等速圓周運動中的速率、半徑與週期

摩天輪上的乘客與旋轉唱片邊緣的標記，都可以用固定速率運動。但如果唱片每 2 秒旋轉一圈，那個標記實際上移動得有多快？單憑週期無法回答這個問題。每轉一圈，靠近圓心的點所走的路徑，遠比靠近邊緣的點短。

在使用方程式之前，先預測一下：兩個點在完全相同的時間內各完成一圈，但其中一個點距離圓心是另一個的兩倍。哪個點的速率較大？

外側的點速率較大。在相同的時間內，它每轉一圈必須走過兩倍的距離。這個簡單的概念，正是方程式

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

成立的根本原因。

01從路程除以時間開始

想像一顆小球以固定速率沿著圓形軌道運動。繞行一整圈的路程，等於圓的周長：

\[ \text{一整圈的路程}=2\pi r \]

其中，\(r\) 是圓形路徑的半徑，以公尺為單位。

假設完成一圈需要 \(T\) 秒。\(T\) 稱為週期。

速率等於路程除以時間，因此，完成一整圈時：

\[ \begin{aligned} v&=\frac{\text{路程}}{\text{時間}}\\ &=\frac{2\pi r}{T} \end{aligned} \]

其中：

• \(v\) 是速率，單位為公尺每秒，\(\text{m s}^{-1}\)；
• \(r\) 是圓形路徑的半徑，單位為公尺，\(\text{m}\)；以及
• \(T\) 是週期，也就是完成一整圈所需的時間，單位為秒，\(\text{s}\)。

這個方程式並不是專為圓周運動發明的特殊新規則，而是把我們熟悉的規則

\[ \text{速率}=\frac{\text{路程}}{\text{時間}} \]

套用在繞行一整圈的情況。

02「等速」實際上代表什麼

在等速圓周運動中，物體沿著圓形路徑運動，速率保持不變。

但這並不代表它的速度保持不變。

速度包含方向。當物體沿著圓周運動時，即使速率表的讀數始終完全相同，它的運動方向仍會持續改變。

在每一瞬間，速度方向都沿著圓的切線。

想像你用繩子甩動一顆球。如果繩子突然斷掉，球會直接朝遠離圓心的方向飛去嗎？

常見的第一個猜測是會，因為感覺球一直在「試圖向外逃離」。但繩子斷掉後，球會沿著它在那一瞬間原本的運動方向繼續前進，也就是沿著切線方向。

這種速度方向的持續改變，正是為什麼即使 \(v\) 保持不變，圓周運動仍然涉及加速度。加速度指向圓心，相關內容會在 HSC 物理中的向心加速度：為什麼方向指向內側 中進一步探討。

03為什麼半徑會改變速率

假設兩名學生站在同一個旋轉平台上。

A 學生距離圓心 \(1.0\text{ m}\)，B 學生距離圓心 \(2.0\text{ m}\)。平台是剛性結構，因此兩人每次完成一圈所需的時間相同。

你可以把這個情況想像成兩個人在兩條大小不同的圓形跑道上跑步，卻不知為何被迫每一圈都同時完成。跑較大圈的人必須走過更長的距離，因此他們必須跑得更快。

如果跑者可以自行決定步調，這個比喻就不再成立。在剛性旋轉平台上，各點受到機械約束，每次轉動都必須同時完成。

如果兩名學生的週期都是 \(T\)，

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

便顯示速率與半徑成正比：

\[ v\propto r \]

前提是 \(T\) 保持不變。

因此，若 \(r\) 加倍，\(v\) 也會加倍；若 \(r\) 變成三倍，\(v\) 也會變成三倍。

所以，旋轉圓盤的外緣比靠近圓心的點移動得更快，即使兩者每秒轉動的圈數相同。

範例：比較旋轉平台上的兩個點

一個圓形平台以固定速率旋轉，週期為 \(4.0\text{ s}\)。A 點距離圓心 \(1.2\text{ m}\)，B 點距離圓心 \(2.4\text{ m}\)。計算各點的速率。

步驟 1：找出保持不變的量。

兩點都固定在同一個平台上，因此兩者的週期都是

\[ T=4.0\text{ s} \]

兩點的半徑則不同。

步驟 2：計算 A 點的速率。

使用

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

可得

\[ \begin{aligned} v_A&=\frac{2\pi(1.2)}{4.0}\\ &=1.88\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 3：計算 B 點的速率。

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi(2.4)}{4.0}\\ &=3.77\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 4：解讀結果。

B 點距離圓心是 A 點的兩倍，因此每轉一圈，B 點走過的距離也是 A 點的兩倍。由於兩點都需要相同的 \(4.0\text{ s}\) 才能完成一圈，B 點的速率就是 A 點的兩倍。

04為什麼週期會改變速率

現在改為固定半徑。

想像同一顆球沿著同一條圓形軌道運動。如果它先以 \(8\text{ s}\) 完成一圈，接著能在 \(4\text{ s}\) 內走完相同的距離，那麼它的速率必定加倍。

根據

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

如果 \(r\) 保持不變，

\[ v\propto \frac{1}{T} \]

因此，週期越短，速率越大。

這是反比關係，而不是正比關係。

請留意，這張表描述的是另一個列出的變數確實保持不變時的情況。真實的物理系統可能受到其他條件限制，使你無法獨立改變其中一個變數。

05週期與頻率以不同方式描述同一種旋轉

有時候，題目給出的不是週期，而是頻率。

頻率 \(f\) 表示每秒發生多少次旋轉。它的單位是赫茲，\(\text{Hz}\)，其中 \(1\text{ Hz}=1\text{ s}^{-1}\)。

週期與頻率互為倒數：

\[ T=\frac{1}{f} \]

以及

\[ f=\frac{1}{T} \]

例如，如果一個物體每秒完成 \(5.0\) 圈，

\[ f=5.0\text{ Hz} \]

因此，

\[ T=\frac{1}{5.0}=0.20\text{ s} \]

將 \(T=1/f\) 代入圓周運動的速率方程式，可得

\[ v=\frac{2\pi r}{1/f}=2\pi rf \]

因此，以下兩種形式都很實用：

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

以及

\[ v=2\pi rf \]

兩者表達的是同一件事。

範例：根據每分鐘轉數求速率

一個實驗室用轉盤的半徑為 \(0.180\text{ m}\)，並以每分鐘 \(45.0\) 圈的固定速率旋轉。計算轉盤外緣上一點的速率。

步驟 1：將每分鐘轉數換算成頻率。

頻率必須以每秒的轉數表示：

\[ \begin{aligned} f&=\frac{45.0}{60}\\ &=0.750\text{ Hz} \end{aligned} \]

步驟 2：使用圓周運動的速率方程式。

使用

\[ v=2\pi rf \]

可得

\[ \begin{aligned} v&=2\pi(0.180)(0.750)\\ &=0.848\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

步驟 3：解讀結果。

外緣上的一點每秒沿著圓形路徑移動約 \(0.848\text{ m}\)。整個轉盤具有相同的角旋轉速率，但越靠近圓心的點，其線速率越小。

06容易犯的錯誤：「轉完一圈後，位移就是零」

我們在推導過程中，其實隱藏著一個微妙的問題。

完成一整圈後，物體會回到起點。因此，它的位移為零。

那麼，為什麼我們寫的是

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

而不是用零除以 \(T\) 呢？

因為這個方程式給出的是物體的固定速率，而不是它在整個旋轉週期內的平均速度。

這是兩個不同的物理量。

在一整圈的運動中：

• 行經的路程是 \(2\pi r\)；
• 位移是 \(0\)；
• 平均速率是 \(\frac{2\pi r}{T}\)；以及
• 平均速度是 \(0\)。

因此，等速圓周運動中的物體可以在每一瞬間都具有非零速率，但在完成一整圈後，其平均速度卻為零。

只要記得速度包含方向，這件事就不難理解。在繞行一整圈的過程中，物體朝不同方向運動；計算總位移時，這些不同方向的運動會互相抵消。

07重新整理方程式，同時保留物理意義

你可能需要求出 \(T\) 或 \(r\)，而不是 \(v\)。

從

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

開始，將兩邊同乘 \(T\)：

\[ vT=2\pi r \]

接著可得

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

或

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

與其死記三個不同的方程式，通常更安全的做法是記住實際發生的物理情況：

物體在時間 \(T\) 內完成一圈，所走過的路程為 \(2\pi r\)。

你往往可以從這句話重新推導出所需的方程式。

範例：求未知的半徑

一個粒子以 \(7.5\text{ m s}^{-1}\) 的速率進行等速圓周運動。它在 \(30\text{ s}\) 內完成 \(12\) 圈。求其運動路徑的半徑。

步驟 1：求週期。

完成 \(12\) 圈需要 \(30\text{ s}\)，因此完成一圈需要

\[ T=\frac{30}{12}=2.50\text{ s} \]

步驟 2：重新整理圓周運動的速率方程式。

從

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

可得

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

步驟 3：代入數值。

\[ \begin{aligned} r&=\frac{(7.5)(2.50)}{2\pi}\\ &=2.98\text{ m} \end{aligned} \]

步驟 4：檢查結果的物理意義。

半徑為 \(2.98\text{ m}\) 的圓，其周長為

\[ 2\pi(2.98)\approx18.7\text{ m} \]

以 \(7.5\text{ m s}^{-1}\) 的速率行經 \(18.7\text{ m}\)，大約需要 \(2.50\text{ s}\)，與題目給出的週期一致。

這種檢查很有用，因為它能讓代數計算重新連結到實際的運動情況。

08只知道速率，還不足以描述圓周運動

兩個物體可以具有相同的速率，卻沿著半徑差異很大的圓形路徑運動。

假設兩者的速率都是 \(6.0\text{ m s}^{-1}\)。其中一個沿著半徑為 \(2.0\text{ m}\) 的圓運動，另一個則沿著半徑為 \(8.0\text{ m}\) 的圓運動。

它們的週期為

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

因此，較小的圓具有較短的週期。由於它更頻繁地完成一整圈，其運動方向改變得也更快。

這就直接引出了向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中，\(a_c\) 是指向圓心的加速度。

將這個方程式與

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

結合，可得

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(2\pi r/T)^2}{r}\\ &=\frac{4\pi^2r}{T^2} \end{aligned} \]

這告訴我們一件重要的事：如果同一個剛性旋轉物體上的兩個點具有相同的週期，那麼距離圓心較遠的點不但移動得更快，其向心加速度也更大。

不過，不要把「向心」誤解成一種額外的神祕力。向內的加速度必須由真實的力或多個力的合力所造成。這個區別會在 HSC 物理中的向心力：如何辨認真正的力 中進一步說明。

09問題與解答

問題 1

一架模型飛機以等速圓周運動沿著水平圓形路徑飛行，該圓的半徑為 \(25\text{ m}\)。飛機每隔 \(10\text{ s}\) 完成一圈。

計算它的速率。

解答 1

飛機的速率為 \(15.7\text{ m s}^{-1}\)。

完成一整圈的路程為

\[ 2\pi r=2\pi(25)\text{ m} \]

所需時間為 \(T=10\text{ s}\)。因此，

\[ \begin{aligned} v&=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(25)}{10}\\ &=15.7\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

容易犯的錯誤是將半徑除以週期。飛機每轉一圈並不是行經 \(25\text{ m}\)，而是行經整個圓周，即 \(2\pi r\)。

問題 2

A、B 兩點位於同一個剛性旋轉圓盤上。A 距離圓心 \(0.30\text{ m}\)，B 距離圓心 \(0.75\text{ m}\)。A 點的速率為 \(2.4\text{ m s}^{-1}\)。

求出：

a. 圓盤的週期，

b. B 點的速率，以及

c. B 點的向心加速度與 A 點的向心加速度之比。

解答 2

週期為 \(0.785\text{ s}\)，B 點的速率為 \(6.0\text{ m s}^{-1}\)，而 B 點的向心加速度是 A 點的 \(2.5\) 倍。

對 A 點而言，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi r_A}{v_A}\\ &=\frac{2\pi(0.30)}{2.4}\\ &=0.785\text{ s} \end{aligned} \]

由於 A、B 兩點固定在同一個剛性圓盤上，兩點會同時完成每一圈。因此，

\[ T_B=T_A=0.785\text{ s} \]

對 B 點而言，

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi r_B}{T}\\ &=\frac{2\pi(0.75)}{0.785}\\ &=6.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

向心加速度為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{a_B}{a_A} &=\frac{v_B^2/r_B}{v_A^2/r_A}\\ &=\frac{(6.0)^2/0.75}{(2.4)^2/0.30}\\ &=2.5 \end{aligned} \]

還有一種更快的概念性解法。由於圓盤上各點的週期相同，

\[ a_c=\frac{4\pi^2r}{T^2} \]

所以 \(a_c\propto r\)。因此，

\[ \begin{aligned} \frac{a_B}{a_A} &=\frac{0.75}{0.30}\\ &=2.5 \end{aligned} \]

一個容易出現的錯誤猜測是：兩點屬於同一個圓盤，因此它們的速率與加速度相同。實際上，兩點共用的是同一個週期。較大的半徑迫使 B 點在相同的時間內走過更長的距離。

問題 3

一顆衛星沿著半徑為 \(7.0\times10^6\text{ m}\) 的圓形軌道運動，速率為 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)。

a. 計算它的軌道週期。

b. 一名學生說：「它在一整圈內的平均速度也必定是 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，因為它的速度大小從未改變。」解釋為什麼這個說法不正確。

解答 3

軌道週期約為 \(5.86\times10^3\text{ s}\)，也就是 \(97.7\text{ min}\)；衛星完成一整圈後的平均速度則為零。

對於 a，

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

因此，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi(7.0\times10^6)}{7.5\times10^3}\\ &=5.86\times10^3\text{ s} \end{aligned} \]

換算成分鐘，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{5.86\times10^3}{60}\\ &=97.7\text{ min} \end{aligned} \]

對於 b，衛星完成一整圈後會回到起點。因此，它的總位移為零。

平均速度為

\[ \text{平均速度}=\frac{\text{位移}}{\text{時間}} \]

所以，在完成整個軌道的過程中，

\[ \begin{aligned} \text{平均速度} &=\frac{0}{5.86\times10^3}\\ &=0 \end{aligned} \]

學生的推理混淆了速率與速度。瞬時速度的大小始終保持在 \(7.5\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，但其方向會持續改變。衛星的平均速率不為零，但完成一整圈後的平均速度為零。

問題 4

兩個粒子 X、Y 都進行等速圓周運動。

X 沿著半徑為 \(r\)、週期為 \(T\) 的圓運動。

Y 沿著半徑為 \(4r\) 的圓運動。

在某一瞬間，X 與 Y 的向心加速度大小相等。

在不指定 \(r\) 或 \(T\) 數值的情況下，求出：

a. 比值 \(\frac{v_Y}{v_X}\)，

b. 比值 \(\frac{T_Y}{T_X}\)，以及

c. 在一段固定的時間內，Y 完成的轉數比 X 多還是少。

解釋為什麼只說「Y 的半徑是四倍，所以它的速率必定是四倍」在這裡並不成立。

解答 4

Y 的速率是 X 的兩倍，週期也是 X 的兩倍，因此，在任何固定的時間間隔內，Y 完成的圈數都是 X 的一半。

向心加速度相等，表示

\[ \frac{v_X^2}{r_X}=\frac{v_Y^2}{r_Y} \]

其中

\[ r_X=r \]

而

\[ r_Y=4r \]

因此，

\[ \frac{v_X^2}{r}=\frac{v_Y^2}{4r} \]

所以，

\[ v_Y^2=4v_X^2 \]

由於速率為正值，

\[ v_Y=2v_X \]

因此，

\[ \frac{v_Y}{v_X}=2 \]

接著使用

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

可得

\[ \begin{aligned} \frac{T_Y}{T_X} &=\frac{r_Y/v_Y}{r_X/v_X}\\ &=\frac{4r/(2v_X)}{r/v_X}\\ &=2 \end{aligned} \]

因此，

\[ T_Y=2T_X \]

Y 每完成一圈所需的時間是 X 的兩倍，所以在相同的總時間內，Y 完成的圈數只有 X 的一半。

容易出現的錯誤推論是 \(v\propto r\)，但這個比例關係只有在週期保持不變時才成立。題目並沒有說 X 與 Y 的週期相同。相反地，題目給出的條件是兩者的向心加速度相等。這個不同的限制條件，會改變速率必須如何隨半徑變化。

這是解答圓周運動題目時一個很重要的習慣：在使用比例關係之前，先確認究竟是哪個量保持不變。

問題 5

兩個小物體 A、B 最初都進行等速圓周運動。

對 A 而言，

\[ r_A=R,\qquad T_A=T \]

對 B 而言，

\[ r_B=4R,\qquad T_B=2T \]

一名學生推論：

「B 的半徑是四倍，而週期只有兩倍，所以 B 的速率必定是兩倍。由於向心加速度為 \(v^2/r\)，因此 B 的向心加速度與 A 相同。」

到目前為止，這名學生的推論是正確的。

接著，系統的條件發生改變。A 保持原本的運動狀態。B 則改在一條新的圓形路徑上運動，但必須滿足兩個條件：

• B 必須保持改變前的速率。
• B 現在的向心加速度必須是 A 的兩倍。

求出 B 的新半徑與新週期，並以 \(R\) 和 \(T\) 表示。

接著解釋，為什麼在滿足這兩個新條件的同時，不可能讓 B 保持原本的週期 \(2T\)。

解答 5

B 的新半徑為 \(2R\)，新週期為 \(T\)。如果還要求它保持原本的週期 \(2T\)，就會與所要求的速率及向心加速度互相矛盾。

首先，求出原本的速率。

對 A 而言，

\[ v_A=\frac{2\pi R}{T} \]

對原本的 B 而言，

\[ \begin{aligned} v_B&=\frac{2\pi(4R)}{2T}\\ &=\frac{4\pi R}{T}\\ &=2v_A \end{aligned} \]

因此，學生最初的結論是正確的。

A 的向心加速度為

\[ a_A=\frac{v_A^2}{R} \]

B 必須保持原本的速率 \(v_B=2v_A\)，但改變後，它的向心加速度必須滿足

\[ a_B=2a_A \]

設 B 的新半徑為 \(r'_B\)。那麼，

\[ a_B=\frac{v_B^2}{r'_B} \]

因此，

\[ 2a_A=\frac{(2v_A)^2}{r'_B} \]

代入 \(a_A=v_A^2/R\)：

\[ 2\left(\frac{v_A^2}{R}\right)=\frac{4v_A^2}{r'_B} \]

消去 \(v_A^2\)，

\[ \frac{2}{R}=\frac{4}{r'_B} \]

可得

\[ r'_B=2R \]

接著求出 B 的新週期：

\[ T'_B=\frac{2\pi r'_B}{v_B} \]

代入 \(r'_B=2R\) 與 \(v_B=2v_A\)，

\[ \begin{aligned} T'_B&=\frac{2\pi(2R)}{2v_A}\\ &=\frac{2\pi R}{v_A} \end{aligned} \]

而對 A 而言，

\[ v_A=\frac{2\pi R}{T} \]

因此，

\[ T'_B=T \]

所以，B 改變後的運動狀態為

\[ r'_B=2R,\qquad T'_B=T \]

現在考慮額外的條件：假設 B 還必須維持原本的週期 \(2T\)。

如果 B 同時保持原本的速率 \(2v_A\) 與原本的週期 \(2T\)，那麼

\[ r=\frac{vT}{2\pi} \]

便會迫使它的半徑維持在

\[ \begin{aligned} r&=\frac{(2v_A)(2T)}{2\pi}\\ &=4R \end{aligned} \]

但當 \(r=4R\)，且速率為 \(2v_A\) 時，

\[ \begin{aligned} a_c&=\frac{(2v_A)^2}{4R}\\ &=\frac{v_A^2}{R}\\ &=a_A \end{aligned} \]

而不是 \(2a_A\)。

因此，這三個要求不可能同時成立。

容易犯的錯誤是把半徑、速率與週期當成可以彼此獨立調整的量。事實並非如此。對於等速圓周運動，只要 \(v\)、\(r\) 和 \(T\) 之中有任意兩個量固定，第三個量就會由下列方程式決定：

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

更深一層的重點是，這個方程式不只是一個用來計算數值的公式。它是一個將路徑的幾何形狀與運動所需時間連結起來的限制條件。掌握這個關係後，下一步就是將它與 \(a_c=v^2/r\) 結合，並判斷哪一種實際的力能夠產生所需的向內加速度。