平坦圓形彎道上的汽車：摩擦力與向心力

想像一輛汽車駛入一個平坦的左彎。駕駛把方向盤向左轉，但假設路面突然變得完全沒有摩擦力。會發生甚麼事？

一個常見的猜測是，因為車輪已經朝向左方，所以汽車仍會稍微轉彎。其實不會。由於路面沒有對汽車施加任何水平力，汽車會大致沿著原本運動方向的直線切線繼續前進。

這告訴我們，在平坦路面上真正使汽車轉彎的是甚麼：不是方向盤本身，也不是一種叫做「向心力」的神祕額外力。路面透過摩擦力對輪胎施加側向力。在穩定地駛過平坦彎道時，這個摩擦力指向圓形路徑的圓心。

01實際上是甚麼讓汽車轉彎？

從上方俯視汽車。它的速度方向沿著道路，也就是圓形路徑的切線方向。片刻之後，汽車的速度會指向稍微不同的方向。

速度發生改變就表示有加速度。對圓周運動而言，這個加速度指向圓心。

對於勻速圓周運動，

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)，
• \(v\) 是速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)，以及
• \(r\) 是圓形路徑的半徑，單位為米。

如果你想複習為甚麼即使汽車速率保持不變，這個加速度仍然指向內側，可參閱向心加速度：為甚麼在 HSC Physics 中它指向內側。

接著，牛頓第二定律告訴我們，必須存在一個向內的合力：

\[ F_{\text{合力，向內}}=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]

但這條方程式並不是在命名一種新的力。它只是告訴我們，向內合力必須有多大。

那麼，是哪一種真正的力提供這個合力？

在平坦彎道上以恆定速率行駛時，就是輪胎與路面之間的靜摩擦力。

\[ f_s=\frac{mv^2}{r} \]

這就是整個主題最核心的概念。

02為甚麼這是靜摩擦力？

一開始這聽起來可能不太對。汽車正在移動，那麼摩擦力不應該是動摩擦力嗎？

仔細看看滾動輪胎與路面的接觸。如果輪胎在沒有打滑的情況下滾動，接觸路面的那一小塊橡膠，相對於路面在該瞬間是靜止的。

在這個接觸點上沒有滑動。因此，這裡的摩擦力是靜摩擦力。

靜摩擦力並不只是指「物體是靜止的」。它指的是兩個表面在接觸處沒有彼此滑動。

這也解釋了另一個常見錯誤：摩擦力並不總是與汽車的速度方向相反。

在穩定轉彎時，汽車向前運動，而靜摩擦力則側向作用，指向彎道的圓心。摩擦力所阻止的是輪胎相對於路面滑動的趨勢，而不是自動與汽車整體的運動方向相反。

一個有用的想像是：一輛購物手推車位於光滑得誇張的超市地板上。你可以把車輪轉向任何方向，但如果地板無法提供足夠的側向抓地力，手推車並不會乖乖地沿著車輪所指的方向行駛。轉向決定輪胎如何與路面互動，而真正改變運動狀態的，是輪胎與路面之間的作用力。

這個類比有其限制。真實的輪胎會變形，其接觸區域很複雜，而且其抓地力無法用簡單的剛性車輪模型完美描述。不過，在 HSC Physics 中，把輪胎的側向力建模為靜摩擦力，是一個實用的近似。

03摩擦力有最大值，而不是固定值

以下大概是這個主題中最重要的方程式陷阱：

\[ f_s=\mu_sN \]

一般而言並不成立。

正確的關係是

\[ f_s\leq \mu_sN \]

其中：

• \(f_s\) 是實際的靜摩擦力，
• \(\mu_s\) 是靜摩擦係數，以及
• \(N\) 是正向力。

靜摩擦力會調整至所需的大小，直到達到某個最大值。

想像一輛汽車以很低的速率駛過一個半徑很大的彎道。輪胎不需要用盡所有可用抓地力。摩擦力只會提供所需的、相對較小的向內力。

當汽車行駛得更快時，所需的摩擦力會增加。最終，輪胎可能會達到可提供的最大靜摩擦力。

此時，簡單的「不打滑」模型就達到了它的極限。

04求平坦彎道上的最大速率

在平坦路面上，汽車沒有垂直加速度。其垂直方向的力互相平衡：

\[ N=mg \]

其中 \(m\) 是汽車的質量，而 \(g\) 是重力場強度，在地球表面附近約為 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。

因此，可提供的最大靜摩擦力為

\[ f_{s,\max}=\mu_smg \]

所需的向內力為

\[ f_{\text{所需}}=\frac{mv^2}{r} \]

要使輪胎不打滑，

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

約去 \(m\)：

\[ \frac{v^2}{r}\leq\mu_sg \]

在不打滑的最大可能速率下，

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

在你拿起計算機之前，這已經能給出幾個有用的預測。

留意質量所帶來的這個看似奇怪的結果。在這個簡化模型中，一輛較重的汽車不會僅僅因為比較重，就具有較低的最大過彎速率。

較重的汽車需要較大的向心力，但較大的正向力也會以相同比例增加可提供的最大摩擦力。因此，質量會被約去。

真實輪胎比這個簡單的摩擦模型複雜得多，所以不要把這個 HSC 結果延伸成對真實汽車工程普遍適用的說法。

05並不存在一個額外獨立的「向心力」

假設你為汽車畫受力圖，並包括以下箭頭：

• 向下的重量，
• 向上的正向力，
• 向內的摩擦力，以及
• 向內的「向心力」。

這樣你就把向內的力計算了兩次。

「向心」描述的是合力所造成的作用，而通常不是一種額外的物理交互作用名稱。

對於這個平坦、恆定速率的彎道，

\[ F_{\text{向心}}=f_s \]

相同的邏輯也適用於其他圓周運動問題，但實際提供向心作用的力可以不同。重力可以為軌道運動提供向心力。繩子的張力可以為繫在繩上、沿圓周運動的小球提供向心力。

最有用的問題永遠是：

哪一個真實的力，或哪些真實力的組合，指向圓心？

這種方法在向心力：如何在 HSC Physics 中辨認真正的力中有更深入的說明。

06如果所需的摩擦力太大，會怎樣？

假設

\[ \frac{mv^2}{r}>\mu_smg \]

路面無法提供所需的靜摩擦力。

人們很容易會說：「汽車受到一個向外的力，因此被推向外側。」這並不是正確的模型。

真正的問題是沒有足夠的向內力。

由於汽車的慣性，它傾向大致沿著原本的切線方向繼續前進，而路面無法足夠迅速地使其速度方向向內彎曲。因此，相對於彎曲的道路，汽車便會朝彎道外側移動。

在慣性參考系中，沒有必要虛構一個真實的向外力。

一旦輪胎真的開始滑動，情況也會改變。靜摩擦力已不再以相同方式描述輪胎與路面之間的作用，而且你不能自動假設汽車仍會沿原本的半徑行駛。僅僅在

\[ \frac{mv^2}{r}=\mu mg \]

中把 \(\mu_s\) 換成動摩擦係數，然後假裝汽車仍沿同一圓形路徑行駛，可能會得到在物理上具誤導性的結果。

07如果汽車同時在加速或煞車呢？

到目前為止，汽車都是以恆定速率沿彎道行駛。這使摩擦力的作用很簡單：它只需要有一個向內的分量。

但假設駕駛在轉彎時同時加速。

先預測一下摩擦力的方向。它是否仍然一定要正好指向圓心？

不是。

如果驅動輪需要一個向前的摩擦力分量來增加汽車速率，同時又需要一個向內的分量來使汽車轉彎，那麼輪胎與路面之間的總摩擦力會指向前方與內側之間的某個方向。

同樣地，在轉彎時煞車，除了向內的摩擦力分量之外，也可能需要一個向後的摩擦力分量。

在簡化模型中，如果 \(f_r\) 是徑向摩擦力分量，而 \(f_t\) 是切向摩擦力分量，那麼總摩擦力的大小為

\[ f_s=\sqrt{f_r^2+f_t^2} \]

而且必須滿足

\[ \sqrt{f_r^2+f_t^2}\leq\mu_sN \]

對平坦路面而言，兩邊除以 \(m\) 後，可以得到一個方便的加速度形式：

\[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2+a_t^2}\leq\mu_sg \]

其中 \(a_t\) 是切向加速度。

這揭示了一個重要概念：輪胎的抓地力是共用的。

如果輪胎已經使用了幾乎全部可用摩擦力來使汽車轉彎，那麼留給急煞或加速的摩擦力就很少。

真實輪胎的行為比這個整齊的圓形「摩擦力額度」模型更複雜，特別是因為輪胎會變形，而且會發生載荷轉移。不過，這個模型掌握了 HSC Physics 的核心物理：輪胎與路面之間的摩擦力是一個合力，而不是彼此獨立、沒有上限的側向摩擦力和向前摩擦力來源。

08四個值得留意的錯誤

1. 「摩擦力等於 \(\mu N\)。」
   只有在達到極限值時才成立。在滑動之前，靜摩擦力會自行調整，最大可達 \(f_{s,\max}=\mu_sN\)。

2. 「摩擦力總是與汽車的運動方向相反。」
   靜摩擦力阻止的是輪胎與路面接觸處的相對滑動。在穩定轉彎時，汽車向前運動，而摩擦力則側向作用。

3. 「向心力是一個額外的向內力。」
   不是。在這個平坦彎道中，靜摩擦力才是提供所需向心合力的真實力。

4. 「打滑的汽車會被推向外側。」
   在慣性參考系中，主要問題是向內力不足。汽車無法像道路一樣急劇地改變運動方向。

09問題與解答

問題 1

一輛 \(1000\text{ kg}\) 的汽車以 \(18\text{ m s}^{-1}\) 的恆定速率，沿半徑為 \(90\text{ m}\) 的平坦圓形彎道行駛。

計算：

a. 汽車的向心加速度，以及
b. 作用在汽車上的摩擦力。

說明摩擦力的方向。

解答 1

向心加速度為 \(3.60\text{ m s}^{-2}\)，而路面必須對汽車施加 \(3.60\times10^3\text{ N}\) 指向彎道圓心的摩擦力。

對於 a 部分，

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{18^2}{90} =\frac{324}{90} =3.60\text{ m s}^{-2} \]

對於 b 部分，

\[ f_s=ma_c =(1000)(3.60) =3600\text{ N} \]

因此，

\[ f_s=3.60\times10^3\text{ N} \]

方向為水平指向圓形路徑的圓心。

一個很容易犯的錯誤，是把 \(3600\text{ N}\) 稱為「向心力」，然後再把摩擦力當成另一個力加上去。在這裡，摩擦力本身就是提供所需向心合力的物理力。

問題 2

一輛 \(1300\text{ kg}\) 的汽車接近一個半徑為 \(55\text{ m}\) 的平坦彎道。輪胎與路面之間的靜摩擦係數為 \(0.45\)。

汽車以 \(17\text{ m s}^{-1}\) 駛入彎道，沒有煞車，也沒有加速。

a. 計算維持圓形路徑所需的向內摩擦力。
b. 計算可提供的最大靜摩擦力。
c. 判斷汽車是否能在不打滑的情況下沿彎道行駛。
d. 求模型所預測的最大速率。
e. 一名 \(100\text{ kg}\) 的乘客坐進車內。說明在這個理想模型中，這是否會改變最大速率。

解答 2

汽車無法以 \(17\text{ m s}^{-1}\) 維持 \(55\text{ m}\) 的半徑；模型給出的最大速率約為 \(15.6\text{ m s}^{-1}\)，而在理想模型中，增加一名乘客不會改變這個極限速率。

對於 a 部分，所需的向心加速度為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{17^2}{55} =5.25\text{ m s}^{-2} \]

因此，所需的摩擦力為

\[ f_{\text{所需}} =ma_c =(1300)(5.25) \approx6.83\times10^3\text{ N} \]

對於 b 部分，

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.45)(1300)(9.8) =5.73\times10^3\text{ N} \]

對於 c 部分，

\[ 6.83\times10^3\text{ N}>5.73\times10^3\text{ N} \]

因此，沒有足夠的靜摩擦力提供所需的向內力。汽車無法在不打滑的情況下沿指定的圓形路徑行駛。

對於 d 部分，

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

所以

\[ v_{\max} =\sqrt{(0.45)(9.8)(55)} =\sqrt{242.55} =15.6\text{ m s}^{-1} \]

換算後約為

\[ 15.6\times3.6=56.1\text{ km h}^{-1} \]

對於 e 部分，增加乘客會令總質量增加，因此所需的向心力也會增加。不過，這同時會增加正向力，因而使可提供的最大靜摩擦力以相同比例增加：

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

質量會被約去，所以在這個理想模型中，\(v_{\max}\) 不變。

很容易想到的錯誤推論是，較重的汽車需要更大的向心力，所以一定會更早打滑。這只考慮了比較中的一半。較重的汽車也具有按比例增加的最大摩擦力。

問題 3

一輛 \(1400\text{ kg}\) 的汽車沿半徑為 \(80\text{ m}\) 的平坦圓形彎道行駛，在某一瞬間，其速率為 \(22\text{ m s}^{-1}\)。在該瞬間，汽車同時以 \(2.0\text{ m s}^{-2}\) 向前加速。

輪胎與路面之間的靜摩擦係數為 \(0.75\)。

假設水平方向的輪胎-路面摩擦力同時提供徑向加速度和切向加速度。

a. 求摩擦力的徑向分量。
b. 求切向分量。
c. 計算總摩擦力的大小。
d. 判斷輪胎能否在不打滑的情況下提供這個力。
e. 解釋為甚麼在這裡說「汽車轉彎時，摩擦力必須指向圓心」並不完整。

解答 3

所需的總摩擦力約為 \(8.92\times10^3\text{ N}\)，低於 \(1.03\times10^4\text{ N}\) 的最大值，因此根據此模型，汽車可以一邊沿彎道行駛，一邊加速。

對於 a 部分，

\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{22^2}{80} =6.05\text{ m s}^{-2} \]

因此，

\[ f_r=ma_r =(1400)(6.05) =8470\text{ N} \]

方向指向圓心。

對於 b 部分，

\[ f_t=ma_t =(1400)(2.0) =2800\text{ N} \]

方向向前。

兩個分量互相垂直，所以對於 c 部分，

\[ f_s =\sqrt{f_r^2+f_t^2} =\sqrt{8470^2+2800^2} \approx8.92\times10^3\text{ N} \]

對於 d 部分，最大靜摩擦力為

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.75)(1400)(9.8) =1.029\times10^4\text{ N} \]

由於

\[ 8.92\times10^3\text{ N}<1.029\times10^4\text{ N} \]

所以可以提供所需的摩擦力。

對於 e 部分，只有當摩擦力不需要負責任何切向作用時，它才會正好指向圓心。在這裡，摩擦力的一個分量使汽車轉彎，而另一個分量使汽車向前加速。因此，摩擦力的合力會斜向指在向內與向前兩個方向之間。

很容易採取的錯誤做法，是只檢查徑向力 \(8470\text{ N}\) 是否小於摩擦力極限。這忽略了向前的摩擦力分量。這個極限適用於輪胎-路面總摩擦力的大小。

問題 4

一輛汽車沿半徑為 \(60\text{ m}\) 的平坦圓形彎道行駛時正在煞車。其切向減速度大小為 \(3.0\text{ m s}^{-2}\)，靜摩擦係數為 \(0.70\)。

假設輪胎-路面摩擦力同時提供煞車力和向內力。

當汽車以 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的減速度煞車時，能夠維持這個半徑的最大瞬時速率是多少？

將你的結果與汽車以恆定速率沿同一彎道行駛時的最大速率比較。

解答 4

以 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的減速度煞車時，最大瞬時速率約為 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)，低於恆定速率時約 \(20.3\text{ m s}^{-1}\) 的極限。

靜摩擦力能提供的最大總加速度為

\[ a_{\text{摩擦，最大}}=\mu_sg =(0.70)(9.8) =6.86\text{ m s}^{-2} \]

其中一部分摩擦力額度已經用於切向煞車：

\[ a_t=3.0\text{ m s}^{-2} \]

徑向加速度與切向加速度互相垂直，因此在極限條件下，

\[ \sqrt{a_r^2+a_t^2}=6.86 \]

因此，

\[ a_r =\sqrt{6.86^2-3.0^2} =\sqrt{47.06-9.00} =6.17\text{ m s}^{-2} \]

對於圓周運動，

\[ a_r=\frac{v^2}{r} \]

所以

\[ \frac{v^2}{60}=6.17 \]

以及

\[ v=\sqrt{(6.17)(60)} =19.2\text{ m s}^{-1} \]

對於恆定速率過彎，不需要切向摩擦力，因此

\[ v_{\max} =\sqrt{\mu_sgr} =\sqrt{(0.70)(9.8)(60)} =20.3\text{ m s}^{-1} \]

因此，煞車使最大瞬時過彎速率由約 \(20.3\text{ m s}^{-1}\) 降至 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)。

一個容易想到的論點是，煞車會使汽車的速率下降，所以一定會自動令汽車更安全。最終，較低的速率確實會減少所需的徑向加速度。但在所考慮的這個瞬間，煞車本身也需要輪胎摩擦力。因此，一部分可用抓地力必須用於向後，而不能全部用於向內。

問題 5

一輛 \(1000\text{ kg}\) 的汽車正在半徑為 \(50\text{ m}\) 的平坦圓形測試跑道上行駛。其輪胎與路面之間的靜摩擦係數為 \(0.60\)。

汽車最初正好以不打滑情況下所能達到的最大恆定速率行駛。

在這一瞬間，考慮以下兩個可能的實驗：

• 在實驗 A 中，駕駛使用車輪煞車，因此需要一個 \(500\text{ N}\) 向後的輪胎-路面摩擦力分量。
• 在實驗 B 中，不使用車輪煞車。取而代之的是，一個安裝在汽車上的空氣動力阻力裝置透過與空氣的相互作用產生 \(500\text{ N}\) 向後的力。

在兩個實驗中，汽車都必須在最初的瞬間繼續沿相同的圓形半徑行駛。

哪一個實驗可以在不超過輪胎-路面靜摩擦力極限的情況下滿足上述條件？請仔細解釋。假設空氣動力裝置不會改變正向力或摩擦係數。

解答 5

在最初的瞬間，實驗 B 可以滿足上述條件；實驗 A 則不可以。關鍵在於，靜摩擦力極限限制的是輪胎-路面摩擦力，而不是汽車所受所有水平力合起來的大小。

一開始，汽車正以最大恆定過彎速率行駛，因此輪胎已經在向內方向使用了全部可用的靜摩擦力。

最大輪胎-路面靜摩擦力為

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.60)(1000)(9.8) =5880\text{ N} \]

由於汽車一開始正處於恆定速率過彎的極限，

\[ f_r=5880\text{ N} \]

方向向內。

在實驗 A 中，輪胎還需要提供一個 \(500\text{ N}\) 向後的摩擦力分量。

因此，所需的輪胎-路面總摩擦力為

\[ f_s =\sqrt{5880^2+500^2} \approx5901\text{ N} \]

但是

\[ 5901\text{ N}>5880\text{ N} \]

所以在假設的靜摩擦力極限內，輪胎無法同時提供這兩個分量。

汽車無法在該瞬間既維持指定的半徑，又透過輪胎取得那個 \(500\text{ N}\) 的煞車力分量。

實驗 B 則不同。這個 \(500\text{ N}\) 的向後力來自空氣動力裝置與空氣之間的相互作用，而不是輪胎-路面摩擦力。

因此，在最初瞬間，輪胎仍然只需要提供 \(5880\text{ N}\) 的向內力：

\[ f_s=5880\text{ N} \]

這正好等於靜摩擦力極限，所以在理想模型中，這個條件是可能的。獨立的空氣動力力會使汽車產生向後的切向加速度。

片刻之後，汽車的速率會稍微降低。如果它繼續沿相同半徑行駛，那麼所需的向內力

\[ \frac{mv^2}{r} \]

也會變小，因此輪胎不再需要把全部摩擦力容量都用於過彎。

一個容易採取的錯誤做法，是計算 \(5880\text{ N}\) 的向內力與 \(500\text{ N}\) 的空氣動力之合力，然後把這個總力與 \(\mu_smg\) 比較。這會錯誤地把 \(\mu_smg\) 當成汽車總水平力的上限。

它並不是。它是輪胎-路面靜摩擦力的上限。

這個區別就是圓周運動受力問題背後更深層的規則：首先找出所需的加速度，再判斷哪些真實的相互作用可以提供各個力的分量。在平坦、恆定速率的彎道上，所有向內作用都由摩擦力提供。在有傾斜角度的彎道上，正向力也可以對指向圓心的力作出貢獻，這會徹底改變抓地力的計算方式。