समतल और असमान अवतरण के लिए प्रक्षेप्य का उड़ान समय

एक ही बिंदु से दो प्रक्षेप्यों को समान प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग के साथ प्रक्षेपित कीजिए, लेकिन उनमें से एक को बहुत अधिक क्षैतिज वेग दीजिए। कौन-सा प्रक्षेप्य अधिक समय तक हवा में रहेगा?

समतल अवतरण के लिए उत्तर है-कोई भी नहीं। दोनों एक ही समय पर जमीन पर पहुँचेंगे। क्षैतिज चाल यह बदलती है कि प्रक्षेप्य कहाँ उतरेगा, लेकिन यह नहीं कि वह अपनी मूल ऊँचाई पर कब लौटेगा।

यह परिणाम उपयोगी है क्योंकि इससे द्वि-आयामी प्रक्षेप्य समस्या एक बहुत सरल प्रश्न में बदल जाती है: ऊर्ध्व दिशा में क्या हो रहा है? लेकिन यह शॉर्टकट केवल तब काम करता है जब प्रक्षेप्य उसी ऊँचाई पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था। यदि अवतरण बिंदु किसी चट्टान, घाटी या ऊँचे प्लेटफ़ॉर्म पर हो, तो हमें अधिक सावधानी बरतनी पड़ती है।

01उड़ान समय मुख्यतः ऊर्ध्व गति की समस्या है

किसी प्रक्षेप्य की क्षैतिज और ऊर्ध्व गति एक ही समय पर होती हैं।

इन दोनों गतियों को ऐसे दो लोगों की तरह सोचिए जो एक ही डेट पर गए हों, लेकिन आपस में मुश्किल से बात करते हों। दोनों एक ही घड़ी साझा करते हैं, लेकिन गुरुत्वाकर्षण केवल ऊर्ध्व गति को प्रभावित करता है। क्षैतिज गति यह निर्धारित करती है कि प्रक्षेप्य कहाँ है, जबकि ऊर्ध्व गति यह निर्धारित करती है कि वह कितनी ऊँचाई पर है।

यह चित्र उपयोगी है, लेकिन इसकी एक सीमा है। यदि अवतरण की ऊँचाई स्वयं क्षैतिज स्थिति पर निर्भर करती है, जैसे किसी ढलान पर, तो अवतरण की शर्त के कारण दोनों गतियाँ आपस में जुड़ जाती हैं। हम इस पर आगे लौटेंगे।

सामान्य HSC प्रक्षेप्य प्रश्नों में, जब तक प्रश्न में कुछ और न कहा गया हो, हम मानते हैं कि:

• वायु प्रतिरोध नगण्य है
• गुरुत्वीय त्वरण नियत है
• \(g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\), जिसकी दिशा नीचे की ओर है
• क्षैतिज त्वरण शून्य है।

यदि प्रक्षेप्य को \(u\) चाल और क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर प्रक्षेपित किया जाए, तो उसका प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग है

\[
u_y=u\sin\theta
\]

और उसका प्रारंभिक क्षैतिज वेग है

\[
u_x=u\cos\theta.
\]

यदि प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करना अभी भी कठिन लगता है, तो आगे बढ़ने से पहले HSC Physics के लिए प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के घटक दोहरा लें।

02वह समीकरण जो उड़ान समय को नियंत्रित करता है

ऊपर की दिशा को धनात्मक मानिए। मान लें कि

• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है
• \(t\) प्रक्षेपण के बाद का समय है, सेकंड में
• \(g\) गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-2}}\) है
• \(\Delta y=y_f-y_i\) अंतिम ऊँचाई में से प्रारंभिक ऊँचाई घटाने पर मिलने वाला ऊर्ध्व विस्थापन है, मीटर में।

ऊर्ध्व विस्थापन का समीकरण है

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

उड़ान समय ज्ञात करने के लिए यही मुख्य समीकरण है।

ध्यान दें कि इसमें क्या नहीं है: क्षैतिज वेग। किसी निश्चित ऊँचाई वाली अवतरण सतह के लिए उड़ान समय ऊर्ध्व गति से निर्धारित होता है।

03समान प्रक्षेपण और अवतरण ऊँचाई

मान लीजिए प्रक्षेप्य ठीक उसी ऊँचाई पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था।

तब

\[
\Delta y=0.
\]

इसे ऊर्ध्व विस्थापन के समीकरण में रखें:

\[
0=u_yt-\frac{1}{2}gt^2.
\]

\(t\) को सार्व गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:

\[
0=t\left(u_y-\frac{1}{2}gt\right).
\]

इसके दो हल हैं:

\[
t=0
\]

या

\[
t=\frac{2u_y}{g}.
\]

पहला हल कोई रहस्यमय अतिरिक्त उड़ान नहीं है। यह केवल प्रक्षेपण का क्षण है। दूसरा हल वह समय है जब प्रक्षेप्य अपनी मूल ऊँचाई पर लौटता है।

इसलिए, ऊपर की ओर प्रक्षेपित होकर उसी ऊँचाई पर उतरने वाले प्रक्षेप्य के लिए,

\[
\boxed{T=\frac{2u_y}{g}}
\]

जहाँ \(T\) कुल उड़ान समय है।

चूँकि \(u_y=u\sin\theta\),

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}.
\]

उड़ान समय अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के समय का दोगुना क्यों है?

अधिकतम ऊँचाई पर ऊर्ध्व वेग शून्य होता है।

इसका उपयोग करते हुए

\[
v_y=u_y-gt,
\]

हमें मिलता है

\[
0=u_y-gt_{\text{up}},
\]

इसलिए

\[
t_{\text{up}}=\frac{u_y}{g}.
\]

समान ऊँचाई पर अवतरण के लिए, नीचे आने वाला भाग ऊर्ध्व दिशा में ऊपर जाने वाले भाग का सममित होता है। इसलिए,

\[
T=2t_{\text{up}}=\frac{2u_y}{g}.
\]

यह सममिति नियत गुरुत्वीय त्वरण तथा समान प्रारंभिक और अंतिम ऊँचाइयों के कारण होती है। यह कोई ऐसा नियम नहीं है कि हर प्रक्षेप्य ऊपर जाने और नीचे आने में बराबर समय ही बिताएगा।

04जब अवतरण की ऊँचाई अलग हो तो क्या बदलता है?

अब उसी प्रक्षेप्य को किसी चट्टान से प्रक्षेपित कीजिए।

क्या तब भी आप

\[
T=\frac{2u_y}{g}?
\]

का उपयोग करेंगे?

नहीं। यह समीकरण उस समय को देता है जो प्रक्षेप्य को प्रक्षेपण की ऊँचाई पर वापस आने में लगता है। इसके बाद प्रक्षेप्य नीचे की जमीन की ओर गिरता रहता है।

यह प्रक्षेप्य गति में होने वाली सबसे सामान्य गलतियों में से एक है: यह देखकर कि वस्तु ऊपर जाती है और फिर नीचे आती है, अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने के समय को अपने-आप दोगुना कर देना।

सही तरीका वास्तविक ऊर्ध्व विस्थापन का उपयोग करना है।

उदाहरण के लिए:

• प्रक्षेपण बिंदु से \(12\ \mathrm{m}\) नीचे उतरने का अर्थ है \(\Delta y=-12\ \mathrm{m}\)
• प्रक्षेपण बिंदु से \(5\ \mathrm{m}\) ऊपर उतरने का अर्थ है \(\Delta y=+5\ \mathrm{m}\)।

चिह्न को बनाए रखें। हर विस्थापन को धनात्मक दूरी में न बदलें।

इससे शुरू करें

\[
\Delta y=u_yt-\frac{1}{2}gt^2,
\]

और पुनर्व्यवस्थित करें:

\[
\frac{1}{2}gt^2-u_yt+\Delta y=0.
\]

यह \(t\) में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र लगाने पर मिलता है

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g}.
\]

\(+\) चिह्न को “उड़ान-समय वाला चिह्न” समझकर याद न करें। मूलों की जाँच करें और वह समय चुनें जो वास्तविक भौतिक स्थिति से मेल खाता हो।

05प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर अवतरण अधिक सूक्ष्म स्थिति है

अब मान लीजिए आप पूछते हैं कि कोई प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु से \(8\ \mathrm{m}\) ऊपर कब होता है।

आपको दो धनात्मक समय मिल सकते हैं।

क्यों?

प्रक्षेप्य उसी ऊँचाई से एक बार ऊपर जाते समय और फिर दूसरी बार नीचे आते समय गुजर सकता है।

इस समीकरण में

\[
t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g},
\]

वर्गमूल के अंदर की राशि,

\[
u_y^2-2g\Delta y,
\]

हमें उपयोगी जानकारी देती है।

यदि यह:

• धनात्मक है, तो उस ऊँचाई को दो बार पार किया जा सकता है
• शून्य है, तो लक्ष्य ऊँचाई ठीक अधिकतम ऊँचाई है
• ऋणात्मक है, तो प्रक्षेप्य उस ऊँचाई तक कभी नहीं पहुँचता।

यही भौतिकी प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई की गणना करते समय उपयोग की जाती है।

यहाँ एक और सावधानी है। दो ऊर्ध्व पारगमन समय होने का अर्थ यह नहीं कि दो संभावित अवतरण समय भी अवश्य होंगे।

मान लीजिए कोई संकरा बालकनी प्लेटफ़ॉर्म केवल \(x=40\ \mathrm{m}\) से \(x=50\ \mathrm{m}\) के बीच मौजूद है। प्रक्षेप्य बालकनी की ऊँचाई से पहली बार \(x=5\ \mathrm{m}\) पर और दूसरी बार \(x=45\ \mathrm{m}\) पर गुजर सकता है। केवल दूसरा पारगमन ही उस बालकनी से टक्कर उत्पन्न कर सकता है।

इसलिए सीमित प्लेटफ़ॉर्म के लिए:

• ऊर्ध्व गति का उपयोग करके वे समय ज्ञात करें जब प्रक्षेप्य प्लेटफ़ॉर्म की ऊँचाई पर हो
• उन प्रत्येक समयों पर \(x=u_xt\) का उपयोग करके उसकी स्थिति ज्ञात करें
• प्लेटफ़ॉर्म के साथ वास्तविक पहला प्रतिच्छेदन पहचानें।

यह केवल बड़े द्विघात मूल को चुन लेने से अधिक सटीक है।

06एक संक्षिप्त निर्णय नियम

ऊँचाई \(h\) से क्षैतिज प्रक्षेपण के लिए ऊर्ध्व समीकरण बनता है

\[
-h=-\frac{1}{2}gt^2,
\]

इसलिए

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
\]

फिर से, किसी निश्चित ऊर्ध्व दूरी से गिरने में लगने वाले समय पर क्षैतिज चाल का कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

07वे आकर्षक शॉर्टकट जो असफल हो जाते हैं

कोई उपयोगी शॉर्टकट तभी उपयोगी है जब आपको पता हो कि वह किन परिस्थितियों में लागू होता है।

“नीचे आने का समय ऊपर जाने के समय के बराबर है” तब सही है जब प्रक्षेप्य अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर समाप्त होता है। यदि वह प्रक्षेपण बिंदु से नीचे उतरता है, तो नीचे की ओर यात्रा अधिक समय तक जारी रहती है।

“क्षैतिज वेग कभी भी उड़ान समय को प्रभावित नहीं करता” भी अधूरा कथन है। किसी निश्चित क्षैतिज अवतरण स्तर के लिए क्षैतिज वेग उड़ान समय को प्रभावित नहीं करता। लेकिन यदि अवतरण की ऊँचाई क्षैतिज स्थिति पर निर्भर करती है, जैसा ढलानदार जमीन पर होता है, तो क्षैतिज गति यह बदल सकती है कि प्रक्षेप्य सतह से कब मिलता है।

“द्विघात सूत्र में हमेशा धनात्मक चिह्न चुनो” भी विश्वसनीय नियम नहीं है। प्रक्षेपण बिंदु से नीचे उतरने पर सामान्यतः एक धनात्मक और एक ऋणात्मक मूल मिलता है, लेकिन ऊँचा लक्ष्य दो धनात्मक मूल दे सकता है। वास्तविक अवतरण सतह की ज्यामिति तय करती है कि कौन-सा पारगमन महत्त्वपूर्ण है।

अंत में, गणना के बीच में चिह्न सहित ऊर्ध्व वेग को केवल चाल में न बदलें। यदि कोई प्रक्षेप्य नीचे जा रहा है और ऊपर की दिशा धनात्मक है, तो उसका ऊर्ध्व वेग ऋणात्मक होगा। यही चिह्न समीकरण को बताता है कि प्रक्षेप्य किस दिशा में चल रहा है।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से, क्षैतिज से \(30.0^\circ\) ऊपर के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। वह उसी ऊँचाई पर उतरता है।

उसका उड़ान समय ज्ञात कीजिए। \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) लें।

समाधान 1

प्रक्षेप्य \(2.04\ \mathrm{s}\) तक उड़ान में रहता है।

पहले उसका प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग ज्ञात करें:

\[
u_y=u\sin\theta
=(20.0)\sin30.0^\circ
=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

चूँकि प्रक्षेप्य अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर उतरता है,

\[
T=\frac{2u_y}{g}.
\]

इसलिए,

\[
T=\frac{2(10.0)}{9.8}
=2.04\ \mathrm{s}.
\]

एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि उड़ान-समय के सूत्र में \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की पूरी प्रक्षेपण चाल का उपयोग कर लिया जाए। समान ऊँचाई पर वापस आने में लगने वाले समय को केवल ऊर्ध्व घटक नियंत्रित करता है।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से, क्षैतिज से \(55.0^\circ\) ऊपर के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है।

एक क्षैतिज प्लेटफ़ॉर्म प्रक्षेपण बिंदु से \(8.0\ \mathrm{m}\) ऊपर है और \(x=45.0\ \mathrm{m}\) से \(x=55.0\ \mathrm{m}\) तक फैला है।

वायु प्रतिरोध और प्लेटफ़ॉर्म की मोटाई को नगण्य मानें।

क्या प्रक्षेप्य प्लेटफ़ॉर्म से टकराता है? यदि हाँ, तो पहले संपर्क तक का उड़ान समय ज्ञात कीजिए। यदि नहीं, तो जमीन के स्तर पर वापस आने तक का समय ज्ञात कीजिए।

समाधान 2

प्रक्षेप्य नीचे आते समय प्लेटफ़ॉर्म से टकराता है, प्रक्षेपण के \(3.55\ \mathrm{s}\) बाद।

प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करें:

\[
u_x=(24.0)\cos55.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

\[
u_y=(24.0)\sin55.0^\circ
=19.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

प्लेटफ़ॉर्म की ऊँचाई पर,

\[
\Delta y=8.0\ \mathrm{m}.
\]

ऊर्ध्व समीकरण का उपयोग करें:

\[
8.0=(19.7)t-4.90t^2.
\]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[
4.90t^2-19.7t+8.0=0.
\]

दो मूल लगभग हैं

\[
t=0.460\ \mathrm{s}
\]

और

\[
t=3.55\ \mathrm{s}.
\]

दोनों भौतिक रूप से सार्थक ऊर्ध्व पारगमन हैं। पहला ऊपर जाते समय है और दूसरा नीचे आते समय।

लेकिन प्लेटफ़ॉर्म \(y=8.0\ \mathrm{m}\) पर हर जगह मौजूद नहीं है, इसलिए हमें क्षैतिज स्थितियाँ जाँचनी होंगी।

\(t=0.460\ \mathrm{s}\) पर,

\[
x=u_xt=(13.8)(0.460)=6.33\ \mathrm{m}.
\]

वहाँ कोई प्लेटफ़ॉर्म नहीं है।

\(t=3.55\ \mathrm{s}\) पर,

\[
x=(13.8)(3.55)=48.9\ \mathrm{m}.
\]

यह प्लेटफ़ॉर्म की \(45.0\ \mathrm{m}\) से \(55.0\ \mathrm{m}\) की सीमा के भीतर है। इसलिए प्रक्षेप्य प्लेटफ़ॉर्म से

\[
T=3.55\ \mathrm{s}.
\]

पर संपर्क करता है।

एक आकर्षक तरीका यह है कि बस बड़े धनात्मक द्विघात मूल को इसलिए चुन लिया जाए क्योंकि वह “अवतरण समय जैसा दिखता है”। यहाँ संयोग से इससे सही संपर्क समय मिलता है, लेकिन यह कोई वैध सामान्य विधि नहीं है। निर्णायक शर्त प्लेटफ़ॉर्म की क्षैतिज स्थिति है।

प्रश्न 3

एक प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से प्रक्षेपित किया जाता है।

वह ऊपर उठते समय \(15.0\ \mathrm{m}\) की ऊँचाई से गुजरता है, फिर ठीक \(1.00\ \mathrm{s}\) बाद नीचे आते समय उसी ऊँचाई से दोबारा गुजरता है।

प्रक्षेपण चाल या कोण नहीं दिया गया है।

ज्ञात कीजिए:

• प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई
• उसका प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग
• जमीन के स्तर पर वापस आने तक का कुल उड़ान समय
• यदि वास्तविक अवतरण सतह प्रक्षेपण बिंदु से \(5.0\ \mathrm{m}\) नीचे हो, तो कुल उड़ान समय।

\(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) लें।

समाधान 3

अधिकतम ऊँचाई \(16.2\ \mathrm{m}\), प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग \(17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), समान स्तर तक उड़ान समय \(3.64\ \mathrm{s}\), और प्रक्षेपण बिंदु से \(5.0\ \mathrm{m}\) नीचे की सतह तक समय \(3.90\ \mathrm{s}\) है।

मुख्य बात यह है कि प्रक्षेप्य एक ही ऊँचाई से दो बार गुजरता है, और समय की दृष्टि से अधिकतम बिंदु इन दोनों पारगमनों के ठीक बीच में होता है।

दोनों पारगमन \(1.00\ \mathrm{s}\) के अंतर पर हैं, इसलिए प्रत्येक पारगमन अधिकतम ऊँचाई के क्षण से

\[
0.500\ \mathrm{s}
\]

दूर होता है।

अधिकतम ऊँचाई पर \(v_y=0\) होता है। इसलिए \(15.0\ \mathrm{m}\) ऊँचाई वाले किसी भी पारगमन पर ऊर्ध्व वेग का परिमाण है

\[
|v_y|=g(0.500)
=(9.8)(0.500)
=4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

अब ऊपर की ओर वाले पारगमन पर विचार करें। \(15.0\ \mathrm{m}\) से अधिकतम ऊँचाई तक,

\[
v_y^2=u_y^2+2a\Delta y,
\]

का उपयोग करें, जहाँ इस छोटे खंड के लिए प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग \(4.90\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), अंतिम ऊर्ध्व वेग शून्य और \(a=-9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) है।

इसलिए,

\[
0=(4.90)^2+2(-9.8)\Delta y,
\]

अतः

\[
\Delta y=1.225\ \mathrm{m}.
\]

इसलिए अधिकतम ऊँचाई है

\[
H=15.0+1.225=16.225\ \mathrm{m}
\approx16.2\ \mathrm{m}.
\]

अब प्रक्षेपण स्तर से अधिकतम ऊँचाई तक पीछे की दिशा में गणना करें:

\[
0=u_y^2+2(-9.8)(16.225).
\]

इससे,

\[
u_y=\sqrt{2(9.8)(16.225)}
=17.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

प्रक्षेपण ऊँचाई पर वापस आने के लिए,

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(17.8)}{9.8}
=3.64\ \mathrm{s}.
\]

लेकिन यदि अवतरण सतह प्रक्षेपण बिंदु से \(5.0\ \mathrm{m}\) नीचे है,

\[
\Delta y=-5.0\ \mathrm{m}.
\]

इसलिए,

\[
-5.0=(17.8)t-4.90t^2,
\]

या

\[
4.90t^2-17.8t-5.0=0.
\]

हल करने पर धनात्मक मूल मिलता है

\[
t=3.90\ \mathrm{s}.
\]

एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि \(15.0\ \mathrm{m}\) वाले दोनों पारगमनों के बीच के \(1.00\ \mathrm{s}\) को या तो अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने का समय मान लिया जाए या पूरी उड़ान का आधा समय। यह दोनों में से कुछ भी नहीं है। महत्त्वपूर्ण बात अधिकतम बिंदु के बारे में सममिति है: समान ऊँचाई के दो पारगमनों के समयों के ठीक बीच में शीर्ष बिंदु आता है।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य चट्टान के किनारे से निकलता है। ठीक \(2.00\ \mathrm{s}\) बाद, वह नीचे की ओर चलते हुए फिर से प्रक्षेपण ऊँचाई से गुजरता है।

समुद्र प्रक्षेपण बिंदु से \(9.80\ \mathrm{m}\) नीचे है। प्रक्षेप्य का क्षैतिज वेग \(12.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) पर नियत है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है:

चट्टान की ऊँचाई पर वापस आने में \(2.00\ \mathrm{s}\) लगते हैं। इसके बाद यह बस \(9.80\ \mathrm{m}\) और गिरता है, इसलिए मैं विराम से मुक्त पतन का समय जोड़ सकता हूँ।

ज्ञात कीजिए:

• वास्तविक कुल उड़ान समय
• चट्टान से टकराव बिंदु तक की क्षैतिज दूरी
• टकराव से ठीक पहले ऊर्ध्व वेग
• विद्यार्थी की विधि वास्तव में क्यों असफल होती है।

समाधान 4

वास्तविक उड़ान समय \(2.73\ \mathrm{s}\) है, प्रक्षेप्य चट्टान से \(32.8\ \mathrm{m}\) क्षैतिज दूरी पर गिरता है, और उसका ऊर्ध्व टकराव वेग लगभग \(17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) नीचे की ओर है।

प्रक्षेपण ऊँचाई पर \(2.00\ \mathrm{s}\) में लौटना हमें प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग बताता है।

समान ऊँचाई पर वापसी के लिए,

\[
2.00=\frac{2u_y}{9.8}.
\]

इसलिए,

\[
u_y=9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

किसी भी बाद के समय पर,

\[
\Delta y=u_yt-\frac12gt^2.
\]

समुद्र की सतह पर,

\[
\Delta y=-9.80\ \mathrm{m},
\]

इसलिए

\[
-9.80=(9.80)t-4.90t^2.
\]

\(4.90\) से भाग दें:

\[
-2=2t-t^2.
\]

इसलिए,

\[
t^2-2t-2=0.
\]

धनात्मक मूल है

\[
t=1+\sqrt3
=2.73\ \mathrm{s}.
\]

क्षैतिज दूरी है

\[
x=u_xt
=(12.0)(2.73)
=32.8\ \mathrm{m}.
\]

टकराव के समय ऊर्ध्व वेग है

\[
v_y=u_y-gt.
\]

इसलिए,

\[
v_y
=9.80-(9.8)(2.73)
=-17.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

ऋणात्मक चिह्न नीचे की दिशा दर्शाता है।

विद्यार्थी का गति को चरणों में बाँटने का विचार अपने-आप में गलत नहीं है। समस्या दूसरे चरण के लिए चुनी गई प्रारंभिक स्थिति में है।

जब प्रक्षेप्य \(2.00\ \mathrm{s}\) बाद चट्टान की ऊँचाई पर लौटता है, तब वह क्षणभर के लिए विराम में नहीं होता। उसका ऊर्ध्व वेग है

\[
v_y=9.80-(9.8)(2.00)
=-9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

वह पहले से ही \(9.80\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से नीचे की ओर चल रहा है। अंतिम \(9.80\ \mathrm{m}\) को विराम से मुक्त पतन मानने पर यह वेग अनदेखा हो जाता है, इसलिए उस विधि से अतिरिक्त समय अधिक निकलता है।

यह गति को चरणों में बाँटने के बारे में उपयोगी चेतावनी है: जब एक चरण समाप्त होता है, तो उसका अंतिम वेग अगले चरण का प्रारंभिक वेग बन जाता है।

प्रश्न 5

दो प्रक्षेप्यों को एक सीधी पहाड़ी ढलान पर एक ही बिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है, जो क्षैतिज से \(20.0^\circ\) ऊपर उठती है।

दोनों प्रक्षेप्यों का प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग समान है:

\[
u_y=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

प्रक्षेप्य A के लिए

\[
u_{x,A}=5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}},
\]

जबकि प्रक्षेप्य B के लिए

\[
u_{x,B}=10.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}.
\]

पहाड़ी ढलान अनंत दूरी तक फैली हुई है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है कि दोनों प्रक्षेप्यों का उड़ान समय समान होना चाहिए क्योंकि उनके प्रारंभिक ऊर्ध्व वेग समान हैं।

प्रत्येक प्रक्षेप्य के लिए वह उड़ान समय ज्ञात कीजिए जब तक वह अगली बार पहाड़ी ढलान से मिलता है।

फिर मान लीजिए कि पहाड़ी ढलान इसके बजाय \(20.0^\circ\) नीचे की ओर जाती है। नए उड़ान समय ज्ञात कीजिए और समझाइए कि उनका क्रम क्यों उलट जाता है।

अंत में, दिखाइए कि समतल जमीन की सीमा में क्या होता है।

समाधान 5

ऊपर उठती पहाड़ी ढलान पर प्रक्षेप्य A \(2.69\ \mathrm{s}\) और प्रक्षेप्य B \(2.32\ \mathrm{s}\) तक हवा में रहता है; नीचे जाती ढलान पर A \(3.43\ \mathrm{s}\) और B \(3.80\ \mathrm{s}\) तक हवा में रहता है। विद्यार्थी का समान-\(u_y\) वाला तर्क इसलिए विफल होता है क्योंकि अवतरण की ऊँचाई अब निश्चित नहीं है।

प्रक्षेपण बिंदु को मूल बिंदु मानें।

\(20.0^\circ\) के कोण पर ऊपर उठती पहाड़ी ढलान के लिए,

\[
y=x\tan20.0^\circ.
\]

किसी भी प्रक्षेप्य की ऊर्ध्व स्थिति है

\[
y=15.0t-4.90t^2.
\]

उसकी क्षैतिज स्थिति है

\[
x=u_xt.
\]

टकराव के समय प्रक्षेप्य और पहाड़ी ढलान के \(x\) और \(y\) निर्देशांक समान होने चाहिए, इसलिए

\[
15.0t-4.90t^2=u_xt\tan20.0^\circ.
\]

\(t\) को सार्व गुणनखंड के रूप में बाहर निकालें:

\[
t\left(15.0-u_x\tan20.0^\circ-4.90t\right)=0.
\]

मूल \(t=0\) प्रक्षेपण का क्षण है। अगला प्रतिच्छेदन इस समय होता है

\[
t=\frac{15.0-u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

प्रक्षेप्य A के लिए,

\[
t_A
=\frac{15.0-(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.69\ \mathrm{s}.
\]

प्रक्षेप्य B के लिए,

\[
t_B
=\frac{15.0-(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=2.32\ \mathrm{s}.
\]

इसलिए अधिक क्षैतिज वेग वाला प्रक्षेप्य जल्दी उतरता है।

क्यों? क्योंकि B अधिक तेजी से क्षैतिज दिशा में आगे बढ़ता है, उसके नीचे ऊपर उठती पहाड़ी ढलान भी अधिक तेजी से अधिक ऊँचाई तक पहुँचती है। जमीन से मिलने से पहले B को ऊर्ध्व दिशा में उतना नीचे नहीं गिरना पड़ता।

अब ढलान की दिशा उलट दें। \(20.0^\circ\) नीचे जाती पहाड़ी ढलान के लिए,

\[
y=-x\tan20.0^\circ.
\]

टकराव की शर्त बनती है

\[
15.0t-4.90t^2=-u_xt\tan20.0^\circ.
\]

शून्येतर मूल के लिए,

\[
t=\frac{15.0+u_x\tan20.0^\circ}{4.90}.
\]

इसलिए प्रक्षेप्य A के लिए

\[
t_A
=\frac{15.0+(5.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.43\ \mathrm{s},
\]

जबकि प्रक्षेप्य B के लिए

\[
t_B
=\frac{15.0+(10.0)\tan20.0^\circ}{4.90}
=3.80\ \mathrm{s}.
\]

अब अधिक क्षैतिज वेग वाला प्रक्षेप्य अधिक समय तक हवा में रहता है। क्षैतिज दिशा में अधिक दूर जाने के कारण वह नीचे जाती सतह के ऐसे भाग तक पहुँचता है जो और नीचे है, इसलिए टकराव से पहले उसे अधिक दूरी तक गिरना पड़ता है।

समतल जमीन की सीमा छिपी हुई धारणा को स्पष्ट करती है। ढलान का कोण \(0^\circ\) रखें:

\[
\tan0^\circ=0.
\]

दोनों व्यंजक घटकर बन जाते हैं

\[
t=\frac{15.0}{4.90}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

यह ठीक वही है जो

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(15.0)}{9.8}
=3.06\ \mathrm{s}.
\]

से मिलता है।

इसलिए यह कथन कि “समान ऊर्ध्व वेग का अर्थ समान उड़ान समय है” मूल रूप से केवल प्रक्षेप्यों के बारे में नहीं है। यह उन प्रक्षेप्यों के बारे में है जिनकी ऊर्ध्व गति समान है और जिनकी निश्चित अवतरण ऊँचाई भी समान है।

जैसे ही सतह ढलानदार होती है, क्षैतिज स्थिति जमीन की ऊँचाई निर्धारित करने लगती है, इसलिए टकराव का समय तय करते समय क्षैतिज और ऊर्ध्व गति को अब अलग-अलग नहीं माना जा सकता।

09उड़ान समय से आगे क्या गणना की जा सकती है

सही उड़ान समय ज्ञात हो जाने के बाद प्रक्षेप्य से संबंधित कई अन्य राशियाँ आसानी से ज्ञात की जा सकती हैं।

नियत क्षैतिज वेग के लिए,

\[
x=u_xt,
\]

इसलिए उड़ान समय से अवतरण के समय प्रक्षेप्य की क्षैतिज स्थिति मिल जाती है। उसका ऊर्ध्व टकराव वेग इस समीकरण से मिलता है

\[
v_y=u_y-gt.
\]

फिर इन दोनों वेग घटकों को मिलाकर टकराव की चाल और दिशा ज्ञात की जा सकती है।

अगला महत्त्वपूर्ण कदम यह समझना है कि प्रक्षेपण कोण बदलने पर क्या होता है। कोण बढ़ाने से सामान्यतः \(u_y\) बढ़ता है, जिससे उड़ान समय बढ़ने की प्रवृत्ति होती है, लेकिन साथ ही \(u_x\) घटता है। इन्हीं प्रतिस्पर्धी प्रभावों से प्रक्षेप्य प्रक्षेपण कोण, ऊँचाई, उड़ान समय और परास के बीच परिचित संबंध उत्पन्न होता है।