電子－正電子湮滅：HSC 物理詳解

電子－正電子湮滅：HSC 物理詳解

電子和正電子可以作為粒子消失，但它們所攜帶的能量不會消失。假設兩者都幾乎處於靜止狀態。你會預期湮滅產生 511 keV、1.022 MeV，還是幾乎沒有能量？又為什麼這些能量不能直接以單一光子的形式離開？這兩個問題是大多數電子－正電子湮滅題目的關鍵。

01從能量平衡開始

電子 \(e^-\) 和正電子 \(e^+\) 具有相同的質量，但電荷相反。正電子是電子的反粒子。

當兩者發生湮滅時，電子和正電子便不再以這兩種粒子的形式存在。它們的能量和動量會轉移給其他粒子。在 HSC 常用的低能量模型中，產物是兩個伽馬射線光子。

一個有用的初步模型，是把每個粒子想像成即使靜止不動，也具有一份能量。這只是一種比喻：靜止質量並不是粒子內部真的藏著一個微型電池。精確的說法來自質能等價關係：

\[ E = mc^2 \]

其中，\(E\) 是與質量 \(m\) 相關的靜止能量，而 \(c\) 是真空中的光速。

電子或正電子的靜止質量約為

\[ m_e = 9.11\times10^{-31}\text{ kg} \]

因此，其靜止能量為

\[ E_{\text{rest}} = m_ec^2 \]

\[ E_{\text{rest}} \approx (9.11\times10^{-31})(3.00\times10^8)^2 \approx 8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

這相當於約 \(511\text{ keV}\)，其中 eV 代表電子伏特，而 \(1\text{ keV}=10^3\text{ eV}\)。

重要的是，這裡有兩個粒子。電子貢獻一份靜止質量，正電子也貢獻另一份。

因此，如果兩者都處於靜止狀態，

\[ E_{\text{pair}} = 2m_ec^2 \]

\[ E_{\text{pair}} \approx 1.64\times10^{-13}\text{ J} \approx 1.022\text{ MeV} \]

所以，對第一個預測問題的答案是：這對粒子的靜止質量所提供的總能量為 \(1.022\text{ MeV}\)。

如果你覺得 \(E=mc^2\) 這條公式似乎突然冒出來，更完整的相對論背景可參閱 愛因斯坦狹義相對論的兩個基本假設詳解。

02為什麼會產生兩個光子？

現在來作出預測。

如果電子和正電子起初都處於靜止狀態，它們能否產生一個能量為 \(1.022\text{ MeV}\) 的光子？

從能量守恆來看，答案似乎是可以。一個光子確實能攜帶恰好 \(1.022\text{ MeV}\) 的能量。

但能量只是整個計算的一半。

由於電子和正電子都處於靜止狀態，初始電子－正電子粒子對的總動量為零。然而，光子必定帶有動量。光子的動量 \(p\) 與其能量 \(E\) 的關係為

\[ p=\frac{E}{c} \]

因此，單一光子會使系統留下非零動量。系統中沒有其他東西可以平衡這個動量。

這違反了動量守恆定律。

兩個光子便能解決這個問題。如果它們以相同的動量大小沿相反方向移動，兩者的動量就會互相抵消：

由於光子的動量為 \(p=E/c\)，相等的光子動量也代表相等的光子能量。

因此，對於在靜止狀態下發生湮滅的電子和正電子，

\[ E_\gamma = \frac{2m_ec^2}{2} = m_ec^2 \]

所以，每個光子的能量為

\[ E_\gamma\approx511\text{ keV} \]

或約為

\[ E_\gamma\approx8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

因此，兩個光子攜帶的總能量為 \(511\text{ keV}+511\text{ keV}=1.022\text{ MeV}\)。

關鍵概念是：

能量守恆決定必須釋放多少能量。動量守恆則限制這些能量可以如何釋放。

只有在其他物體（例如發生反沖的原子核）也攜帶動量時，單一光子的情況才有可能成立。那是另一種物理情境。對於一對孤立且起初處於靜止狀態的電子和正電子，必須產生兩個背向而行的光子。

03解題示範：靜止狀態下的電子與正電子湮滅

一個電子和一個正電子起初都處於靜止狀態，隨後發生湮滅。計算兩者的靜止質量所提供的總能量，以及產生的兩個光子各自的能量。

步驟 1：計算兩個粒子。

每個粒子的靜止能量都是 \(m_ec^2\)，因此這對粒子的總能量為

\[ E_{\text{total}}=2m_ec^2 \]

步驟 2：代入電子質量和光速。

\[ E_{\text{total}} = 2(9.11\times10^{-31}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_{\text{total}} \approx 1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步驟 3：將能量分配給兩個光子。

初始總動量為零，因此光子必須沿相反方向移動，且能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1.64\times10^{-13}}{2} \approx 8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

步驟 4：將光子能量換算成 keV。

利用 \(1\text{ eV}=1.60\times10^{-19}\text{ J}\)，

\[ E_\gamma \approx 5.11\times10^5\text{ eV} = 511\text{ keV} \]

因此，這對粒子提供的總能量約為 \(1.64\times10^{-13}\text{ J}\)，而每個光子攜帶的能量約為 \(8.19\times10^{-14}\text{ J}\)，即 \(511\text{ keV}\)。

\(511\text{ keV}\) 是單一電子或正電子的靜止能量。\(1.022\text{ MeV}\) 則是整對粒子的靜止能量總和。

04如果粒子正在移動，情況會有什麼改變？

\(511\text{ keV}\) 並不是每次電子－正電子湮滅的總能量。

它是單一粒子對應的靜止能量。

如果其中任何一個粒子具有動能，這部分能量也會納入可提供給最終粒子的總能量。令 \(K\) 代表每個粒子的動能。

對於動能相等、動量大小相等且方向相反的兩個粒子，

\[ E_{\text{total}} = 2(m_ec^2+K) \]

如果最終狀態仍然是兩個光子，由於它們的總動量為零，因此兩者的能量可以相等。此時，每個光子的能量為

\[ E_\gamma=m_ec^2+K \]

這是對基本結果的一個有用延伸。

解題示範：具有動能時的湮滅

一個電子和一個正電子具有大小相等、方向相反的動量。兩者各有 \(200\text{ keV}\) 的動能。它們湮滅並產生兩個光子。計算每個光子的能量。

步驟 1：求其中一個入射粒子的總能量。

每個粒子具有 \(511\text{ keV}\) 的靜止能量和 \(200\text{ keV}\) 的動能。

\[ E_{\text{one}} = 511+200 = 711\text{ keV} \]

步驟 2：求這對粒子的總能量。

\[ E_{\text{total}} = 2(711) = 1422\text{ keV} = 1.422\text{ MeV} \]

步驟 3：運用動量守恆。

入射粒子的動量大小相等、方向相反，因此初始總動量為零。兩個光子也必須具有大小相等、方向相反的動量。

光子動量相等，代表光子能量也相等。

\[ E_\gamma = \frac{1422}{2} = 711\text{ keV} \]

換算成焦耳，

\[ E_\gamma = 711\times10^3 (1.60\times10^{-19}) \approx 1.14\times10^{-13}\text{ J} \]

因此，每個光子攜帶 \(711\text{ keV}\)，而不是 \(511\text{ keV}\)。

一種很容易令人誤入歧途的做法，是死記「電子－正電子湮滅會產生兩個 \(511\text{ keV}\) 光子」。這只適用於靜止狀態的情況。在這道題目中，每個入射粒子額外具有的 \(200\text{ keV}\) 動能，也必須轉移到其他地方。

還有一個更精確的細節。如果電子－正電子粒子對具有非零的總動量，那麼在實驗室參考系中，兩個光子的能量不一定相等。要得到兩個光子能量相等的結果，必須在粒子對總動量為零的參考系中進行分析。

另一個透過高能粒子考查相對論的例子，可參閱 粒子加速器如何驗證相對論。

05現實世界中的應用：PET

\(511\text{ keV}\) 的光子不只是教科書上的數字。

在正電子放射斷層掃描（PET）中，放射性示蹤劑會發射正電子。正電子穿過周圍物質時，會失去大部分動能。接著，它可能遇到一個電子並發生湮滅。

在理想化的 HSC 模型中，湮滅會產生兩個 \(511\text{ keV}\) 的伽馬光子，並沿相反方向移動。

PET 掃描器在病人周圍配置了探測器。當兩個探測器幾乎同時偵測到光子時，掃描器便可以推斷湮滅事件發生在連接這兩個探測器的直線上某處。

再次留意，這裡仍然是同樣的兩個概念在發揮作用：

• \(E=mc^2\) 給出電子和正電子靜止質量所對應的能量。
• 動量守恆解釋了為什麼在理想化的靜止狀態下，光子會沿相反方向發射。

06HSC 解題判斷規則

看到電子－正電子湮滅題目時，不要立即寫下 \(511\text{ keV}\)。首先要判斷題目描述的是哪一種物理情境。

最常見的陷阱包括：

「正電子具有正質量。」
不是。正電子的質量與電子相同，都是正值。兩者的電荷才是相反的。

「兩個粒子的質量被摧毀了。」
粒子本身的身分不再存在，但總能量和總動量仍然守恆。靜止質量會對最終粒子所攜帶的能量作出貢獻。

「每個光子都會得到 \(1.022\text{ MeV}\)。」
不是。\(1.022\text{ MeV}\) 是兩個粒子的靜止能量總和。對於靜止的粒子對產生兩個光子的情況，每個光子會得到 \(511\text{ keV}\)。

「只要考慮能量守恆就足夠了。」
不是。最終粒子也必須符合動量守恆。這就是為什麼起初處於靜止狀態的孤立粒子對必須產生兩個方向相反的光子。

「\(511\text{ keV}\) 的結果永遠適用。」
只有當相關電子－正電子系統在所考慮的參考系中，總動量為零且動能可忽略時，才適用這個結果。

07題目與解答

題目 1

一個電子和一個正電子起初都處於靜止狀態，並湮滅產生兩個伽馬射線光子。

使用 \(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

(a) 計算電子和正電子的靜止質量所提供的總能量。

(b) 計算每個光子的能量，分別以焦耳和 keV 表示。

解答 1

總能量約為 \(1.64\times10^{-13}\text{ J}\)，每個光子攜帶的能量約為 \(8.19\times10^{-14}\text{ J}=511\text{ keV}\)。

步驟 1：將兩個粒子的靜止質量都計算在內。

\[ E_{\text{total}}=2m_ec^2 \]

\[ E_{\text{total}} = 2(9.11\times10^{-31}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_{\text{total}} \approx1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步驟 2：將總能量平均分配給兩個光子。

由於初始動量為零，兩個光子必須具有大小相等、方向相反的動量。因此，兩者的能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1.64\times10^{-13}}{2} \approx8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

步驟 3：換算成 keV。

\[ E_\gamma = \frac{8.19\times10^{-14}} {1.60\times10^{-19}} \approx5.11\times10^5\text{ eV} \]

\[ E_\gamma\approx511\text{ keV} \]

一個很容易犯的錯誤，是用 \(m_ec^2\) 代表整個事件的能量。這只計算了一個粒子。湮滅涉及電子和正電子兩者，因此必須計算兩份靜止能量。

題目 2

一個電子和一個正電子具有大小相等、方向相反的動量。在湮滅之前，兩者各有 \(200\text{ keV}\) 的動能。

假設湮滅恰好產生兩個光子。

計算每個光子的能量。

解答 2

每個光子的能量為 \(711\text{ keV}\)，或約為 \(1.14\times10^{-13}\text{ J}\)。

步驟 1：將單一入射粒子的靜止能量和動能相加。

\[ E_{\text{one}} = 511\text{ keV}+200\text{ keV} = 711\text{ keV} \]

步驟 2：求兩個粒子的總能量。

\[ E_{\text{total}} = 2(711) = 1422\text{ keV} \]

步驟 3：應用動量守恆。

入射粒子的動量大小相等、方向相反，因此初始總動量為零。兩個光子也必須具有大小相等、方向相反的動量，這代表它們的能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1422}{2} = 711\text{ keV} \]

換算成焦耳，

\[ E_\gamma = 711\times10^3 (1.60\times10^{-19}) \]

\[ E_\gamma \approx1.14\times10^{-13}\text{ J} \]

很容易犯的錯誤，是直接引用熟悉的 \(511\text{ keV}\) 結果。真正改變答案的因素是額外的動能：根據能量守恆，每個入射粒子的 \(200\text{ keV}\) 動能也必須出現在最終狀態中。

題目 3

一對孤立的電子和正電子起初處於靜止狀態。一名學生提出以下反應：

\[ e^-+e^+\rightarrow\gamma \]

其中，單一光子攜帶 \(1.022\text{ MeV}\) 的能量。

解釋為什麼這不可能是完整的最終狀態。指出最簡單且符合守恆定律的雙光子結果。

解答 3

單光子最終狀態不可能成立，因為它違反動量守恆。符合條件的雙光子結果是兩個各為 \(511\text{ keV}\) 的光子，沿相反方向移動。

學生的能量計算是正確的：

\[ E_{\text{initial}} = 2m_ec^2 \approx1.022\text{ MeV} \]

因此，單靠能量守恆無法發現問題。

問題在於動量。

初始粒子對處於靜止狀態，所以

\[ p_{\text{initial}}=0 \]

如果光子具有非零能量，就不可能同時具有零動量。其動量為

\[ p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c} \]

因此，一個能量為 \(1.022\text{ MeV}\) 的光子會使最終系統具有非零動量。

沒有第二個物體可以提供大小相等、方向相反的動量，因此動量無法守恆。

如果有兩個光子，它們的動量就可以互相抵消：

\[ \vec p_1+\vec p_2=0 \]

這要求兩個光子沿相反方向移動，且動量大小相等。由於 \(p=E/c\)，它們的能量也必須相等：

\[ E_1=E_2=511\text{ keV} \]

容易令人誤入歧途的做法，是只檢查 \(E=mc^2\)。真正改變結果的限制條件是動量守恆。

題目 4

某個來源含有 \(3.00\times10^8\) 對電子－正電子粒子。假設每一對粒子都在靜止狀態下湮滅，並產生兩個光子。

探測器吸收了湮滅總能量的 \(85.0\%\)。

計算探測器吸收的能量，以焦耳表示。

解答 4

探測器吸收的能量約為 \(4.17\times10^{-5}\text{ J}\)。

步驟 1：求一對粒子釋放的能量。

每一對粒子貢獻的能量約為 \(1.022\text{ MeV}\)。

換算成焦耳：

\[ E_{\text{pair}} = 1.022\times10^6 (1.60\times10^{-19}) \]

\[ E_{\text{pair}} \approx1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步驟 2：乘以粒子對的數量。

\[ E_{\text{total}} = (3.00\times10^8) (1.64\times10^{-13}) \]

\[ E_{\text{total}} \approx4.92\times10^{-5}\text{ J} \]

步驟 3：套用探測器的吸收率。

吸收率為 \(85.0\%\)，代表乘以 \(0.850\)：

\[ E_{\text{absorbed}} = 0.850(4.92\times10^{-5}) \]

\[ E_{\text{absorbed}} \approx4.17\times10^{-5}\text{ J} \]

一個容易犯的錯誤，是把 \(85.0\%\) 當成損失的能量比例。它代表吸收的比例，因此正確的乘數是 \(0.850\)。

即使粒子對的數量很大，物理原理仍然相同：先計算每次湮滅的能量，再乘以湮滅次數，最後考慮探測器實際吸收的能量。

題目 5

在自由空間中，探測到兩個來自孤立電子－正電子湮滅的伽馬射線光子。

其中一個光子的能量為 \(700\text{ keV}\)，另一個為 \(322\text{ keV}\)，兩個光子的移動方向之間的夾角為 \(120^\circ\)。

一名學生提出以下論點：

「這一定有可能。\(700+322=1022\text{ keV}\)，正好等於電子和正電子的靜止能量。」

這名學生的說法正確嗎？請同時利用能量守恆和動量守恆加以解釋。

假設初始電子－正電子粒子對處於靜止狀態，而且沒有其他物體可以承擔動量。

解答 5

這名學生的說法不正確。兩個光子的能量相加確實得到正確的總能量，但它們的動量無法滿足初始靜止電子－正電子粒子的零總動量條件。

第一個計算很容易令人信服，因為結果看起來完全正確：

\[ 700+322=1022\text{ keV} \]

因此，這兩個光子的總能量恰好等於粒子對的靜止能量。

但這反而帶來更嚴格的限制。如果初始粒子對處於靜止狀態，其總能量已經是可能的最低值：

\[ E_{\text{initial}}=2m_ec^2\approx1.022\text{ MeV} \]

沒有額外的動能可供使用。

因此，初始總動量必須為零。

現在考慮這兩個光子。每個光子的動量為

\[ p=\frac{E}{c} \]

要使兩個光子的動量互相抵消，兩個動量向量必須指向相反方向，而且大小相等。

但在這道題目中，這兩個條件都不成立。

首先，兩個光子的移動方向夾角為 \(120^\circ\)，而不是 \(180^\circ\)，因此它們的動量向量無法互相抵消。

其次，兩個光子的能量不同：

\[ 700\text{ keV}\neq322\text{ keV} \]

因此，它們的動量大小也不同。

甚至可以計算出合成動量的非零大小。若 \(p_{\text{net}}\) 代表兩個光子合成動量的大小，

\[ p_{\text{net}}c = \sqrt{ E_1^2+E_2^2 + 2E_1E_2\cos120^\circ } \]

代入 \(E_1=700\text{ keV}\) 和 \(E_2=322\text{ keV}\)，

\[ p_{\text{net}}c\approx607\text{ keV} \]

因此，這兩個光子確實具有非零的總動量。

這不可能與起初處於靜止狀態的電子－正電子粒子對相符。

這道題目的關鍵在於，總能量正確，並不代表最終狀態在物理上一定可行。由於兩個光子的能量已經用盡全部 \(1.022\text{ MeV}\) 的靜止能量，因此粒子對不可能暗中具有額外動能，藉此提供所需的初始動量。

對於一對孤立且起初處於靜止狀態的粒子，雙光子結果有更嚴格的限制：兩個光子的能量必須各為 \(511\text{ keV}\)，並且沿相反方向移動。

這是應用在較困難 HSC 題目中很有用的解題模式：先計算能量，再判斷所提出的最終粒子是否也能符合動量守恆。質能等價關係告訴你有哪些能量可供使用；守恆定律則決定實際上哪些情況能夠發生。