為甚麼電流才是造成損耗的關鍵
發電站需要向城市輸送相同的電功率，不論輸電線路的運作電壓是 10 kV 還是 100 kV。在這兩種情況下，電線的電阻都相同。 哪一種電壓會令電線更熱？ 先作出預測，再繼續閱讀。很多人的第一反應是：100 kV 聽起來更危險，因此可能會浪費更多能量。但對輸電線路而言，情況恰好相反。在較高電壓下，可以用小得多的電流傳輸相同的功率，而電線中的熱損耗是由電流所造成的 \(I^2R\) 損耗。 這就是高壓
發電站需要向城市輸送相同的電功率，不論輸電線路的運作電壓是 10 kV 還是 100 kV。在這兩種情況下，電線的電阻都相同。
哪一種電壓會令電線更熱？
先作出預測，再繼續閱讀。很多人的第一反應是：100 kV 聽起來更危險，因此可能會浪費更多能量。但對輸電線路而言，情況恰好相反。在較高電壓下，可以用小得多的電流傳輸相同的功率，而電線中的熱損耗是由電流所造成的 \(I^2R\) 損耗。
這就是高壓輸電的核心原理。
01為甚麼電流才是造成損耗的關鍵
先從電功率公式開始：
\[ P = VI \]
其中：
- \(P\) 是功率，單位為瓦特（W）；
- \(V\) 是電位差（即電壓），單位為伏特（V）；以及
- \(I\) 是電流，單位為安培（A）。
假設輸電線路必須傳輸固定功率 \(P\)。將公式變形，可得
\[ I = \frac{P}{V} \]
因此，如果傳輸功率保持不變，電壓增加時，電流便會減少。
一個有用的理解方式，是想像電能以一份份「包裹」的形式傳送。電壓表示每單位電荷轉移多少能量，而電流則表示每秒有多少電荷通過。如果每單位電荷能轉移更多能量，要傳輸相同的總功率，每秒所需通過的電荷量便會減少。
不過，這個比喻也有局限。電荷並不是沿著電線搬運實體能量包裹的微型送貨員。但這個比喻準確反映了此處最重要的關係：在功率固定的情況下，電壓越高，電流越小。
現在把輸電線路的電阻考慮進去。
具有電阻 \(R\) 的電線會將電能轉化為熱能。這種不必要的能量轉移速率為
\[ P_{\text{損耗}} = I^2R \]
其中，\(P_{\text{損耗}}\) 是轉化為熱能的功率，單位為瓦特；\(R\) 是整條輸電路徑的總電阻，單位為歐姆（\(\Omega\)）。
留意電流項是平方的。這正是減少電流如此有效的原因。
如果電流減半，電阻性功率損耗便會變成
\[ \begin{aligned} P_{\text{新損耗}} &= \left(\frac{I}{2}\right)^2R\\ &= \frac{1}{4}I^2R \end{aligned} \]
因此，電流減半會令線路損耗降至原來的四分之一。
更一般而言，在傳輸功率固定的情況下，如果電壓增加至原來的 \(k\) 倍，電流便會降至原來的 \(1/k\)，因此線路損耗會降至原來的 \(1/k^2\)。
| 在傳輸功率相同時的變化 | 電流 | \(I^2R\) 線路損耗 |
|---|---|---|
| 電壓增加至 2 倍 | 減半 | 降至四分之一 |
| 電壓增加至 3 倍 | 降至三分之一 | 降至九分之一 |
| 電壓增加至 10 倍 | 降至十分之一 | 降至百分之一 |
這就是電力採用極高電壓輸送的原因。並不是因為高電壓以某種方式令銅的電阻率降低。線路的電阻並沒有消失，而是流經該電阻的電流減少了。
解題示例：比較兩種輸電電壓
一條輸電線路傳輸 \(3.0\ \text{MW}\) 的功率。整條輸電路徑的總電阻為 \(8.0\ \Omega\)。比較輸電電壓分別為 \(15\ \text{kV}\) 和 \(150\ \text{kV}\) 時的電阻性功率損耗。
步驟 1
先將各物理量換算成基本單位：
\[ P = 3.0\times10^6\ \text{W}, \qquad V = 15\times10^3\ \text{V} \]
利用 \(P=VI\)，
\[ \begin{aligned} I&=\frac{P}{V}\\ &=\frac{3.0\times10^6}{15\times10^3}\\ &=200\ \text{A} \end{aligned} \]
步驟 2
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}}&=I^2R\\ &=(200)^2(8.0)\\ &=3.2\times10^5\ \text{W} \end{aligned} \]
因此，
\[ P_{\text{損耗}}=320\ \text{kW} \]
步驟 3
\[ \begin{aligned} I&=\frac{3.0\times10^6}{150\times10^3}\\ &=20\ \text{A} \end{aligned} \]
接著，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=(20)^2(8.0)\\ &=3.2\times10^3\ \text{W}\\ &=3.2\ \text{kW} \end{aligned} \]
步驟 4
電壓增加至原來的 10 倍，因此電流降至原來的十分之一，由 \(200\ \text{A}\) 減至 \(20\ \text{A}\)。
由於損耗取決於 \(I^2\)，電阻性損耗便降至原來的 \(1/10^2=1/100\)，由 \(320\ \text{kW}\) 減至 \(3.2\ \text{kW}\)。
這個平方關係就是最關鍵的結果。
02為甚麼需要變壓器
如果我們說：「好吧，那就直接用極高電壓發電好了。」這其實存在一個明顯的問題。
極高電壓有利於長距離輸電，但並不適合電力系統的所有部分。發電機產生電力時的電壓較低，而住宅、學校及大部分設備所需的電壓，都遠低於輸電線路使用的電壓。
因此，電網需要一種能夠高效率改變電壓的方法。
這就是變壓器的作用。
升壓變壓器在長距離輸電前提高電壓。之後，降壓變壓器再降低電壓，以供配電及使用。
對理想變壓器而言，
\[ \frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p} \]
其中：
- \(V_p\) 是初級電壓；
- \(V_s\) 是次級電壓；
- \(N_p\) 是初級線圈的匝數；以及
- \(N_s\) 是次級線圈的匝數。
如果次級線圈的匝數多於初級線圈，則 \(V_s>V_p\)，因此變壓器會提高電壓。
其物理機制是電磁感應。初級線圈中的交流電會在鐵芯中產生變化的磁通量，而這種磁通量變化會在次級線圈中感應出電動勢（EMF）。如果你需要更深入複習電壓與線圈匝數之間的關係，可以參閱 tutorgum 的理想變壓器電壓與匝數比指南。
理想變壓器不會憑空產生功率。忽略損耗時，
\[ P_p=P_s \]
因此，
\[ V_pI_p=V_sI_s \]
這揭示了一個重要的此消彼長關係。
如果變壓器提高電壓，便會降低電流。
例如，假設理想變壓器將電壓提高至原來的 20 倍，其輸出電流便會降至輸入電流的二十分之一。
這正是我們希望在電力進入長距離輸電線路前達到的效果。
03變壓器並沒有降低電線的電阻
這是一個值得直接澄清的常見誤解。
有學生可能會說：
「變壓器能減少能量損耗，因為它令輸電線路的電阻降低。」
事實並非如此。
對一條特定的輸電線路而言，其電阻大致由材料、長度、橫截面積及溫度決定。變壓器不會神奇地改變數公里外電線的這些性質。
正確的推理過程應該是
\[ \text{提高 }V \rightarrow \text{相同 }P\text{ 下的 }I\text{ 減少} \rightarrow \text{較低的 }I^2R \rightarrow \text{較少的熱損耗} \]
要清楚區分這些步驟。這樣便不容易在輸電題目中犯錯。
解題示例：輸電線路前的升壓變壓器
一台發電機以 \(11\ \text{kV}\) 及 \(50\ \text{A}\) 向一個理想升壓變壓器供電。變壓器次級線圈的匝數是初級線圈的 20 倍。輸電線路的總電阻為 \(16\ \Omega\)。
計算輸電電壓、輸電電流及線路中的功率損耗。然後，將結果與發電機直接以 \(11\ \text{kV}\)、\(50\ \text{A}\) 經同一條線路輸電時的損耗比較。
步驟 1
匝數比為
\[ \frac{N_s}{N_p}=20 \]
因此，
\[ \frac{V_s}{V_p}=20 \]
所以，
\[ V_s=20(11\ \text{kV})=220\ \text{kV} \]
步驟 2
\[ \begin{aligned} P_p&=V_pI_p\\ &=(11\times10^3)(50)\\ &=5.50\times10^5\ \text{W} \end{aligned} \]
因此，發電機提供 \(550\ \text{kW}\) 的功率。
對理想變壓器而言，次級功率同樣是 \(550\ \text{kW}\)。
步驟 3
\[ \begin{aligned} I_s&=\frac{P_s}{V_s}\\ &=\frac{5.50\times10^5}{220\times10^3}\\ &=2.5\ \text{A} \end{aligned} \]
變壓器將電壓提高至原來的 20 倍，同時將電流降低至原來的二十分之一。
步驟 4
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=I_s^2R\\ &=(2.5)^2(16)\\ &=100\ \text{W} \end{aligned} \]
在這個簡化的理想變壓器模型中，輸電線路只有 \(100\ \text{W}\) 的功率轉化為熱能。
步驟 5
如果原來的 \(50\ \text{A}\) 電流流經同一條線路，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=(50)^2(16)\\ &=4.0\times10^4\ \text{W}\\ &=40\ \text{kW} \end{aligned} \]
升壓變壓器將電流降低至原來的二十分之一，因此線路損耗減少了
\[ 20^2=400 \]
倍，由 \(40\ \text{kW}\) 降至 \(0.100\ \text{kW}\)。
變壓器並沒有提供額外能量。它只是改變了電壓與電流的組合，讓相同功率能以遠低得多的電阻性熱損耗進行傳輸。
04電壓降也會減少
電阻性發熱通常是主要討論重點，但減少電流亦會降低輸電線路上的電壓降。
對電阻 \(R\) 而言，
\[ \Delta V=IR \]
其中，\(\Delta V\) 是線路電阻兩端的電位差。
因此，較小的電流會同時帶來：
- 透過 \(P_{\text{損耗}}=I^2R\) 轉化為熱能的功率減少；以及
- 透過 \(\Delta V=IR\) 產生的電壓降減少。
這兩個關係對電流的依賴程度不同。將 \(I\) 減半，會令電壓降減半，但電阻性功率損耗會降至四分之一。
05將整個原理結合起來的公式
對固定的傳輸功率而言，
\[ I=\frac{P}{V} \]
將它代入
\[ P_{\text{損耗}}=I^2R \]
可得
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &= \left(\frac{P}{V}\right)^2R\\ &= \frac{P^2R}{V^2} \end{aligned} \]
這個公式清楚顯示高壓輸電的優勢：
\[ P_{\text{損耗}}\propto\frac{1}{V^2} \]
前提是傳輸功率 \(P\) 和線路電阻 \(R\) 保持不變。
這個條件非常重要。
如果電壓增加一倍，但傳輸功率也同時增加一倍，那麼
\[ I=\frac{P}{V} \]
便不會改變。因此，線路損耗也不會改變。
所以，不要只記住「電壓加倍，損耗降至四分之一」，卻忘記必須加上「在傳輸功率相同的情況下」這個條件。
06真實變壓器並非理想變壓器
理想變壓器模型很有用，因為它能清楚呈現輸電原理的基本推理過程。然而，真實變壓器會損失部分能量。
損耗可能包括線圈中的電阻性發熱，以及轉移至變壓器鐵芯的能量。例如，渦電流是在導電鐵芯內部感應產生的不必要電流。它們會造成發熱，而將鐵芯製成層疊結構可以減少這種損耗。如果你希望將輸電模型與真實變壓器的效率聯繫起來，tutorgum 另有一篇關於變壓器渦電流損耗的指南。
這帶出一個重要而更精確的觀點。
高電壓能減少輸電線路中的損耗，但不代表電力系統中所有其他損耗都會變成零。
因此，合理的輸電系統設計需要平衡多種因素。在 HSC 計算題中，應使用題目提供的模型和數據，而不是假設所有變壓器都是理想的。
07HSC 輸電題目的精簡解題方法
遇到涉及變壓器和輸電線路的題目時，可依照以下物理推理次序解題：
- 如果題目沒有直接給出傳輸功率，先求出該功率。
- 如有需要，利用變壓器的變壓比求出輸電電壓。
- 利用 \(P=VI\) 求出輸電線路中的電流。
- 在 \(P_{\text{損耗}}=I^2R\) 中使用線路電流，而不是不加判斷地使用發電機電流。
- 如果要比較不同系統，先確認哪些物理量保持不變：功率、電壓、電阻，或其中某種組合。
- 從物理角度解釋結果。較小的線路電流代表較少的電阻性發熱。
考試中一個常見錯誤是：學生正確計算出變壓器的次級電壓，卻在計算線路損耗時不小心使用了初級電流。只需問自己一個簡單問題：究竟是哪一個電流真正流經題目指定的電阻？
08題目與解答
題目 1
一條輸電線路以 \(25\ \text{kV}\) 傳輸 \(500\ \text{kW}\) 的功率。線路的總電阻為 \(4.0\ \Omega\)。
計算：
a. 線路中的電流；以及
b. 線路中以熱能形式損失的功率。
解答 1
線路電流為 \(20\ \text{A}\)，電阻性功率損耗為 \(1.6\ \text{kW}\)。
首先換算功率和電壓：
\[ P=500\times10^3\ \text{W} \]
\[ V=25\times10^3\ \text{V} \]
利用
\[ P=VI \]
可得
\[ \begin{aligned} I&=\frac{P}{V}\\ &=\frac{500\times10^3}{25\times10^3}\\ &=20\ \text{A} \end{aligned} \]
計算線路損耗：
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}}&=I^2R\\ &=(20)^2(4.0)\\ &=1600\ \text{W} \end{aligned} \]
因此，
\[ P_{\text{損耗}}=1.6\ \text{kW} \]
一個容易犯的錯誤，是還未求出線路電流，便直接將輸電電壓代入某個涉及電阻的功率公式。這裡相關的發熱關係是 \(I^2R\)：決定損耗的是流經線路電阻的電流。
題目 2
一個系統透過總電阻為 \(12\ \Omega\) 的線路傳輸 \(6.6\ \text{MW}\) 的功率。
比較以下輸電電壓下的線路損耗：
a. \(33\ \text{kV}\)；以及
b. \(132\ \text{kV}\)。
損耗改變了多少倍？
解答 2
在 \(33\ \text{kV}\) 時，損耗為 \(480\ \text{kW}\)；在 \(132\ \text{kV}\) 時，損耗為 \(30\ \text{kW}\)。電壓增加至原來的四倍，令線路損耗降至原來的十六分之一。
在 \(33\ \text{kV}\) 時，
\[ \begin{aligned} I&=\frac{P}{V}\\ &=\frac{6.6\times10^6}{33\times10^3}\\ &=200\ \text{A} \end{aligned} \]
因此，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=(200)^2(12)\\ &=4.8\times10^5\ \text{W}\\ &=480\ \text{kW} \end{aligned} \]
在 \(132\ \text{kV}\) 時，
\[ \begin{aligned} I&=\frac{6.6\times10^6}{132\times10^3}\\ &=50\ \text{A} \end{aligned} \]
所以，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=(50)^2(12)\\ &=3.0\times10^4\ \text{W}\\ &=30\ \text{kW} \end{aligned} \]
電壓增加的倍數為
\[ \frac{132}{33}=4 \]
而電流則降至原來的四分之一。
由於損耗取決於電流的平方，
\[ \begin{aligned} \frac{P_{\text{新損耗}}}{P_{\text{原損耗}}} &= \left(\frac{1}{4}\right)^2\\ &= \frac{1}{16} \end{aligned} \]
有學生可能會預測，電壓增加至四倍，損耗便降至四分之一。如果某個物理量與電流成正比，這個預測便會成立。但電阻性發熱取決於 \(I^2\)，因此損耗的減少幅度涉及平方關係。
題目 3
一座發電站向一個升壓變壓器提供 \(2.00\ \text{MW}\) 的功率，變壓器的初級電壓為 \(10.0\ \text{kV}\)。變壓器將電壓提高至 \(200\ \text{kV}\)，效率為 \(98.0\%\)。
輸電線路的總電阻為 \(50.0\ \Omega\)。
a. 計算變壓器輸送至輸電線路的功率。
b. 計算輸電線路中的電流。
c. 計算輸電線路中的功率損耗。
d. 一名學生說：「因為變壓器的效率只有 \(98\%\)，所以與理想變壓器相比，它必然也會令線路發熱增加 \(2\%\)。」解釋這個說法是否正確。
解答 3
變壓器向線路輸送 \(1.96\ \text{MW}\)，輸電電流為 \(9.80\ \text{A}\)，而線路損失約 \(4.80\ \text{kW}\) 的功率。該學生的說法不正確：效率較低的變壓器會令到達線路的功率略為減少，因此線路電流也會略為減少，儘管整個系統的總損耗會增加。
對變壓器而言，
\[ \eta=\frac{P_{\text{輸出}}}{P_{\text{輸入}}} \]
其中，\(\eta\) 是效率。
因此，
\[ \begin{aligned} P_{\text{輸出}} &=\eta P_{\text{輸入}}\\ &=(0.980)(2.00\times10^6)\\ &=1.96\times10^6\ \text{W} \end{aligned} \]
所以，變壓器向輸電線路提供
\[ P_{\text{輸出}}=1.96\ \text{MW} \]
線路電流為
\[ \begin{aligned} I&=\frac{P}{V}\\ &=\frac{1.96\times10^6}{200\times10^3}\\ &=9.80\ \text{A} \end{aligned} \]
因此，線路損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗}} &=I^2R\\ &=(9.80)^2(50.0)\\ &=4.802\times10^3\ \text{W} \end{aligned} \]
即約為
\[ P_{\text{損耗}}=4.80\ \text{kW} \]
作為比較，理想變壓器會以 \(200\ \text{kV}\) 輸出完整的 \(2.00\ \text{MW}\) 功率，因此
\[ \begin{aligned} I_{\text{理想}} &=\frac{2.00\times10^6}{200\times10^3}\\ &=10.0\ \text{A} \end{aligned} \]
而且
\[ \begin{aligned} P_{\text{理想損耗}} &=(10.0)^2(50.0)\\ &=5.00\ \text{kW} \end{aligned} \]
因此，真實變壓器實際上會令線路發熱略少，因為到達線路的功率較低。
但這並不代表效率低是好事。變壓器本身已損失
\[ \begin{aligned} 2.00\ \text{MW}-1.96\ \text{MW} &=40.0\ \text{kW} \end{aligned} \]
而這些損耗在電力到達輸電線路前便已發生。
這道題的陷阱，是將「損耗」視為全部發生在同一個地方。變壓器損耗與輸電線路損耗是不同的能量轉移過程，必須分開計算。
題目 4
一個簡化系統需要傳輸 \(1.00\ \text{MW}\) 的功率。
設計 A 直接以 \(10.0\ \text{kV}\) 傳輸功率。
設計 B 使用變壓器，以 \(100\ \text{kV}\) 傳輸功率。在此運作條件下，兩個變壓器合共耗散 \(10.0\ \text{kW}\) 的功率。將此變壓器損耗視為已知。兩種設計使用的輸電線路總電阻均為 \(R\)。
計算電流時，忽略線路損耗引起的傳輸功率微小變化。
a. 求出兩種設計的總功率損耗相等時，\(R\) 的數值。
b. 當 \(R=0.50\ \Omega\) 時，哪一種設計的總損耗較小？
c. 解釋為甚麼這並不違反高電壓能減少輸電線路損耗的規律。
解答 4
當 \(R\approx1.01\ \Omega\) 時，兩種設計的總損耗相等。當 \(R=0.50\ \Omega\) 時，直接以 \(10.0\ \text{kV}\) 輸電的設計總損耗較小。這並不矛盾，因為在這些條件下，高電壓始終能減少線路的電阻性損耗，但設計 B 還包含額外的變壓器損耗。
對設計 A 而言，
\[ \begin{aligned} I_A&=\frac{1.00\times10^6}{10.0\times10^3}\\ &=100\ \text{A} \end{aligned} \]
其總損耗就是線路損耗：
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗,A}} &=I_A^2R\\ &=(100)^2R\\ &=10000R \end{aligned} \]
對設計 B 而言，
\[ \begin{aligned} I_B&=\frac{1.00\times10^6}{100\times10^3}\\ &=10.0\ \text{A} \end{aligned} \]
其線路損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{線路,B}} &=(10.0)^2R\\ &=100R \end{aligned} \]
但設計 B 還有 \(10.0\ \text{kW}=10000\ \text{W}\) 的變壓器損耗，因此
\[ P_{\text{損耗,B}}=100R+10000 \]
當總損耗相等時，
\[ 10000R=100R+10000 \]
所以，
\[ 9900R=10000 \]
因此，
\[ \begin{aligned} R&=\frac{10000}{9900}\\ &\approx1.01\ \Omega \end{aligned} \]
現在考慮 \(R=0.50\ \Omega\)。
對設計 A 而言，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗,A}} &=10000(0.50)\\ &=5000\ \text{W}\\ &=5.00\ \text{kW} \end{aligned} \]
對設計 B 而言，
\[ \begin{aligned} P_{\text{損耗,B}} &=100(0.50)+10000\\ &=10050\ \text{W}\\ &=10.05\ \text{kW} \end{aligned} \]
因此，在這個特定情況下，設計 A 損失的功率較少。
一個容易令人誤入的思路是：「\(100\ \text{kV}\) 是 \(10\ \text{kV}\) 的十倍，所以設計 B 一定比較好。」設計 B 的線路損耗確實只有設計 A 的百分之一：
\[ 100R \quad\text{而不是}\quad 10000R \]
但題目問的是總損耗。當線路電阻足夠小時，\(10.0\ \text{kW}\) 的變壓器損耗便會大於在線路中節省的能量。
這是一個值得記住的邊界情況。高輸電電壓能減少線路中的 \(I^2R\) 損耗，但當考慮其他組件後，這並不能證明所有可能的高壓系統都具有較低的總損耗。
題目 5
一個輸電網絡將電力從一座發電站輸送至 A 鎮和 B 鎮。
一條共用輸電線路由發電站延伸至一個分岔點，電阻為 \(6.0\ \Omega\)。從分岔點開始，兩條獨立支線分別通往 A 鎮和 B 鎮。每條支線的電阻均為 \(4.0\ \Omega\)。
每條支線傳輸 \(3.30\ \text{MW}\) 的功率。最初，共用線路及兩條支線均以 \(132\ \text{kV}\) 運作。
假設所有變壓器均為理想變壓器，並在計算傳輸電流時忽略線路損耗造成的微小影響。
a. 計算原有網絡中的總電阻性線路損耗。
之後，一名工程師在分岔點安裝一個理想升壓變壓器，使只有從分岔點通往 B 鎮的線路以 \(264\ \text{kV}\) 運作。B 鎮的理想降壓變壓器則將電壓恢復至所需水平。
b. 計算新的總線路損耗。
一名學生認為，由於通往 B 鎮的支線電流減半，因此 B 鎮對共用線路電流的貢獻也必然減半。
c. 解釋這個推論的錯誤。
最後，假設不是只升級通往 B 鎮的支線，而是讓整個輸電網絡–包括共用線路和兩條支線–均以 \(264\ \text{kV}\) 運作。
d. 計算此情況下的總線路損耗，並解釋為甚麼結果與只升級 B 鎮支線時有如此大的差別。
解答 5
原有網絡損失 \(20.0\ \text{kW}\)。只將 B 鎮支線的電壓提高至 \(264\ \text{kV}\)，總損耗僅降至 \(18.125\ \text{kW}\)，因為共用線路仍以 \(132\ \text{kV}\) 運作，而且仍須傳輸供應兩個城鎮的功率。若將整個網絡的電壓提高至 \(264\ \text{kV}\)，總線路損耗便會降至 \(5.00\ \text{kW}\)，剛好是原來的四分之一。
先考慮其中一條支線。
在 \(132\ \text{kV}\) 時，
\[ \begin{aligned} I_{\text{支線}} &=\frac{P}{V}\\ &=\frac{3.30\times10^6}{132\times10^3}\\ &=25.0\ \text{A} \end{aligned} \]
兩條支線各自承載 \(25.0\ \text{A}\) 的電流。
在電流到達分岔點之前，共用線路必須傳輸供應兩個城鎮的功率。因此，其電流為
\[ \begin{aligned} I_{\text{共用}} &=25.0+25.0\\ &=50.0\ \text{A} \end{aligned} \]
共用線路的損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{共用}} &=(50.0)^2(6.0)\\ &=15000\ \text{W}\\ &=15.0\ \text{kW} \end{aligned} \]
每條支線的損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{支線}} &=(25.0)^2(4.0)\\ &=2500\ \text{W}\\ &=2.50\ \text{kW} \end{aligned} \]
由於有兩條支線，原有網絡的總損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{總計}} &=15.0+2.50+2.50\\ &=20.0\ \text{kW} \end{aligned} \]
現在只將 B 鎮支線的電壓提高至 \(264\ \text{kV}\)。
其電流變成
\[ \begin{aligned} I_B &=\frac{3.30\times10^6}{264\times10^3}\\ &=12.5\ \text{A} \end{aligned} \]
因此，B 鎮支線的損耗變成
\[ \begin{aligned} P_B &=(12.5)^2(4.0)\\ &=625\ \text{W}\\ &=0.625\ \text{kW} \end{aligned} \]
A 鎮的支線沒有改變，因此其損耗仍為 \(2.50\ \text{kW}\)。
關鍵在於共用線路。
供應 B 鎮的升壓變壓器位於分岔點。在該變壓器的上游，共用線路仍然以 \(132\ \text{kV}\) 運作。理想變壓器會改變其兩側的電壓和電流，但不會消除必須輸送至 B 鎮的功率。
B 鎮仍然需要 \(3.30\ \text{MW}\)。在 \(132\ \text{kV}\) 下，向變壓器輸入端提供這個功率所需的電流為
\[ \begin{aligned} I&=\frac{3.30\times10^6}{132\times10^3}\\ &=25.0\ \text{A} \end{aligned} \]
因此，在電流到達變壓器之前，B 鎮對共用線路電流的貢獻仍然是 \(25.0\ \text{A}\)。
所以，共用線路的電流仍為
\[ I_{\text{共用}}=25.0+25.0=50.0\ \text{A} \]
而共用線路的損耗仍為 \(15.0\ \text{kW}\)。
新的總損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{總計}} &=15.0+2.50+0.625\\ &=18.125\ \text{kW} \end{aligned} \]
這名學生的錯誤比較隱蔽。他們把變壓器高壓側的 \(12.5\ \text{A}\) 電流，當成低壓側也必然具有相同數值的電流。
事實並非如此。
變壓器會在分岔點改變電流。變壓器的位置十分重要。變壓器下游的電流減少，並不代表電路上游的電流也會變成相同的數值。
現在考慮將整個網絡的電壓提高至 \(264\ \text{kV}\)。
每條支線的電流現在是
\[ I_{\text{支線}}=12.5\ \text{A} \]
因此，共用線路承載的電流為
\[ \begin{aligned} I_{\text{共用}} &=12.5+12.5\\ &=25.0\ \text{A} \end{aligned} \]
其損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{共用}} &=(25.0)^2(6.0)\\ &=3750\ \text{W}\\ &=3.75\ \text{kW} \end{aligned} \]
每條支線的損耗為
\[ \begin{aligned} P_{\text{支線}} &=(12.5)^2(4.0)\\ &=625\ \text{W}\\ &=0.625\ \text{kW} \end{aligned} \]
因此，
\[ \begin{aligned} P_{\text{總計}} &=3.75+0.625+0.625\\ &=5.00\ \text{kW} \end{aligned} \]
整個網絡的電壓增加了一倍，而傳輸功率和電阻保持不變。因此，每一個相關電流都減半，使每一項 \(I^2R\) 損耗都降至原來的四分之一：
\[ \frac{20.0\ \text{kW}}{4}=5.00\ \text{kW} \]
這就是本題最重要的轉折點：單單說「電壓越高，電流越小」並不足夠。你必須問：較高電壓究竟存在於網絡的哪個部分？
變壓器只會降低網絡中位於其高壓側部分的電流。要判斷哪些電阻性損耗會減少，必須先追蹤實際電流路徑，確定變壓器的位置，再應用 \(I^2R\)。
09掌握這個概念後，可以進一步理解甚麼？
高壓輸電其實是兩個相互關聯原理的應用：功率可以透過不同的電壓與電流組合來傳輸，而電阻性發熱則取決於電流的平方。
在交流電網中，變壓器令這種電壓與電流之間的調整成為可能。它們在電力進入長距離、高電阻的傳輸路徑前提高電壓，使所需功率能以低電流傳輸，然後在需要較低電壓的地方再次降低電壓。
當你充分理解這個原理後，下一個值得探討的問題便不再只是「為甚麼要使用高電壓？」而是：真實變壓器能在多大程度上接近這些計算所假設的理想表現？損失的能量又去了哪裡？這將直接引導我們進一步研究變壓器效率、線圈發熱、渦電流、磁通鏈結不完全，以及其他令理想模型與真實電網有所差異的限制因素。