \(r\) bị triệt tiêu:

\[
\omega^2=\frac{g}{h}
\]

Đây là điều kiện then chốt. Bán kính có vẻ quan trọng, nhưng khi đồng thời áp dụng các phương trình lực và hình học của sợi dây, nó biến mất khỏi biểu thức của tốc độ góc.

Với \(h=0.60\ \text{m}\),

\[
\omega
=
\sqrt{\frac{9.8}{0.60}}
=
4.04\ \text{rad s}^{-1}
\]

Do đó

\[
P
=
\frac{2\pi}{\omega}
=
\frac{2\pi}{4.04}
=
1.55\ \text{s}
\]

đối với cả hai con lắc.

Bây giờ tìm các bán kính.

Đối với con lắc A,

\[
r_A
=
\sqrt{L_A^2-h^2}
=
\sqrt{(1.20)^2-(0.60)^2}
=
1.04\ \text{m}
\]

Đối với con lắc B,

\[
r_B
=
\sqrt{L_B^2-h^2}
=
\sqrt{(0.80)^2-(0.60)^2}
=
0.529\ \text{m}
\]

Tốc độ tuyến tính là \(v=\omega r\).

Do đó,

\[
v_A
=
(4.04)(1.04)
=
4.20\ \text{m s}^{-1}
\]

và

\[
v_B
=
(4.04)(0.529)
=
2.14\ \text{m s}^{-1}
\]

Con lắc A thực sự đi được một chu vi lớn hơn, nhưng nó cũng chuyển động nhanh hơn đúng mức cần thiết để chu kỳ không thay đổi.

Lập luận của học sinh coi bán kính và tốc độ như thể một đại lượng có thể thay đổi trong khi đại lượng kia giữ nguyên. Trong con lắc hình nón, chúng được liên hệ với nhau bởi cân bằng lực và hình học. Khi khoảng cách theo phương thẳng đứng \(h=L\cos\theta\) giống nhau, tốc độ góc được xác định bởi

\[
\omega=\sqrt{\frac{g}{h}}
\]

bất kể khối lượng hay bán kính.

08Mô hình này giúp bạn làm gì tiếp theo

Thói quen quan trọng ở đây không phải là ghi nhớ hai phương trình thành phần. Điều quan trọng là xác định phương nào thực sự có gia tốc.

Đối với một quỹ đạo tròn nằm ngang, gia tốc theo phương thẳng đứng bằng không, nên các lực theo phương thẳng đứng cân bằng nhau. Theo phương ngang, có một gia tốc hướng vào tâm, nên các thành phần theo phương ngang của những lực thực sự phải tạo ra \(mv^2/r\).

Cách tiếp cận này cũng áp dụng cho các bài toán chuyển động tròn khó hơn. Nếu đường tròn bị nghiêng, nằm theo phương thẳng đứng hoặc vật được đỡ bởi nhiều hơn một lực, các phương trình thành phần sẽ thay đổi, nhưng phương pháp thì không: chọn phương bán kính, xác định các lực thực sự, phân tích chúng thành các thành phần, rồi mới viết định luật II Newton.