Góc phóng của vật ném xiên: Độ cao, thời gian bay và tầm xa

Hai vật được phóng rời khỏi mặt đất với đúng cùng một tốc độ. Một vật được phóng ở góc \(30^\circ\), còn vật kia ở góc \(60^\circ\). Vật nào rơi xuống xa hơn?

Vật phóng ở \(60^\circ\) ở trên không lâu hơn và lên cao hơn nhiều, nên rất dễ chọn vật đó. Nhưng theo các giả định thông thường của mô hình chuyển động ném xiên lý tưởng, chúng rơi xuống ở đúng cùng một khoảng cách theo phương ngang.

Kết quả này là chìa khóa để hiểu ảnh hưởng của góc phóng. Tăng góc phóng làm vật có vận tốc hướng lên lớn hơn, nhưng vận tốc theo phương ngang nhỏ hơn. Độ cao và thời gian bay tiếp tục tăng khi góc phóng dốc hơn. Tầm xa thì không.

01Bắt đầu bằng cách phân tích vận tốc phóng

Giả sử một vật được phóng với tốc độ \(u\) ở góc \(\theta\) so với phương ngang.

Vận tốc ban đầu của nó có thể được phân tích thành hai thành phần vuông góc:

\[
u_x=u\cos\theta
\]

\[
u_y=u\sin\theta
\]

trong đó:

• \(u_x\) là vận tốc ban đầu theo phương ngang, tính bằng \(\mathrm{m\,s^{-1}}\),
• \(u_y\) là vận tốc ban đầu theo phương thẳng đứng, tính bằng \(\mathrm{m\,s^{-1}}\),
• \(u\) là tốc độ phóng, tính bằng \(\mathrm{m\,s^{-1}}\), và
• \(\theta\) là góc phóng so với phương ngang.

Nếu bạn cần ôn lại vì sao sin và cos xuất hiện ở đây, hãy xem Các thành phần vận tốc ban đầu của chuyển động ném xiên trong Vật lý HSC.

Một cách hình dung hữu ích ban đầu là xem tốc độ phóng như một “ngân sách vận tốc” cố định. Khi nghiêng vectơ vận tốc lên trên, nhiều hơn trong “ngân sách” đó chuyển sang thành phần thẳng đứng, còn thành phần ngang giảm đi.

Phép so sánh này không hoàn toàn chính xác. Các thành phần không phải là những đại lượng bị tiêu hao hoặc trao đổi cho nhau trong quá trình bay. Khi vật đã ở trên không, trọng lực liên tục làm thay đổi vận tốc theo phương thẳng đứng, trong khi vận tốc theo phương ngang vẫn không đổi trong mô hình lý tưởng.

Sự khác biệt này giải thích gần như mọi ảnh hưởng của góc phóng.

02Điều gì xảy ra khi góc phóng tăng?

Giữ tốc độ phóng \(u\) không đổi.

Khi \(\theta\) tăng từ \(0^\circ\) đến gần \(90^\circ\):

• \(\cos\theta\) giảm, nên \(u_x\) giảm,
• \(\sin\theta\) tăng, nên \(u_y\) tăng,
• vật lên cao hơn,
• vật ở trên không lâu hơn, nhưng
• vật không nhất thiết đi được xa hơn theo phương ngang.

Tạm thời, giả sử:

• lực cản không khí không đáng kể,
• gia tốc trọng trường không đổi,
• vật rơi xuống cùng độ cao theo phương thẳng đứng với điểm phóng, và
• \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\).

Những giả định này rất quan trọng. Đặc biệt, kết quả quen thuộc rằng \(45^\circ\) cho tầm xa cực đại phụ thuộc vào việc điểm phóng và điểm rơi có cùng độ cao. Bạn có thể ôn lại mô hình trong Giải thích các giả định của chuyển động ném xiên trong Vật lý HSC.

03Góc phóng và độ cao cực đại

Hãy tưởng tượng hai quả bóng được phóng với cùng tốc độ. Một quả được phóng ở \(20^\circ\), quả còn lại ở \(70^\circ\).

Quả nào đạt độ cao lớn hơn?

Vật phóng ở \(70^\circ\) đạt độ cao lớn hơn, vì độ cao cực đại phụ thuộc vào thành phần thẳng đứng \(u_y\), chứ không trực tiếp phụ thuộc vào tổng tốc độ phóng.

Tại độ cao cực đại, vận tốc theo phương thẳng đứng đã giảm về bằng không. Sử dụng

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

với \(v_y=0\), \(a_y=-g\), và \(\Delta y=H\),

\[
0=u_y^2-2gH
\]

nên

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}.
\]

Vì \(u_y=u\sin\theta\),

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}.
\]

Ở đây \(H\) là độ cao cực đại so với điểm phóng, tính bằng mét.

Với tốc độ phóng cố định,

\[
H\propto\sin^2\theta.
\]

Vì vậy, khi tăng góc phóng, độ cao cực đại tăng liên tục cho đến \(90^\circ\).

Phóng thẳng đứng cho độ cao lớn nhất có thể vì toàn bộ vận tốc ban đầu đều theo phương thẳng đứng.

04Góc phóng và thời gian bay

Bây giờ hãy xét thời gian vật ở trên không.

Đối với một vật rơi trở lại đúng độ cao phóng, phần chuyển động đi lên và đi xuống theo phương thẳng đứng là đối xứng.

Thời gian để đạt độ cao cực đại được xác định từ

\[
v_y=u_y-gt.
\]

Tại đỉnh quỹ đạo, \(v_y=0\), nên

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

Tổng thời gian bay \(T\) gấp đôi giá trị này:

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

Thay \(u_y=u\sin\theta\),

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

Vì vậy, với tốc độ phóng cố định,

\[
T\propto\sin\theta.
\]

Góc phóng càng dốc thì vật ở trên không càng lâu.

Điều này đôi khi bị nhầm lẫn với tầm xa. Thời gian ở trên không lâu hơn có vẻ như phải đồng nghĩa với đi được xa hơn theo phương ngang. Nhưng vật có góc phóng dốc hơn cũng có vận tốc ngang nhỏ hơn. Tầm xa phụ thuộc đồng thời vào cả hai yếu tố.

05Góc phóng và tầm xa theo phương ngang

Gia tốc theo phương ngang bằng không trong mô hình chuyển động ném xiên lý tưởng, nên

\[
R=u_xT,
\]

trong đó \(R\) là tầm xa theo phương ngang, tính bằng mét.

Sử dụng

\[
u_x=u\cos\theta
\]

và

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g},
\]

ta được

\[
R=(u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right).
\]

Do đó,

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
\]

Sử dụng hằng đẳng thức

\[
2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta,
\]

phương trình tầm xa trở thành

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

Phương trình này chứa một kết quả quan trọng và khá bất ngờ.

Tầm xa phụ thuộc vào \(\sin2\theta\), chứ không chỉ đơn giản phụ thuộc vào \(\sin\theta\) hoặc \(\cos\theta\).

06Vì sao \(45^\circ\) cho tầm xa cực đại

Với \(u\) và \(g\) cố định, phần duy nhất trong

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

có thể thay đổi là \(\sin2\theta\).

Giá trị lớn nhất có thể của sin là \(1\). Vì vậy, tầm xa cực đại xảy ra khi

\[
\sin2\theta=1.
\]

Điều đó có nghĩa là

\[
2\theta=90^\circ
\]

và do đó

\[
\theta=45^\circ.
\]

Vì vậy, một vật ném xiên lý tưởng được phóng và rơi xuống cùng độ cao có tầm xa cực đại tại \(45^\circ\).

Hãy lưu ý điều mà kết quả này không có nghĩa. Nó không có nghĩa \(45^\circ\) là góc phóng tốt nhất trong mọi bài toán ném xiên. Nếu điểm rơi cao hơn hoặc thấp hơn điểm phóng, nếu lực cản không khí đáng kể, hoặc nếu có chướng ngại vật giới hạn quỹ đạo, đáp án có thể thay đổi.

07Các góc phụ nhau cho cùng tầm xa

Quay lại bài toán ban đầu với \(30^\circ\) và \(60^\circ\).

Với \(30^\circ\),

\[
\sin(2\theta)=\sin60^\circ.
\]

Với \(60^\circ\),

\[
\sin(2\theta)=\sin120^\circ.
\]

Nhưng

\[
\sin60^\circ=\sin120^\circ.
\]

Do đó, tầm xa bằng nhau.

Tổng quát hơn, hai góc phóng có tổng bằng \(90^\circ\) sẽ cho cùng tầm xa khi tốc độ phóng và độ cao khi rơi xuống là như nhau.

Ví dụ:

• \(20^\circ\) và \(70^\circ\),
• \(35^\circ\) và \(55^\circ\),
• \(40^\circ\) và \(50^\circ\).

Đây được gọi là các góc phụ nhau.

Chúng có cùng tầm xa, nhưng quỹ đạo không giống nhau.

Vật phóng ở góc thấp có thành phần vận tốc ngang lớn hơn, nên di chuyển theo phương ngang nhanh hơn.

Vật phóng ở góc cao có thành phần vận tốc thẳng đứng lớn hơn, nên ở trên không lâu hơn nhiều.

Hai hiệu ứng đó tình cờ cân bằng hoàn toàn khi các góc phụ nhau.

08So sánh trực tiếp độ cao, thời gian và tầm xa

Với tốc độ phóng cố định và độ cao phóng bằng độ cao rơi xuống:

Ví dụ, lấy \(u=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).

Trong ví dụ này, vật phóng ở \(60^\circ\) lên cao gấp ba lần vật phóng ở \(30^\circ\), và ở trên không lâu hơn nhiều, nhưng tầm xa của chúng bằng nhau.

Đó là lý do việc đánh giá tầm xa chỉ dựa vào hình dạng quỹ đạo có thể gây nhầm lẫn.

09Ngộ nhận dễ mắc nhất

Một dự đoán thường gặp là:

Góc phóng lớn hơn nghĩa là tầm xa lớn hơn vì vật ở trên không lâu hơn.

Nửa đầu của lập luận là đúng. Khi tăng góc phóng, thời gian bay thực sự tăng, miễn là tốc độ phóng được giữ cố định.

Vấn đề là vận tốc theo phương ngang đồng thời giảm:

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

Gần \(0^\circ\), vật có nhiều vận tốc ngang nhưng gần như không có thời gian ở trên không.

Gần \(90^\circ\), vật có nhiều thời gian bay nhưng gần như không có vận tốc ngang.

Tầm xa cực đại xuất hiện giữa hai trường hợp cực đoan đó, nơi hai hiệu ứng cân bằng nhau. Khi độ cao phóng và độ cao rơi xuống bằng nhau, sự cân bằng đó xảy ra tại \(45^\circ\).

Một cách suy luận tắt khác cũng dễ gây nhầm là nói rằng các góc phụ nhau luôn cho cùng tầm xa. Điều đó không phải lúc nào cũng đúng.

Kết quả này phụ thuộc vào việc tốc độ phóng bằng nhau và độ cao phóng bằng độ cao rơi xuống. Nếu phóng từ một vách đá, thời gian rơi thêm sẽ làm thay đổi sự cân bằng.

10Nếu vật rơi xuống ở một độ cao khác thì sao?

Giả sử một vật được phóng từ một vách đá.

Hai lần phóng ở \(30^\circ\) và \(60^\circ\) không còn bắt buộc phải đi cùng một khoảng cách theo phương ngang trước khi chạm đất, ngay cả khi tốc độ phóng bằng nhau.

Tại sao?

Phương trình

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

được suy ra từ tính đối xứng của chuyển động theo phương thẳng đứng. Nó giả sử vật rơi xuống đúng độ cao ban đầu.

Khi phóng từ vách đá, vật tiếp tục rơi sau khi đi qua độ cao phóng. Tổng thời gian bay lúc này phải được tìm từ phương trình độ dời theo phương thẳng đứng

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

Sau khi biết thời gian bay đó, tầm xa theo phương ngang vẫn là

\[
R=u_xt.
\]

Vì vậy, cách phân tích thành phần vận tốc vẫn đúng. Các công thức tiện lợi dành cho trường hợp cùng độ cao thì không còn áp dụng.

Đây là một thói quen quan trọng trong HSC: trước khi dùng một công thức ném xiên đã ghi nhớ, hãy kiểm tra điều kiện vật lý khiến công thức đó đúng.

11Câu hỏi và lời giải

Câu 1

Một vật được phóng từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) ở góc \(40^\circ\) so với phương ngang. Bỏ qua lực cản không khí.

Tính:

a. độ cao cực đại,

b. tổng thời gian bay, và

c. tầm xa theo phương ngang.

Lời giải 1

Vật đạt độ cao cực đại \(6.83\ \mathrm{m}\), ở trên không trong \(2.36\ \mathrm{s}\), và đi được \(32.6\ \mathrm{m}\) theo phương ngang.

Trước tiên, phân tích vận tốc ban đầu:

\[
\begin{aligned}
u_x&=18\cos40^\circ\\
&=13.79\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

và

\[
\begin{aligned}
u_y&=18\sin40^\circ\\
&=11.57\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

Đối với độ cao cực đại,

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(11.57)^2}{2(9.8)}\\
&=6.83\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Đối với tổng thời gian bay,

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(11.57)}{9.8}\\
&=2.36\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

Do đó, tầm xa là

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(13.79)(2.36)\\
&=32.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Một lỗi dễ mắc là dùng toàn bộ \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) làm vận tốc theo phương ngang. Chỉ thành phần ngang mới đưa vật đi theo phương ngang.

Câu 2

Một thiết bị phóng bắn một vật từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ \(28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Vật phải rơi xuống cách đó \(60.0\ \mathrm{m}\) ở cùng độ cao.

Bỏ qua lực cản không khí:

a. tìm cả hai góc phóng có thể,

b. tìm thời gian bay cho mỗi quỹ đạo, và

c. tìm độ cao cực đại cho mỗi quỹ đạo.

Lời giải 2

Có hai góc phóng có thể: xấp xỉ \(24.3^\circ\) và \(65.7^\circ\). Chúng có cùng tầm xa, nhưng thời gian bay và độ cao cực đại rất khác nhau.

Sử dụng phương trình tầm xa khi điểm phóng và điểm rơi cùng độ cao

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

Thay \(R=60.0\ \mathrm{m}\), \(u=28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\):

\[
\begin{aligned}
60.0&=\frac{28^2\sin2\theta}{9.8}\\
\sin2\theta&=\frac{(60.0)(9.8)}{28^2}\\
&=0.750.
\end{aligned}
\]

Một nghiệm là

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.750)=48.59^\circ.
\]

Nhưng sin cũng dương trong góc phần tư thứ hai, nên

\[
2\theta=180^\circ-48.59^\circ=131.41^\circ.
\]

Do đó,

\[
\theta=24.30^\circ
\]

hoặc

\[
\theta=65.70^\circ.
\]

Hai góc có tổng bằng \(90^\circ\), đúng như dự đoán đối với hai quỹ đạo phụ nhau có cùng tầm xa.

Đối với quỹ đạo thấp hơn,

\[
u_y=28\sin24.30^\circ=11.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(11.52)}{9.8}\\
&=2.35\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

và

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(11.52)^2}{19.6}\\
&=6.77\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Đối với quỹ đạo cao hơn,

\[
u_y=28\sin65.70^\circ=25.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(25.52)}{9.8}\\
&=5.21\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

và

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(25.52)^2}{19.6}\\
&=33.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Một cách làm dễ mắc lỗi là dừng lại ngay sau khi máy tính cho \(2\theta=48.59^\circ\). Làm như vậy sẽ bỏ mất quỹ đạo vật lý thứ hai. Vì sin nhận cùng một giá trị dương tại hai góc trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\), một mục tiêu có thể đạt tới ở cùng độ cao thường có một nghiệm góc thấp và một nghiệm góc cao.

Câu 3

Một vật được phóng từ mặt đất với tốc độ \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Một mục tiêu nằm trên mặt đất ở xa hơn, nhưng có một bức tường thẳng đứng cách thiết bị phóng \(20.0\ \mathrm{m}\). Bức tường cao \(8.00\ \mathrm{m}\).

Hai góc phóng đang được xem xét: \(30^\circ\) và \(60^\circ\).

a. Chứng minh rằng hai góc phóng cho cùng tầm xa nếu không có vật cản.

b. Xác định độ cao của mỗi vật khi nó đến vị trí bức tường.

c. Cho biết quỹ đạo nào có thể vượt qua bức tường và tiếp tục sang phía mục tiêu.

Lời giải 3

Cả hai vật đều có cùng tầm xa không bị cản là \(55.2\ \mathrm{m}\), nhưng chỉ vật phóng ở \(60^\circ\) vượt qua được bức tường cao \(8.00\ \mathrm{m}\).

Đối với tầm xa,

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

Tại \(30^\circ\),

\[
\begin{aligned}
R_{30}&=\frac{25.0^2\sin60^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Tại \(60^\circ\),

\[
\begin{aligned}
R_{60}&=\frac{25.0^2\sin120^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Tầm xa bằng nhau vì \(30^\circ\) và \(60^\circ\) là hai góc phụ nhau.

Tuy nhiên, cùng tầm xa không có nghĩa là cùng quỹ đạo. Để tìm độ cao tại vị trí ngang \(x\), sử dụng

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta},
\]

trong đó \(x\) và \(y\) được đo từ điểm phóng.

Đối với vật phóng ở \(30^\circ\) tại \(x=20.0\ \mathrm{m}\),

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan30^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^230^\circ}\\
&=7.37\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Vì \(7.37\ \mathrm{m}<8.00\ \mathrm{m}\), vật va vào tường.

Đối với vật phóng ở \(60^\circ\),

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan60^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^260^\circ}\\
&=22.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Vì \(22.1\ \mathrm{m}>8.00\ \mathrm{m}\), vật vượt qua tường.

Kết luận dễ mắc sai lầm là cùng tầm xa khiến hai góc phóng có thể thay thế cho nhau. Chúng chỉ có thể thay thế cho nhau nếu điểm rơi là ràng buộc duy nhất. Khi có một chướng ngại vật phụ thuộc vào độ cao của quỹ đạo tại một vị trí trung gian, hai quỹ đạo sẽ có hành vi rất khác nhau.

Câu 4

Một vật được phóng từ mặt đất bằng phẳng. Phân tích video cho thấy khi vật cách điểm phóng \(30.0\ \mathrm{m}\) theo phương ngang, các thành phần vận tốc của nó là

\[
v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

và

\[
v_y=+3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Bỏ qua lực cản không khí.

Xác định:

a. thời gian đã trôi qua kể từ lúc phóng,

b. các thành phần vận tốc ban đầu theo phương ngang và thẳng đứng,

c. tốc độ phóng và góc phóng,

d. độ cao của vật tại thời điểm quan sát,

e. độ cao cực đại, và

f. tầm xa cuối cùng theo phương ngang.

Lời giải 4

Vật được phóng với tốc độ xấp xỉ \(27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) ở góc \(56.4^\circ\), chứ không phải theo hướng \(11.3^\circ\) mà vectơ vận tốc của nó đang chỉ tại thời điểm quan sát. Độ cao cực đại của vật khoảng \(26.1\ \mathrm{m}\), và tầm xa khoảng \(69.2\ \mathrm{m}\).

Ràng buộc quan trọng là vận tốc theo phương ngang không đổi. Do đó,

\[
u_x=v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Thời gian đã trôi qua được xác định từ chuyển động theo phương ngang:

\[
\begin{aligned}
x&=u_xt\\
30.0&=(15.0)t\\
t&=2.00\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

Theo phương thẳng đứng,

\[
v_y=u_y-gt.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
u_y&=v_y+gt\\
&=3.00+(9.8)(2.00)\\
&=22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

Tốc độ phóng là

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{15.0^2+22.6^2}\\
&=27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

Góc phóng thỏa mãn

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}.
\]

Do đó,

\[
\begin{aligned}
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{22.6}{15.0}\right)\\
&=56.4^\circ.
\end{aligned}
\]

Bây giờ tìm độ cao tại \(t=2.00\ \mathrm{s}\):

\[
\begin{aligned}
y&=u_yt-\frac{1}{2}gt^2\\
&=(22.6)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2\\
&=25.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Độ cao cực đại là

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(22.6)^2}{19.6}\\
&=26.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Kết quả này hợp lý: vật đã ở độ cao \(25.6\ \mathrm{m}\) và vẫn đang đi lên với tốc độ chỉ \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), nên nó phải đang ở gần điểm cao nhất.

Tổng thời gian bay là

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(22.6)}{9.8}\\
&=4.61\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

Do đó, tầm xa là

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(15.0)(4.61)\\
&=69.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Một cách làm dễ mắc lỗi là tính góc của vận tốc hiện tại:

\[
\tan^{-1}\left(\frac{3.00}{15.0}\right)=11.3^\circ
\]

và coi đó là góc phóng. Nhưng trọng lực đã làm giảm vận tốc thẳng đứng từ \(22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) xuống còn \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Hướng chuyển động hiện tại không phải là hướng phóng ban đầu.

Câu 5

Một vật được phóng từ mặt đất với tốc độ \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). Quan sát cho thấy vật đi qua một điểm cách thiết bị phóng \(20.0\ \mathrm{m}\) theo phương ngang và cao hơn mức phóng \(10.0\ \mathrm{m}\).

Bỏ qua lực cản không khí.

a. Tìm tất cả các góc phóng có thể trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\).

b. Với mỗi góc phóng, xác định vật đang đi lên hay đi xuống khi đi qua điểm quan sát.

c. Tìm tầm xa cuối cùng của mỗi quỹ đạo.

d. Giải thích vì sao hai góc phóng không phụ nhau, mặc dù cùng một tốc độ phóng cho hai quỹ đạo có thể đi qua cùng một điểm.

Lời giải 5

Có hai góc phóng có thể, xấp xỉ \(36.6^\circ\) và \(79.9^\circ\). Vật phóng ở \(36.6^\circ\) đi qua điểm đó khi đang đi lên và cuối cùng rơi xuống cách thiết bị phóng khoảng \(61.1\ \mathrm{m}\). Vật phóng ở \(79.9^\circ\) đi qua cùng điểm đó khi đang đi xuống và rơi xuống chỉ cách thiết bị phóng khoảng \(21.9\ \mathrm{m}\).

Ràng buộc quan trọng là vật phải đi qua một điểm trung gian, chứ không phải rơi xuống tại điểm đó. Vì vậy, kết quả quen thuộc về các góc phụ nhau không áp dụng.

Sử dụng phương trình quỹ đạo

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

Thay \(x=20.0\ \mathrm{m}\), \(y=10.0\ \mathrm{m}\), và \(u=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\):

\[
10.0
=
20.0\tan\theta
–
\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^2\theta}.
\]

Vì

\[
\frac{(9.8)(20.0)^2}{2(25.0)^2}=3.136,
\]

ta có

\[
10.0=20.0\tan\theta-3.136\sec^2\theta.
\]

Bây giờ sử dụng

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.
\]

Đặt

\[
p=\tan\theta.
\]

Khi đó

\[
10.0=20.0p-3.136(1+p^2).
\]

Sắp xếp lại,

\[
3.136p^2-20.0p+13.136=0.
\]

Sử dụng công thức nghiệm phương trình bậc hai,

\[
p=
\frac{20.0\pm\sqrt{20.0^2-4(3.136)(13.136)}}
{2(3.136)}.
\]

Ta được

\[
p=0.743
\]

hoặc

\[
p=5.63.
\]

Do đó,

\[
\theta=\tan^{-1}(0.743)=36.6^\circ
\]

hoặc

\[
\theta=\tan^{-1}(5.63)=79.9^\circ.
\]

Bây giờ xác định trạng thái chuyển động của mỗi vật khi nó đến \(x=20.0\ \mathrm{m}\).

Đối với lần phóng ở \(36.6^\circ\),

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos36.6^\circ\\
&=20.06\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

và

\[
u_y=25.0\sin36.6^\circ=14.92\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Thời gian để đến \(x=20.0\ \mathrm{m}\) là

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{x}{u_x}\\
&=\frac{20.0}{20.06}\\
&=0.997\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

Vận tốc theo phương thẳng đứng tại đó là

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=14.92-(9.8)(0.997)\\
&=+5.15\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

Dấu dương cho biết vật vẫn đang đi lên.

Tổng tầm xa của vật là

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{u^2\sin2\theta}{g}\\
&=\frac{25.0^2\sin(73.2^\circ)}{9.8}\\
&=61.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Đối với lần phóng ở \(79.9^\circ\),

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos79.9^\circ\\
&=4.37\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

và

\[
u_y=25.0\sin79.9^\circ=24.62\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

Thời gian để đến \(x=20.0\ \mathrm{m}\) là

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{20.0}{4.37}\\
&=4.58\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

Khi đó, vận tốc theo phương thẳng đứng là

\[
\begin{aligned}
v_y&=24.62-(9.8)(4.58)\\
&=-20.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

Dấu âm cho biết vật đang đi xuống.

Tổng tầm xa của vật là

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{25.0^2\sin(159.9^\circ)}{9.8}\\
&=21.9\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

Vì vậy, vật phóng ở góc cao đi qua điểm quan sát chỉ một thời gian ngắn trước khi chạm đất.

Dự đoán dễ mắc sai lầm là hai góc phóng hợp lệ phải là hai góc phụ nhau. Quy tắc đó thuộc về một điều kiện khác: hai lần phóng có cùng tốc độ và rơi xuống cùng một vị trí theo phương ngang ở đúng độ cao phóng.

Ở đây, điểm \((20.0\ \mathrm{m},10.0\ \mathrm{m})\) không phải là điểm rơi. Một quỹ đạo đi qua điểm đó sớm khi đang đi lên, còn quỹ đạo kia đi qua đó muộn hơn nhiều khi đang đi xuống. Không có lý do gì để hai góc phải có tổng bằng \(90^\circ\), và thực tế

\[
36.6^\circ+79.9^\circ=116.5^\circ.
\]

Đó là bài học rộng hơn từ các bài toán về góc phóng. Góc phóng không điều khiển độ cao, thời gian và tầm xa một cách độc lập. Nó làm thay đổi các thành phần ngang và thẳng đứng của cùng một vận tốc ban đầu, và các điều kiện của bài toán quyết định hai thành phần đó phải phối hợp với nhau như thế nào. Bước hữu ích tiếp theo là học cách nhận ra khi nào các công thức tiện lợi dành cho trường hợp cùng độ cao được áp dụng, và khi nào bạn cần quay lại các phương trình động học theo phương ngang và phương thẳng đứng.