為什麼在等速圓周運動中向心力不做功

一個橡膠塞繫在線上，以恆定速率旋轉。繩子全程都向內拉，而橡膠塞也全程都在加速。轉了 20 圈之後，這個向內的力有沒有讓橡膠塞獲得額外的動能？

直覺上似乎應該有。確實有力作用，橡膠塞也移動了很長的距離。然而，在理想的等速圓周運動中，向心力完全不做功。

原因並不是力太小，也不是物體每轉一圈就以某種方式把所做的功「抵消掉」。真正的原因是：這個力的方向恰好完全不利於改變物體的速率。

01力可以改變速度，卻不改變速率

先從運動本身開始。

在等速圓周運動的任何瞬間：

• 物體的速度方向沿圓周的切線，
• 向心加速度指向圓心，
• 合力指向圓心，而且
• 速率保持不變。

如果你對速率和速度之間的差異有點模糊，這裡是最重要的複習：速率告訴你物體移動得多快；速度除了大小之外，還包括方向。

因此，一個沿圓周運動的物體可以保持恆定速率，同時它的速度卻每一瞬間都在改變。

向內的加速度正是造成這種方向改變的原因。它持續轉動速度向量的方向，卻不使這個向量變長或變短。

如果你想重新理解為甚麼加速度會指向這個方向，可以參閱 向心加速度：為甚麼在 HSC 物理中它會指向內側。

一個大致的直觀模型是：你正在跑步，而一位站在你附近的朋友持續從側面拉你的背包。如果每次拉力都恰好與你的運動方向垂直，他可以讓你的路徑彎曲，卻不會把你推得更快，也不會把你拖得更慢。

這個類比在現實中並不完全成立，因為你的朋友大概無法始終讓力保持完全垂直，而且摩擦力也會產生影響。理想的物理情況則更單純。

02功取決於力的方向

當一個力在物體位移方向上具有分量時，這個力就會做功。

對於沿直線位移作用的恆力，

\[ W = Fs\cos\theta \]

其中：

• \(W\) 是功，單位為焦耳（J），
• \(F\) 是力的大小，單位為牛頓（N），
• \(s\) 是位移的大小，單位為米（m），而
• \(\theta\) 是力與位移之間的夾角。

假設力與位移方向相同。此時 \(\theta=0^\circ\)，所以 \(\cos 0^\circ=1\)。這個力做正功。

假設力與位移方向完全相反。此時 \(\theta=180^\circ\)，所以這個力做負功。

現在先作一個預測。當力恰好與位移垂直時，會發生甚麼事？

在 \(90^\circ\) 時，

\[ \cos 90^\circ=0 \]

所以所做的功為零。

這正是理想等速圓周運動中的幾何關係。瞬時位移沿圓周切線，而向心力沿徑向。

兩者互相垂直。

03關鍵在於「瞬時」

這裡有一個容易掉進去的小陷阱。

物體走過四分之一圓周時，顯然已經移動了相當長的一段距離。而且，連接起點與終點的直線通常也不會與起點處的力垂直。

所以，你不能只取一個向心力向量，再乘以物體走過的總距離，然後使用 \(W=Fs\cos\theta\)，彷彿力的方向一直保持不變。

事實並非如此。物體運動時，向心力的方向會持續轉動。

相反地，可以把整條路徑想像成由極大量極小的位移組成。對每一個極小位移，

\[ dW = F_c\,ds\cos 90^\circ = 0 \]

其中 \(dW\) 是極小量的功，\(F_c\) 是向心力的大小，而 \(ds\) 是沿路徑的一小段距離。

每一個極小的功貢獻都是零。把它們全部加起來，結果仍然是零。

對 HSC 題目而言，通常還有一個更快的方法看出相同結果：使用功-能定理。

\[ W_{\text{net}}=\Delta K \]

動能為

\[ K=\frac12mv^2 \]

其中 \(m\) 是以公斤（kg）為單位的質量，而 \(v\) 是以米每秒（m s\(^{-1}\)）為單位的速率。

等速圓周運動的速率保持不變，所以 \(v\) 不變。因此 \(K\) 也不變。

所以，

\[ \Delta K=0 \]

因此

\[ W_{\text{net}}=0 \]

這是描述同一個物理現象的兩種方式：

• 從幾何角度看，合力與運動方向垂直；
• 從能量角度看，速率與動能保持不變。

04向心力不是額外出現的一種力

還有另一個常見的混淆來源。

「向心力」並不是指物體一旦做圓周運動，就會憑空出現的一種特殊新力。它是產生圓周運動所需的向內合力的名稱。

在等速圓周運動中，它的大小為

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中 \(r\) 是圓形路徑的半徑，單位為米。

這個向內的力可以由以下作用提供：

• 張力，
• 重力，
• 正向力，
• 摩擦力，或
• 幾個實際力的組合。

例如，對一顆處於完全圓形軌道上的衛星而言，重力提供向心力。對一個由繩子牽引並在水平圓周上運動的物體而言，張力可以提供向心力。

如果某一個實際力完全沿徑向，並由它提供向心力，那麼在理想等速圓周運動中，這個實際力不做功。

不過，措辭上要小心。個別的實際力有可能分別做正功或負功，而它們的總切向作用彼此抵消。在等速圓周運動中，必須成立的是合力沿徑向，因此合功為零。

如果想進一步了解如何判斷是哪一個實際力扮演向內作用的角色，可以參閱 向心力：如何在 HSC 物理中辨認真正的力。

05為甚麼有加速度不代表一定有做功

學生常會有以下推理：

有力，所以有加速度。如果有加速度，物體一定會獲得能量。

第一步是正確的，第二步則不正確。

加速度代表速度正在改變。速度有兩種改變方式：

• 它的大小可以改變，也就是速率改變；
• 它的方向可以改變。

等速圓周運動中的向心加速度只會造成第二種改變。

如果把加速度拆成徑向分量與切向分量，這個差異會更加清楚。

徑向分量改變方向；切向分量改變速率。

所以：

這給你一個實用的考試判斷規則：如果物體沿固定圓周運動，但它的速率正在改變，那麼合力除了徑向分量之外，也一定具有切向分量。

06向內的力甚麼時候會開始做功？

「向心力不做功」這個說法依賴一個學生有時會忽略的條件：向內的力必須與物體的速度垂直。

在半徑固定的理想圓周運動中，這個條件一定成立，因為速度沿圓周切線方向。

一旦半徑改變，情況就可能不同。

想像一個冰球在無摩擦的水平桌面上運動，並連接到一條穿過桌面中央小孔的繩子。當冰球以固定半徑繞圓周運動時，它的速度沿圓周切線。張力沿徑向，所以張力不做功。

現在有人從小孔下方向下拉繩子。

冰球除了繞著小孔轉，也開始向內移動。

它的速度現在有兩個分量：

• 繞小孔運動的切向分量，以及
• 指向小孔的徑向分量。

張力仍然指向內側，但它不再與總速度垂直。因此，張力現在可以做正功。

這就是為甚麼「向內的力代表功為零」並不是一條安全的規則。

安全的規則是：

當一個力與物體的瞬時速度垂直時，這個力的瞬時功率為零。

以功率表示，同樣的概念可以寫成

\[ P=\vec F\cdot\vec v \]

如果力與速度互相垂直，點積就是零。如果速度有一部分沿著力的方向，功率就不會是零。

07考試中最快的判斷方法

當你在同一道題目中看到功與圓周運動時，應該檢查以下條件，而不是死背一句口訣。

1. 半徑是否固定？
2. 速率是否恆定？
3. 你正在分析的力是否完全沿徑向？
4. 該力是否與瞬時速度垂直？

對理想等速圓周運動而言，四個答案都是「是」。徑向合力不做功。

如果速率改變，就要尋找切向力分量。

如果半徑改變，速度可能出現徑向分量，所以即使是徑向力也可能做功。

如果有多個實際力作用，不要因為總速率恆定，就假設每一個力各自都不做功。

08問題與解答

問題 1

一個 \(0.75\) kg 的物體以 \(6.0\) m s\(^{-1}\) 的恆定速率，在半徑 \(1.5\) m 的水平圓周上運動。

計算：

a. 向心力，以及
b. 在半圈運動期間，向心力所做的功。

解答 1

向心力為 \(18\) N，方向向內；在半圈運動期間，它所做的功為 \(0\) J。

對 a 部分，

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(0.75)(6.0)^2}{1.5} =18\text{ N} \]

對 b 部分，瞬時運動方向沿圓周切線，而力沿徑向。在整個運動過程中，兩者始終互相垂直。

因此，每一個極小的功貢獻都為零，所以

\[ W=0\text{ J} \]

一個很有誘惑力的錯誤做法是先計算半圓的路程，再乘以 \(18\) N。這會忽略功取決於力相對於每一個位移的方向，也忽略力的方向在運動過程中持續改變。

物體的動能也能證實這個結果：

\[ K=\frac12mv^2 =\frac12(0.75)(6.0)^2 =13.5\text{ J} \]

速率沒有改變，所以動能保持在 \(13.5\) J。

問題 2

一顆 \(500\) kg 的衛星，以 \(7.5\times10^3\) m s\(^{-1}\) 的恆定速率，在半徑 \(7.0\times10^6\) m 的圓形軌道上運行。假設重力是唯一作用力。

a. 計算重力的大小。
b. 求重力在半圈軌道期間所做的功。
c. 一名學生主張，衛星完成半圈軌道後的整體位移會穿過圓心，而且大致與最初的重力方向相同，因此重力一定做了正功。解釋這個論點的錯誤。

解答 2

重力的大小約為 \(4.0\times10^3\) N，但在半圈軌道期間所做的功為 \(0\) J。

對 a 部分，

\[ F_g=F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(500)(7.5\times10^3)^2}{7.0\times10^6} \approx4.0\times10^3\text{ N} \]

對 b 部分，衛星的速率恆定，所以它的動能沒有改變。

使用功-能定理，

\[ W_{\text{net}}=\Delta K=0 \]

重力是唯一的力，因此

\[ W_g=0\text{ J} \]

對 c 部分，這名學生的論點錯誤地把重力當成在整個半圈軌道中方向固定不變。

實際上並非如此。重力始終從衛星指向地球中心，因此隨著衛星運動，力向量也會持續旋轉。

當力在整條路徑上持續改變方向時，不能把從起點到終點的整體位移與初始力向量配在一起，直接代入單一的 \(W=Fs\cos\theta\) 計算。

在每一瞬間，重力沿徑向，而衛星的速度沿切線方向。兩者的點積為零，所以重力不做功。

第二種能量檢查方式也得到相同結論：軌道半徑保持不變，所以衛星的重力位能保持不變；而它的速率也保持不變，所以動能同樣保持不變。

問題 3

一個 \(2.0\) kg 的物體，以 \(4.0\) m s\(^{-1}\) 的恆定速率沿半徑 \(4.0\) m 的圓周運動。

有兩個實際力 A 和 B 作用在物體上。相對於物體，在每一瞬間：

• 力 A 有一個 \(6.0\) N 的向內分量，以及一個 \(8.0\) N 的向前切向分量；
• 力 B 具有維持等速圓周運動所需的其餘分量。

求：

a. 力 B 的徑向分量與切向分量，
b. 每個力所提供的瞬時功率，以及
c. 「因為運動是等速圓周運動，所以兩個力都不做功」這個說法是否正確。

解答 3

力 B 必須具有一個 \(2.0\) N 的向內分量，以及一個 \(8.0\) N 的向後切向分量；力 A 提供 \(+32\) W，力 B 提供 \(-32\) W，而「兩個力都不做功」這個說法是錯誤的。

先求所需的徑向合力：

\[ F_c=\frac{mv^2}{r} =\frac{(2.0)(4.0)^2}{4.0} =8.0\text{ N} \]

力 A 已經提供 \(6.0\) N 向內的作用力，因此力 B 必須提供剩餘的

\[ F_{B,r}=8.0-6.0=2.0\text{ N，向內} \]

等速圓周運動也要求切向合力為零，因為速率保持不變。

力 A 有一個 \(8.0\) N 的向前切向分量，因此力 B 必須有一個 \(8.0\) N 的向後切向分量。

對力 A 而言，只有它的切向分量會對功率有貢獻：

\[ P_A=F_{A,t}v =(8.0)(4.0) =32\text{ W} \]

符號為正，因為這個分量與運動方向相同。

對力 B，

\[ P_B=(-8.0)(4.0) =-32\text{ W} \]

它的切向分量以相同速率移除能量。

因此，

\[ P_{\text{net}}=32-32=0\text{ W} \]

徑向分量不做功，因為它們與速度垂直。

很容易犯的錯誤是，一聽到「等速圓周運動」，就宣稱每一個力都必定不做功。等速圓周運動真正保證的是合功為零。個別的力可以沿相反方向傳遞能量，同時讓總動能保持不變。

問題 4

一顆 \(0.50\) kg 的小珠被驅動，以恆定速率沿半徑 \(1.20\) m 的光滑垂直圓形軌道運動。馬達可以在需要時施加沿軌道切線方向的力。小珠在整個運動過程中的速率都保持 \(4.0\) m s\(^{-1}\)。

取 \(g=9.8\) m s\(^{-2}\)。

a. 求小珠從圓周底部移動到頂部時，重力所做的功。
b. 求同一段路程中馬達所做的功。
c. 軌道施加的正向力做了多少功？
d. 當小珠位於圓周右側並正向上運動時，求馬達必須施加的切向力。
e. 馬達在完整一圈中的淨功為零。這是否表示馬達從未向小珠傳遞能量，或從小珠取走能量？

解答 4

從底部到頂部，重力做 \(-11.8\) J 的功，馬達做 \(+11.8\) J 的功，正向力做 \(0\) J 的功；在圓周右側，馬達必須沿軌道向上施加 \(4.9\) N 的力。馬達在完整一圈中做功為零，並不代表它在每一瞬間都沒有進行能量傳遞。

從底部到頂部，小珠上升的高度等於圓的直徑：

\[ \Delta h=2r=2(1.20)=2.40\text{ m} \]

重力所做的功等於重力位能變化量的負值：

\[ W_g=-mg\Delta h =-(0.50)(9.8)(2.40) =-11.76\text{ J} \]

所以，

\[ W_g\approx-11.8\text{ J} \]

小珠的速率保持不變，因此

\[ \Delta K=0 \]

所以總功必須為零。

正向力始終與小珠沿軌道的瞬時運動方向垂直，因此

\[ W_N=0 \]

所以馬達必須恰好補回被重力移除的能量：

\[ W_{\text{motor}}+W_g+W_N=0 \]

\[ W_{\text{motor}}-11.76+0=0 \]

因此

\[ W_{\text{motor}}=+11.76\text{ J} \]

當小珠位於圓周右側時，它正垂直向上運動。重力垂直向下，與運動方向完全相反。

為了使速率保持不變，切向合力必須為零。因此，馬達必須提供一個向上的切向力，大小等於小珠的重量：

\[ F_{\text{motor}}=mg =(0.50)(9.8) =4.9\text{ N} \]

在圓周下降的半圈中，重力做正功。為了防止小珠加速，馬達必須透過做負功來移除這部分能量。

在完整一圈中，這些正功與負功會彼此抵消。

很容易犯的錯誤是認為恆定速率代表每一個力都不做功。恆定速率只要求總功為零。在這個例子中，重力與馬達都會與小珠交換能量，而徑向的正向力不做功。

問題 5

一個 \(0.40\) kg 的冰球在無摩擦的水平桌面上運動，並連接到一條穿過桌面小孔的繩子。

最初，冰球繞著小孔運動。接著，一名實驗者向下拉繩子。在某一瞬間：

• 冰球的切向速度為 \(3.0\) m s\(^{-1}\)，
• 它的徑向速度為 \(0.25\) m s\(^{-1}\)，方向向內，而且
• 繩子的張力為 \(18\) N，方向向內。

在接下來 \(0.12\) m 的向內徑向運動中，張力由 \(18\) N 線性增加至 \(30\) N。假設張力是唯一對冰球做功的力。

a. 求初始瞬間張力提供的瞬時功率。
b. 求張力在這 \(0.12\) m 向內運動期間所做的功。
c. 求冰球的最終速率。
d. 解釋為甚麼這個結果不會與「向心力不做功」的說法矛盾。

解答 5

張力最初提供 \(4.5\) W 的功率，在向內運動期間做 \(2.88\) J 的正功，而冰球的最終速率約為 \(4.84\) m s\(^{-1}\)。這並不矛盾，因為冰球此時已不再以固定半徑做等速圓周運動。

在初始瞬間，張力沿徑向指向內側。此時冰球具有一個 \(0.25\) m s\(^{-1}\) 的向內徑向速度分量。

只有沿力方向的速度分量會對功率有貢獻，因此

\[ P=Fv_r =(18)(0.25) =4.5\text{ W} \]

功率為正，因為力與徑向運動指向相同方向。

在接下來的 \(0.12\) m 中，張力由 \(18\) N 線性增加至 \(30\) N。因此，它在這段位移上的平均值為

\[ F_{\text{avg}} =\frac{18+30}{2} =24\text{ N} \]

力與徑向位移方向相同，因此

\[ W=F_{\text{avg}}s =(24)(0.12) =2.88\text{ J} \]

根據功-能定理，

\[ \Delta K=+2.88\text{ J} \]

現在求初始總速率。徑向與切向速度分量互相垂直，因此

\[ v_i^2=(3.0)^2+(0.25)^2 =9.0625 \]

初始動能為

\[ K_i=\frac12mv_i^2 =\frac12(0.40)(9.0625) =1.8125\text{ J} \]

因此，

\[ K_f=K_i+2.88 =4.6925\text{ J} \]

利用 \(K_f=\frac12mv_f^2\)，

\[ 4.6925=\frac12(0.40)v_f^2 \]

\[ v_f^2=\frac{2(4.6925)}{0.40} =23.4625 \]

\[ v_f\approx4.84\text{ m s}^{-1} \]

很容易直覺地回答 \(0\) J，因為張力「指向圓心」。這只有在冰球以固定半徑繞圓周運動，而且速度完全沿切線方向時才正確。

一旦繩子被向內拉，冰球就具有徑向運動。因此，張力不再與冰球的總速度垂直。

把一個力稱為「向內」並不會自動使它所做的功為零。功為零的結果來自理想固定半徑圓周運動中，力與速度互相垂直這個條件。

09這能讓你進一步分析甚麼

真正有用的區分其實不是「圓周運動的力對普通力」，而是徑向與切向。

徑向力分量可以轉動速度向量，而不改變速率。切向分量會改變速率，因此也會改變動能。如果半徑本身開始改變，那麼即使是徑向力也能傳遞能量，因為物體此時具有徑向運動。

這種拆分方式正是你處理更困難的圓周運動問題時所需要的，包括變速圓周運動、垂直圓周、軌道運動，以及多個實際力共同參與運動的情況。