발사체의 수평 사거리: HSC 물리 가이드

같은 지점에서 같은 속력으로 두 발사체가 발사된다. 하나는 \(30^\circ\), 다른 하나는 \(60^\circ\)의 각도로 발사된다. 두 발사체가 발사 높이로 다시 돌아올 때까지 수평으로 더 멀리 이동하는 것은 어느 쪽일까?

\(30^\circ\)라고 주장할 수도 있다. 수평 속도가 더 크기 때문이다. \(60^\circ\)라고 주장할 수도 있다. 공중에 더 오래 머무르기 때문이다. 일반적인 HSC 발사체 운동 모형에서는 이 두 효과가 정확히 상쇄된다. 두 발사체의 수평 사거리는 같다.

이 상쇄 관계가 사거리를 이해하는 핵심이다. 발사체가 더 멀리 가려면 옆으로 빠르게 움직이거나, 오랫동안 공중에 머물거나, 또는 두 가지가 모두 이루어져야 한다.

01사거리는 수평 속도에 시간을 곱한 값이다

발사체의 운동을 두 가지 역할로 나누어 생각해 보자.

수평 운동은 발사체를 지면을 따라 이동시킨다. 수직 운동은 발사체가 얼마나 오래 공중에 머무르는지를 결정한다. 표준적인 발사체 운동의 가정에서는 중력이 수직 속도는 변화시키지만 수평 속도는 변화시키지 않는다.

발사체가 속력 \(u\)로 수평선보다 \(\theta\)만큼 위쪽을 향해 발사될 때,

\[
u_x=u\cos\theta
\]

이고

\[
u_y=u\sin\theta
\]

이다. 여기서 \(u_x\)는 초기 수평 속도이고 \(u_y\)는 초기 수직 속도이다. 벡터를 성분으로 분해하는 것이 아직 익숙하지 않다면 먼저 발사체 초기 속도 성분을 복습하자.

발사체가 \(T\) 동안 공중에 머문다면 수평 사거리 \(R\)은

\[
R=u_xT=u\cos\theta\,T
\]

이다.

이 식이 사거리 문제에서 가장 유용한 출발점이다.

이 식은 중요한 사실을 보여 준다. 사실 별도의 신비로운 “사거리 운동”이 존재하는 것은 아니다. 사거리는 수평 운동과 수직 운동에 의해 결정되는 시간을 결합해 얻어진다.

또한 사거리가 무엇이 아닌지도 주목하자. 사거리는 곡선 궤적을 따라 실제로 이동한 거리가 아니다. 발사점과 착지점 사이의 수평 변위이다.

02착지 높이가 중요한 이유

발사체가 발사된 높이와 정확히 같은 높이에 착지한다고 하자.

위쪽을 양의 방향으로 잡으면 수직 가속도는 \(a_y=-g\)이며, 지구 표면 근처에서 \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)이다.

시간 \(T\) 후의 수직 변위는

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

이다.

같은 높이에 착지할 경우 \(\Delta y=0\)이므로,

\[
0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

이다.

\(T\)를 묶어 내면,

\[
T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0
\]

이다.

해는 두 개이다. \(T=0\)은 발사 순간을 나타낸다. 이후의 착지는

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

일 때 일어난다.

이제 이 비행 시간을 \(R=u\cos\theta\,T\)에 대입하면,

\[
R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right)
=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

이다.

\(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\)를 사용하면,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

을 얻는다.

이것이 잘 알려진 발사체 사거리 공식이다.

하지만 이 식은 조건이 붙는 간편식이다. 발사체가 발사된 곳과 같은 수직 높이에 착지해야 한다.

사거리 공식에서 알 수 있는 것

공기 저항을 무시하고 발사 높이와 착지 높이가 같을 때:

왜 서로 여각인 발사각은 같은 사거리를 만들까?

\(\theta=30^\circ\)일 때,

\[
\sin(2\theta)=\sin 60^\circ
\]

이고, \(\theta=60^\circ\)일 때는

\[
\sin(2\theta)=\sin 120^\circ
\]

이다.

그리고 \(\sin60^\circ=\sin120^\circ\)이다.

물리적으로 보면, 낮은 궤적은 수평 속도가 더 크지만 공중에 머무르는 시간이 더 짧다. 높은 궤적은 수평 속도가 더 작지만 비행 시간이 더 길다. 서로 여각인 경우에는 이러한 변화가 정확히 균형을 이룬다.

03\(45^\circ\) 법칙에는 조건이 있다

한 가지 예측을 해 보자. 이제 발사체를 절벽 꼭대기에서 발사하여 아래쪽 지면에 착지시킨다. 이때도 \(45^\circ\)가 가능한 가장 큰 사거리를 만들어 낼까?

아니다.

일반적인 \(45^\circ\) 결과는

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

에서 나오며, 이 식은 최종 수직 변위를 0으로 놓고 유도한 것이다. 절벽에서 발사하면 발사체는 발사 높이를 다시 지나간 뒤에도 아래로 더 떨어져야 한다.

이 추가 시간 때문에 두 효과 사이의 균형이 달라진다. 발사체가 절벽 아래로 떨어질 수 있기 때문에, 조금 더 낮은 각도의 궤적도 충분한 이동 시간을 확보하면서 더 큰 수평 속도를 유지할 수 있다. 따라서 착지점이 발사점보다 낮은 경우, 공기 저항이 없을 때 최대 사거리를 만드는 이상적인 각도는 \(45^\circ\)보다 작다.

이는 발사체 운동에서 지나치게 일반화하여 외우기 쉬운 법칙 중 하나이다. “최대 사거리는 \(45^\circ\)에서 발생한다”는 말은 조건 없이 항상 성립하는 자연법칙이 아니다.

04발사체가 다른 높이에 착지할 때의 사거리

착지점이 발사점보다 높거나 낮다면 더 안전한 기본 방법으로 돌아가자.

1. 초기 속도를 성분으로 분해한다.
2. 수직 운동을 이용해 비행 시간을 구한다.
3. \(R=u_xT\)를 사용한다.

착지점이 발사점보다 수직으로 \(h\)만큼 아래에 있다고 하자. 그러면 수직 변위는 \(\Delta y=-h\)이므로,

\[
-h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

이다.

이 방정식을 풀어 \(T\)를 구한다. 실제 비행을 나타내는 양의 해를 사용한다.

그다음

\[
R=u\cos\theta\,T
\]

를 계산한다.

수직 운동이 발사체가 수평 속도를 이용할 수 있는 시간을 결정한다.

이 방법의 해당 부분을 더 연습하려면 평지와 높이가 다른 착지에서의 발사체 비행 시간을 참고하자.

05유용한 특수한 경우: 수평 발사

수평으로 발사된 발사체는 \(\theta=0^\circ\)이므로,

\[
u_y=0
\]

이다.

처음에는 이것이 이상하게 느껴질 수 있다. 초기 수직 속도가 없다면 어떻게 지면에 도달할까?

중력이 즉시 아래쪽 수직 속도를 만들어 낸다. 높이 \(h\)에서 발사한다면,

\[
-h=-\frac12gT^2
\]

이므로,

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

이다.

수평 발사 속력이 \(u\)라면,

\[
R=u\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

이다.

다시 한번 같은 구조가 나타난다. 즉, 수평 속도에 공중에 머무는 시간을 곱한 것이다.

06사거리 문제에서 자주 하는 실수

“사거리”라는 말이 나오면 언제나 평지 공식을 사용하는 것

공식

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

은 발사 높이와 착지 높이가 같아야 한다.

두 높이가 다르다면 수직 운동에서 \(T\)를 구한 다음 \(R=u_xT\)를 사용한다.

\(u\)를 수평 속도로 사용하는 것

발사가 완전히 수평인 경우가 아니라면,

\[
u_x\ne u
\]

이다.

올바른 수평 성분은

\[
u_x=u\cos\theta
\]

이다.

가파른 각도로 발사된 발사체는 전체 속력이 클 수 있지만 수평 속도는 훨씬 작을 수 있다.

비행 시간이 길면 반드시 사거리도 길다고 생각하는 것

그 자체만으로는 그렇지 않다.

매우 가파르게 발사하면 오랫동안 공중에 머물 수 있지만 옆으로는 느리게 이동할 수 있다. 사거리는 두 요소 중 하나만이 아니라 \(u_xT\)라는 곱에 의해 결정된다.

극한의 경우인 \(\theta=90^\circ\)에서는 발사체의 비행 시간은 충분히 길지만,

\[
u_x=u\cos90^\circ=0
\]

이므로 수평 사거리는 0이다.

\(45^\circ\)가 언제나 사거리를 최대로 만든다고 가정하는 것

고정된 발사 속력에서 발사 높이와 착지 높이가 같을 때에는 \(45^\circ\)가 이상적인 사거리를 최대로 만든다.

착지점이 더 낮으면 최적 각도가 달라진다. 공기 저항이 있을 때도 수평 속도가 더 이상 일정하지 않으므로 결과가 달라진다.

이차방정식의 두 근을 모두 가능한 착지 시간으로 보는 것

수직 운동 방정식에서 하나의 양의 시간과 하나의 음의 시간이 나올 수 있다. 음의 근은 일반적으로 \(t=0\)으로 정한 순간보다 이전으로 수학적 포물선을 연장했을 때에 해당한다.

각 근이 물리적으로 무엇을 의미하는지 확인한 뒤 사용해야 한다.

07신뢰할 수 있는 HSC 사거리 풀이 방법

사거리 문제가 복잡해 보일 때는 특별한 공식을 찾으려고 하지 말자. 항상 같은 순서를 사용하면 된다.

먼저 발사점과 착지점을 스케치하고 두 점 사이의 수직 높이 차이를 표시한다.

그다음 발사 속도를 성분으로 분해한다.

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta
\]

수직 운동을 이용해 필요한 비행 시간 \(T\)를 구한다.

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

마지막으로 수평 운동을 사용한다.

\[
R=u_xT
\]

발사 높이와 착지 높이가 같다는 것을 확인한 경우에만 이 과정을

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

로 대체한다.

08문제와 해설

문제 1

발사체를 평지에서 \(24.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 수평선보다 \(35.0^\circ\) 위쪽을 향해 발사한다. 발사체는 발사 높이와 같은 높이에 착지한다. 공기 저항을 무시하라.

수평 사거리를 계산하라.

해설 1

수평 사거리는 약 \(55.2\text{ m}\)이다.

발사체가 발사 높이와 같은 높이에 착지하므로 평지 사거리 공식을 사용할 수 있다.

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

\(u=24.0\text{ m s}^{-1}\), \(\theta=35.0^\circ\), \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)를 대입하면,

\[
R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}
=\frac{576(0.940)}{9.8}
=55.2\text{ m}
\]

이다.

따라서 발사체는 발사점에서 약 \(55.2\text{ m}\) 떨어진 곳에 착지한다.

흔히 하기 쉬운 실수는 사거리 공식에 \(\sin35^\circ\)를 사용하는 것이다. 사인 안의 각도는 \(2\theta\)이다. 이 공식은 수평 성분의 \(\cos\theta\)와 비행 시간에 들어 있는 \(\sin\theta\)를 곱하면서 유도되었기 때문이다.

문제 2

발사체를 평평한 지면보다 \(1.80\text{ m}\) 높은 플랫폼에서 \(16.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 수평선보다 \(30.0^\circ\) 위쪽을 향해 발사한다. 발사점에서 수평으로 \(18.0\text{ m}\) 떨어진 곳에 높이 \(3.80\text{ m}\)의 울타리가 있다.

공기 저항을 무시하라.

다음을 구하라.

• 발사체가 울타리를 넘는지 여부와, 넘는다면 수직으로 얼마나 여유가 있는지
• 울타리를 지날 때 발사체가 상승 중인지 하강 중인지
• 발사점에서 발사체가 지면에 도달하는 곳까지의 수평 거리

해설 2

발사체는 울타리보다 약 \(0.124\text{ m}\) 높게 지나가며, 울타리를 지날 때 하강 중이고, 발사점에서 수평으로 약 \(25.4\text{ m}\) 떨어진 곳에 착지한다.

먼저 발사 속도를 성분으로 분해한다.

\[
u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1}
\]

\[
u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1}
\]

울타리에서 수평 변위는 \(18.0\text{ m}\)이다. 수평 속도는 일정하므로,

\[
t=\frac{x}{u_x}
=\frac{18.0}{13.9}
=1.299\text{ s}
\]

이다.

지면을 \(y=0\)으로 잡는다. 발사체는 \(y_0=1.80\text{ m}\)에서 시작하므로 이때의 높이는

\[
y=y_0+u_yt-\frac12gt^2
\]

이고,

\[
y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2
=3.924\text{ m}
\]

이다.

울타리 높이는 \(3.80\text{ m}\)이므로 여유 높이는

\[
3.924-3.80=0.124\text{ m}
\]

이다.

이제 울타리에서의 수직 속도를 확인한다.

\[
v_y=u_y-gt
\]

\[
v_y=8.00-(9.8)(1.299)
=-4.73\text{ m s}^{-1}
\]

음의 부호는 발사체가 아래쪽으로 움직이고 있음을 뜻한다. 따라서 발사체는 궤적의 하강 구간에서 울타리를 넘는다.

착지 시간을 구하려면 \(y=0\)으로 둔다.

\[
0=1.80+8.00T-4.90T^2
\]

즉,

\[
4.90T^2-8.00T-1.80=0
\]

이다.

양의 해는

\[
T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80}
=1.83\text{ s}
\]

이다.

따라서,

\[
R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m}
\]

이다.

유혹적인 방법은 처음부터 평지 공식을 사용하는 것이다. 그러면 약 \(22.6\text{ m}\)가 나오지만, 이는 다른 질문에 대한 답이다. 그 값은 이상적인 궤적이 발사 높이인 \(1.80\text{ m}\)로 다시 돌아오는 지점을 나타내는 것이지, 지면에 도달하는 지점을 나타내는 것이 아니다.

문제 3

발사 장치가 \(25.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로, 발사 장치와 정확히 같은 높이에 있고 \(40.0\text{ m}\) 떨어진 표적을 향해 발사체를 발사한다.

발사 높이보다 \(15.0\text{ m}\) 위에 수평 천장이 있으며, 이 천장은 발사 장치와 표적 사이의 전체 구간에 걸쳐 있다.

공기 저항을 무시하라.

천장이 없다고 가정할 때 표적에 도달할 수 있는 \(0^\circ\)와 \(90^\circ\) 사이의 모든 발사각을 구하라. 그런 다음 천장이 있을 때 그중 실제로 가능한 발사각이 무엇인지 판단하라.

해설 3

천장이 없다면 두 발사각은 약 \(19.4^\circ\)와 \(70.6^\circ\)이다. 천장이 있을 때는 \(19.4^\circ\) 궤적만 가능하다.

발사 높이와 착지 높이가 같으므로,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

이다.

따라서,

\[
40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8}
\]

이고,

\[
\sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272
\]

이다.

한 해는

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ
\]

이므로,

\[
\theta=19.42^\circ
\]

이다.

하지만 사인은 \(0^\circ\)와 \(180^\circ\) 사이에서 또 다른 해를 갖는다.

\[
2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ
\]

따라서,

\[
\theta=70.58^\circ
\]

이다.

그러므로 장애물이 없는 공간에서는 두 각도 모두 올바른 사거리를 만든다.

이제 천장이 추가적인 제약 조건을 만든다. 발사점으로부터의 최대 높이는

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

이다.

\(19.42^\circ\) 궤적의 경우,

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)}
=3.53\text{ m}
\]

이다.

이는 \(15.0\text{ m}\) 높이의 천장보다 훨씬 낮다.

\(70.58^\circ\) 궤적의 경우,

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)}
=28.4\text{ m}
\]

이다.

이 궤적은 자연스럽게 최대 높이에 도달하기 전에 천장과 만나므로 실제로 가능한 궤적이 아니다.

흔히 나올 수 있는 답은 서로 여각인 발사각이 같은 사거리를 만든다는 이유로 두 각도를 구한 뒤 풀이를 끝내는 것이다. 이 명제는 장애물이 없는 평지 운동에서는 수학적으로 옳다. 하지만 천장이 추가적인 물리적 조건을 만들며, 낮은 궤적만 그 조건을 만족한다.

문제 4

발사체를 평지에서 발사한 뒤 \(50.0\text{ m}\) 떨어진 같은 높이의 지점에 착지한다.

비행 중 발사체는 발사 높이보다 \(8.00\text{ m}\) 높은 두 점을 지난다. 이 두 점은 수평으로 \(30.0\text{ m}\) 떨어져 있다.

공기 저항을 무시하라.

다음을 구하라.

• 발사점에서 측정한 각 \(8.00\text{ m}\) 높이 지점의 수평 위치
• 발사각
• 초기 발사 속력
• 두 \(8.00\text{ m}\) 높이 지점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간

해설 4

발사체의 높이가 \(8.00\text{ m}\)일 때의 위치는 \(x=10.0\text{ m}\)와 \(x=40.0\text{ m}\)이고, 발사각은 \(45.0^\circ\), 초기 발사 속력은 약 \(22.1\text{ m s}^{-1}\), 두 점 사이를 이동하는 데 걸리는 시간은 약 \(1.92\text{ s}\)이다.

첫 번째 조건은 대칭성이다.

발사 높이와 착지 높이가 같고 공기 저항이 없을 때 궤적은 최고점을 중심으로 대칭인 포물선이다. 전체 사거리가 \(50.0\text{ m}\)이므로 최고점은 정확히 중간에 있다.

\[
x_{\text{apex}}=25.0\text{ m}
\]

두 점은 높이가 같고 서로 \(30.0\text{ m}\) 떨어져 있으므로 최고점의 양쪽에 같은 거리만큼 떨어져 있어야 한다.

두 위치를 \(x_1\)과 \(x_2\)라고 하면,

\[
x_2-x_1=30.0
\]

이고,

\[
\frac{x_1+x_2}{2}=25.0
\]

이다.

따라서,

\[
x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m}
\]

이다.

이제 궤적 방정식

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

을 사용한다.

같은 높이에 착지하는 발사체의 사거리가 \(R\)일 때,

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

이므로 궤적 방정식을

\[
y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right)
\]

으로 쓸 수 있다.

\(x=10.0\text{ m}\), \(y=8.00\text{ m}\), \(R=50.0\text{ m}\)일 때,

\[
8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right)
\]

이다.

\[
8.00=(10.0)\tan\theta(0.800)
\]

\[
8.00=8.00\tan\theta
\]

따라서,

\[
\tan\theta=1
\]

이고,

\[
\theta=45.0^\circ
\]

이다.

이제 사거리 방정식을 사용한다.

\[
50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8}
\]

\(\sin90^\circ=1\)이므로,

\[
u^2=(50.0)(9.8)=490
\]

이다.

\[
u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1}
\]

수평 속도는

\[
u_x=u\cos45.0^\circ
=(22.1)(0.707)
=15.7\text{ m s}^{-1}
\]

이다.

높이가 같은 두 점 사이의 수평 거리는 \(30.0\text{ m}\)이므로,

\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{u_x}
=\frac{30.0}{15.7}
=1.92\text{ s}
\]

이다.

유혹적인 접근은 여러 운동 방정식을 동시에 사용해 \(u\)와 \(\theta\)를 찾는 것부터 시작하는 것이다. 그 방법으로도 결국 풀 수 있지만, 문제에서 가장 강력한 정보를 놓치게 된다. 같은 높이에서 출발하고 착지하는 발사체의 궤적에서 같은 높이의 두 점은 최고점을 중심으로 대칭이어야 한다. 이 조건을 먼저 사용하면 문제가 크게 단순해진다.

문제 5

발사 장치가 높이 \(20.0\text{ m}\)의 절벽 가장자리에 있다. 발사체를 고정된 속력 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)으로 발사하지만 발사각은 바꿀 수 있다.

발사체는 발사 장치보다 \(20.0\text{ m}\) 아래의 평평한 지면에 착지한다. 공기 저항을 무시하라.

가능한 가장 큰 수평 사거리를 만드는 발사각을 구하고 그 최대 사거리를 계산하라. 그런 다음 \(45.0^\circ\)로 발사했을 때와 비교하라.

해설 5

최대 사거리는 \(45^\circ\)가 아니라 약 \(35.4^\circ\)에서 발생하며, 최대 수평 사거리는 약 \(57.4\text{ m}\)이다. \(45.0^\circ\)로 발사하면 약 \(55.5\text{ m}\)를 이동한다.

핵심 조건은 발사체가 발사점보다 낮은 곳에 착지한다는 것이다. 따라서 평지 사거리 공식을 이용해 각도를 최적화할 수 없다.

궤적 방정식에서 시작한다.

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

착지점에서는

\[
y=-h,\qquad x=R
\]

이고, 여기서 \(h=20.0\text{ m}\)이다. 또한,

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta
\]

이다.

다음과 같이 두자.

\[
q=\tan\theta
\]

그리고

\[
A=\frac{g}{2u^2}
\]

로 정의한다.

그러면 착지 조건은

\[
-h=Rq-AR^2(1+q^2)
\]

가 된다.

정리하면 \(q\)에 대한 이차방정식을 얻는다.

\[
AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0
\]

특정 사거리 \(R\)이 물리적으로 가능하려면 이 이차방정식이 적어도 하나의 실수 \(q\) 값을 가져야 하며, 따라서 적어도 하나의 실제 발사각이 존재해야 한다.

가능한 최대 \(R\)은 가능한 사거리와 불가능한 사거리의 경계에서 정확히 발생한다. 그 경계에서는 이차방정식이 하나의 중근을 가지므로 판별식이 0이다.

\[
R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0
\]

\(R^2\)으로 나누고 정리하면,

\[
R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
\]

를 얻는다.

\(u=20.0\text{ m s}^{-1}\), \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\), \(h=20.0\text{ m}\)를 대입하면,

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}
\sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)}
\]

이다.

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792}
=57.4\text{ m}
\]

중근에서는,

\[
q=\frac{1}{2AR_{\max}}
\]

이고, 이를 정리하면

\[
\tan\theta_{\text{opt}}
=\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}}
\]

가 된다.

따라서,

\[
\tan\theta_{\text{opt}}
=\frac{20.0}{\sqrt{792}}
=0.7107
\]

이므로,

\[
\theta_{\text{opt}}=35.4^\circ
\]

이다.

이제 이를 \(45.0^\circ\) 발사와 비교하자.

\(45.0^\circ\)에서는,

\[
u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1}
\]

이다.

수직 방향 착지 조건은

\[
-20.0=(14.1)T-4.90T^2
\]

이다.

양의 근은

\[
T=3.93\text{ s}
\]

이므로,

\[
R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m}
\]

이다.

따라서 \(35.4^\circ\)로 발사하면 \(45.0^\circ\)로 발사할 때보다 약

\[
57.4-55.5=1.9\text{ m}
\]

더 멀리 이동한다.

유혹적인 주장은 \(\sin(2\theta)\)가 \(45^\circ\)에서 가장 크므로 \(45^\circ\)가 항상 사거리를 최대로 만들어야 한다는 것이다. 문제는 사용한 식에 숨어 있다. \(R=u^2\sin(2\theta)/g\)는 이미 같은 높이에 착지한다고 가정한 식이다. 여기서는 발사체가 추가로 \(20.0\text{ m}\)를 낙하해야 하므로 비행 시간과 발사각의 관계가 달라진다.

이 추가 낙하 시간 덕분에 발사체는 위쪽 속도 성분을 일부 줄이고 더 많은 속도를 수평 방향으로 유지하면서도, 더 멀리 이동할 만큼 충분히 오래 공중에 머무를 수 있다.

09사거리를 이해한 뒤 다음으로 알아낼 수 있는 것

앞으로 기억해야 할 유용한 핵심은 단순한 공식 하나가 아니다. 중요한 구조는

\[
\text{수평 사거리}=\text{수평 속도}\times\text{비행 시간}
\]

이다.

발사각은 두 요소를 동시에 바꾼다. 각도를 증가시키면 일반적으로 수평 속도는 감소하지만 공중에 머무르는 시간은 증가할 수 있다. 착지 높이가 달라지면 이 균형 역시 다시 변할 수 있다.

따라서 사거리, 최대 높이, 비행 시간을 서로 분리된 발사체 운동 주제로 다루어서는 안 된다. 이들은 모두 같은 수평 및 수직 성분에서 생겨나는 서로 다른 결과이다. 다음으로 유용한 단계는 발사체의 발사각이 변할 때 이러한 서로 경쟁하는 효과를 직접 비교해 보는 것이다.