軌道週期：HSC 物理中的軌道半徑與中心天體質量

兩顆衛星繞著同一顆行星運行。衛星 B 距離行星中心的距離是衛星 A 的兩倍。在進行任何計算之前，先預測一下：B 完成一次軌道運行所需的時間會是兩倍嗎？

不會。它的軌道週期約長 \(2.83\) 倍。

時間增加是兩種效應共同作用的結果。距離較遠的衛星必須沿著更大的圓周運行，而且那裡的重力較弱，因此它的運行速度也較慢。軌道週期實際上取決於軌道半徑與中心天體質量如何共同作用。

01軌道週期由什麼決定？

想像一顆衛星沿著圓形軌道繞地球運行。重力持續將它拉向地球中心。衛星同時繼續向側面運動，因此它不會直接向下墜落，而是不斷地繞著地球自由落下。

這與圓形軌道中的重力作為向心力所介紹的概念相同。

現在試著預測一下。如果我們將衛星移得離地球更遠，會有什麼變化？

有兩個因素很重要：

• 衛星每完成一次軌道運行，都必須走過更長的路徑。
• 地球的引力較弱，因此衛星的軌道速度較低。

這兩種變化都會使軌道週期變長。

軌道週期 \(T\) 是完成一次完整軌道運行所需的時間。

對圓形軌道而言，重要的物理量如下：

使用

\[ G = 6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

有一個細節很容易造成許多原本可以避免的錯誤：\(r\) 是軌道半徑，不是高度。

如果一顆衛星位於地球表面上方 \(\text{400 km}\)，就不能直接將 \(\text{400 km}\) 代入軌道週期方程式。你必須先計算

\[ r=R_{\text{Earth}}+h. \]

02推導軌道週期方程式

我們可以推導出這個關係，而不是把它當成一個難以理解的公式死記下來。

對於質量為 \(m\) 的衛星，牛頓萬有引力定律給出

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}. \]

對於圓周運動，所需的向心力為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

重力提供這個向心力，因此

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

衛星質量 \(m\) 可以約去：

\[ \frac{GM}{r^2}=\frac{v^2}{r}. \]

這已經告訴我們一個有用的結論。在 HSC 常用的模型中，衛星本身的質量不會影響其軌道速度或軌道週期。

衛星完成一次完整的圓形軌道運行時，會在一個週期 \(T\) 內走過圓周長 \(2\pi r\)。因此，

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

將此式代入圓周運動方程式：

\[ \frac{GM}{r^2} = \frac{1}{r}\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^2. \]

化簡後，

\[ \frac{GM}{r^2} = \frac{4\pi^2r}{T^2}, \]

因此

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}. \]

所以，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

這就是本主題的核心關係式。

03這個方程式實際上告訴我們什麼？

方程式

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

包含兩個重要的依存關係。

軌道半徑越大，週期越長

如果中心天體的質量保持不變，

\[ T\propto r^{3/2}. \]

這個 \(3/2\) 次方非常重要。軌道半徑加倍，週期並不會加倍：

\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{2r_1}{r_1}\right)^{3/2} = 2^{3/2} \approx 2.83. \]

為什麼週期增加的幅度超過兩倍？因為衛星不但需要走更遠的路程，運行速度也更慢。

從圓形軌道速度方程式可以看出速度如何降低：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

增加 \(r\) 會使 \(v\) 降低。這就像衛星的通勤路程變長，同時還被要求降低行駛速度。

不過，這個比喻有其限制：衛星並不是自行選擇速度，也沒有道路將它限制在圓形路徑上。它的速度必須恰好使重力產生所需的向心加速度。

中心天體質量越大，週期越短

如果軌道半徑保持不變，

\[ T\propto \frac{1}{\sqrt{M}}. \]

在相同的 \(r\) 位置，質量較大的中心天體會產生較強的重力場。因此，該半徑上的圓形軌道需要更高的軌道速度，衛星也就能更快完成一次軌道運行。

例如，如果中心天體的質量增加為原來的四倍，而 \(r\) 保持不變，

\[ T_{\text{new}} = \frac{T_{\text{old}}}{\sqrt{4}} = \frac{T_{\text{old}}}{2}. \]

因此，週期會減半。

04實用的比較方程式

假設物體 1 以半徑 \(r_1\) 繞質量為 \(M_1\) 的中心天體運行，而物體 2 以半徑 \(r_2\) 繞質量為 \(M_2\) 的中心天體運行。

從

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

出發，取兩者的比值：

\[ \frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}. \]

使用這個式子，通常比逐一計算兩個週期更快。

有兩種特殊情況值得立即辨認：

對於繞著同一個中心天體運行的物體，

\[ \frac{T^2}{r^3}=\text{常數}. \]

這就是克卜勒第三定律在圓形軌道中的形式。對於橢圓軌道，相應的方程式使用半長軸 \(a\)，而不是單一且固定的軌道半徑。

範例：求地球衛星的軌道週期

一顆衛星沿著圓形軌道運行，其與地球中心的距離為 \(7.00\times10^6\text{ m}\)。計算它的軌道週期。使用 \(M_{\text E}=5.97\times10^{24}\text{ kg}\)。

步驟 1：確認正確的半徑。

題目已經給出衛星與地球中心的距離，因此

\[ r=7.00\times10^6\text{ m}. \]

步驟 2：使用軌道週期方程式。

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{(7.00\times10^6)^3} {(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} }\\ &=2\pi\sqrt{8.61\times10^5}\\ &=5.83\times10^3\text{ s}. \end{aligned} \]

步驟 3：換算成分鐘並解釋結果。

\[ T=\frac{5.83\times10^3}{60}=97.2\text{ min}. \]

這顆衛星大約每隔 \(97.2\text{ min}\) 完成一次軌道運行。

請注意，計算過程不需要衛星的質量。

範例：利用軌道求行星的質量

一顆衛星繞著一顆遙遠的行星沿圓形軌道運行。它的軌道半徑為 \(2.40\times10^8\text{ m}\)，軌道週期為 \(1.80\) 天。估算這顆行星的質量。

步驟 1：將軌道週期方程式重新整理，以求出 \(M\)。

從

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

出發，可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}. \]

步驟 2：將週期換算成秒。

\[ T=1.80\times24\times3600 =1.5552\times10^5\text{ s}. \]

步驟 3：代入測量數值。

\[ \begin{aligned} M &= \frac{4\pi^2(2.40\times10^8)^3} {(6.67\times10^{-11})(1.5552\times10^5)^2}\\ &=3.38\times10^{26}\text{ kg}. \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

這顆行星的估計質量為

\[ M\approx3.38\times10^{26}\text{ kg}. \]

這是軌道運動的一項重要用途：我們不必把物體放到類似巨大磅秤的裝置上，就能測定它的質量。我們只需要測量另一個物體在它的重力作用下如何運動。

05最容易犯的錯誤

錯誤 1：使用高度而非軌道半徑

假設一顆衛星位於某行星表面上方 \(500\text{ km}\)，而該行星的半徑為 \(6400\text{ km}\)。

它的軌道半徑並不是 \(500\text{ km}\)，而是

\[ r=6400+500=6900\text{ km}. \]

接著將單位換算成公尺：

\[ r=6.90\times10^6\text{ m}. \]

重力指向行星中心，因此計算 \(r\) 時必須以行星中心為測量起點。

錯誤 2：認為週期與半徑成正比

我們很容易認為，圓周長變成兩倍，繞行一周所需的時間就應該變成兩倍。

只有在軌道速度保持不變時，這種推論才成立。但實際上並非如此。

對於相同的中心天體質量，

\[ v\propto r^{-1/2}, \]

因此，距離較遠的衛星不但必須走更遠的路程，運行速度也更慢。完整的關係式是

\[ T\propto r^{3/2}. \]

錯誤 3：假設質量較大的衛星會運行得更快

衛星質量 \(m\) 同時出現在萬有引力與所需向心力的方程式中：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}. \]

它會被約去。

因此，如果兩顆衛星以相同半徑繞同一個中心天體運行，質量為 \(100\text{ kg}\) 的衛星與質量為 \(1000\text{ kg}\) 的衛星可以具有相同的圓形軌道週期。

這個結論假設衛星的質量夠小，因此將中心天體視為固定物體是合理的近似。如果兩者的質量相近，兩個物體都會繞著共同的質心運行，此時就需要使用更完整的雙體模型。

錯誤 4：假設行星越大，軌道週期就一定越長

僅知道物體的實際大小並不足夠。

圓形軌道方程式包含中心天體質量 \(M\) 與軌道半徑 \(r\)。只有在行星的實際半徑有助於確定 \(r\) 時，例如題目給出高度，行星的實際半徑才會影響計算。

實際半徑較大的行星，其質量也可能大得多。這兩種效應可能互相競爭。

06題目與解答

題目 1

一顆衛星以 \(4.20\times10^7\text{ m}\) 的半徑繞地球沿圓形軌道運行。計算它的軌道週期，以小時為單位表示。

使用

\[ M_{\text E}=5.97\times10^{24}\text{ kg} \]

以及

\[ G=6.67\times10^{-11}\text{ N m}^2\text{kg}^{-2}. \]

解答 1

這顆衛星的軌道週期約為 \(23.8\text{ h}\)。

對於圓形軌道，

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}}. \]

代入已知數值：

\[ \begin{aligned} T &=2\pi\sqrt{ \frac{(4.20\times10^7)^3} {(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} }\\ &=8.57\times10^4\text{ s}. \end{aligned} \]

將秒換算成小時：

\[ T=\frac{8.57\times10^4}{3600}=23.8\text{ h}. \]

因此，完成一次軌道運行所需的時間略少於一天。

一種常見的錯誤解法是使用 \(T\propto r\)。這種做法假設衛星在軌道半徑改變時仍保持相同速度。實際上，圓形軌道速度會隨半徑改變，因此必須使用 \(r^{3/2}\) 的關係式。

題目 2

地球半徑為 \(6.37\times10^6\text{ m}\)。衛星 A 的圓形軌道位於地球表面上方 \(400\text{ km}\)。

衛星 B 繞地球運行，其軌道週期恰好是衛星 A 的兩倍。

求衛星 B 距離地球表面的高度。

解答 2

衛星 B 的軌道高度約為 \(4.38\times10^3\text{ km}\)。

因為兩顆衛星都繞地球運行，所以中心天體的質量相同。因此，

\[ \frac{T_B}{T_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}. \]

先求衛星 A 的軌道半徑：

\[ \begin{aligned} r_A &=R_{\text E}+h_A\\ &=6.37\times10^6+0.400\times10^6\\ &=6.77\times10^6\text{ m}. \end{aligned} \]

已知

\[ \frac{T_B}{T_A}=2, \]

所以

\[ 2=\left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2}. \]

將兩邊同時取 \(2/3\) 次方：

\[ \frac{r_B}{r_A}=2^{2/3}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} r_B &=(6.77\times10^6)2^{2/3}\\ &=1.075\times10^7\text{ m}. \end{aligned} \]

這是衛星與地球中心的距離。題目要求的是高度，因此要減去地球半徑：

\[ \begin{aligned} h_B &=r_B-R_{\text E}\\ &=1.075\times10^7-6.37\times10^6\\ &=4.38\times10^6\text{ m}\\ &=4.38\times10^3\text{ km}. \end{aligned} \]

一個很容易想到的錯誤是將 \(400\text{ km}\) 的高度加倍。這樣做有兩個問題：週期並不與半徑成正比，而且軌道方程式中的 \(r\) 也不是高度。

題目 3

月球 A 繞行星 A 運行，其軌道半徑為 \(3.00\times10^8\text{ m}\)，週期為 \(4.00\) 天。

月球 B 繞行星 B 運行，其軌道半徑為 \(2.00\times10^8\text{ m}\)，週期為 \(2.00\) 天。

假設兩顆月球的質量與各自行星相比都可以忽略。

1. 求 \(M_B/M_A\) 的比值。
2. 求兩顆月球的軌道速度比值 \(v_B/v_A\)。
3. 一名學生認為，行星 B 的質量一定較小，因為它的月球在更近的距離繞行。解釋為什麼測量結果與這個說法矛盾。

解答 3

行星 B 的質量約為行星 A 的 \(1.19\) 倍，而月球 B 的運行速度是月球 A 的 \(1.33\) 倍。僅憑較小的軌道半徑，無法判定行星 B 的質量較小。

對於圓形軌道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}. \]

重新整理可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2}. \]

因此，

\[ \frac{M_B}{M_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^2. \]

代入比值：

\[ \begin{aligned} \frac{M_B}{M_A} &= \left(\frac{2.00}{3.00}\right)^3 \left(\frac{4.00}{2.00}\right)^2\\ &= \frac{8}{27}\times4\\ &=\frac{32}{27}\\ &\approx1.19. \end{aligned} \]

因此，

\[ M_B\approx1.19M_A. \]

對於軌道速度，

\[ v=\frac{2\pi r}{T}. \]

所以，

\[ \begin{aligned} \frac{v_B}{v_A} &= \frac{r_B/T_B}{r_A/T_A}\\ &= \frac{(2.00)/(2.00)}{(3.00)/(4.00)}\\ &=\frac{4}{3}\\ &\approx1.33. \end{aligned} \]

因此，月球 B 的運行速度約快 \(33\%\)。

這個看似合理的論點只考慮了軌道半徑。但軌道運動同時取決於 \(r\) 和 \(M\)。月球 B 在只有一半的時間內就完成一個更短的軌道，而綜合這些測量結果可知，行星 B 的質量實際上更大。

題目 4

行星 A 和行星 B 都是球體，且平均密度相同。行星 B 的半徑是行星 A 的兩倍：

\[ R_B=2R_A. \]

假設衛星的質量可以忽略。

1. 一顆衛星在每顆行星的表面上方極近處運行。比較兩顆衛星的軌道週期。
2. 現在將兩顆衛星分別放在各自行星表面上方相同的絕對高度 \(h=R_A/4\)。計算 \(T_B/T_A\)。
3. 解釋為什麼第 1 題和第 2 題的答案不同，儘管兩顆行星的密度相同。

解答 4

在行星表面附近運行的兩顆衛星，其週期相同；但在相同的絕對高度下，繞行行星 B 的衛星週期較短，且

\[ \frac{T_B}{T_A}\approx0.854. \]

由於兩顆行星的密度 \(\rho\) 相同，

\[ M=\rho\frac{4}{3}\pi R^3. \]

因為

\[ R_B=2R_A, \]

所以兩顆行星的質量比為

\[ \frac{M_B}{M_A} = \left(\frac{R_B}{R_A}\right)^3 = 2^3 = 8. \]

因此，行星 B 的質量是行星 A 的八倍。

對於在行星表面附近運行的衛星，

\[ r_A\approx R_A \]

以及

\[ r_B\approx R_B=2R_A. \]

使用

\[ \frac{T_B}{T_A} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{M_A}{M_B}}, \]

可得

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &= 2^{3/2}\sqrt{\frac{1}{8}}\\ &=1. \end{aligned} \]

兩顆衛星的週期相同。

現在讓兩顆衛星的絕對高度相同：

\[ h=\frac{R_A}{4}. \]

對行星 A，

\[ r_A=R_A+\frac{R_A}{4}=1.25R_A. \]

對行星 B，

\[ r_B=2R_A+\frac{R_A}{4}=2.25R_A. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{T_B}{T_A} &= \left(\frac{2.25}{1.25}\right)^{3/2} \sqrt{\frac{1}{8}}\\ &\approx0.854. \end{aligned} \]

繞行行星 B 的衛星，完成一次軌道運行所需的時間只有約 \(85.4\%\)。

一種容易產生的錯誤想法是：密度相同就一定會有相同的軌道週期。但這個結果只在第 1 題成立，因為軌道半徑的變化比例恰好與行星實際半徑的變化比例相同。\(R\) 加倍使 \(r^3\) 變成八倍，而中心天體質量也增加為八倍，因此兩種效應互相抵消。

在第 2 題中，固定的高度打破了這種幾何比例關係。行星 B 的質量仍然是八倍，但它的衛星在 \(r^3\) 的意義上，並沒有離中心遠八倍。較強的重力在這場競爭中占了上風，因此產生較短的週期。

題目 5

一顆球形行星的質量為 \(M\)，半徑為 \(R\)。一顆衛星最初在高度為 \(R\) 的圓形軌道上運行，因此它的軌道半徑為 \(2R\)。

接著，行星快速且對稱地收縮，半徑變為 \(R/2\)。沒有質量流失，而且在收縮過程中，衛星沒有受到推力或其他瞬間衝量。

1. 收縮後的瞬間，衛星是否仍保持在相同的圓形軌道上？說明它的週期會發生什麼變化。
2. 收縮後的瞬間，衛星距離行星表面的新高度是多少？
3. 稍後，衛星進行軌道操作，進入一個新的圓形軌道，其高度等於行星的新半徑。求衛星最終軌道週期與原始週期的比值。
4. 比較衛星最終的圓形軌道速度與原始軌道速度。
5. 解釋以下說法的錯誤之處：「行星變小了，所以衛星的週期必須立即變短。」

解答 5

衛星最初會保持在完全相同的圓形軌道上，週期也完全不變。由於行星表面向內移動，衛星的高度會增加。只有在衛星移至更小的軌道半徑後，週期才會減少；其最終週期是原始週期的 \(1/(2\sqrt2)\)，約為 \(0.354\) 倍，而最終軌道速度則是原始速度的 \(\sqrt2\) 倍。

最初，

\[ r_i=2R. \]

行星收縮時，衛星所在位置的三個重要物理量不會立即改變：

• 行星的總質量仍然是 \(M\)。
• 衛星與行星中心的距離仍然是 \(2R\)。
• 由於衛星沒有受到任何衝量，其切向速度保持不變。

在球形質量物體的外部，重力由中心天體的總質量及中心到中心的距離決定：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2}. \]

由於衛星位置的 \(M\) 和 \(r\) 都沒有改變，重力也不會改變。

在行星收縮之前，衛星的速度符合圓形軌道條件：

\[ v_i=\sqrt{\frac{GM}{2R}}. \]

收縮後的瞬間，在 \(r=2R\) 處所需的圓形軌道速度仍然是

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{2R}}. \]

因此，衛星原有的速度仍然恰好是維持同一條圓形軌道所需的速度。軌道週期也保持不變。

行星的新實際半徑為

\[ R'=\frac{R}{2}. \]

衛星與中心的距離仍然是 \(2R\)，因此它的新高度為

\[ \begin{aligned} h' &=2R-\frac{R}{2}\\ &=\frac{3R}{2}. \end{aligned} \]

現在考慮稍後的軌道操作。衛星進入一條新圓形軌道，其高度等於行星的新半徑：

\[ h_f=\frac{R}{2}. \]

因此，它最終的軌道半徑為

\[ \begin{aligned} r_f &=R'+h_f\\ &=\frac{R}{2}+\frac{R}{2}\\ &=R. \end{aligned} \]

中心天體的質量沒有改變，因此

\[ \frac{T_f}{T_i} = \left(\frac{r_f}{r_i}\right)^{3/2}. \]

所以，

\[ \begin{aligned} \frac{T_f}{T_i} &= \left(\frac{R}{2R}\right)^{3/2}\\ &= \left(\frac12\right)^{3/2}\\ &=\frac{1}{2\sqrt2}\\ &\approx0.354. \end{aligned} \]

最終週期約為原始週期的 \(35.4\%\)。

對於圓形軌道速度，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}. \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{v_f}{v_i} &= \sqrt{\frac{r_i}{r_f}}\\ &= \sqrt{\frac{2R}{R}}\\ &=\sqrt2\\ &\approx1.41. \end{aligned} \]

最終的圓形軌道速度約增加 \(41\%\)。

這個容易令人誤信的說法，混淆了行星的實際半徑與衛星的軌道半徑。方程式

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

並不包含行星的實際半徑。收縮後的瞬間，\(M\) 與衛星到行星中心的距離 \(r\) 都沒有改變，因此衛星的週期不可能突然改變。

只有當衛星本身移至新的軌道半徑時，週期才會改變。

07這個關係式接下來能幫你做什麼？

值得掌握的核心概念不只是公式，而是軌道半徑與中心天體質量之間的相互作用：

\[ T\propto\frac{r^{3/2}}{\sqrt M}. \]

有了這個關係，你就能進一步解決不同類型的問題。如果 \(M\) 已知，就能利用觀測到的週期求出軌道半徑。如果測得 \(r\) 和 \(T\)，就能利用軌道求出未知的中心天體質量。如果兩個物體繞著同一個天體運行，則可以直接比較它們的週期與半徑，完全不需要知道該天體的質量。

相同的重力模型也能給出圓形軌道速度：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

這解釋了整個現象的另一半：距離較遠的衛星之所以需要更長時間完成軌道運行，不只是因為它的路徑較長，也因為它的運行速度較慢。這種關聯會在軌道速度中進一步直接探討。