拋射發射角：高度、飛行時間與射程

兩個拋射體以完全相同的速率從地面射出。一個以 \(30^\circ\) 發射，另一個以 \(60^\circ\) 發射。哪一個會落得更遠？

\(60^\circ\) 發射的拋射體在空中停留更久，也上升得高得多，因此很容易直覺地選它。但在通常的理想拋射運動假設下，兩者的水平落點距離其實完全相同。

這個結果正是理解發射角的關鍵。增大角度會讓拋射體具有較大的向上速度，但較小的水平方向速度。隨著發射角變陡，最大高度和飛行時間都會持續增加，但射程不會一直增加。

01先把發射速度分解

假設一個拋射體以速率 \(u\)，相對水平面以角度 \(\theta\) 射出。

它的初速度可以分解成兩個互相垂直的分量：

\[
u_x=u\cos\theta
\]

\[
u_y=u\sin\theta
\]

其中：

• \(u_x\) 是初始水平速度，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u_y\) 是初始鉛直速度，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，
• \(u\) 是發射速率，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)，以及
• \(\theta\) 是相對水平面的發射角。

如果你想複習為甚麼這裡會出現正弦和餘弦，請參閱 HSC 物理：拋射運動初速度分量。

一個實用的初步想像方式，是把發射速率看成固定的「速度預算」。把速度向量向上傾斜時，這個預算會有更多分配到鉛直分量，而較少分配到水平分量。

這個類比並不完全精確。這些分量並不是在飛行過程中會被消耗或互相交換的量。拋射體一旦離開發射點，重力會持續改變鉛直速度，而在理想模型中，水平速度則保持不變。

這個差別幾乎可以解釋發射角造成的所有影響。

02當角度增加時會發生甚麼？

保持發射速率 \(u\) 不變。

當 \(\theta\) 從 \(0^\circ\) 增加並趨近 \(90^\circ\) 時：

• \(\cos\theta\) 減小，因此 \(u_x\) 減小，
• \(\sin\theta\) 增大，因此 \(u_y\) 增大，
• 拋射體上升得更高，
• 它在空中停留得更久，但
• 它的水平移動距離不一定更遠。

目前先假設：

• 空氣阻力可以忽略，
• 重力加速度保持不變，
• 拋射體落在與發射點相同的鉛直高度，以及
• \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)。

這些假設很重要。特別是大家熟悉的 \(45^\circ\) 最大射程結論，取決於發射點與落點位於相同高度。你可以在 HSC 物理中的拋射運動假設詳解 複習這個模型。

03發射角與最大高度

想像兩個球以相同速率發射。一個以 \(20^\circ\) 射出，另一個以 \(70^\circ\) 射出。

哪一個能到達較大的高度？

\(70^\circ\) 的拋射體會到達較大的高度，因為最大高度取決於鉛直分量 \(u_y\)，而不是直接取決於總發射速率。

在最大高度時，鉛直速度已降至零。使用

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

並令 \(v_y=0\)、\(a_y=-g\) 以及 \(\Delta y=H\)，

\[
0=u_y^2-2gH
\]

因此

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}.
\]

由於 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}.
\]

這裡的 \(H\) 是相對發射點的最大高度，以米為單位。

當發射速率固定時，

\[
H\propto\sin^2\theta.
\]

因此，增加發射角會使最大高度持續增加，一直到 \(90^\circ\)。

鉛直向上發射能達到最大的可能高度，因為所有初速度都在鉛直方向。

04發射角與飛行時間

現在考慮在空中的時間。

對於最後落回發射高度的拋射體，鉛直運動的上升部分與下降部分是對稱的。

到達最大高度所需的時間可由

\[
v_y=u_y-gt
\]

求出。

在最高點，\(v_y=0\)，所以

\[
t_{\text{上升}}=\frac{u_y}{g}.
\]

總飛行時間 \(T\) 是這個時間的兩倍：

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

代入 \(u_y=u\sin\theta\)，

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

因此，當發射速率固定時，

\[
T\propto\sin\theta.
\]

發射角越陡，拋射體在空中停留得越久。

這一點有時會與射程混淆。在空中停留得更久，聽起來似乎必然代表水平距離更遠。但角度較陡的拋射體同時也有較小的水平速度。射程取決於這兩種效應共同作用的結果。

05發射角與水平射程

在理想拋射運動模型中，水平加速度為零，因此

\[
R=u_xT,
\]

其中 \(R\) 是以米為單位的水平射程。

使用

\[
u_x=u\cos\theta
\]

以及

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g},
\]

可得

\[
R=(u\cos\theta)\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right).
\]

因此，

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
\]

使用恆等式

\[
2\sin\theta\cos\theta=\sin2\theta,
\]

射程方程變成

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

這條方程包含了一個重要而出人意料的結果。

射程取決於 \(\sin2\theta\)，而不是單純取決於 \(\sin\theta\) 或 \(\cos\theta\)。

06為甚麼 \(45^\circ\) 會得到最大射程

當 \(u\) 和 \(g\) 固定時，在

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

中唯一會改變的部分是 \(\sin2\theta\)。

正弦函數的最大可能值是 \(1\)。因此，當

\[
\sin2\theta=1
\]

時，射程最大。

這代表

\[
2\theta=90^\circ
\]

因此

\[
\theta=45^\circ.
\]

所以，在理想情況下，如果拋射體的發射高度與落地高度相同，最大射程出現在 \(45^\circ\)。

留意這並不代表 \(45^\circ\) 在每一道拋射運動題目中都是最佳發射角。如果落點高於或低於發射點、空氣阻力不可忽略，或有障礙物限制路徑，答案都可能改變。

07互為餘角的發射角具有相同射程

回到最開始的 \(30^\circ\) 與 \(60^\circ\) 問題。

對 \(30^\circ\) 而言，

\[
\sin(2\theta)=\sin60^\circ.
\]

對 \(60^\circ\) 而言，

\[
\sin(2\theta)=\sin120^\circ.
\]

但是

\[
\sin60^\circ=\sin120^\circ.
\]

因此兩者的射程相等。

更一般地說，當發射速率相同，而且落點高度也相同時，兩個相加等於 \(90^\circ\) 的發射角會產生相同的射程。

例子包括：

• \(20^\circ\) 和 \(70^\circ\)，
• \(35^\circ\) 和 \(55^\circ\)，
• \(40^\circ\) 和 \(50^\circ\)。

這些角互為餘角。

它們的射程相等，但軌跡並不相同。

低角度拋射體具有較大的水平分量，因此能較快地越過地面距離。

高角度拋射體具有較大的鉛直分量，因此會在空中停留長得多的時間。

當兩個角互為餘角時，這兩種效應剛好完全平衡。

08直接比較高度、時間和射程

當發射速率固定，而且發射高度與落地高度相同時：

例如，取 \(u=20\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

在這個例子中，\(60^\circ\) 拋射體上升的高度是 \(30^\circ\) 拋射體的三倍，而且在空中停留得久得多，但兩者的射程仍然相等。

這就是為甚麼只根據軌跡形狀來判斷射程可能會產生誤導。

09最容易出現的誤解

一個常見的預測是：

發射角越大，射程越大，因為拋射體在空中停留得更久。

前半句是正確的。只要發射速率保持不變，增加角度確實會增加飛行時間。

問題在於，水平速度同時會減小：

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

接近 \(0^\circ\) 時，拋射體有很大的水平速度，但幾乎沒有多少飛行時間。

接近 \(90^\circ\) 時，它有很長的飛行時間，但幾乎沒有水平速度。

最大射程出現在這兩個極端之間，也就是兩種效應達到平衡的位置。當發射高度與落地高度相同時，這個平衡出現在 \(45^\circ\)。

另一個很容易採用的捷徑，是認為互為餘角的發射角一定具有相同射程。其實不一定。

這個結果取決於發射速率相同，而且發射高度與落地高度相同。如果從懸崖發射，額外的下落時間便會改變這個平衡。

10如果拋射體落在不同高度呢？

假設一個拋射體從懸崖發射。

即使發射速率相同，\(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 發射也不再必須在撞到地面前移動相同的水平距離。

為甚麼？

方程

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

是根據鉛直運動的對稱性得出的。它假設拋射體落回原來的高度。

從懸崖發射時，拋射體通過發射高度後仍會繼續下落。因此，其總飛行時間必須改用鉛直位移方程求出：

\[
\Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2.
\]

一旦求出飛行時間，水平射程仍然是

\[
R=u_xt.
\]

所以，速度分量的概念仍然適用，但方便的同高度公式不再適用。

這是一個重要的 HSC 解題習慣：在使用背熟的拋射公式前，先檢查使該公式成立的物理條件是否符合題目。

11問題與解答

問題 1

一個拋射體從水平地面以 \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速率，相對水平面以 \(40^\circ\) 發射。忽略空氣阻力。

計算：

a. 它的最大高度，

b. 它的總飛行時間，以及

c. 它的水平射程。

解答 1

拋射體的最大高度為 \(6.83\ \mathrm{m}\)，在空中停留 \(2.36\ \mathrm{s}\)，並在水平方向移動 \(32.6\ \mathrm{m}\)。

先分解初速度：

\[
\begin{aligned}
u_x&=18\cos40^\circ\\
&=13.79\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
u_y&=18\sin40^\circ\\
&=11.57\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

對最大高度而言，

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(11.57)^2}{2(9.8)}\\
&=6.83\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

對總飛行時間而言，

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(11.57)}{9.8}\\
&=2.36\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

因此射程為

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(13.79)(2.36)\\
&=32.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一個很容易犯的錯誤，是把完整的 \(18\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 當成水平速度。只有水平分量會使拋射體沿地面方向移動。

問題 2

一個發射器從水平地面以 \(28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 發射拋射體。拋射體必須落在 \(60.0\ \mathrm{m}\) 外、與發射點相同的高度。

忽略空氣阻力：

a. 求出兩個可能的發射角，

b. 求每條軌跡的飛行時間，以及

c. 求每條軌跡的最大高度。

解答 2

有兩個可能的發射角：約為 \(24.3^\circ\) 和 \(65.7^\circ\)。它們具有相同射程，但飛行時間與最大高度非常不同。

使用同高度射程方程

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

代入 \(R=60.0\ \mathrm{m}\)、\(u=28\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 和 \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\)：

\[
\begin{aligned}
60.0&=\frac{28^2\sin2\theta}{9.8}\\
\sin2\theta&=\frac{(60.0)(9.8)}{28^2}\\
&=0.750.
\end{aligned}
\]

其中一個解是

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.750)=48.59^\circ.
\]

但正弦在第二象限也是正值，所以

\[
2\theta=180^\circ-48.59^\circ=131.41^\circ.
\]

因此，

\[
\theta=24.30^\circ
\]

或

\[
\theta=65.70^\circ.
\]

兩個角相加等於 \(90^\circ\)，符合等射程互餘軌跡的預期。

對較低的軌跡而言，

\[
u_y=28\sin24.30^\circ=11.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

因此

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(11.52)}{9.8}\\
&=2.35\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(11.52)^2}{19.6}\\
&=6.77\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

對較高的軌跡而言，

\[
u_y=28\sin65.70^\circ=25.52\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2(25.52)}{9.8}\\
&=5.21\ \mathrm{s},
\end{aligned}
\]

以及

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{(25.52)^2}{19.6}\\
&=33.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一個很容易採用但錯誤的做法，是在計算機得到 \(2\theta=48.59^\circ\) 後就停下來。這樣會漏掉第二條實際可行的軌跡。由於正弦函數在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之間的兩個角可以具有相同的正值，因此對於能到達的同高度目標，通常會有一個低角度解和一個高角度解。

問題 3

一個拋射體從地面以 \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 發射。目標位於更遠處的地面上，但在距離發射器 \(20.0\ \mathrm{m}\) 的位置有一道垂直牆壁。牆高為 \(8.00\ \mathrm{m}\)。

現正考慮兩個發射角：\(30^\circ\) 和 \(60^\circ\)。

a. 證明兩個發射角在沒有障礙物時會產生相同射程。

b. 求每個拋射體到達牆壁位置時的高度。

c. 說明哪一條軌跡可以越過牆壁並繼續飛向目標所在的一側。

解答 3

兩個拋射體在沒有障礙物時的射程都為 \(55.2\ \mathrm{m}\)，但只有 \(60^\circ\) 的拋射體能越過 \(8.00\ \mathrm{m}\) 高的牆。

對射程而言，

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}.
\]

在 \(30^\circ\) 時，

\[
\begin{aligned}
R_{30}&=\frac{25.0^2\sin60^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

在 \(60^\circ\) 時，

\[
\begin{aligned}
R_{60}&=\frac{25.0^2\sin120^\circ}{9.8}\\
&=55.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

兩者射程相同，因為 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 互為餘角。

不過，相同射程並不代表路徑相同。若要求拋射體在水平位置 \(x\) 時的高度，可使用

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta},
\]

其中 \(x\) 和 \(y\) 都是相對發射點量度的。

對 \(30^\circ\) 的拋射體，在 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 時，

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan30^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^230^\circ}\\
&=7.37\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

由於 \(7.37\ \mathrm{m}<8.00\ \mathrm{m}\)，它會撞上牆壁。

對 \(60^\circ\) 的拋射體而言，

\[
\begin{aligned}
y&=(20.0)\tan60^\circ
-\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^260^\circ}\\
&=22.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

由於 \(22.1\ \mathrm{m}>8.00\ \mathrm{m}\)，它可以越過牆壁。

一個很容易得出的錯誤結論，是認為相同射程使兩個發射角可以互相替代。只有在落點是唯一限制條件時，它們才可以互換。一旦存在障礙物，而題目關心軌跡在中途某個位置的高度，兩條軌跡的表現就會非常不同。

問題 4

一個拋射體從水平地面發射。影片分析顯示，當它在水平方向距離發射點 \(30.0\ \mathrm{m}\) 時，其速度分量為

\[
v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

以及

\[
v_y=+3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

忽略空氣阻力。

求：

a. 自發射後經過的時間，

b. 初始水平和鉛直速度分量，

c. 發射速率和發射角，

d. 拋射體在被觀察時刻的高度，

e. 它的最大高度，以及

f. 它最終的水平射程。

解答 4

這個拋射體的發射速率約為 \(27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，發射角約為 \(56.4^\circ\)，而不是它在被觀察時刻速度方向所對應的 \(11.3^\circ\)。它的最大高度約為 \(26.1\ \mathrm{m}\)，射程約為 \(69.2\ \mathrm{m}\)。

關鍵條件是水平速度保持不變。因此，

\[
u_x=v_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

經過時間可由水平運動求出：

\[
\begin{aligned}
x&=u_xt\\
30.0&=(15.0)t\\
t&=2.00\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

在鉛直方向，

\[
v_y=u_y-gt.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
u_y&=v_y+gt\\
&=3.00+(9.8)(2.00)\\
&=22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

發射速率為

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{15.0^2+22.6^2}\\
&=27.1\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

發射角滿足

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\theta&=\tan^{-1}\left(\frac{22.6}{15.0}\right)\\
&=56.4^\circ.
\end{aligned}
\]

現在求 \(t=2.00\ \mathrm{s}\) 時的高度：

\[
\begin{aligned}
y&=u_yt-\frac{1}{2}gt^2\\
&=(22.6)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2\\
&=25.6\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

最大高度為

\[
\begin{aligned}
H&=\frac{u_y^2}{2g}\\
&=\frac{(22.6)^2}{19.6}\\
&=26.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

這個結果很合理：拋射體已經在 \(25.6\ \mathrm{m}\) 的高度，而且仍以只有 \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 的速度向上移動，因此它必定已經接近最高點。

總飛行時間為

\[
\begin{aligned}
T&=\frac{2u_y}{g}\\
&=\frac{2(22.6)}{9.8}\\
&=4.61\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

因此射程為

\[
\begin{aligned}
R&=u_xT\\
&=(15.0)(4.61)\\
&=69.2\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

一個很容易採用的錯誤做法，是計算目前速度的角度：

\[
\tan^{-1}\left(\frac{3.00}{15.0}\right)=11.3^\circ
\]

然後把它當成發射角。但重力已經把鉛直速度從 \(22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 降至 \(3.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。目前的運動方向並不是最初的發射方向。

問題 5

一個拋射體從地面以 \(25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 發射。觀察發現，它會通過一個水平距離發射器 \(20.0\ \mathrm{m}\)、高於發射高度 \(10.0\ \mathrm{m}\) 的位置。

忽略空氣阻力。

a. 求出 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 之間所有可能的發射角。

b. 對每個發射角，判斷拋射體通過該觀察點時正在向上還是向下運動。

c. 求每條軌跡最終的射程。

d. 解釋為甚麼這兩個發射角並不互為餘角，儘管同一個發射速率可以產生兩條通過同一點的可能軌跡。

解答 5

有兩個可能的發射角：約為 \(36.6^\circ\) 和 \(79.9^\circ\)。\(36.6^\circ\) 的拋射體會在上升時通過該點，最終落在距離發射器約 \(61.1\ \mathrm{m}\) 處。\(79.9^\circ\) 的拋射體則會在下降時通過同一點，並在距離發射器僅約 \(21.9\ \mathrm{m}\) 處落地。

重要的限制條件是，題目要求拋射體通過一個中途位置，而不是在該位置落地。因此，熟悉的互餘角結果並不適用。

使用軌跡方程

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

代入 \(x=20.0\ \mathrm{m}\)、\(y=10.0\ \mathrm{m}\) 和 \(u=25.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)：

\[
10.0
=
20.0\tan\theta
–
\frac{(9.8)(20.0)^2}
{2(25.0)^2\cos^2\theta}.
\]

由於

\[
\frac{(9.8)(20.0)^2}{2(25.0)^2}=3.136,
\]

所以

\[
10.0=20.0\tan\theta-3.136\sec^2\theta.
\]

現在使用

\[
\sec^2\theta=1+\tan^2\theta.
\]

令

\[
p=\tan\theta.
\]

則

\[
10.0=20.0p-3.136(1+p^2).
\]

整理後，

\[
3.136p^2-20.0p+13.136=0.
\]

使用二次方程公式，

\[
p=
\frac{20.0\pm\sqrt{20.0^2-4(3.136)(13.136)}}
{2(3.136)}.
\]

得到

\[
p=0.743
\]

或

\[
p=5.63.
\]

因此，

\[
\theta=\tan^{-1}(0.743)=36.6^\circ
\]

或

\[
\theta=\tan^{-1}(5.63)=79.9^\circ.
\]

現在判斷每個拋射體到達 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 時的運動狀態。

對 \(36.6^\circ\) 發射而言，

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos36.6^\circ\\
&=20.06\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
u_y=25.0\sin36.6^\circ=14.92\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

到達 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 所需的時間為

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{x}{u_x}\\
&=\frac{20.0}{20.06}\\
&=0.997\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

此時它的鉛直速度為

\[
\begin{aligned}
v_y&=u_y-gt\\
&=14.92-(9.8)(0.997)\\
&=+5.15\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

正號表示它仍在上升。

它的總射程為

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{u^2\sin2\theta}{g}\\
&=\frac{25.0^2\sin(73.2^\circ)}{9.8}\\
&=61.1\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

對 \(79.9^\circ\) 發射而言，

\[
\begin{aligned}
u_x&=25.0\cos79.9^\circ\\
&=4.37\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\end{aligned}
\]

以及

\[
u_y=25.0\sin79.9^\circ=24.62\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

到達 \(x=20.0\ \mathrm{m}\) 所需的時間為

\[
\begin{aligned}
t&=\frac{20.0}{4.37}\\
&=4.58\ \mathrm{s}.
\end{aligned}
\]

此時它的鉛直速度為

\[
\begin{aligned}
v_y&=24.62-(9.8)(4.58)\\
&=-20.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\end{aligned}
\]

負號表示它正在下降。

它的總射程為

\[
\begin{aligned}
R&=\frac{25.0^2\sin(159.9^\circ)}{9.8}\\
&=21.9\ \mathrm{m}.
\end{aligned}
\]

所以，高角度拋射體是在即將撞到地面前不久才通過這個觀察點。

一個很容易作出的預測，是認為只要存在兩個有效的發射角，它們就一定互為餘角。這個規則屬於另一種條件：兩次發射具有相同速率，而且都落在相同的水平位置及發射高度。

在這裡，點 \((20.0\ \mathrm{m},10.0\ \mathrm{m})\) 並不是落點。其中一條軌跡會較早在上升過程中到達該點，另一條則會晚得多，並在下降過程中到達該點。因此，兩個角沒有理由必須相加成 \(90^\circ\)，實際上

\[
36.6^\circ+79.9^\circ=116.5^\circ.
\]

這就是發射角問題更廣泛的重點。角度並不是獨立控制高度、時間和射程。它改變的是同一個初速度的水平與鉛直部分，而題目的條件則決定這兩個分量必須如何共同作用。下一個值得掌握的能力，是辨認甚麼時候可以使用方便的同高度公式，以及甚麼時候必須回到水平和鉛直方向的運動學方程來解題。