拋體的最大高度：HSC 物理解說

一顆以某個角度發射的球會向上爬升，垂直方向的速度逐漸減小，到達軌跡最高點後再落下。在那個最高點，拋體是否已經停止運動？

繼續閱讀之前先預測一下：它的速率是零、加速度是零，還是只有垂直速度是零？

只有垂直速度是零。除非拋體是垂直向上發射，否則它仍然在水平方向運動。重力也仍然使它向下加速。正確計算最大高度的關鍵，就在於分清這一點。

01最大高度是垂直運動問題

想像一顆球以初速度大小 \(u\)，與水平方向成 \(\theta\) 角向上發射。它的初速度可以分解為兩個分量：

\[
u_x = u\cos\theta
\]

\[
u_y = u\sin\theta
\]

其中：

• \(u_x\) 是初始水平速度，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u_y\) 是初始垂直速度，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u\) 是初速度的大小，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，以及
• \(\theta\) 是相對於水平方向的發射角。

如果你對把速度向量分解成分量仍不太熟悉，請先複習拋體初速度分量。

對最大高度而言，水平分量並不直接起作用。重力沿垂直方向作用，因此決定拋體能上升多高的是 \(u_y\)。

你可以把兩個速度分量想像成小組作業中被分派不同工作的兩個人。垂直分量要承受所有「重力帶來的麻煩」，所以它會不斷改變；而在理想的 HSC 模型中，水平分量基本上不受影響。

不過，這個比喻也有其限制，因為這兩個分量實際上並不是兩個彼此獨立的運動或物體，而是同一個速度向量中互相垂直的兩個分量。

在最高點究竟發生了甚麼？

取向上為垂直方向的正方向。

在上升過程中：

• 垂直速度 \(v_y\) 為正，
• 重力產生垂直加速度 \(a_y=-g\)，
• \(v_y\) 持續減小。

在最大高度處：

在地球表面附近，HSC 拋體問題通常使用 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)，除非題目另有給定。

因此，關鍵條件是

\[
v_y=0
\]

而不是 \(v=0\)。

02推導最大高度公式

我們要找的是從發射點到最高點的垂直位移。把這個高度記為 \(H\)。

垂直方向的運動學方程

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

很適合使用，因為它包含位移，而且不需要知道時間。

由發射到最大高度的過程中：

• \(v_y=0\)，
• \(a_y=-g\)，
• \(\Delta y=H\)。

代入可得

\[
0^2=u_y^2+2(-g)H
\]

因此

\[
0=u_y^2-2gH
\]

所以

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

這裡的 \(H\) 是相對於發射點的最大高度。

如果拋體以速率 \(u\)、與水平方向成 \(\theta\) 角發射，那麼 \(u_y=u\sin\theta\)，因此

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

這就是理想拋體運動中標準的最大高度結果。

留意這個方程在物理上的意思。較大的初始垂直速度，代表重力需要消除更多向上的運動。由於 \(u_y\) 是平方項，因此把垂直分量加倍，拋體上升的高度會變成四倍。

如果拋體從地面以上的位置開始

假設發射點本身已位於離地面 \(y_0\) 的高度。

公式

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

仍然只表示發射後額外上升的高度。

因此，相對於地面的最大高度為

\[
y_{\max}=y_0+\frac{u_y^2}{2g}
\]

這個差別會造成許多本可避免的錯誤。一定要先問清楚：題目要求的是相對於發射點的上升高度，還是相對於地面等參考位置的最大高度？

03為甚麼用時間計算會得到相同結果

還有另一種方法可以推導出同一條公式。

由

\[
v_y=u_y+a_yt
\]

在最高點，垂直速度為零：

\[
0=u_y-gt_{\text{top}}
\]

所以

\[
t_{\text{top}}=\frac{u_y}{g}
\]

現在使用垂直位移公式：

\[
H=u_yt_{\text{top}}-\frac{1}{2}gt_{\text{top}}^2
\]

代入 \(t_{\text{top}}=u_y/g\)：

\[
H=u_y\left(\frac{u_y}{g}\right)
-\frac{1}{2}g\left(\frac{u_y}{g}\right)^2
=\frac{u_y^2}{2g}
\]

結果相同。

如果題目只要求最大高度，使用含速度平方的方程通常更快。如果題目同時要求到達最高點所需的時間，那麼時間法就很有用。

04最容易犯的錯誤：把整個速度設為零

假設一個拋體沿斜向發射。

在它的最高點，

\[
v_y=0
\]

但是，在理想拋體模型中，

\[
v_x=u_x
\]

所以，它在最高點的總速率為

\[
v=\sqrt{v_x^2+0^2}=v_x
\]

除非拋體是垂直發射，否則這個值不會是零。

為甚麼這個錯誤想法這麼容易令人信服？在日常說法中，我們會說一個被拋出的物體「停止向上運動」。這是對的。但「停止向上運動」並不等於「停止運動」。

附近還有另一個常見陷阱：有些學生因為最高點的垂直速度為零，也會把加速度設為零。重力並沒有停止作用。在整段飛行過程中，加速度仍然約為向下的 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

一個有用的比較是垂直向上拋出的球。在它恰好由上升轉為下降的那一刻，速度為零，但向下的加速度仍然存在。若沒有這個加速度，它就會停在最高點懸浮不動。

05簡潔的判斷規則

遇到最大高度問題時，可以依照以下順序作判斷：

最後一行很重要。這個公式預測的是：在此模型下，如果飛行途中沒有任何東西干擾，拋體本來會到達的高度。屋頂、牆壁或其他碰撞，都可能使這個理論最高點在物理上無法到達。

06問題與解答

問題 1

一個拋體以 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率、與水平方向成 \(35.0^\circ\) 角發射。計算它相對於發射點的最大高度。

解答 1

拋體到達的最大高度為發射點上方 \(9.67\ \mathrm{m}\)。

首先，把初速度分解出垂直分量：

\[
u_y=u\sin\theta
=24.0\sin35.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在最大高度處，\(v_y=0\)。因此，

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(13.8)^2}{2(9.8)}
=9.67\ \mathrm{m}
\]

一個很容易令人誤用的方法，是直接把完整的 \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 代入高度公式。這等於假設拋體上升時，重力也需要把水平分量消除掉。事實並非如此。最大高度取決於初始垂直分量。

問題 2

一個拋體從地面以 \(26.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率發射。在最大高度處，它的速率為 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

計算：

a. 它的初始垂直速度，

b. 它相對於水平方向的發射角，以及

c. 它的最大高度。

忽略空氣阻力。

解答 2

初始垂直速度為 \(16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，發射角為 \(39.7^\circ\)，最大高度為 \(14.1\ \mathrm{m}\)。

在最高點，垂直速度為零。因此，題目所給的 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 速率必須是水平速度：

\[
u_x=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

初速度大小等於兩個互相垂直分量的合成大小：

\[
u^2=u_x^2+u_y^2
\]

所以

\[
u_y=\sqrt{u^2-u_x^2}
=\sqrt{(26.0)^2-(20.0)^2}
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

對於發射角，

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{20.0}
\]

因此

\[
\theta=39.7^\circ
\]

現在計算上升高度：

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(16.6)^2}{19.6}
=14.1\ \mathrm{m}
\]

一個很容易產生的錯誤理解，是把最大高度處 \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率看成仍然存在的垂直運動。最高點的確切條件是 \(v_y=0\)。因此，在那裡任何非零的速率都必須來自水平方向。

問題 3

一個拋體從地面發射，最後落回地面。它的水平射程為 \(50.0\ \mathrm{m}\)，最大高度為 \(8.00\ \mathrm{m}\)。

求它的發射角和初速大小。

假設為理想拋體運動。

解答 3

拋體以 \(32.6^\circ\) 的角度和 \(23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的初速發射。

對於落點與發射點位於相同垂直高度的拋體，

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

其中 \(R\) 是水平射程。

它的最大高度為

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

與其分別從兩條方程求 \(u\)，不如直接比較兩式。最大高度的四倍為

\[
4H=\frac{2u^2\sin^2\theta}{g}
\]

利用 \(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\)，

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

因此，

\[
\frac{R}{4H}
=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
=\cot\theta
\]

代入量得的數值：

\[
\cot\theta=\frac{50.0}{4(8.00)}
=1.5625
\]

所以

\[
\tan\theta=\frac{1}{1.5625}=0.640
\]

因此

\[
\theta=32.6^\circ
\]

現在使用最大高度方程：

\[
8.00
=\frac{u^2\sin^2(32.6^\circ)}{2(9.8)}
\]

整理得

\[
u
=\sqrt{\frac{2(9.8)(8.00)}{\sin^2(32.6^\circ)}}
=23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

一個很容易想到的方法，是因為 \(45^\circ\) 常與最大射程聯繫在一起，便直接假設發射角為 \(45^\circ\)。但只有在發射速率固定，而且發射高度與落地高度相同的情況下，\(45^\circ\) 才會令射程最大。題目並沒有說這條特定軌跡在其速率下具有最大可能射程。已量得的射程和高度組合把角度確定為 \(32.6^\circ\)。

問題 4

一個拋體從離地面 \(5.00\ \mathrm{m}\) 高的平台發射。

當它在水平方向距離發射點 \(18.0\ \mathrm{m}\) 時，其速度大小為 \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，方向為水平方向以上 \(20.0^\circ\)。

求：

a. 拋體相對於地面的最大高度，

b. 它的初速大小，以及

c. 它的初始發射角。

忽略空氣阻力。

解答 4

最大高度為離地面 \(19.0\ \mathrm{m}\)，初速大小為 \(23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，發射角為 \(44.4^\circ\)。

首先，需要把在 \(x=18.0\ \mathrm{m}\) 處量得的速度分解成分量：

\[
v_x=18.0\cos20.0^\circ
=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\[
v_y=18.0\sin20.0^\circ
=6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

由於理想模型中沒有水平加速度，

\[
u_x=v_x=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

水平方向移動 \(18.0\ \mathrm{m}\) 所需的時間為

\[
t=\frac{x}{v_x}
=\frac{18.0}{16.9}
=1.064\ \mathrm{s}
\]

現在沿垂直方向倒推。使用

\[
v_y=u_y-gt
\]

可得

\[
u_y=v_y+gt
=6.16+9.8(1.064)
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在這 \(1.064\ \mathrm{s}\) 內，拋體的垂直位移為

\[
\Delta y
=u_yt-\frac{1}{2}gt^2
\]

\[
\Delta y
=(16.6)(1.064)-\frac{1}{2}(9.8)(1.064)^2
=12.1\ \mathrm{m}
\]

由於它從離地面 \(5.00\ \mathrm{m}\) 的位置開始，因此在觀測點的高度為

\[
y=5.00+12.1=17.1\ \mathrm{m}
\]

此時它仍在上升，因為 \(v_y=+6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。剩餘的上升高度為

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(6.16)^2}{19.6}
=1.93\ \mathrm{m}
\]

因此，

\[
y_{\max}=17.1+1.93=19.0\ \mathrm{m}
\]

初速大小為

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(16.9)^2+(16.6)^2}
=23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

而發射角滿足

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{16.9}
\]

所以

\[
\theta=44.4^\circ
\]

一個很容易誤走的方向，是把 \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)、\(20.0^\circ\) 當成發射速度。它們並不是。這些數值描述的是拋體飛行一段時間之後的速度。重力已經改變了垂直分量，而水平分量仍保持不變。正是這個差異，讓我們能夠反推出較早的運動狀態。

問題 5

一個拋體從我們定義為高度 \(0\) 的位置發射。

在飛行過程中，它兩次通過高度 \(9.00\ \mathrm{m}\)：一次在上升時，一次在下降時。這兩次觀測相隔 \(1.60\ \mathrm{s}\)，而在這段時間內，拋體沿水平方向移動了 \(24.0\ \mathrm{m}\)。

求：

a. 相對於發射點的最大高度，

b. 最大高度處的速率，

c. 初始垂直速度，

d. 初速大小，以及

e. 發射角。

忽略空氣阻力。

解答 5

最大高度為 \(12.1\ \mathrm{m}\)，最高點的速率為 \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，初始垂直速度為 \(15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，初速大小為 \(21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，發射角為 \(45.8^\circ\)。

關鍵在於，拋體會在上升途中和下降途中各一次經過相同高度。在向下加速度恆定且沒有空氣阻力的情況下，這兩個時刻在時間上以最高點為中心呈對稱分布。

兩次觀測相隔 \(1.60\ \mathrm{s}\)，所以從任一次觀測到最高點的時間為

\[
\frac{1.60}{2}=0.800\ \mathrm{s}
\]

第一次經過 \(9.00\ \mathrm{m}\) 高度時，拋體正在向上運動。它的垂直速度必須在接下來的 \(0.800\ \mathrm{s}\) 內減小至零：

\[
0=v_y-g(0.800)
\]

因此，

\[
v_y=9.8(0.800)
=7.84\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

從 \(9.00\ \mathrm{m}\) 高度繼續上升到最高點的額外高度為

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(7.84)^2}{19.6}
=3.136\ \mathrm{m}
\]

所以最大高度為

\[
H_{\max}=9.00+3.136
=12.136\ \mathrm{m}
\]

取三位有效數字，即為 \(12.1\ \mathrm{m}\)。

現在使用水平方向的資訊。水平速度保持不變，因此

\[
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{24.0}{1.60}
=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

在最大高度處 \(v_y=0\)，所以拋體在那裡的總速率就是

\[
v_{\text{apex}}=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

要反推出初始垂直速度，可以使用已知的最大高度：

\[
H_{\max}=\frac{u_y^2}{2g}
\]

因此，

\[
u_y=\sqrt{2gH_{\max}}
=\sqrt{2(9.8)(12.136)}
=15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

初始水平速度仍為

\[
u_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

所以初速大小為

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(15.0)^2+(15.4)^2}
=21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

最後，

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{15.4}{15.0}
\]

因此

\[
\theta=45.8^\circ
\]

一個很容易犯的錯誤，是把完整的 \(1.60\ \mathrm{s}\) 當成從第一次經過 \(9.00\ \mathrm{m}\) 到最高點所需的時間。這會令額外高度算成正確值的四倍，因為由轉向點算起的位移與時間的平方有關。關鍵限制條件是對稱性：兩次通過相同高度的時刻分別位於最高點的兩側，所以最高點在時間上正好位於兩者中間。

資料中還隱含著另一個有用的結果。在求最大高度之前，我們根本不需要知道原本的發射速率。後來的運動資訊已經足以讓我們把它反推出來。

07最大高度能幫助你接著理解甚麼

真正有用的概念，其實不只是公式 \(H=u_y^2/(2g)\)，而是公式背後的條件：在自然形成的最高點，\(v_y=0\)，但重力仍然在作用。

一旦掌握這一點，發射角問題就會容易得多。增加 \(\theta\) 會改變 \(u_y=u\sin\theta\)，從而改變最大高度；但它同時也會改變水平分量，因此影響飛行時間和射程。理解這種取捨，是下一步掌握拋體發射角如何影響高度、飛行時間和射程的關鍵。