軌道速率：HSC 物理的推導與計算

想像一顆位於地球表面上方 400 km 的衛星。它的引擎關閉了。重力一直將它拉向地球，那麼，為甚麼它沒有直接墜毀？

繼續閱讀之前，先預測一下：如果你希望衛星在更高的軌道上運行，它需要移動得更快還是更慢？

直覺上，答案似乎是更快。畢竟，速度越快，聽起來就越能幫助衛星「對抗」重力。然而，對於圓形軌道，答案是更慢。理解其中的原因，就能讓我們推導出軌道速率方程式，而不只是多記住一條公式。

01衛星一直在下落，卻沒有碰到地面

先從熟悉的情況開始。將球水平拋出時，它會向側面移動，同時受到重力作用而向下落。拋得越快，它在碰到地面之前就會飛得越遠。

現在，想像三個不切實際、但有助理解的改變：

• 沒有空氣阻力，
• 地球是完美的球體，而且
• 你能以極快的速度拋出球。

當球的水平速度達到某個特定值時，它向地球下落的速率，恰好等於地球彎曲表面在它下方逐漸遠離的速率。於是，它會不斷錯過地面。

這就是圓形軌道的基本概念。

這個圖像很有用，但並不完整。真實的軌道並不是單靠「快速向側面移動」就能形成的。對於指定的圓形軌道半徑，速度必須恰好具有某個特定值。速度太小或太大，都會形成不同的軌跡。

我們需要找出這個特定的速度值。

02重力負責改變運動方向

沿圓形軌道運動的物體，其運動方向會不斷改變。即使速率保持不變，它的速度仍然會改變，因為速度包含方向。

這種速度的改變需要一個指向圓心的向心加速度：

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(v\) 是軌道速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；以及
• \(r\) 是圓形軌道半徑，單位為公尺。

對於繞行行星的衛星而言，是甚麼提供這個向內的加速度？

重力。

這一點值得準確理解。重力與「向心力」並不是兩個分別指向行星的力。向心力是指圓周運動所需的合向內力。在這種情況下，重力正是負責提供這個力的作用。

可以把「向心力」想成一個職位名稱，而不是另一名員工。汽車在平坦道路上轉彎時，摩擦力可能負責這個職位。在軌道運動中，則由重力負責。這個類比到此為止：實際涉及的力並不相同。

質量為 \(M\) 的行星與質量為 \(m\) 的衛星之間的萬有引力為

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中，\(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是萬有引力常數。

如果你需要複習這條方程式的推導來源，請參閱 HSC 物理：牛頓萬有引力定律。

03推導圓形軌道速率

對於圓形軌道，重力必須恰好提供所需的向心力。

所需的向心力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

因此，我們將萬有引力設為等於所需的向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

注意這條方程式在物理上的意義。左邊表示重力的大小，右邊表示要讓衛星沿半徑為 \(r\) 的圓形路徑運動，所需要的向內作用力。

現在，約去衛星的質量 \(m\)：

\[ \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r} \]

等式兩邊同乘 \(r\)：

\[ \frac{GM}{r}=v^2 \]

因此，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

這就是圓形軌道速率方程式。

其中：

• \(v\) 是圓形軌道速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；
• \(G\) 是萬有引力常數；
• \(M\) 是中心天體的質量，單位為 kg；以及
• \(r\) 是從中心天體的中心到衛星的距離，單位為公尺。

在 HSC 題目中，計算所求的通常是速率的大小，但題目往往會使用「軌道速度」一詞。嚴格來說，速度是向量，而且它的方向會隨著衛星沿軌道運行而持續改變。

04軌道半徑不等於高度

這可能是軌道速率計算題中最常見的錯誤。

假設一顆衛星位於地球表面上方 400 km。你不能直接將 \(400\text{ km}\) 代入 \(r\)。

這條方程式使用的是衛星到地球中心的距離：

\[ r=R_E+h \]

其中，\(R_E\) 是地球半徑，而 \(h\) 是衛星的高度。

如果

\[ R_E=6.37\times10^6\text{ m} \]

而

\[ h=400\text{ km}=4.00\times10^5\text{ m}, \]

那麼

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

完成這一步之後，才可以使用軌道速率方程式。

05為甚麼較高的圓形軌道反而較慢

回想一開始的預測。為甚麼較高的衛星移動得更慢？

由

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

可知，對於同一顆行星，\(G\) 和 \(M\) 都是常數。因此，

\[ v\propto\frac{1}{\sqrt r}. \]

增加 \(r\)，所需的圓形軌道速率便會降低。

這個結果可能令人覺得違反直覺，因為學生常常把速度想像成讓衛星抵抗重力、避免墜落的因素。但實際情況並非如此。

在較大的軌道半徑上，重力較弱。因此，衛星所受的向內加速度較小。較慢的水平運動便能以恰當的速率彎曲，沿著較大的圓形路徑前進。

這會帶來一個重要結果：

最後一列需要稍作解釋。

一個完整軌道的圓周長為 \(2\pi r\)，因此

\[ v=\frac{2\pi r}{T}, \]

其中 \(T\) 是軌道週期，單位為秒。

重新整理可得

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

較高的圓形軌道不但需要走過更長的距離，而且軌道速率更低。這兩個因素都會令軌道週期變長。

將 \(v=\sqrt{GM/r}\) 代入，可得

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}, \]

因此

\[ T^2=\frac{4\pi^2}{GM}r^3. \]

這就是開普勒第三定律背後關係式在圓形軌道中的形式。

06題目不一定會給出行星的質量

有時，題目會提供行星表面的重力場強度，而不是行星的質量。

在表面，

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}, \]

其中 \(g_s\) 是表面重力場強度，而 \(R\) 是行星半徑。

重新整理，

\[ GM=g_sR^2. \]

接著，你可以直接將這個結果代入

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

這通常比先單獨計算 \(M\) 更簡潔。

07為甚麼衛星的質量會消去

推導軌道速率時，衛星的質量 \(m\) 會消去：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

這揭示的是一個物理現象，而不只是代數運算的結果。

質量加倍的衛星會受到兩倍的萬有引力：

\[ F_g\propto m. \]

但是，要產生相同的向心加速度，質量加倍也需要兩倍的力：

\[ F_c\propto m. \]

這兩種效應會同步增加。因此，兩顆質量較小、在同一顆行星周圍相同圓形軌道半徑上運行的衛星，無論質量是否相同，都需要相同的軌道速率。

這個結論採用了 HSC 常用的近似假設，即衛星的質量相對於行星的質量極小。如果兩個天體的質量相近，它們都會繞共同的質心運行，而精確的二體問題需要考慮兩者的質量。對於一般繞地球運行的人造衛星而言，這項修正小得幾乎可以忽略。

08三條方程式，其實是同一個概念

對於重力作用下的圓形軌道，以下方程式從不同角度描述同一種運動：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}, \]

\[ a_c=\frac{v^2}{r}, \]

以及

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

一個實用的判斷方法，是先問自己題目實際提供了甚麼資料。

這些並不是彼此無關的解題技巧。它們全部源自重力提供向心加速度這個原理。

如需更完整地了解這種關係，請參閱 HSC 物理：圓形軌道中的重力與向心力。

09這條公式只適用於圓形軌道

有一種使用

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

的方式特別容易出錯。

這條方程式並不代表每個經過半徑 \(r\) 的物體都必須具有這個速率。

它的意思是：

物體若要以半徑 \(r\) 繞質量為 \(M\) 的天體作圓形軌道運動，就需要這個速率。

在橢圓軌道上運行的太空船，經過相同的半徑時，速率可以不同。正在逃離行星的太空船，經過該半徑時也可以具有不同的速率。

因此，如果一艘原本在圓形軌道上運行的太空船短暫啟動引擎，你不能只根據新的速率計算出一個新半徑，就斷定它已經進入另一個圓形軌道。在引擎停止的瞬間，它的位置幾乎沒有改變。如果它的速率不再是該半徑所需的圓形軌道速率，它的路徑就不可能繼續保持圓形。

這就是這條公式背後更深層的概念：圓形軌道速率是特定軌跡所需的條件，而不是位置與速率之間的普遍關係。

10題目與解答

問題 1

一顆衛星在地球表面上方 500 km 的圓形軌道上運行。

使用以下數值計算其軌道速率：

\[ M_E=5.97\times10^{24}\text{ kg}, \]

\[ R_E=6.37\times10^6\text{ m}, \]

以及

\[ G=6.67\times10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

解答 1

衛星的軌道速率約為 \(7.61\times10^3\text{ m s}^{-1}\)，即 \(7.61\text{ km s}^{-1}\)。

主要的陷阱是把 500 km 的高度當作軌道半徑。軌道半徑必須從地球中心量度。

首先換算高度：

\[ h=500\text{ km}=5.00\times10^5\text{ m}. \]

接著，

\[ \begin{aligned} r&=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+5.00\times10^5\\ &=6.87\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

對於圓形軌道，

\[ v=\sqrt{\frac{GM_E}{r}}. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {6.87\times10^6}}\\ &=7.61\times10^3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{v\approx7.61\text{ km s}^{-1}} \]

這是速率的大小。

由於軌道半徑較大，所需的圓形軌道速率較低，因此這顆衛星的速度比在 400 km 高度運行的衛星稍慢。

問題 2

衛星 A 和衛星 B 在同一顆行星周圍的圓形軌道上運行。衛星 A 的軌道週期為 \(2.00\) h。

衛星 B 的軌道速率是衛星 A 的 \(0.800\) 倍。

求出：

1. 比值 \(r_B/r_A\)；
2. 衛星 B 的軌道週期；以及
3. 兩個軌道半徑處的重力場強度之比 \(g_B/g_A\)。

解答 2

結果為

\[ \frac{r_B}{r_A}=1.5625, \]

\[ T_B=3.91\text{ h}, \]

以及

\[ \frac{g_B}{g_A}=0.4096. \]

一個容易犯的錯誤，是認為速率降低 20% 就代表半徑增加 20%。軌道速率取決於半徑的平方根，因此兩者並非線性關係。

對於相同的中心天體質量，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

所以

\[ v\propto r^{-1/2}. \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}. \]

已知 \(v_B/v_A=0.800\)，

\[ 0.800=\sqrt{\frac{r_A}{r_B}}. \]

兩邊平方，

\[ 0.640=\frac{r_A}{r_B}, \]

因此

\[ \frac{r_B}{r_A}=\frac{1}{0.640}=1.5625. \]

對於軌道週期，

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

因此，

\[ \frac{T_B}{T_A} = \frac{r_B}{r_A}\frac{v_A}{v_B}. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &=(1.5625)\left(\frac{1}{0.800}\right)\\ &=1.953125. \end{aligned} \]

所以，

\[ \begin{aligned} T_B&=(1.953125)(2.00\text{ h})\\ &=3.91\text{ h}. \end{aligned} \]

最後，

\[ g=\frac{GM}{r^2}, \]

因此

\[ \begin{aligned} \frac{g_B}{g_A} &=\left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2\\ &=\left(\frac{1}{1.5625}\right)^2\\ &=0.4096. \end{aligned} \]

因此，衛星 B 移動得更慢，繞行一圈所需的時間接近兩倍，而且它所處的重力場強度只有衛星 A 的約 \(41\%\)。

問題 3

一顆球形行星的半徑為 \(5.00\times10^6\text{ m}\)，表面重力場強度為 \(8.00\text{ m s}^{-2}\)。

觀測到一顆衛星以 \(5.00\times10^3\text{ m s}^{-1}\) 的速率在圓形軌道上運行。

計算：

1. 衛星的軌道半徑；
2. 衛星距離行星表面的高度；以及
3. 衛星的軌道週期。

解答 3

軌道半徑為 \(8.00\times10^6\text{ m}\)，高度為 \(3.00\times10^6\text{ m}\)，週期約為 \(1.01\times10^4\text{ s}\)，即 \(2.79\) h。

關鍵在於題目沒有直接給出行星的質量。表面重力場可以讓我們求出 \(GM\)。

在表面，

\[ g_s=\frac{GM}{R^2}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} GM&=g_sR^2\\ &=(8.00)(5.00\times10^6)^2\\ &=2.00\times10^{14}\text{ m}^3\text{s}^{-2}. \end{aligned} \]

對於在圓形軌道上運行的衛星，

\[ v^2=\frac{GM}{r}. \]

重新整理，

\[ r=\frac{GM}{v^2}. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} r&=\frac{2.00\times10^{14}} {(5.00\times10^3)^2}\\ &=\frac{2.00\times10^{14}}{2.50\times10^7}\\ &=8.00\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

高度並不等於 \(r\)。我們必須減去行星半徑：

\[ \begin{aligned} h&=r-R\\ &=8.00\times10^6-5.00\times10^6\\ &=3.00\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

對於軌道週期，

\[ T=\frac{2\pi r}{v}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} T&=\frac{2\pi(8.00\times10^6)} {5.00\times10^3}\\ &=1.01\times10^4\text{ s}. \end{aligned} \]

換算成小時，

\[ T=\frac{1.01\times10^4}{3600}=2.79\text{ h}. \]

一種看似合理但錯誤的解法，是在軌道速率方程式中使用行星表面半徑 \(R\)。這樣描述的是位於行星表面的圓形軌道，而不是題目中觀測到的衛星軌道。

問題 4

行星 A 和行星 B 都是球形。行星 B 的半徑是行星 A 的三倍：

\[ R_B=3R_A. \]

一顆質量極小的衛星在每顆行星表面上方極近的位置運行，因此可以把其軌道半徑視為行星半徑。兩顆衛星的軌道週期完全相同。

球形行星的平均密度為 \(\rho\)，因此

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

求出：

1. 比值 \(\rho_B/\rho_A\)；
2. 表面重力場強度之比 \(g_B/g_A\)；以及
3. 兩顆衛星的軌道速率之比 \(v_B/v_A\)。

解答 4

兩顆行星的平均密度相同，而行星 B 的表面重力場強度和表面軌道速率都是行星 A 的三倍：

\[ \frac{\rho_B}{\rho_A}=1, \qquad \frac{g_B}{g_A}=3, \qquad \frac{v_B}{v_A}=3. \]

一個容易令人作出錯誤預測的想法，是認為軌道週期相同就代表表面重力相同。事實並非如此，因為半徑會改變兩者之間的關係。

對於圓形軌道，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \]

因為軌道半徑約等於 \(R\)。

現在代入

\[ M=\frac{4}{3}\pi R^3\rho. \]

得到

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{R^3} {G(4\pi R^3\rho/3)} }\\ &=2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}. \end{aligned} \]

化簡後，

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}. \]

行星半徑完全消去了。對於沿著行星表面運行的衛星，軌道週期取決於行星的平均密度，而不是直接取決於半徑。

由於兩顆衛星的週期相同，

\[ \rho_A=\rho_B, \]

因此

\[ \boxed{\frac{\rho_B}{\rho_A}=1}. \]

接著考慮表面重力場強度：

\[ g=\frac{GM}{R^2}. \]

利用 \(M=(4/3)\pi R^3\rho\)，

\[ g=\frac{4}{3}\pi G\rho R. \]

兩顆行星的密度相同，因此 \(g\propto R\)。由於 \(R_B=3R_A\)，

\[ \boxed{\frac{g_B}{g_A}=3}. \]

最後，由於兩顆衛星的週期相同，

\[ v=\frac{2\pi R}{T}. \]

當 \(T\) 相同時，軌道速率與 \(R\) 成正比。因此，

\[ \boxed{\frac{v_B}{v_A}=3}. \]

這個看似奇特的結果其實完全一致：行星 B 的體積較大，表面重力也較強，因此它的衛星可以以三倍的速率，沿著圓周長為三倍的路徑運行，同時仍然在完全相同的時間內完成一圈。

問題 5

一艘太空船最初以半徑為 \(r\) 的圓形軌道繞行質量為 \(M\) 的行星。它的圓形軌道速率為

\[ v_c=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

在 P 點，太空船沿著運動方向進行一次極短暫的引擎點火。點火後，它的速率立即變為

\[ 1.20v_c. \]

點火期間，太空船的位置可視為沒有改變，之後引擎便關閉。

在半徑 \(r\) 處，逃逸速率為

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}v_c. \]

假設沒有大氣，也沒有其他具有顯著影響的天體在附近。

判斷並解釋：

1. 太空船的新軌跡是圓形、非束縛軌道，還是有束縛但非圓形的軌道；
2. 為甚麼太空船會開始移向更大的半徑，而不是沿著原來的圓形軌道運行；
3. P 點會成為新軌道上最近的點還是最遠的點；以及
4. 如果在稍後某個時刻，太空船在半徑 \(r'\) 處的速率恰好等於 \(\sqrt{GM/r'}\)，單憑這一點是否足以證明太空船當時正在圓形軌道上運行。

解答 5

太空船會進入一個有束縛但非圓形的軌道；它最初會向外移動，P 點是新軌道上距離行星最近的點，而稍後的速率大小即使恰好等於當地的圓形軌道速率，也不能證明軌道是圓形的。

這題的陷阱，是把

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

當作所有位於半徑 \(r\) 處的太空船都必須具有的速率。事實上，它只給出在該處維持圓形軌道所需的速率。

點火前，

\[ v_c=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

點火後的瞬間，太空船仍然位於相同的半徑 \(r\)，但它的速率變為

\[ v'=1.20v_c. \]

在相同半徑上，圓形軌道仍然需要速率 \(v_c\)，而不是 \(1.20v_c\)。因此，太空船無法繼續沿著原來的圓形軌道運行。

它也尚未逃離行星。當地的逃逸速率為

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt2v_c\approx1.414v_c. \]

由於

\[ 1.20v_c<1.414v_c, \]

太空船的速率低於逃逸速率。因此，它的新軌跡仍然受到重力束縛。

所以，新的軌跡是一個有束縛但非圓形的軌道。

要理解它為甚麼會向外移動，可以比較現有的重力加速度，以及以新速率維持半徑 \(r\) 的圓形軌道所需的向內加速度。

重力所提供的加速度為

\[ \begin{aligned} a_g &=\frac{GM}{r^2}\\ &=\frac{v_c^2}{r}. \end{aligned} \]

如果太空船以 \(1.20v_c\) 的速率沿半徑 \(r\) 的圓形路徑運行，所需的加速度則為

\[ \begin{aligned} a_{\text{required}} &=\frac{(1.20v_c)^2}{r}\\ &=\frac{1.44v_c^2}{r}. \end{aligned} \]

但是，重力實際上只提供

\[ \frac{v_c^2}{r}, \]

而不是

\[ \frac{1.44v_c^2}{r}. \]

因此，重力無法以足夠大的幅度改變這個更快的新速度方向，使太空船繼續沿著原來的圓形軌道運行。它的路徑彎曲程度會減小，並移到原來圓形軌道之外。

因此，P 點會成為新束縛軌道上距離行星最近的點，也就是近拱點。在 P 點，因為點火完全沿切線方向進行，太空船的徑向速度為零。點火後，它的軌跡會朝著更大的半徑移動，所以 P 點就是軌道半徑的最小值。

最後，假設太空船稍後在半徑 \(r'\) 處的速率大小恰好為

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r'}}. \]

這仍不足以證明它的運動是圓形的。

圓形軌道要求速率和方向都正確。速度必須完全沿切線方向，也就是垂直於半徑，而且不能有向內或向外的徑向分量。

沿非圓形軌道經過 \(r'\) 的太空船，可能具有與圓形軌道速率相同的速率大小，但同時仍然具有徑向速度分量。只要一個數值相同，並不會自動消除這種運動。

這就是軌道速率公式真正的適用界限。當圓形路徑已經指定時，它會告訴你所需的精確速率，但它本身並不能決定任意一艘正在運動的太空船必須沿著甚麼路徑運行。

接下來很自然的學習方向，是將這個圓形軌道的結果與軌道週期，以及不同軌道半徑之間的比例關係連結起來。這會直接引導我們學習 HSC 物理：開普勒行星運動三大定律，其中的關係式 \(T^2\propto r^3\) 將成為更全面描述行星與衛星運動的一部分。