Tầm xa theo phương ngang của vật phóng: Hướng dẫn Vật lý HSC

Hai vật được phóng từ cùng một điểm với cùng tốc độ. Một vật được phóng ở góc \(30^\circ\), vật còn lại ở góc \(60^\circ\). Vật nào đi xa hơn theo phương ngang trước khi trở lại độ cao lúc phóng?

Bạn có thể lập luận rằng đó là góc \(30^\circ\): vật có vận tốc ngang lớn hơn. Bạn cũng có thể lập luận rằng đó là góc \(60^\circ\): vật ở trên không lâu hơn. Theo mô hình chuyển động ném thường dùng trong HSC, hai hiệu ứng này triệt tiêu nhau chính xác. Hai vật có cùng tầm xa theo phương ngang.

Sự triệt tiêu đó là chìa khóa để hiểu tầm xa. Một vật phóng đi xa hơn khi nó chuyển động ngang nhanh, ở trên không lâu, hoặc có cả hai đặc điểm này.

01Tầm xa bằng vận tốc ngang nhân với thời gian

Hãy hình dung chuyển động của vật phóng được chia thành hai phần.

Phần chuyển động ngang đưa vật đi qua mặt đất. Phần chuyển động thẳng đứng quyết định vật ở trên không trong bao lâu. Theo các giả thiết chuẩn của chuyển động ném, trọng lực làm thay đổi vận tốc thẳng đứng nhưng không làm thay đổi vận tốc ngang.

Với một vật được phóng ở tốc độ \(u\) và góc \(\theta\) so với phương ngang,

\[ u_x=u\cos\theta \]

và

\[ u_y=u\sin\theta \]

trong đó \(u_x\) là vận tốc ngang ban đầu và \(u_y\) là vận tốc thẳng đứng ban đầu. Nếu bạn vẫn chưa quen với việc phân tích vectơ, trước tiên hãy xem lại các thành phần vận tốc ban đầu của vật phóng.

Nếu vật ở trên không trong thời gian \(T\), tầm xa theo phương ngang \(R\) là

\[ R=u_xT=u\cos\theta\,T \]

Đây là phương trình xuất phát hữu ích nhất khi tính tầm xa.

Nó cho thấy một điều quan trọng: thực ra không có một dạng “chuyển động tầm xa” bí ẩn riêng biệt. Tầm xa xuất hiện khi kết hợp chuyển động ngang với khoảng thời gian do chuyển động thẳng đứng quyết định.

Cũng cần chú ý tầm xa không phải là gì. Nó không phải quãng đường cong mà vật đi được dọc theo quỹ đạo. Nó là độ dời theo phương ngang giữa điểm phóng và điểm rơi.

02Vì sao độ cao của điểm rơi lại quan trọng

Giả sử vật rơi xuống đúng độ cao mà nó được phóng đi.

Chọn chiều lên là chiều dương. Khi đó, gia tốc theo phương thẳng đứng là \(a_y=-g\), trong đó \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) gần bề mặt Trái Đất.

Độ dời thẳng đứng sau thời gian \(T\) là

\[ \Delta y=u_yT-\frac12gT^2 \]

Nếu điểm rơi có cùng độ cao với điểm phóng, \(\Delta y=0\), do đó

\[ 0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2 \]

Đặt \(T\) làm nhân tử chung:

\[ T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0 \]

Có hai nghiệm. \(T=0\) mô tả thời điểm vật vừa được phóng. Lần vật chạm lại độ cao đó sau này xảy ra khi

\[ T=\frac{2u\sin\theta}{g} \]

Bây giờ thay thời gian bay này vào \(R=u\cos\theta\,T\):

\[ R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right) =\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g} \]

Sử dụng \(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\),

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

Đây là công thức tầm xa quen thuộc của chuyển động ném.

Nhưng đây là một công thức rút gọn có kèm điều kiện: vật phải rơi xuống cùng độ cao thẳng đứng với nơi nó được phóng.

Công thức tầm xa cho biết điều gì

Với điểm phóng và điểm rơi ở cùng độ cao và bỏ qua sức cản không khí:

Vì sao các góc phụ nhau lại cho cùng tầm xa?

Với \(\theta=30^\circ\),

\[ \sin(2\theta)=\sin 60^\circ \]

còn với \(\theta=60^\circ\),

\[ \sin(2\theta)=\sin 120^\circ \]

và \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\).

Xét về mặt vật lý, quỹ đạo thấp hơn có vận tốc ngang lớn hơn nhưng thời gian trên không ngắn hơn. Quỹ đạo cao hơn có vận tốc ngang nhỏ hơn nhưng thời gian trên không dài hơn. Với các góc phụ nhau, những thay đổi này cân bằng nhau chính xác.

03Quy tắc \(45^\circ\) có điều kiện áp dụng

Hãy thử đưa ra một dự đoán. Bây giờ một vật được phóng từ đỉnh vách đá và rơi xuống mặt đất bên dưới. Góc \(45^\circ\) có còn cho tầm xa lớn nhất có thể không?

Không.

Kết quả quen thuộc về \(45^\circ\) xuất phát từ

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

và phương trình đó được suy ra bằng cách đặt độ dời thẳng đứng cuối cùng bằng không. Khi phóng từ vách đá, vật còn có thêm một đoạn để rơi sau khi đi qua lại độ cao của điểm phóng.

Khoảng thời gian bổ sung này làm thay đổi sự đánh đổi. Một quỹ đạo hơi thoải hơn có thể duy trì vận tốc ngang lớn hơn mà vẫn có đủ thời gian để đi xa, vì vật còn phải rơi từ vách đá xuống. Do đó, nếu điểm rơi thấp hơn, góc lý tưởng để đạt tầm xa lớn nhất trong trường hợp không có lực cản sẽ nhỏ hơn \(45^\circ\).

Đây là một trong những quy tắc về chuyển động ném dễ bị ghi nhớ quá khái quát nhất. “Tầm xa lớn nhất xảy ra ở \(45^\circ\)” không phải là một định luật tự nhiên đúng trong mọi trường hợp.

04Tầm xa khi vật rơi ở độ cao khác

Nếu điểm rơi cao hơn hoặc thấp hơn điểm phóng, hãy quay lại phương pháp an toàn hơn:

1. phân tích vận tốc ban đầu;
2. dùng chuyển động thẳng đứng để tìm thời gian bay;
3. dùng \(R=u_xT\).

Giả sử điểm rơi nằm thấp hơn điểm phóng một khoảng thẳng đứng \(h\). Khi đó độ dời thẳng đứng là \(\Delta y=-h\), nên

\[ -h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2 \]

Giải phương trình này để tìm \(T\). Giữ nghiệm dương biểu diễn thời gian bay thực tế.

Sau đó tính

\[ R=u\cos\theta\,T \]

Chuyển động thẳng đứng quyết định vật có bao nhiêu thời gian để tận dụng vận tốc ngang của nó.

Để luyện tập thêm phần này của phương pháp, hãy xem thời gian bay của vật phóng với điểm rơi cùng độ cao và khác độ cao.

05Một trường hợp đặc biệt hữu ích: phóng ngang

Một vật được phóng theo phương ngang có \(\theta=0^\circ\), nên

\[ u_y=0 \]

Ban đầu điều này có thể gây cảm giác lạ. Nếu không có vận tốc thẳng đứng ban đầu, làm sao vật có thể chạm đất?

Trọng lực ngay lập tức tạo ra vận tốc hướng xuống theo phương thẳng đứng. Với vật được phóng từ độ cao \(h\),

\[ -h=-\frac12gT^2 \]

nên

\[ T=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Nếu tốc độ phóng ngang là \(u\),

\[ R=u\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Một lần nữa, hãy chú ý cấu trúc: vận tốc ngang nhân với thời gian trên không.

06Những lỗi thường gặp khi tính tầm xa

Dùng công thức mặt đất bằng phẳng bất cứ khi nào thấy từ “tầm xa”

Công thức

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

đòi hỏi điểm phóng và điểm rơi có cùng độ cao.

Nếu hai độ cao khác nhau, hãy tìm \(T\) từ chuyển động thẳng đứng rồi dùng \(R=u_xT\).

Dùng \(u\) làm vận tốc ngang

Trừ khi vật được phóng hoàn toàn theo phương ngang,

\[ u_x\ne u \]

Thành phần ngang đúng là

\[ u_x=u\cos\theta \]

Một vật được phóng ở góc dốc có thể có tốc độ tổng lớn nhưng vận tốc ngang nhỏ hơn nhiều.

Nghĩ rằng thời gian bay dài hơn nhất thiết có nghĩa là tầm xa lớn hơn

Không phải nếu chỉ xét riêng yếu tố đó.

Một vật được phóng rất dốc có thể ở trên không lâu nhưng di chuyển ngang chậm. Tầm xa phụ thuộc vào tích \(u_xT\), chứ không phụ thuộc riêng vào một trong hai đại lượng.

Ở trường hợp giới hạn \(\theta=90^\circ\), vật có thời gian bay đáng kể nhưng

\[ u_x=u\cos90^\circ=0 \]

nên tầm xa theo phương ngang bằng không.

Giả sử \(45^\circ\) luôn cho tầm xa lớn nhất

Góc này cho tầm xa lý tưởng lớn nhất với tốc độ phóng cố định khi điểm phóng và điểm rơi có cùng độ cao.

Nếu điểm rơi thấp hơn, góc tối ưu sẽ thay đổi. Sức cản không khí cũng làm thay đổi kết quả vì vận tốc ngang khi đó không còn không đổi.

Xem hai nghiệm của phương trình bậc hai là hai thời điểm rơi khả dĩ

Phương trình chuyển động thẳng đứng có thể cho một nghiệm thời gian dương và một nghiệm âm. Nghiệm âm thường thuộc về phần parabol toán học trước thời điểm được chọn làm \(t=0\).

Hãy kiểm tra ý nghĩa vật lý của từng nghiệm trước khi sử dụng.

07Phương pháp tính tầm xa đáng tin cậy cho HSC

Khi một bài toán tầm xa có vẻ phức tạp, đừng cố tìm một công thức đặc biệt. Hãy dùng cùng một trình tự.

Trước tiên, phác họa điểm phóng và điểm rơi, rồi ghi lại độ chênh lệch độ cao giữa chúng.

Sau đó phân tích vận tốc phóng:

\[ u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta \]

Dùng chuyển động thẳng đứng để tìm thời gian bay phù hợp \(T\):

\[ \Delta y=u_yT-\frac12gT^2 \]

Cuối cùng, dùng chuyển động ngang:

\[ R=u_xT \]

Chỉ thay toàn bộ quá trình đó bằng

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

khi bạn đã xác nhận rằng độ cao lúc phóng và lúc rơi bằng nhau.

08Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một vật được phóng từ mặt đất bằng phẳng với tốc độ \(24.0\text{ m s}^{-1}\) ở góc \(35.0^\circ\) so với phương ngang. Vật rơi xuống ở cùng độ cao. Bỏ qua sức cản không khí.

Hãy tính tầm xa theo phương ngang.

Lời giải 1

Tầm xa theo phương ngang xấp xỉ \(55.2\text{ m}\).

Vì vật rơi xuống ở độ cao bằng độ cao lúc phóng, công thức tầm xa trên mặt đất bằng phẳng được áp dụng:

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

Thay \(u=24.0\text{ m s}^{-1}\), \(\theta=35.0^\circ\), và \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\):

\[ R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8} =\frac{576(0.940)}{9.8} =55.2\text{ m} \]

Vậy vật rơi cách điểm phóng khoảng \(55.2\text{ m}\).

Một lỗi dễ mắc là dùng \(\sin35^\circ\) trong công thức tầm xa. Góc bên trong hàm sin là \(2\theta\), vì công thức này được tạo ra từ tích giữa hệ số ngang \(\cos\theta\) và hệ số thời gian bay \(\sin\theta\).

Câu hỏi 2

Một vật được phóng từ bục cao \(1.80\text{ m}\) so với mặt đất bằng phẳng với tốc độ \(16.0\text{ m s}^{-1}\) ở góc \(30.0^\circ\) so với phương ngang. Một hàng rào cao \(3.80\text{ m}\) nằm cách điểm phóng \(18.0\text{ m}\) theo phương ngang.

Bỏ qua sức cản không khí.

Hãy xác định:

• vật có vượt qua hàng rào hay không, và khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa vật và đỉnh hàng rào;
• vật đang đi lên hay đi xuống khi đi qua hàng rào; và
• khoảng cách theo phương ngang tính từ điểm phóng đến nơi vật chạm đất.

Lời giải 2

Vật vượt qua hàng rào khoảng \(0.124\text{ m}\), đang đi xuống khi qua hàng rào, và rơi xuống cách điểm phóng khoảng \(25.4\text{ m}\) theo phương ngang.

Trước tiên, phân tích vận tốc phóng:

\[ u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1} \]

\[ u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1} \]

Tại hàng rào, độ dời theo phương ngang là \(18.0\text{ m}\). Vì vận tốc ngang không đổi,

\[ t=\frac{x}{u_x} =\frac{18.0}{13.9} =1.299\text{ s} \]

Chọn mặt đất là \(y=0\). Vật bắt đầu tại \(y_0=1.80\text{ m}\), nên độ cao của nó ở thời điểm này là

\[ y=y_0+u_yt-\frac12gt^2 \]

\[ y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2 =3.924\text{ m} \]

Hàng rào cao \(3.80\text{ m}\), nên khoảng vượt qua đỉnh hàng rào là

\[ 3.924-3.80=0.124\text{ m} \]

Bây giờ kiểm tra vận tốc thẳng đứng tại hàng rào:

\[ v_y=u_y-gt \]

\[ v_y=8.00-(9.8)(1.299) =-4.73\text{ m s}^{-1} \]

Dấu âm cho biết vật đang chuyển động xuống dưới. Nó vượt qua hàng rào trên phần đi xuống của quỹ đạo.

Để tìm thời điểm chạm đất, đặt \(y=0\):

\[ 0=1.80+8.00T-4.90T^2 \]

hay

\[ 4.90T^2-8.00T-1.80=0 \]

Nghiệm dương là

\[ T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80} =1.83\text{ s} \]

Do đó,

\[ R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m} \]

Một cách làm dễ bị hấp dẫn là dùng ngay công thức mặt đất bằng phẳng. Cách đó cho khoảng \(22.6\text{ m}\), nhưng nó trả lời sai câu hỏi: nó tìm nơi quỹ đạo lý tưởng trở lại độ cao phóng \(1.80\text{ m}\), chứ không phải nơi vật chạm mặt đất.

Câu hỏi 3

Một thiết bị phóng bắn vật với tốc độ \(25.0\text{ m s}^{-1}\) về phía mục tiêu cách \(40.0\text{ m}\), ở đúng cùng độ cao với thiết bị phóng.

Có một trần nằm ngang cao \(15.0\text{ m}\) so với độ cao phóng và kéo dài trên toàn bộ vùng giữa thiết bị phóng và mục tiêu.

Bỏ qua sức cản không khí.

Hãy tìm tất cả các góc phóng từ \(0^\circ\) đến \(90^\circ\) có thể đưa vật tới mục tiêu nếu không có trần. Sau đó xác định góc nào, nếu có, thực sự khả thi khi có trần.

Lời giải 3

Nếu không có trần, hai góc phóng xấp xỉ \(19.4^\circ\) và \(70.6^\circ\). Khi có trần, chỉ quỹ đạo \(19.4^\circ\) là khả thi.

Vì điểm phóng và điểm rơi có cùng độ cao,

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

nên

\[ 40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8} \]

Do đó

\[ \sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272 \]

Một nghiệm là

\[ 2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ \]

suy ra

\[ \theta=19.42^\circ \]

Nhưng hàm sin còn có một nghiệm khác trong khoảng từ \(0^\circ\) đến \(180^\circ\):

\[ 2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ \]

nên

\[ \theta=70.58^\circ \]

Vì vậy, cả hai góc đều cho đúng tầm xa nếu không có vật cản.

Bây giờ trần tạo thêm một điều kiện ràng buộc. Độ cao cực đại so với điểm phóng là

\[ H=\frac{u_y^2}{2g} =\frac{u^2\sin^2\theta}{2g} \]

Với quỹ đạo \(19.42^\circ\),

\[ H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)} =3.53\text{ m} \]

Giá trị này thấp hơn nhiều so với trần \(15.0\text{ m}\).

Với quỹ đạo \(70.58^\circ\),

\[ H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)} =28.4\text{ m} \]

Quỹ đạo này cắt trần trước khi đạt độ cao cực đại tự nhiên, nên nó không khả thi về mặt vật lý.

Một câu trả lời dễ mắc phải là dừng lại sau khi tìm được hai góc vì các góc phóng phụ nhau có cùng tầm xa. Phát biểu đó đúng về mặt toán học đối với chuyển động ném trên mặt đất bằng phẳng không có vật cản. Trần tạo thêm một yêu cầu vật lý thứ hai mà chỉ quỹ đạo thấp hơn đáp ứng được.

Câu hỏi 4

Một vật được phóng từ mặt đất bằng phẳng và sau đó rơi xuống cùng độ cao, cách điểm phóng \(50.0\text{ m}\).

Trong quá trình bay, vật đi qua hai điểm đều cao \(8.00\text{ m}\) so với độ cao phóng. Hai điểm này cách nhau \(30.0\text{ m}\) theo phương ngang.

Bỏ qua sức cản không khí.

Hãy xác định:

• vị trí theo phương ngang của mỗi điểm cao \(8.00\text{ m}\), tính từ điểm phóng;
• góc phóng;
• tốc độ phóng ban đầu; và
• thời gian để đi từ điểm cao \(8.00\text{ m}\) thứ nhất đến điểm thứ hai.

Lời giải 4

Vật ở độ cao \(8.00\text{ m}\) khi \(x=10.0\text{ m}\) và \(x=40.0\text{ m}\), góc phóng là \(45.0^\circ\), tốc độ phóng xấp xỉ \(22.1\text{ m s}^{-1}\), và thời gian giữa hai điểm xấp xỉ \(1.92\text{ s}\).

Điều kiện ràng buộc đầu tiên là tính đối xứng.

Với điểm phóng và điểm rơi cùng độ cao và không có sức cản không khí, quỹ đạo là một parabol đối xứng qua điểm cao nhất. Vì tổng tầm xa là \(50.0\text{ m}\), đỉnh quỹ đạo nằm ở chính giữa:

\[ x_{\text{apex}}=25.0\text{ m} \]

Hai điểm có cùng độ cao và cách nhau \(30.0\text{ m}\), nên chúng phải nằm cách đều hai phía của đỉnh quỹ đạo.

Nếu vị trí của chúng là \(x_1\) và \(x_2\),

\[ x_2-x_1=30.0 \]

và

\[ \frac{x_1+x_2}{2}=25.0 \]

Do đó,

\[ x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m} \]

Bây giờ dùng phương trình quỹ đạo

\[ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta} \]

Với một vật có tầm xa cùng độ cao là \(R\),

\[ R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g} \]

nhờ đó phương trình quỹ đạo có thể được viết thành

\[ y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right) \]

Tại \(x=10.0\text{ m}\), \(y=8.00\text{ m}\), và \(R=50.0\text{ m}\):

\[ 8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right) \]

\[ 8.00=(10.0)\tan\theta(0.800) \]

\[ 8.00=8.00\tan\theta \]

nên

\[ \tan\theta=1 \]

và do đó

\[ \theta=45.0^\circ \]

Bây giờ dùng phương trình tầm xa:

\[ 50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8} \]

Vì \(\sin90^\circ=1\),

\[ u^2=(50.0)(9.8)=490 \]

\[ u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1} \]

Vận tốc ngang là

\[ u_x=u\cos45.0^\circ =(22.1)(0.707) =15.7\text{ m s}^{-1} \]

Khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm cùng độ cao là \(30.0\text{ m}\), nên

\[ \Delta t=\frac{\Delta x}{u_x} =\frac{30.0}{15.7} =1.92\text{ s} \]

Một cách làm dễ bị hấp dẫn là bắt đầu tìm \(u\) và \(\theta\) bằng nhiều phương trình chuyển động đồng thời. Cách đó cuối cùng vẫn có thể giải được, nhưng bỏ qua thông tin mạnh nhất trong câu hỏi: hai điểm có cùng độ cao trên một quỹ đạo ném có điểm đầu và điểm cuối cùng độ cao phải đối xứng qua đỉnh quỹ đạo. Sử dụng điều kiện này trước sẽ làm bài toán đơn giản đi rất nhiều.

Câu hỏi 5

Một thiết bị phóng đặt ở mép vách đá cao \(20.0\text{ m}\). Nó phóng vật với tốc độ cố định \(20.0\text{ m s}^{-1}\), nhưng có thể thay đổi góc phóng.

Vật rơi xuống mặt đất bằng phẳng thấp hơn thiết bị phóng \(20.0\text{ m}\). Bỏ qua sức cản không khí.

Hãy xác định góc phóng tạo ra tầm xa theo phương ngang lớn nhất có thể và tính tầm xa cực đại đó. Sau đó so sánh với trường hợp phóng ở \(45.0^\circ\).

Lời giải 5

Tầm xa lớn nhất xảy ra ở góc xấp xỉ \(35.4^\circ\), không phải \(45^\circ\), và tầm xa theo phương ngang cực đại xấp xỉ \(57.4\text{ m}\). Một lần phóng ở \(45.0^\circ\) đi được khoảng \(55.5\text{ m}\).

Điều kiện then chốt là vật rơi xuống thấp hơn điểm phóng, nên không thể dùng công thức mặt đất bằng phẳng để tối ưu góc.

Bắt đầu với phương trình quỹ đạo

\[ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta} \]

Tại điểm rơi,

\[ y=-h,\qquad x=R \]

trong đó \(h=20.0\text{ m}\). Đồng thời,

\[ \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta \]

Đặt

\[ q=\tan\theta \]

và định nghĩa

\[ A=\frac{g}{2u^2} \]

Khi đó điều kiện tại điểm rơi trở thành

\[ -h=Rq-AR^2(1+q^2) \]

Sắp xếp lại ta được một phương trình bậc hai theo \(q\):

\[ AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0 \]

Để một tầm xa cụ thể \(R\) có thể xảy ra về mặt vật lý, phương trình bậc hai này phải có ít nhất một giá trị thực của \(q\), và do đó ít nhất một góc phóng thực.

Giá trị \(R\) lớn nhất có thể xảy ra đúng tại ranh giới giữa những tầm xa khả thi và không khả thi. Tại ranh giới đó, phương trình bậc hai có một nghiệm kép, nên biệt thức của nó bằng không:

\[ R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0 \]

Chia cho \(R^2\) và rút gọn ta được

\[ R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh} \]

Thay \(u=20.0\text{ m s}^{-1}\), \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\), và \(h=20.0\text{ m}\):

\[ R_{\max} =\frac{20.0}{9.8} \sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)} \]

\[ R_{\max} =\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792} =57.4\text{ m} \]

Tại nghiệm kép,

\[ q=\frac{1}{2AR_{\max}} \]

biểu thức này rút gọn thành

\[ \tan\theta_{\text{opt}} =\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}} \]

Do đó,

\[ \tan\theta_{\text{opt}} =\frac{20.0}{\sqrt{792}} =0.7107 \]

nên

\[ \theta_{\text{opt}}=35.4^\circ \]

Bây giờ so sánh với trường hợp phóng ở \(45.0^\circ\).

Tại \(45.0^\circ\),

\[ u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1} \]

Điều kiện rơi theo phương thẳng đứng là

\[ -20.0=(14.1)T-4.90T^2 \]

Nghiệm dương là

\[ T=3.93\text{ s} \]

nên

\[ R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m} \]

Như vậy, lần phóng ở \(35.4^\circ\) đi xa hơn lần phóng ở \(45.0^\circ\) khoảng

\[ 57.4-55.5=1.9\text{ m} \]

Một lập luận dễ mắc phải là \(\sin(2\theta)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(45^\circ\), nên \(45^\circ\) phải luôn cho tầm xa lớn nhất. Sai sót nằm ẩn trong chính phương trình đang được sử dụng. \(R=u^2\sin(2\theta)/g\) đã giả sử rằng điểm rơi có cùng độ cao với điểm phóng. Ở đây, vật còn phải rơi thêm \(20.0\text{ m}\), nên thời gian bay phụ thuộc vào góc phóng theo một mối quan hệ khác.

Khoảng thời gian rơi bổ sung đó có nghĩa là vật có thể giảm bớt vận tốc hướng lên, giữ lại nhiều tốc độ hơn theo phương ngang, mà vẫn ở trên không đủ lâu để đi xa hơn.

09Từ tầm xa, bạn có thể tìm hiểu gì tiếp theo

Ý tưởng hữu ích cần ghi nhớ không chỉ là một công thức. Đó là cấu trúc

\[ \text{tầm xa theo phương ngang}=\text{vận tốc ngang}\times\text{thời gian bay} \]

Góc phóng làm thay đổi cả hai đại lượng cùng lúc: tăng góc thường làm giảm vận tốc ngang nhưng có thể làm tăng thời gian ở trên không. Độ cao của điểm rơi có thể tiếp tục làm thay đổi sự cân bằng này.

Đó là lý do tầm xa, độ cao cực đại và thời gian bay không nên được xem là những chủ đề chuyển động ném tách biệt. Chúng là những hệ quả khác nhau của cùng các thành phần chuyển động ngang và thẳng đứng. Bước hữu ích tiếp theo là so sánh trực tiếp các hiệu ứng cạnh tranh này khi góc phóng của vật thay đổi.