Độ cao cực đại của vật phóng: Giải thích Vật lý HSC

Một quả bóng được phóng theo một góc sẽ bay lên, chậm dần theo phương thẳng đứng, đạt đến đỉnh quỹ đạo rồi rơi xuống. Tại điểm cao nhất đó, vật phóng đã dừng lại chưa?

Hãy dự đoán trước khi đọc tiếp: tốc độ của nó bằng không, gia tốc của nó bằng không, hay chỉ vận tốc theo phương thẳng đứng bằng không?

Chỉ vận tốc theo phương thẳng đứng bằng không. Trừ khi vật được phóng thẳng đứng lên trên, nó vẫn đang chuyển động theo phương ngang. Trọng lực cũng vẫn đang làm nó gia tốc xuống dưới. Chính sự phân biệt này là chìa khóa để tính đúng độ cao cực đại.

01Độ cao cực đại là một bài toán chuyển động theo phương thẳng đứng

Hãy tưởng tượng phóng một quả bóng với tốc độ ban đầu \(u\) theo góc \(\theta\) so với phương ngang. Vận tốc ban đầu của nó có thể được phân tích thành hai thành phần:

\[
u_x = u\cos\theta
\]

\[
u_y = u\sin\theta
\]

Trong đó:

• \(u_x\) là vận tốc ban đầu theo phương ngang, đơn vị \(\mathrm{m\,s^{-1}}\),
• \(u_y\) là vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng, đơn vị \(\mathrm{m\,s^{-1}}\),
• \(u\) là độ lớn của vận tốc ban đầu, đơn vị \(\mathrm{m\,s^{-1}}\), và
• \(\theta\) là góc phóng so với phương ngang.

Nếu bạn vẫn chưa vững cách phân tích một vectơ vận tốc thành các thành phần, trước tiên hãy ôn lại các thành phần vận tốc ban đầu của vật phóng.

Đối với độ cao cực đại, thành phần theo phương ngang không trực tiếp ảnh hưởng. Trọng lực tác dụng theo phương thẳng đứng, vì vậy chính \(u_y\) quyết định vật có thể bay lên cao đến đâu.

Bạn có thể hình dung hai thành phần vận tốc như hai người được giao những phần khác nhau trong một bài tập nhóm. Thành phần thẳng đứng phải gánh toàn bộ “kịch tính” do trọng lực gây ra. Nó liên tục thay đổi. Còn thành phần ngang, trong mô hình HSC lý tưởng, về cơ bản không bị tác động.

Phép so sánh này có giới hạn vì hai thành phần không thực sự là hai chuyển động hay hai vật riêng biệt. Chúng là hai thành phần vuông góc của cùng một vectơ vận tốc.

Chính xác thì điều gì xảy ra tại đỉnh quỹ đạo?

Chọn chiều lên trên là chiều dương theo phương thẳng đứng.

Trong khi vật đang đi lên:

• vận tốc thẳng đứng \(v_y\) là dương,
• trọng lực tạo ra gia tốc thẳng đứng \(a_y=-g\),
• \(v_y\) giảm đều.

Tại độ cao cực đại:

Gần bề mặt Trái Đất, các câu hỏi HSC về chuyển động ném thường sử dụng \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), trừ khi đề bài cho một giá trị khác.

Vì vậy, điều kiện quan trọng là

\[
v_y=0
\]

chứ không phải \(v=0\).

02Suy ra công thức độ cao cực đại

Ta cần tìm độ dời theo phương thẳng đứng từ điểm phóng đến đỉnh quỹ đạo. Gọi độ dời này là \(H\).

Phương trình động học theo phương thẳng đứng

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

rất hữu ích vì có chứa độ dời nhưng không cần dùng đến thời gian.

Đối với chuyển động từ lúc phóng đến độ cao cực đại:

• \(v_y=0\),
• \(a_y=-g\),
• \(\Delta y=H\).

Thay vào phương trình:

\[
0^2=u_y^2+2(-g)H
\]

suy ra

\[
0=u_y^2-2gH
\]

và do đó

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

Giá trị \(H\) này là độ cao cực đại so với điểm phóng.

Nếu vật được phóng với tốc độ \(u\) theo góc \(\theta\), thì \(u_y=u\sin\theta\), nên

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

Đây là kết quả chuẩn cho độ cao cực đại trong chuyển động ném lý tưởng.

Hãy chú ý ý nghĩa vật lý của phương trình. Vận tốc thẳng đứng ban đầu càng lớn thì vật càng có nhiều chuyển động hướng lên để trọng lực làm giảm đi. Vì \(u_y\) được bình phương, nếu tăng gấp đôi thành phần vận tốc thẳng đứng thì độ cao tăng lên gấp bốn lần.

Nếu vật phóng bắt đầu ở một độ cao so với mặt đất

Giả sử điểm phóng đã ở độ cao \(y_0\) so với mặt đất.

Công thức

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

vẫn chỉ cho biết phần độ cao tăng thêm sau khi phóng.

Khi đó, độ cao cực đại so với mặt đất là

\[
y_{\max}=y_0+\frac{u_y^2}{2g}
\]

Sự phân biệt này gây ra nhiều lỗi hoàn toàn có thể tránh được. Luôn tự hỏi: đề bài cần độ cao tăng thêm so với điểm phóng, hay độ cao cực đại so với một mốc tham chiếu như mặt đất?

03Vì sao dùng thời gian cũng cho cùng một kết quả

Có một cách khác để suy ra cùng công thức.

Từ

\[
v_y=u_y+a_yt
\]

vận tốc thẳng đứng tại đỉnh bằng không:

\[
0=u_y-gt_{\text{top}}
\]

nên

\[
t_{\text{top}}=\frac{u_y}{g}
\]

Bây giờ dùng phương trình độ dời theo phương thẳng đứng:

\[
H=u_yt_{\text{top}}-\frac{1}{2}gt_{\text{top}}^2
\]

Thay \(t_{\text{top}}=u_y/g\),

\[
H=u_y\left(\frac{u_y}{g}\right)
-\frac{1}{2}g\left(\frac{u_y}{g}\right)^2
=\frac{u_y^2}{2g}
\]

Kết quả giống nhau.

Phương trình có bình phương vận tốc thường nhanh hơn khi đề bài chỉ yêu cầu độ cao cực đại. Phương pháp dùng thời gian trở nên hữu ích khi cũng cần tìm thời gian để vật đạt đến đỉnh quỹ đạo.

04Sai lầm dễ mắc nhất: cho toàn bộ vận tốc bằng không

Giả sử một vật được phóng theo phương xiên.

Tại điểm cao nhất,

\[
v_y=0
\]

nhưng trong mô hình chuyển động ném lý tưởng,

\[
v_x=u_x
\]

Do đó, tốc độ tổng hợp tại đỉnh là

\[
v=\sqrt{v_x^2+0^2}=v_x
\]

và không bằng không, trừ khi vật được phóng thẳng đứng.

Tại sao quan niệm sai này lại dễ xuất hiện đến vậy? Trong cách nói thông thường, ta nói rằng một vật được ném “ngừng bay lên”. Điều đó đúng. Nhưng “ngừng bay lên” không có nghĩa là “ngừng chuyển động”.

Ngay bên cạnh đó còn có một cái bẫy thứ hai: một số học sinh cũng cho gia tốc bằng không tại đỉnh vì vận tốc thẳng đứng bằng không. Trọng lực không hề ngừng tác dụng. Trong suốt chuyển động, gia tốc vẫn xấp xỉ \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) hướng xuống dưới.

Một phép so sánh hữu ích là quả bóng được ném thẳng đứng lên trên. Đúng tại khoảnh khắc nó chuyển từ đi lên sang đi xuống, vận tốc của nó bằng không, nhưng gia tốc hướng xuống vẫn tồn tại. Nếu không có gia tốc đó, quả bóng đơn giản sẽ đứng lơ lửng tại đỉnh.

05Quy tắc quyết định ngắn gọn

Khi gặp một câu hỏi về độ cao cực đại, hãy lần lượt đưa ra các quyết định sau:

Hàng cuối cùng rất quan trọng. Công thức dự đoán độ cao mà vật sẽ đạt được theo mô hình nếu không có gì cản trở chuyển động của nó. Mái nhà, bức tường hoặc một va chạm khác có thể khiến đỉnh quỹ đạo lý thuyết đó không thể đạt được trong thực tế.

06Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một vật được phóng với tốc độ \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) theo góc \(35.0^\circ\) so với phương ngang. Tính độ cao cực đại so với điểm phóng.

Lời giải 1

Vật đạt độ cao cực đại \(9.67\ \mathrm{m}\) so với điểm phóng.

Trước tiên, phân tích vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng:

\[
u_y=u\sin\theta
=24.0\sin35.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Tại độ cao cực đại, \(v_y=0\). Vì vậy,

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(13.8)^2}{2(9.8)}
=9.67\ \mathrm{m}
\]

Cách làm dễ bị nhầm là đưa toàn bộ \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) vào công thức tính độ cao. Làm như vậy đồng nghĩa với việc coi thành phần ngang như thể trọng lực cũng phải làm nó giảm đi khi vật bay lên. Nhưng không phải vậy. Độ cao cực đại phụ thuộc vào thành phần vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng.

Câu hỏi 2

Một vật được phóng từ mặt đất với tốc độ \(26.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Tại độ cao cực đại, tốc độ của nó là \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Tính:

a. vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng,

b. góc phóng so với phương ngang, và

c. độ cao cực đại.

Bỏ qua lực cản không khí.

Lời giải 2

Vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng là \(16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), góc phóng là \(39.7^\circ\), và độ cao cực đại là \(14.1\ \mathrm{m}\).

Tại đỉnh quỹ đạo, vận tốc thẳng đứng bằng không. Vì vậy, tốc độ \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) đã cho phải chính là vận tốc theo phương ngang:

\[
u_x=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Tốc độ ban đầu là độ lớn của hai thành phần vuông góc:

\[
u^2=u_x^2+u_y^2
\]

nên

\[
u_y=\sqrt{u^2-u_x^2}
=\sqrt{(26.0)^2-(20.0)^2}
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Đối với góc phóng,

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{20.0}
\]

nên

\[
\theta=39.7^\circ
\]

Bây giờ tính độ cao tăng thêm:

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(16.6)^2}{19.6}
=14.1\ \mathrm{m}
\]

Cách hiểu dễ bị nhầm là cho rằng tốc độ \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) tại độ cao cực đại bằng cách nào đó mô tả phần chuyển động thẳng đứng còn lại. Điều kiện chính xác tại đỉnh là \(v_y=0\). Vì vậy, bất kỳ tốc độ khác không nào tại đó đều phải là theo phương ngang.

Câu hỏi 3

Một vật được phóng từ mặt đất và rơi trở lại mặt đất. Tầm xa theo phương ngang của nó là \(50.0\ \mathrm{m}\), và độ cao cực đại là \(8.00\ \mathrm{m}\).

Xác định góc phóng và tốc độ ban đầu.

Giả sử chuyển động ném là lý tưởng.

Lời giải 3

Vật được phóng theo góc \(32.6^\circ\) với tốc độ ban đầu \(23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Đối với một vật rơi xuống đúng cùng độ cao thẳng đứng với vị trí phóng,

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

trong đó \(R\) là tầm xa theo phương ngang.

Độ cao cực đại của nó là

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

Thay vì giải riêng cả hai phương trình theo \(u\), hãy so sánh chúng. Bốn lần độ cao cực đại là

\[
4H=\frac{2u^2\sin^2\theta}{g}
\]

Sử dụng \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\),

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

Do đó,

\[
\frac{R}{4H}
=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
=\cot\theta
\]

Thay các giá trị đã đo:

\[
\cot\theta=\frac{50.0}{4(8.00)}
=1.5625
\]

nên

\[
\tan\theta=\frac{1}{1.5625}=0.640
\]

và

\[
\theta=32.6^\circ
\]

Bây giờ dùng phương trình độ cao cực đại:

\[
8.00
=\frac{u^2\sin^2(32.6^\circ)}{2(9.8)}
\]

Biến đổi,

\[
u
=\sqrt{\frac{2(9.8)(8.00)}{\sin^2(32.6^\circ)}}
=23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Một cách làm dễ bị nhầm là giả sử góc phóng bằng \(45^\circ\) vì \(45^\circ\) thường gắn với tầm xa cực đại. Nhưng \(45^\circ\) chỉ làm tầm xa lớn nhất khi tốc độ phóng được giữ cố định và độ cao phóng bằng độ cao hạ xuống. Không có thông tin nào ở đây nói rằng quỹ đạo cụ thể này có tầm xa lớn nhất có thể đối với tốc độ của nó. Tổ hợp giá trị tầm xa và độ cao đã đo xác định góc là \(32.6^\circ\).

Câu hỏi 4

Một vật được phóng từ một bệ cao \(5.00\ \mathrm{m}\) so với mặt đất.

Khi vật cách điểm phóng \(18.0\ \mathrm{m}\) theo phương ngang, vận tốc của nó có độ lớn \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) và hướng chếch lên \(20.0^\circ\) so với phương ngang.

Xác định:

a. độ cao cực đại của vật so với mặt đất,

b. tốc độ ban đầu, và

c. góc phóng ban đầu.

Bỏ qua lực cản không khí.

Lời giải 4

Độ cao cực đại là \(19.0\ \mathrm{m}\) so với mặt đất, tốc độ ban đầu là \(23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và góc phóng là \(44.4^\circ\).

Trước tiên, vận tốc đo được tại \(x=18.0\ \mathrm{m}\) cần được phân tích thành các thành phần:

\[
v_x=18.0\cos20.0^\circ
=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\[
v_y=18.0\sin20.0^\circ
=6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Vì trong mô hình lý tưởng không có gia tốc theo phương ngang,

\[
u_x=v_x=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Thời gian để vật đi được \(18.0\ \mathrm{m}\) theo phương ngang là

\[
t=\frac{x}{v_x}
=\frac{18.0}{16.9}
=1.064\ \mathrm{s}
\]

Bây giờ tính ngược lại theo phương thẳng đứng. Sử dụng

\[
v_y=u_y-gt
\]

ta được

\[
u_y=v_y+gt
=6.16+9.8(1.064)
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Độ dời theo phương thẳng đứng của vật trong \(1.064\ \mathrm{s}\) đó là

\[
\Delta y
=u_yt-\frac{1}{2}gt^2
\]

\[
\Delta y
=(16.6)(1.064)-\frac{1}{2}(9.8)(1.064)^2
=12.1\ \mathrm{m}
\]

Vì vật bắt đầu ở độ cao \(5.00\ \mathrm{m}\) so với mặt đất, độ cao của nó tại điểm quan sát là

\[
y=5.00+12.1=17.1\ \mathrm{m}
\]

Vật vẫn đang đi lên vì \(v_y=+6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Độ cao còn tăng thêm là

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(6.16)^2}{19.6}
=1.93\ \mathrm{m}
\]

Do đó,

\[
y_{\max}=17.1+1.93=19.0\ \mathrm{m}
\]

Tốc độ ban đầu là

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(16.9)^2+(16.6)^2}
=23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

và góc phóng thỏa mãn

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{16.9}
\]

suy ra

\[
\theta=44.4^\circ
\]

Cách làm dễ bị nhầm là coi \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) theo góc \(20.0^\circ\) là vận tốc phóng. Không phải vậy. Những giá trị đó mô tả vật tại một thời điểm muộn hơn trong chuyển động. Trọng lực đã làm thay đổi thành phần thẳng đứng, trong khi thành phần ngang vẫn giữ nguyên. Chính sự khác biệt đó cho phép ta dựng lại trạng thái trước đó.

Câu hỏi 5

Một vật được phóng từ một điểm mà ta quy ước có độ cao \(0\).

Trong quá trình chuyển động, vật đi qua độ cao \(9.00\ \mathrm{m}\) hai lần: một lần khi đang đi lên và một lần khi đang đi xuống. Hai lần quan sát cách nhau \(1.60\ \mathrm{s}\), và trong khoảng thời gian đó vật đi được \(24.0\ \mathrm{m}\) theo phương ngang.

Xác định:

a. độ cao cực đại so với điểm phóng,

b. tốc độ tại độ cao cực đại,

c. vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng,

d. tốc độ ban đầu, và

e. góc phóng.

Bỏ qua lực cản không khí.

Lời giải 5

Độ cao cực đại là \(12.1\ \mathrm{m}\), tốc độ tại đỉnh quỹ đạo là \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng là \(15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), tốc độ ban đầu là \(21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và góc phóng là \(45.8^\circ\).

Điểm mấu chốt là vật đi qua cùng một độ cao một lần trên đường đi lên và một lần trên đường đi xuống. Với gia tốc không đổi hướng xuống và không có lực cản không khí, hai thời điểm đó đối xứng theo thời gian quanh đỉnh quỹ đạo.

Hai lần quan sát cách nhau \(1.60\ \mathrm{s}\), nên thời gian từ một trong hai lần quan sát đến đỉnh quỹ đạo là

\[
\frac{1.60}{2}=0.800\ \mathrm{s}
\]

Tại lần đầu đi qua độ cao \(9.00\ \mathrm{m}\), vật đang chuyển động lên trên. Vận tốc thẳng đứng của nó phải giảm về không trong \(0.800\ \mathrm{s}\) tiếp theo:

\[
0=v_y-g(0.800)
\]

Do đó,

\[
v_y=9.8(0.800)
=7.84\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Độ cao tăng thêm từ mức \(9.00\ \mathrm{m}\) đến đỉnh quỹ đạo là

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(7.84)^2}{19.6}
=3.136\ \mathrm{m}
\]

Vì vậy, độ cao cực đại là

\[
H_{\max}=9.00+3.136
=12.136\ \mathrm{m}
\]

hay \(12.1\ \mathrm{m}\) với ba chữ số có nghĩa.

Bây giờ sử dụng thông tin theo phương ngang. Vận tốc ngang không đổi, nên

\[
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{24.0}{1.60}
=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Tại độ cao cực đại, \(v_y=0\), vì vậy tốc độ tổng hợp của vật tại đó đơn giản là

\[
v_{\text{apex}}=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Để dựng lại vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng, sử dụng độ cao cực đại đã biết:

\[
H_{\max}=\frac{u_y^2}{2g}
\]

Do đó,

\[
u_y=\sqrt{2gH_{\max}}
=\sqrt{2(9.8)(12.136)}
=15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Vận tốc ban đầu theo phương ngang vẫn là

\[
u_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

nên tốc độ ban đầu là

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(15.0)^2+(15.4)^2}
=21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

Cuối cùng,

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{15.4}{15.0}
\]

nên

\[
\theta=45.8^\circ
\]

Cách làm dễ bị nhầm là coi toàn bộ \(1.60\ \mathrm{s}\) là thời gian từ lần đầu vật đi qua độ cao \(9.00\ \mathrm{m}\) đến đỉnh quỹ đạo. Làm như vậy sẽ khiến độ cao tăng thêm lớn gấp bốn lần, vì độ dời tính từ một điểm đổi chiều phụ thuộc vào bình phương thời gian. Điều kiện quan trọng là tính đối xứng: hai lần đi qua cùng một độ cao nằm ở hai phía của đỉnh quỹ đạo, nên đỉnh nằm chính giữa chúng về mặt thời gian.

Dữ liệu còn ẩn chứa một hệ quả hữu ích khác. Ta không cần biết tốc độ phóng ban đầu trước khi tìm độ cao cực đại. Chuyển động ở giai đoạn sau đã cung cấp đủ thông tin để dựng lại giá trị đó.

07Độ cao cực đại giúp bạn hiểu điều gì tiếp theo

Ý tưởng hữu ích thực sự không phải là công thức \(H=u_y^2/(2g)\). Điều quan trọng là điều kiện đứng sau nó: tại đỉnh tự nhiên của quỹ đạo, \(v_y=0\) trong khi trọng lực vẫn đang tác dụng.

Khi đã nắm chắc điều đó, các câu hỏi về góc phóng trở nên dễ hơn nhiều. Việc tăng \(\theta\) làm thay đổi \(u_y=u\sin\theta\), từ đó thay đổi độ cao cực đại, nhưng đồng thời cũng làm thay đổi thành phần theo phương ngang và vì vậy ảnh hưởng đến thời gian bay và tầm xa. Sự đánh đổi này là bước tiếp theo để hiểu góc phóng ảnh hưởng như thế nào đến độ cao, thời gian bay và tầm xa của vật phóng.