प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई: HSC भौतिकी में व्याख्या

कोण पर छोड़ी गई एक गेंद ऊपर चढ़ती है, ऊर्ध्वाधर दिशा में धीमी होती जाती है, अपने पथ के सबसे ऊँचे बिंदु पर पहुँचती है और फिर नीचे गिरती है। उस सबसे ऊँचे बिंदु पर क्या प्रक्षेप्य रुक गया होता है?

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाएँ: क्या उसकी चाल शून्य है, क्या उसका त्वरण शून्य है, या केवल उसका ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है?

केवल ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। जब तक प्रक्षेप्य को सीधे ऊपर न छोड़ा गया हो, वह क्षैतिज दिशा में अब भी गतिमान रहता है। गुरुत्वाकर्षण भी उसे नीचे की ओर त्वरित करता रहता है। अधिकतम ऊँचाई की सही गणना करने की कुंजी यही एक अंतर है।

01अधिकतम ऊँचाई एक ऊर्ध्वाधर-गति की समस्या है

कल्पना करें कि किसी गेंद को प्रारंभिक चाल \(u\) से क्षैतिज के ऊपर \(\theta\) कोण पर छोड़ा जाता है। उसके प्रारंभिक वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:

\[
u_x = u\cos\theta
\]

\[
u_y = u\sin\theta
\]

यहाँ:

• \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है,
• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है,
• \(u\) प्रारंभिक वेग का परिमाण है, जिसकी इकाई \(\mathrm{m\,s^{-1}}\) है, और
• \(\theta\) क्षैतिज के ऊपर प्रक्षेपण कोण है।

यदि किसी वेग सदिश को घटकों में विभाजित करना अभी भी स्पष्ट नहीं है, तो पहले प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के घटकों को दोहराएँ।

अधिकतम ऊँचाई के लिए क्षैतिज घटक सीधे तौर पर महत्वपूर्ण नहीं होता। गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है, इसलिए \(u_y\) ही यह निर्धारित करता है कि प्रक्षेप्य कितनी ऊँचाई तक ऊपर जा सकता है।

आप दोनों वेग घटकों की कल्पना ऐसे लोगों के रूप में कर सकते हैं जिन्हें समूह परियोजना के अलग-अलग हिस्से सौंपे गए हों। गुरुत्वाकर्षण से जुड़ा सारा बदलाव ऊर्ध्वाधर घटक के हिस्से आता है। वह लगातार बदलता रहता है। आदर्श HSC मॉडल में क्षैतिज घटक मूलतः अपरिवर्तित रहता है।

यह तुलना पूरी तरह सटीक नहीं है, क्योंकि ये घटक वास्तव में अलग-अलग गतियाँ या वस्तुएँ नहीं हैं। वे एक ही वेग सदिश के दो परस्पर लंबवत घटक हैं।

शीर्ष बिंदु पर वास्तव में क्या होता है?

ऊपर की दिशा को धनात्मक ऊर्ध्वाधर दिशा मानें।

ऊपर चढ़ते समय:

• ऊर्ध्वाधर वेग \(v_y\) धनात्मक होता है,
• गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर त्वरण \(a_y=-g\) होता है,
• \(v_y\) लगातार घटता जाता है।

अधिकतम ऊँचाई पर:

पृथ्वी की सतह के पास HSC के प्रक्षेप्य प्रश्नों में सामान्यतः \(g=9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) लिया जाता है, जब तक कि कोई अन्य मान न दिया गया हो।

इसलिए निर्णायक शर्त है

\[
v_y=0
\]

न कि \(v=0\)।

02अधिकतम ऊँचाई के सूत्र की व्युत्पत्ति

हमें प्रक्षेपण बिंदु से शीर्ष बिंदु तक का ऊर्ध्वाधर विस्थापन चाहिए। इसे \(H\) कहें।

ऊर्ध्वाधर गति का समीकरण

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y
\]

उपयोगी है क्योंकि इसमें विस्थापन शामिल है, लेकिन समय की आवश्यकता नहीं होती।

प्रक्षेपण से अधिकतम ऊँचाई तक की गति के लिए:

• \(v_y=0\),
• \(a_y=-g\),
• \(\Delta y=H\)।

मान रखने पर मिलता है

\[
0^2=u_y^2+2(-g)H
\]

अर्थात

\[
0=u_y^2-2gH
\]

और इसलिए

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

यह \(H\), प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर की अधिकतम ऊँचाई है।

यदि प्रक्षेप्य को चाल \(u\) से \(\theta\) कोण पर छोड़ा गया है, तो \(u_y=u\sin\theta\), इसलिए

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

यह आदर्श प्रक्षेप्य गति के लिए अधिकतम ऊँचाई का मानक परिणाम है।

ध्यान दें कि यह समीकरण भौतिक रूप से क्या बता रहा है। अधिक प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग का अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण को समाप्त करने के लिए प्रक्षेप्य के पास अधिक ऊपर की ओर गति होती है। क्योंकि \(u_y\) का वर्ग लिया जाता है, ऊर्ध्वाधर घटक को दोगुना करने पर ऊपर उठने की ऊँचाई चार गुना हो जाती है।

यदि प्रक्षेप्य जमीन से ऊपर से शुरू होता है

मान लें कि प्रक्षेपण बिंदु पहले से ही जमीन से \(y_0\) ऊँचाई पर है।

सूत्र

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
\]

अब भी केवल प्रक्षेपण के बाद प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई देता है।

तब जमीन से ऊपर अधिकतम ऊँचाई होगी

\[
y_{\max}=y_0+\frac{u_y^2}{2g}
\]

यह अंतर बहुत-सी ऐसी गलतियों का कारण बनता है जिन्हें आसानी से टाला जा सकता है। हमेशा पूछें: क्या प्रश्न प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर की वृद्धि पूछ रहा है, या जमीन जैसे किसी संदर्भ स्तर से ऊपर की अधिकतम ऊँचाई?

03समय का उपयोग करने पर भी वही परिणाम क्यों मिलता है

उसी सूत्र तक पहुँचने का एक और तरीका है।

समीकरण

\[
v_y=u_y+a_yt
\]

से, शीर्ष बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है:

\[
0=u_y-gt_{\text{top}}
\]

इसलिए

\[
t_{\text{top}}=\frac{u_y}{g}
\]

अब ऊर्ध्वाधर विस्थापन का उपयोग करें:

\[
H=u_yt_{\text{top}}-\frac{1}{2}gt_{\text{top}}^2
\]

\(t_{\text{top}}=u_y/g\) रखने पर,

\[
H=u_y\left(\frac{u_y}{g}\right)
-\frac{1}{2}g\left(\frac{u_y}{g}\right)^2
=\frac{u_y^2}{2g}
\]

वही परिणाम।

जब प्रश्न केवल अधिकतम ऊँचाई पूछता है, तब वेग-वर्ग वाला समीकरण सामान्यतः अधिक तेज़ होता है। समय वाली विधि तब उपयोगी होती है जब शीर्ष बिंदु तक पहुँचने का समय भी चाहिए हो।

04सबसे लुभावनी गलती: पूरे वेग को शून्य मान लेना

मान लें कि किसी प्रक्षेप्य को तिरछी दिशा में छोड़ा गया है।

उसके सबसे ऊँचे बिंदु पर,

\[
v_y=0
\]

लेकिन आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल के अंतर्गत,

\[
v_x=u_x
\]

इसलिए शीर्ष बिंदु पर उसकी कुल चाल है

\[
v=\sqrt{v_x^2+0^2}=v_x
\]

जो तब तक शून्य नहीं होती जब तक प्रक्षेप्य को सीधे ऊर्ध्वाधर दिशा में न छोड़ा गया हो।

यह गलत विचार इतना सहज क्यों लगता है? सामान्य बोलचाल में हम कहते हैं कि फेंकी गई वस्तु “ऊपर जाना बंद कर देती है”। यह सही है। लेकिन “ऊपर जाना बंद करना” का अर्थ “चलना बंद करना” नहीं है।

इसके पास ही एक दूसरी गलती भी है: कुछ विद्यार्थी शीर्ष बिंदु पर त्वरण को भी शून्य मान लेते हैं, क्योंकि वहाँ ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। गुरुत्वाकर्षण बंद नहीं हुआ है। पूरी उड़ान के दौरान त्वरण लगभग \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) नीचे की ओर बना रहता है।

एक उपयोगी तुलना सीधे ऊपर फेंकी गई गेंद से की जा सकती है। जिस ठीक क्षण वह ऊपर उठने से नीचे गिरने की ओर बदलती है, उसका वेग शून्य होता है, लेकिन उसका नीचे की ओर त्वरण तब भी मौजूद रहता है। उस त्वरण के बिना वह शीर्ष पर वहीं स्थिर रह जाती।

05एक संक्षिप्त निर्णय नियम

जब अधिकतम ऊँचाई का प्रश्न आए, तो इन निर्णयों को क्रम से लें:

अंतिम पंक्ति महत्वपूर्ण है। सूत्र उस ऊँचाई का अनुमान देता है जिस तक मॉडल के अनुसार प्रक्षेप्य पहुँचता, यदि उसकी उड़ान में कोई बाधा न आती। छत, दीवार या कोई अन्य टक्कर उस सैद्धांतिक शीर्ष बिंदु तक पहुँचना भौतिक रूप से असंभव बना सकती है।

06प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

किसी प्रक्षेप्य को \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से, क्षैतिज के ऊपर \(35.0^\circ\) कोण पर छोड़ा जाता है। प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर उसकी अधिकतम ऊँचाई की गणना करें।

समाधान 1

प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु से \(9.67\ \mathrm{m}\) की अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचता है।

पहले प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक ज्ञात करें:

\[
u_y=u\sin\theta
=24.0\sin35.0^\circ
=13.8\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

अधिकतम ऊँचाई पर \(v_y=0\)। इसलिए,

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(13.8)^2}{2(9.8)}
=9.67\ \mathrm{m}
\]

लुभावना लेकिन गलत तरीका यह है कि ऊँचाई के सूत्र में पूरा \(24.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) रख दिया जाए। ऐसा करने पर क्षैतिज घटक को भी ऐसे माना जाएगा मानो प्रक्षेप्य के ऊपर उठते समय गुरुत्वाकर्षण को उसे समाप्त करना पड़ता हो। ऐसा नहीं होता। अधिकतम ऊँचाई प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक पर निर्भर करती है।

प्रश्न 2

किसी प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से \(26.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से छोड़ा जाता है। अधिकतम ऊँचाई पर उसकी चाल \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) है।

गणना करें:

a. उसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग,

b. क्षैतिज के ऊपर उसका प्रक्षेपण कोण, और

c. उसकी अधिकतम ऊँचाई।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

समाधान 2

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग \(16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), प्रक्षेपण कोण \(39.7^\circ\), और अधिकतम ऊँचाई \(14.1\ \mathrm{m}\) है।

शीर्ष बिंदु पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। इसलिए दी गई \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल क्षैतिज वेग ही होनी चाहिए:

\[
u_x=20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

प्रारंभिक चाल दो परस्पर लंबवत घटकों के परिणामी वेग का परिमाण है:

\[
u^2=u_x^2+u_y^2
\]

इसलिए

\[
u_y=\sqrt{u^2-u_x^2}
=\sqrt{(26.0)^2-(20.0)^2}
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

प्रक्षेपण कोण के लिए,

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{20.0}
\]

इसलिए

\[
\theta=39.7^\circ
\]

अब ऊपर उठने की ऊँचाई की गणना करें:

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{(16.6)^2}{19.6}
=14.1\ \mathrm{m}
\]

लुभावनी व्याख्या यह है कि अधिकतम ऊँचाई पर \(20.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल किसी तरह बची हुई ऊर्ध्वाधर गति को दर्शाती है। शीर्ष बिंदु पर निश्चित शर्त \(v_y=0\) है। इसलिए वहाँ कोई भी गैर-शून्य चाल केवल क्षैतिज ही हो सकती है।

प्रश्न 3

किसी प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से छोड़ा जाता है और वह वापस जमीन के स्तर पर ही गिरता है। उसकी क्षैतिज परास \(50.0\ \mathrm{m}\) है और उसकी अधिकतम ऊँचाई \(8.00\ \mathrm{m}\) है।

उसका प्रक्षेपण कोण और प्रारंभिक चाल निर्धारित करें।

आदर्श प्रक्षेप्य गति मानें।

समाधान 3

प्रक्षेप्य को \(32.6^\circ\) कोण पर \(23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की प्रारंभिक चाल से छोड़ा गया था।

ऐसे प्रक्षेप्य के लिए जो उसी ऊर्ध्वाधर स्तर पर उतरता है जहाँ से उसे छोड़ा गया था,

\[
R=\frac{u^2\sin2\theta}{g}
\]

जहाँ \(R\) क्षैतिज परास है।

उसकी अधिकतम ऊँचाई है

\[
H=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

\(u\) के लिए दोनों समीकरण अलग-अलग हल करने के बजाय उनकी तुलना करें। अधिकतम ऊँचाई का चार गुना है

\[
4H=\frac{2u^2\sin^2\theta}{g}
\]

\(\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta\) का उपयोग करने पर,

\[
R=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

इसलिए,

\[
\frac{R}{4H}
=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}
=\cot\theta
\]

मापे गए मान रखें:

\[
\cot\theta=\frac{50.0}{4(8.00)}
=1.5625
\]

इसलिए

\[
\tan\theta=\frac{1}{1.5625}=0.640
\]

और

\[
\theta=32.6^\circ
\]

अब अधिकतम ऊँचाई के समीकरण का उपयोग करें:

\[
8.00
=\frac{u^2\sin^2(32.6^\circ)}{2(9.8)}
\]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[
u
=\sqrt{\frac{2(9.8)(8.00)}{\sin^2(32.6^\circ)}}
=23.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

लुभावना तरीका यह है कि प्रक्षेपण कोण \(45^\circ\) मान लिया जाए क्योंकि \(45^\circ\) को अधिकतम परास से जोड़ा जाता है। लेकिन \(45^\circ\) परास को केवल तब अधिकतम करता है जब प्रक्षेपण चाल निश्चित हो और प्रक्षेपण तथा अवतरण की ऊँचाइयाँ समान हों। यहाँ ऐसा कुछ नहीं कहा गया है कि यह विशेष प्रक्षेप-पथ अपनी चाल के लिए अधिकतम संभव परास देता है। परास और ऊँचाई के दिए गए मान कोण को \(32.6^\circ\) निर्धारित करते हैं।

प्रश्न 4

किसी प्रक्षेप्य को जमीन से \(5.00\ \mathrm{m}\) ऊपर स्थित एक प्लेटफ़ॉर्म से छोड़ा जाता है।

जब वह प्रक्षेपण बिंदु से \(18.0\ \mathrm{m}\) क्षैतिज दूरी पर होता है, तब उसके वेग का परिमाण \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) होता है और उसकी दिशा क्षैतिज के ऊपर \(20.0^\circ\) होती है।

निर्धारित करें:

a. जमीन से ऊपर प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई,

b. उसकी प्रारंभिक चाल, और

c. उसका प्रारंभिक प्रक्षेपण कोण।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

समाधान 4

अधिकतम ऊँचाई जमीन से \(19.0\ \mathrm{m}\), प्रारंभिक चाल \(23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), और प्रक्षेपण कोण \(44.4^\circ\) है।

\(x=18.0\ \mathrm{m}\) पर मापे गए वेग को पहले घटकों में विभाजित करना होगा:

\[
v_x=18.0\cos20.0^\circ
=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\[
v_y=18.0\sin20.0^\circ
=6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

आदर्श मॉडल में क्षैतिज त्वरण नहीं होता, इसलिए

\[
u_x=v_x=16.9\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\(18.0\ \mathrm{m}\) क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय है

\[
t=\frac{x}{v_x}
=\frac{18.0}{16.9}
=1.064\ \mathrm{s}
\]

अब ऊर्ध्वाधर दिशा में पीछे की ओर गणना करें। समीकरण

\[
v_y=u_y-gt
\]

का उपयोग करने पर

\[
u_y=v_y+gt
=6.16+9.8(1.064)
=16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

इन \(1.064\ \mathrm{s}\) के दौरान प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
\Delta y
=u_yt-\frac{1}{2}gt^2
\]

\[
\Delta y
=(16.6)(1.064)-\frac{1}{2}(9.8)(1.064)^2
=12.1\ \mathrm{m}
\]

क्योंकि वह जमीन से \(5.00\ \mathrm{m}\) ऊपर से शुरू हुआ था, इसलिए अवलोकन बिंदु पर उसकी ऊँचाई है

\[
y=5.00+12.1=17.1\ \mathrm{m}
\]

वह अभी भी ऊपर उठ रहा है क्योंकि \(v_y=+6.16\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)। शेष ऊपर उठने की दूरी है

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(6.16)^2}{19.6}
=1.93\ \mathrm{m}
\]

इसलिए,

\[
y_{\max}=17.1+1.93=19.0\ \mathrm{m}
\]

प्रारंभिक चाल है

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(16.9)^2+(16.6)^2}
=23.7\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

और प्रक्षेपण कोण के लिए

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{16.6}{16.9}
\]

जिससे

\[
\theta=44.4^\circ
\]

लुभावना तरीका यह है कि \(20.0^\circ\) दिशा में \(18.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) के वेग को ही प्रक्षेपण वेग मान लिया जाए। ऐसा नहीं है। ये मान प्रक्षेप्य की उड़ान के बाद के किसी क्षण का वर्णन करते हैं। गुरुत्वाकर्षण तब तक उसके ऊर्ध्वाधर घटक को बदल चुका होता है, जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है। यही अंतर हमें पहले की अवस्था को पुनर्निर्मित करने देता है।

प्रश्न 5

किसी प्रक्षेप्य को ऐसे बिंदु से छोड़ा जाता है जिसकी ऊँचाई को हम \(0\) परिभाषित करते हैं।

अपनी उड़ान के दौरान वह \(9.00\ \mathrm{m}\) की ऊँचाई से दो बार गुजरता है: एक बार ऊपर जाते समय और एक बार नीचे आते समय। दोनों अवलोकनों के बीच \(1.60\ \mathrm{s}\) का अंतर है, और इस दौरान प्रक्षेप्य \(24.0\ \mathrm{m}\) क्षैतिज दूरी तय करता है।

निर्धारित करें:

a. प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर अधिकतम ऊँचाई,

b. अधिकतम ऊँचाई पर चाल,

c. प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग,

d. प्रारंभिक चाल, और

e. प्रक्षेपण कोण।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

समाधान 5

अधिकतम ऊँचाई \(12.1\ \mathrm{m}\), शीर्ष बिंदु पर चाल \(15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग \(15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), प्रारंभिक चाल \(21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), और प्रक्षेपण कोण \(45.8^\circ\) है।

मुख्य बात यह है कि प्रक्षेप्य समान ऊँचाई से एक बार ऊपर जाते समय और एक बार नीचे आते समय गुजरता है। स्थिर नीचे की ओर त्वरण और शून्य वायु प्रतिरोध की स्थिति में, ये दोनों क्षण समय की दृष्टि से शीर्ष बिंदु के दोनों ओर सममित होते हैं।

दोनों अवलोकन \(1.60\ \mathrm{s}\) के अंतर पर हैं, इसलिए किसी भी अवलोकन से शीर्ष बिंदु तक का समय है

\[
\frac{1.60}{2}=0.800\ \mathrm{s}
\]

\(9.00\ \mathrm{m}\) की पहली ऊँचाई-पार करने की घटना पर प्रक्षेप्य ऊपर की ओर जा रहा है। अगले \(0.800\ \mathrm{s}\) में उसका ऊर्ध्वाधर वेग घटकर शून्य होना चाहिए:

\[
0=v_y-g(0.800)
\]

इसलिए,

\[
v_y=9.8(0.800)
=7.84\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

\(9.00\ \mathrm{m}\) के स्तर से शीर्ष बिंदु तक अतिरिक्त वृद्धि है

\[
\Delta H
=\frac{v_y^2}{2g}
=\frac{(7.84)^2}{19.6}
=3.136\ \mathrm{m}
\]

इसलिए अधिकतम ऊँचाई है

\[
H_{\max}=9.00+3.136
=12.136\ \mathrm{m}
\]

या तीन सार्थक अंकों तक \(12.1\ \mathrm{m}\)।

अब क्षैतिज जानकारी का उपयोग करें। क्षैतिज वेग स्थिर है, इसलिए

\[
v_x=\frac{\Delta x}{\Delta t}
=\frac{24.0}{1.60}
=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

अधिकतम ऊँचाई पर \(v_y=0\), इसलिए वहाँ प्रक्षेप्य की कुल चाल केवल

\[
v_{\text{apex}}=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

है।

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग को पुनर्निर्मित करने के लिए ज्ञात अधिकतम ऊँचाई का उपयोग करें:

\[
H_{\max}=\frac{u_y^2}{2g}
\]

इसलिए,

\[
u_y=\sqrt{2gH_{\max}}
=\sqrt{2(9.8)(12.136)}
=15.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

प्रारंभिक क्षैतिज वेग अब भी है

\[
u_x=15.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

इसलिए प्रारंभिक चाल है

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}
=\sqrt{(15.0)^2+(15.4)^2}
=21.5\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

अंत में,

\[
\tan\theta=\frac{u_y}{u_x}
=\frac{15.4}{15.0}
\]

इसलिए

\[
\theta=45.8^\circ
\]

लुभावना तरीका यह है कि पूरे \(1.60\ \mathrm{s}\) को \(9.00\ \mathrm{m}\) की पहली ऊँचाई-पार करने की घटना से शीर्ष बिंदु तक का समय मान लिया जाए। ऐसा करने पर अतिरिक्त ऊँचाई चार गुना अधिक आ जाएगी, क्योंकि दिशा बदलने वाले बिंदु से विस्थापन समय के वर्ग पर निर्भर करता है। निर्णायक शर्त सममिति है: समान ऊँचाई से गुजरने की दोनों घटनाएँ शीर्ष बिंदु के विपरीत पक्षों पर होती हैं, इसलिए समय में शीर्ष बिंदु उनके ठीक बीच में आता है।

आँकड़ों में एक और उपयोगी परिणाम छिपा है। अधिकतम ऊँचाई ज्ञात करने से पहले हमें मूल प्रक्षेपण चाल जानने की आवश्यकता ही नहीं पड़ी। बाद की गति में उसे पुनर्निर्मित करने के लिए पर्याप्त जानकारी मौजूद थी।

07अधिकतम ऊँचाई समझने के बाद आप आगे क्या समझ सकते हैं

वास्तव में उपयोगी विचार केवल सूत्र \(H=u_y^2/(2g)\) नहीं है। उससे भी महत्वपूर्ण उसके पीछे की शर्त है: स्वाभाविक शीर्ष बिंदु पर \(v_y=0\) होता है, जबकि गुरुत्वाकर्षण तब भी कार्य कर रहा होता है।

एक बार यह बात स्पष्ट हो जाए, तो प्रक्षेपण कोण वाले प्रश्न बहुत आसान हो जाते हैं। \(\theta\) बढ़ाने से \(u_y=u\sin\theta\) बदलता है, जिससे अधिकतम ऊँचाई बदलती है, लेकिन साथ ही क्षैतिज घटक भी बदलता है और इसलिए उड़ान का समय और परास भी प्रभावित होते हैं। इस संतुलन को समझना अगला कदम है: प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण कोण ऊँचाई, उड़ान के समय और परास को कैसे प्रभावित करता है।