प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास: HSC भौतिकी मार्गदर्शिका

दो प्रक्षेप्य एक ही बिंदु से समान चाल से छोड़े जाते हैं। एक को \(30^\circ\) के कोण पर और दूसरे को \(60^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण की ऊँचाई पर वापस आने से पहले कौन-सा प्रक्षेप्य क्षैतिज दिशा में अधिक दूर जाता है?

आप \(30^\circ\) के पक्ष में तर्क दे सकते हैं: इसका क्षैतिज वेग अधिक है। आप \(60^\circ\) के पक्ष में भी तर्क दे सकते हैं: यह अधिक समय तक हवा में रहता है। सामान्य HSC प्रक्षेप्य मॉडल के अंतर्गत, ये दोनों प्रभाव ठीक-ठीक एक-दूसरे को संतुलित कर देते हैं। दोनों का क्षैतिज परास समान होता है।

इस संतुलन को समझना ही परास को समझने की कुंजी है। कोई प्रक्षेप्य अधिक दूर तब जाता है जब वह पार्श्व दिशा में तेज़ी से चलता है, लंबे समय तक हवा में रहता है, या दोनों होता है।

01परास = क्षैतिज वेग × समय

कल्पना कीजिए कि प्रक्षेप्य की गति को दो कार्यों में बाँट दिया गया है।

क्षैतिज भाग उसे जमीन के ऊपर आगे ले जाता है। ऊर्ध्वाधर भाग यह तय करता है कि वह कितनी देर हवा में रहेगा। मानक प्रक्षेप्य-गति मान्यताओं के अंतर्गत, गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर वेग को बदलता है, लेकिन क्षैतिज वेग को नहीं बदलता।

यदि किसी प्रक्षेप्य को क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर \(u\) चाल से प्रक्षेपित किया जाए, तो

\[
u_x=u\cos\theta
\]

और

\[
u_y=u\sin\theta
\]

जहाँ \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग है और \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है। यदि सदिशों को घटकों में विभाजित करना अभी भी कठिन लगता है, तो पहले प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के घटकों की समीक्षा करें।

यदि प्रक्षेप्य \(T\) समय तक हवा में रहता है, तो उसका क्षैतिज परास \(R\) है

\[
R=u_xT=u\cos\theta\,T
\]

परास के लिए यह सबसे उपयोगी प्रारंभिक समीकरण है।

यह एक महत्वपूर्ण बात बताता है: वास्तव में कोई अलग रहस्यमय “परास गति” नहीं होती। परास, क्षैतिज गति को उस समय के साथ मिलाने से प्राप्त होता है जो ऊर्ध्वाधर गति द्वारा निर्धारित होता है।

यह भी ध्यान दें कि परास क्या नहीं है। यह प्रक्षेपवक्र के वक्र मार्ग के साथ तय की गई दूरी नहीं है। यह प्रक्षेपण बिंदु और अवतरण बिंदु के बीच का क्षैतिज विस्थापन है।

02अवतरण की ऊँचाई क्यों महत्वपूर्ण है

मान लीजिए प्रक्षेप्य ठीक उसी ऊँचाई पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था।

ऊपर की दिशा को धनात्मक मानें। तब ऊर्ध्वाधर त्वरण \(a_y=-g\) होगा, जहाँ पृथ्वी की सतह के पास \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) है।

समय \(T\) के बाद ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

समान ऊँचाई पर अवतरण के लिए \(\Delta y=0\), इसलिए

\[
0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

\(T\) को सार्व गुणक के रूप में बाहर निकालें:

\[
T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0
\]

इसके दो हल हैं। \(T=0\) प्रक्षेपण के क्षण को दर्शाता है। बाद का अवतरण तब होता है जब

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

अब इस उड़ान समय को \(R=u\cos\theta\,T\) में प्रतिस्थापित करें:

\[
R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right)
=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

\(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\) का उपयोग करने पर,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

यह प्रक्षेप्य के परास का परिचित सूत्र है।

लेकिन यह एक शॉर्टकट है जिसके साथ एक शर्त जुड़ी है: प्रक्षेप्य को उसी ऊर्ध्वाधर स्तर पर उतरना चाहिए जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था।

परास सूत्र आपको क्या बताता है

समान ऊँचाई से प्रक्षेपण और अवतरण तथा नगण्य वायु प्रतिरोध के लिए:

पूरक कोण समान परास क्यों देते हैं?

\(\theta=30^\circ\) के लिए,

\[
\sin(2\theta)=\sin 60^\circ
\]

जबकि \(\theta=60^\circ\) के लिए,

\[
\sin(2\theta)=\sin 120^\circ
\]

और \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\)।

भौतिक रूप से, निचले प्रक्षेपवक्र में क्षैतिज वेग अधिक होता है, लेकिन हवा में रहने का समय कम होता है। ऊँचे प्रक्षेपवक्र में क्षैतिज वेग कम होता है, लेकिन समय अधिक होता है। पूरक कोणों के लिए ये परिवर्तन ठीक-ठीक संतुलित हो जाते हैं।

03\(45^\circ\) नियम की भी शर्तें हैं

अब एक अनुमान लगाइए। किसी प्रक्षेप्य को एक खड़ी चट्टान के ऊपर से छोड़ा जाता है और वह नीचे जमीन पर उतरता है। क्या \(45^\circ\) अब भी सबसे अधिक संभव परास देता है?

नहीं।

सामान्य \(45^\circ\) वाला परिणाम इस समीकरण से आता है

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

और यह समीकरण अंतिम ऊर्ध्वाधर विस्थापन को शून्य रखकर निकाला गया था। खड़ी चट्टान से छोड़े गए प्रक्षेप्य के पास अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई से वापस नीचे गुजरने के बाद भी अतिरिक्त गिरने की दूरी होती है।

यह अतिरिक्त समय संतुलन को बदल देता है। कुछ कम कोण वाला प्रक्षेपवक्र अधिक क्षैतिज वेग बनाए रख सकता है और फिर भी यात्रा के लिए पर्याप्त समय पा सकता है, क्योंकि प्रक्षेप्य को चट्टान से नीचे गिरने की अतिरिक्त दूरी मिलती है। इसलिए निचले अवतरण बिंदु के लिए, बिना वायु प्रतिरोध की आदर्श स्थिति में अधिकतम परास देने वाला कोण \(45^\circ\) से कम होता है।

यह उन प्रक्षेप्य नियमों में से एक है जिन्हें अत्यधिक सामान्य रूप से याद कर लेना सबसे आसान है। “अधिकतम परास \(45^\circ\) पर होता है” प्रकृति का बिना शर्त लागू होने वाला नियम नहीं है।

04जब प्रक्षेप्य अलग ऊँचाई पर उतरता है तब परास

यदि अवतरण बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर या नीचे है, तो अधिक सुरक्षित विधि पर लौटें:

1. प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करें;
2. उड़ान समय ज्ञात करने के लिए ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग करें;
3. \(R=u_xT\) का उपयोग करें।

मान लीजिए अवतरण बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से \(h\) ऊर्ध्वाधर दूरी नीचे है। तब ऊर्ध्वाधर विस्थापन \(\Delta y=-h\) होगा, इसलिए

\[
-h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

\(T\) के लिए इस समीकरण को हल करें। भौतिक उड़ान को दर्शाने वाला धनात्मक हल रखें।

फिर गणना करें

\[
R=u\cos\theta\,T
\]

ऊर्ध्वाधर गति यह तय करती है कि प्रक्षेप्य को अपने क्षैतिज वेग का उपयोग करने के लिए कितना समय मिलता है।

इस विधि के उस भाग का और अभ्यास करने के लिए, समतल और असमान अवतरणों के लिए प्रक्षेप्य का उड़ान समय देखें।

05एक उपयोगी विशेष स्थिति: क्षैतिज प्रक्षेपण

क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य के लिए \(\theta=0^\circ\), इसलिए

\[
u_y=0
\]

शुरू में यह अजीब लग सकता है। यदि प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग नहीं है, तो वह जमीन तक कैसे पहुँचता है?

गुरुत्वाकर्षण तुरंत नीचे की ओर ऊर्ध्वाधर वेग उत्पन्न करता है। \(h\) ऊँचाई से प्रक्षेपण के लिए,

\[
-h=-\frac12gT^2
\]

इसलिए

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

यदि क्षैतिज प्रक्षेपण चाल \(u\) है,

\[
R=u\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

संरचना पर फिर ध्यान दें: क्षैतिज वेग × हवा में रहने का समय।

06परास से जुड़ी सामान्य गलतियाँ

जब भी “परास” शब्द दिखे, समतल-भूमि वाला सूत्र इस्तेमाल करना

सूत्र

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

के लिए प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाइयाँ समान होनी चाहिए।

यदि ऊँचाइयाँ अलग हैं, तो ऊर्ध्वाधर गति से \(T\) ज्ञात करें और फिर \(R=u_xT\) का उपयोग करें।

\(u\) को क्षैतिज वेग मान लेना

जब तक प्रक्षेपण पूर्णतः क्षैतिज न हो,

\[
u_x\ne u
\]

सही क्षैतिज घटक है

\[
u_x=u\cos\theta
\]

बहुत अधिक कोण पर प्रक्षेपित प्रक्षेप्य की कुल चाल बड़ी हो सकती है, लेकिन उसका क्षैतिज वेग उससे बहुत कम हो सकता है।

यह सोचना कि अधिक उड़ान समय का अर्थ अवश्य ही अधिक परास है

केवल उड़ान समय अधिक होना पर्याप्त नहीं है।

बहुत अधिक कोण वाला प्रक्षेपण लंबे समय तक हवा में रह सकता है, लेकिन पार्श्व दिशा में धीरे चल सकता है। परास \(u_xT\) के गुणनफल पर निर्भर करता है, केवल किसी एक गुणक पर नहीं।

सीमांत स्थिति \(\theta=90^\circ\) पर, प्रक्षेप्य के पास पर्याप्त उड़ान समय होता है, लेकिन

\[
u_x=u\cos90^\circ=0
\]

इसलिए उसका क्षैतिज परास शून्य होता है।

यह मान लेना कि \(45^\circ\) हमेशा परास को अधिकतम करता है

निश्चित प्रक्षेपण चाल के लिए, जब प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाइयाँ समान हों, तब यह आदर्श परास को अधिकतम करता है।

निचला अवतरण बिंदु इष्टतम कोण को बदल देता है। वायु प्रतिरोध भी परिणाम बदल देता है, क्योंकि तब क्षैतिज वेग स्थिर नहीं रहता।

द्विघात के दोनों मूलों को दो संभावित अवतरण समय मान लेना

ऊर्ध्वाधर गति का समीकरण एक धनात्मक और एक ऋणात्मक समय दे सकता है। ऋणात्मक मूल सामान्यतः उस गणितीय परवलय से संबंधित होता है जो \(t=0\) चुने गए क्षण से पहले आता है।

किसी मूल का उपयोग करने से पहले जाँचें कि उसका भौतिक अर्थ क्या है।

07HSC के लिए एक भरोसेमंद परास विधि

जब परास का प्रश्न जटिल लगे, तो किसी विशेष सूत्र की खोज करने से बचें। हमेशा एक ही क्रम अपनाएँ।

पहले प्रक्षेपण बिंदु और अवतरण बिंदु का रेखाचित्र बनाएँ और उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी नोट करें।

फिर प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें:

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta
\]

संबंधित उड़ान समय \(T\) ज्ञात करने के लिए ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग करें:

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

अंत में, क्षैतिज गति का उपयोग करें:

\[
R=u_xT
\]

इन सबको

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

से तभी बदलें जब आपने पुष्टि कर ली हो कि प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाइयाँ समान हैं।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रक्षेप्य को समतल भूमि से क्षैतिज के ऊपर \(35.0^\circ\) के कोण पर \(24.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। वह उसी ऊँचाई पर उतरता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

उसका क्षैतिज परास ज्ञात करें।

समाधान 1

क्षैतिज परास लगभग \(55.2\text{ m}\) है।

क्योंकि प्रक्षेप्य अपनी प्रक्षेपण ऊँचाई पर ही उतरता है, समतल-भूमि वाला परास सूत्र लागू होता है:

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

\(u=24.0\text{ m s}^{-1}\), \(\theta=35.0^\circ\), और \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) प्रतिस्थापित करें:

\[
R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}
=\frac{576(0.940)}{9.8}
=55.2\text{ m}
\]

अतः प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु से लगभग \(55.2\text{ m}\) दूर उतरता है।

यहाँ आकर्षक लेकिन गलत तरीका परास सूत्र में \(\sin35^\circ\) का उपयोग करना है। sine के भीतर का कोण \(2\theta\) है, क्योंकि यह सूत्र क्षैतिज गुणक \(\cos\theta\) को उड़ान-समय वाले गुणक \(\sin\theta\) से गुणा करने से प्राप्त हुआ है।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से \(1.80\text{ m}\) ऊपर एक मंच से क्षैतिज के ऊपर \(30.0^\circ\) के कोण पर \(16.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दिशा में \(18.0\text{ m}\) दूर एक \(3.80\text{ m}\) ऊँची बाड़ खड़ी है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात करें:

• क्या प्रक्षेप्य बाड़ को पार करता है, और कितनी ऊर्ध्वाधर दूरी से;
• बाड़ को पार करते समय वह ऊपर जा रहा है या नीचे गिर रहा है; और
• प्रक्षेपण बिंदु से वह कितनी क्षैतिज दूरी पर जमीन तक पहुँचता है।

समाधान 2

प्रक्षेप्य बाड़ को लगभग \(0.124\text{ m}\) से पार करता है, बाड़ को पार करते समय वह नीचे गिर रहा होता है, और वह प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दिशा में लगभग \(25.4\text{ m}\) दूर उतरता है।

पहले प्रक्षेपण वेग को घटकों में विभाजित करें:

\[
u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1}
\]

\[
u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1}
\]

बाड़ पर क्षैतिज विस्थापन \(18.0\text{ m}\) है। चूँकि क्षैतिज वेग स्थिर है,

\[
t=\frac{x}{u_x}
=\frac{18.0}{13.9}
=1.299\text{ s}
\]

जमीन के स्तर को \(y=0\) मानें। प्रक्षेप्य \(y_0=1.80\text{ m}\) से शुरू होता है, इसलिए इस समय उसकी ऊँचाई है

\[
y=y_0+u_yt-\frac12gt^2
\]

\[
y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2
=3.924\text{ m}
\]

बाड़ की ऊँचाई \(3.80\text{ m}\) है, इसलिए बाड़ के ऊपर से दूरी है

\[
3.924-3.80=0.124\text{ m}
\]

अब बाड़ के पास ऊर्ध्वाधर वेग जाँचें:

\[
v_y=u_y-gt
\]

\[
v_y=8.00-(9.8)(1.299)
=-4.73\text{ m s}^{-1}
\]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि प्रक्षेप्य नीचे की ओर चल रहा है। वह अपने प्रक्षेपवक्र के अवरोही भाग में बाड़ को पार करता है।

अवतरण समय ज्ञात करने के लिए \(y=0\) रखें:

\[
0=1.80+8.00T-4.90T^2
\]

या

\[
4.90T^2-8.00T-1.80=0
\]

धनात्मक हल है

\[
T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80}
=1.83\text{ s}
\]

अतः,

\[
R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m}
\]

एक आकर्षक तरीका यह है कि तुरंत समतल-भूमि वाला सूत्र इस्तेमाल कर दिया जाए। इससे लगभग \(22.6\text{ m}\) मिलता है, लेकिन वह गलत प्रश्न का उत्तर देता है: वह उस स्थान को ज्ञात करता है जहाँ आदर्श प्रक्षेपवक्र वापस \(1.80\text{ m}\) की प्रक्षेपण ऊँचाई पर आएगा, न कि जहाँ वह जमीन तक पहुँचता है।

प्रश्न 3

एक प्रक्षेपक \(25.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से एक प्रक्षेप्य को \(40.0\text{ m}\) दूर स्थित लक्ष्य की ओर छोड़ता है, जो प्रक्षेपक के ठीक समान ऊँचाई पर है।

प्रक्षेपण स्तर से \(15.0\text{ m}\) ऊपर एक क्षैतिज छत है, जो प्रक्षेपक और लक्ष्य के बीच पूरे क्षेत्र में फैली हुई है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

\(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच वे सभी प्रक्षेपण कोण ज्ञात करें जिनसे छत न होने पर लक्ष्य तक पहुँचा जा सकता था। फिर निर्धारित करें कि छत मौजूद होने पर इनमें से कौन-सा, यदि कोई हो, भौतिक रूप से संभव है।

समाधान 3

छत न होने पर दो प्रक्षेपण कोण लगभग \(19.4^\circ\) और \(70.6^\circ\) हैं। छत मौजूद होने पर केवल \(19.4^\circ\) वाला प्रक्षेपवक्र संभव है।

चूँकि प्रक्षेपण और अवतरण की ऊँचाइयाँ समान हैं,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

इसलिए

\[
40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8}
\]

अतः

\[
\sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272
\]

एक हल है

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ
\]

जिससे

\[
\theta=19.42^\circ
\]

मिलता है।

लेकिन \(0^\circ\) और \(180^\circ\) के बीच sine का एक और हल है:

\[
2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ
\]

इसलिए

\[
\theta=70.58^\circ
\]

अतः अवरोध-रहित स्थान में दोनों कोण सही परास देते हैं।

अब छत एक अतिरिक्त बाधा लगाती है। प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर अधिकतम ऊँचाई है

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

\(19.42^\circ\) वाले प्रक्षेपवक्र के लिए,

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)}
=3.53\text{ m}
\]

यह \(15.0\text{ m}\) ऊँची छत से काफी नीचे है।

\(70.58^\circ\) वाले प्रक्षेपवक्र के लिए,

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)}
=28.4\text{ m}
\]

यह प्रक्षेपवक्र अपनी स्वाभाविक अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने से पहले ही छत से टकराता है, इसलिए यह भौतिक रूप से संभव नहीं है।

आकर्षक उत्तर यह है कि दो कोण मिलने के बाद रुक जाएँ, क्योंकि पूरक प्रक्षेपण कोणों का परास समान होता है। अवरोध-रहित, समतल-भूमि गति के लिए यह कथन गणितीय रूप से सही है। छत एक दूसरी भौतिक शर्त जोड़ती है, जिसे केवल निचला प्रक्षेपवक्र पूरा करता है।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य को समतल भूमि से छोड़ा जाता है और बाद में वह \(50.0\text{ m}\) दूर उसी ऊँचाई पर उतरता है।

अपनी उड़ान के दौरान वह दो ऐसे बिंदुओं से गुजरता है जो दोनों प्रक्षेपण स्तर से \(8.00\text{ m}\) ऊपर हैं। दोनों बिंदुओं के बीच क्षैतिज दूरी \(30.0\text{ m}\) है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात करें:

• प्रक्षेपण बिंदु से मापी गई प्रत्येक \(8.00\text{ m}\) ऊँचाई वाले बिंदु की क्षैतिज स्थिति;
• प्रक्षेपण कोण;
• प्रारंभिक प्रक्षेपण चाल; और
• दोनों \(8.00\text{ m}\) ऊँचाई वाले बिंदुओं के बीच जाने में लगा समय।

समाधान 4

प्रक्षेप्य \(8.00\text{ m}\) की ऊँचाई पर तब होता है जब \(x=10.0\text{ m}\) और \(x=40.0\text{ m}\), प्रक्षेपण कोण \(45.0^\circ\) है, प्रारंभिक प्रक्षेपण चाल लगभग \(22.1\text{ m s}^{-1}\) है, और दोनों बिंदुओं के बीच समय लगभग \(1.92\text{ s}\) है।

पहली शर्त सममिति है।

समान प्रक्षेपण और अवतरण ऊँचाइयों तथा बिना वायु प्रतिरोध के, प्रक्षेपवक्र एक परवलय होता है जो अपने उच्चतम बिंदु के बारे में सममित होता है। चूँकि कुल परास \(50.0\text{ m}\) है, इसलिए शीर्ष बिंदु बीच में आता है:

\[
x_{\text{शीर्ष}}=25.0\text{ m}
\]

दोनों बिंदुओं की ऊँचाई समान है और वे \(30.0\text{ m}\) दूर हैं, इसलिए वे शीर्ष बिंदु के दोनों ओर समान दूरी पर होने चाहिए।

यदि उनकी स्थितियाँ \(x_1\) और \(x_2\) हैं,

\[
x_2-x_1=30.0
\]

और

\[
\frac{x_1+x_2}{2}=25.0
\]

अतः,

\[
x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m}
\]

अब प्रक्षेपवक्र समीकरण का उपयोग करें

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

जिस प्रक्षेप्य का समान-ऊँचाई पर परास \(R\) है, उसके लिए

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

जिससे प्रक्षेपवक्र समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

\[
y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right)
\]

\(x=10.0\text{ m}\), \(y=8.00\text{ m}\), और \(R=50.0\text{ m}\) पर:

\[
8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right)
\]

\[
8.00=(10.0)\tan\theta(0.800)
\]

\[
8.00=8.00\tan\theta
\]

इसलिए

\[
\tan\theta=1
\]

और अतः

\[
\theta=45.0^\circ
\]

अब परास समीकरण का उपयोग करें:

\[
50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8}
\]

चूँकि \(\sin90^\circ=1\),

\[
u^2=(50.0)(9.8)=490
\]

\[
u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1}
\]

क्षैतिज वेग है

\[
u_x=u\cos45.0^\circ
=(22.1)(0.707)
=15.7\text{ m s}^{-1}
\]

समान ऊँचाई वाले दोनों बिंदुओं के बीच क्षैतिज दूरी \(30.0\text{ m}\) है, इसलिए

\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{u_x}
=\frac{30.0}{15.7}
=1.92\text{ s}
\]

आकर्षक तरीका यह है कि कई समकालिक गति समीकरणों का उपयोग करके \(u\) और \(\theta\) खोजना शुरू कर दिया जाए। वह तरीका अंततः काम करता है, लेकिन प्रश्न की सबसे शक्तिशाली जानकारी को नज़रअंदाज़ कर देता है: समान स्तर पर शुरू और समाप्त होने वाले प्रक्षेप्य पथ पर समान ऊँचाई के दो बिंदु शीर्ष बिंदु के दोनों ओर सममित रूप से स्थित होने चाहिए। पहले इस शर्त का उपयोग करने से समस्या बहुत सरल हो जाती है।

प्रश्न 5

एक प्रक्षेपक \(20.0\text{ m}\) ऊँची खड़ी चट्टान के किनारे पर रखा है। वह \(20.0\text{ m s}^{-1}\) की निश्चित चाल से एक प्रक्षेप्य छोड़ता है, लेकिन प्रक्षेपण कोण बदला जा सकता है।

प्रक्षेप्य प्रक्षेपक से \(20.0\text{ m}\) नीचे समतल जमीन पर उतरता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

वह प्रक्षेपण कोण ज्ञात करें जो सबसे अधिक संभव क्षैतिज परास देता है और उस अधिकतम परास की गणना करें। फिर इसकी तुलना \(45.0^\circ\) के प्रक्षेपण से करें।

समाधान 5

अधिकतम परास लगभग \(35.4^\circ\) पर मिलता है, \(45^\circ\) पर नहीं, और अधिकतम क्षैतिज परास लगभग \(57.4\text{ m}\) है। \(45.0^\circ\) का प्रक्षेपण लगभग \(55.5\text{ m}\) जाता है।

मुख्य शर्त यह है कि प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु से नीचे उतरता है, इसलिए कोण को इष्टतम बनाने के लिए समतल-भूमि वाले सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता।

प्रक्षेपवक्र समीकरण से शुरू करें

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

अवतरण बिंदु पर,

\[
y=-h,\qquad x=R
\]

जहाँ \(h=20.0\text{ m}\)। साथ ही,

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta
\]

मान लें

\[
q=\tan\theta
\]

और परिभाषित करें

\[
A=\frac{g}{2u^2}
\]

तब अवतरण की शर्त बनती है

\[
-h=Rq-AR^2(1+q^2)
\]

पुनर्व्यवस्थित करने पर \(q\) में एक द्विघात समीकरण मिलता है:

\[
AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0
\]

किसी विशेष परास \(R\) के भौतिक रूप से संभव होने के लिए इस द्विघात का \(q\) का कम-से-कम एक वास्तविक मान होना चाहिए, और इसलिए कम-से-कम एक वास्तविक प्रक्षेपण कोण होना चाहिए।

सबसे बड़ा संभव \(R\) ठीक संभव और असंभव परासों की सीमा पर मिलता है। इस सीमा पर द्विघात का एक दोहराया हुआ हल होता है, इसलिए उसका विवर्तक शून्य होता है:

\[
R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0
\]

\(R^2\) से भाग देकर और सरल करने पर मिलता है

\[
R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
\]

\(u=20.0\text{ m s}^{-1}\), \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\), और \(h=20.0\text{ m}\) प्रतिस्थापित करें:

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}
\sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)}
\]

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792}
=57.4\text{ m}
\]

दोहराए गए मूल पर,

\[
q=\frac{1}{2AR_{\max}}
\]

जो सरल होकर देता है

\[
\tan\theta_{\text{इष्टतम}}
=\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}}
\]

अतः,

\[
\tan\theta_{\text{इष्टतम}}
=\frac{20.0}{\sqrt{792}}
=0.7107
\]

इसलिए

\[
\theta_{\text{इष्टतम}}=35.4^\circ
\]

अब इसकी तुलना \(45.0^\circ\) के प्रक्षेपण से करें।

\(45.0^\circ\) पर,

\[
u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1}
\]

ऊर्ध्वाधर अवतरण की शर्त है

\[
-20.0=(14.1)T-4.90T^2
\]

धनात्मक मूल है

\[
T=3.93\text{ s}
\]

इसलिए

\[
R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m}
\]

अतः \(35.4^\circ\) वाला प्रक्षेपण

\[
57.4-55.5=1.9\text{ m}
\]

\(45.0^\circ\) वाले प्रक्षेपण से अधिक दूर जाता है।

आकर्षक तर्क यह है कि \(\sin(2\theta)\), \(45^\circ\) पर अधिकतम होता है, इसलिए \(45^\circ\) को हमेशा परास अधिकतम करना चाहिए। त्रुटि उपयोग किए जा रहे समीकरण में छिपी है। \(R=u^2\sin(2\theta)/g\) पहले से ही समान ऊँचाई पर अवतरण मानता है। यहाँ प्रक्षेप्य को अतिरिक्त \(20.0\text{ m}\) गिरना है, इसलिए उड़ान समय का प्रक्षेपण कोण से संबंध अलग होता है।

इस अतिरिक्त गिरने के समय का अर्थ है कि प्रक्षेप्य कुछ ऊर्ध्वाधर वेग छोड़ सकता है, अपनी अधिक चाल क्षैतिज दिशा में बनाए रख सकता है, और फिर भी अधिक दूर जाने के लिए पर्याप्त समय तक हवा में रह सकता है।

09परास से आप आगे क्या ज्ञात कर सकते हैं

आगे ले जाने योग्य उपयोगी विचार केवल एक सूत्र नहीं है। इसकी संरचना है

\[
\text{क्षैतिज परास}=\text{क्षैतिज वेग}\times\text{उड़ान समय}
\]

प्रक्षेपण कोण दोनों भागों को एक साथ बदलता है: कोण बढ़ाने पर सामान्यतः क्षैतिज वेग घटता है, लेकिन हवा में रहने का समय बढ़ सकता है। अवतरण की ऊँचाई इस संतुलन को फिर से बदल सकती है।

इसीलिए परास, अधिकतम ऊँचाई और उड़ान समय को प्रक्षेप्य गति के अलग-अलग विषयों की तरह नहीं देखा जाना चाहिए। ये सभी समान क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों के अलग-अलग परिणाम हैं। अगला उपयोगी कदम इन प्रतिस्पर्धी प्रभावों की सीधे तुलना करना है जब प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण कोण बदलता है।