प्रक्षेप्य का अंतिम वेग: HSC भौतिकी मार्गदर्शिका

एक प्रक्षेप्य जमीन से टकराने वाला है। उस क्षण वह दाईं ओर \(17.3\text{ m s}^{-1}\) और नीचे की ओर \(9.6\text{ m s}^{-1}\) की गति से चल रहा है। उसका अंतिम वेग क्या है?

एक आकर्षक उत्तर है \(17.3-9.6=7.7\text{ m s}^{-1}\)। लेकिन ये दोनों संख्याएँ परस्पर लंबवत दिशाओं में गति को दर्शाती हैं, इसलिए साधारण जोड़ यहाँ काम नहीं करता। वास्तविक वेग तिरछा है।

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए: क्या अंतिम चाल \(17.3\text{ m s}^{-1}\) से कम, उसके बराबर, या उससे अधिक होनी चाहिए?

यह अधिक होनी चाहिए। प्रक्षेप्य में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति एक ही समय पर होती है। इन घटकों को फिर से संयोजित करना कई HSC प्रक्षेप्य प्रश्नों का अंतिम चरण होता है।

01दो घटकों से एक वेग तक

मान लीजिए कि हम दाईं दिशा को धनात्मक \(x\) और ऊपर की दिशा को धनात्मक \(y\) चुनते हैं।

तब किसी प्रक्षेप्य के वेग को दो घटकों की सहायता से लिखा जा सकता है:

• \(v_x\): क्षैतिज वेग घटक, \(\text{m s}^{-1}\) में
• \(v_y\): ऊर्ध्वाधर वेग घटक, \(\text{m s}^{-1}\) में

यदि प्रक्षेप्य दाईं ओर और नीचे की ओर चल रहा है, तो \(v_x\) धनात्मक और \(v_y\) ऋणात्मक होगा।

उदाहरण के लिए,

\[ v_x=17.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-9.6\text{ m s}^{-1} \]

का अर्थ यह नहीं है कि एक वेग दूसरे का विरोध कर रहा है। दोनों घटक उसी एक गति का वर्णन करते हैं।

एक आयत की कल्पना कीजिए। \(v_x\) उसकी क्षैतिज भुजा है, \(v_y\) उसकी ऊर्ध्वाधर भुजा है, और वास्तविक वेग सदिश उसका विकर्ण है।

क्योंकि ये घटक परस्पर लंबवत हैं, इसलिए चाल \(v\), जो वेग सदिश का परिमाण है, पाइथागोरस प्रमेय से मिलती है:

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

नीचे की ओर होने पर \(v_y\) का ऋणात्मक चिह्न वर्ग करने पर समाप्त हो जाता है। यह उचित है: चाल एक परिमाण है, इसलिए वह ऋणात्मक नहीं हो सकती।

दिशा त्रिकोणमिति से मिलती है। यदि प्रक्षेप्य दाईं ओर चल रहा है,

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right) \]

जहाँ \(\theta\) क्षैतिज के ऊपर या नीचे का कोण है।

परम मान \(|v_y|\) ऊर्ध्वाधर घटक का परिमाण देता है। इसके बाद \(v_y\) के चिह्न से यह बताया जाता है कि दिशा क्षैतिज के ऊपर है या नीचे।

इसलिए यदि \(v_y<0\), तो ऐसा कुछ लिखें:

क्षैतिज से \(29^\circ\) नीचे।

दिशा तय करने से पहले चिह्न को न हटाएँ।

02अंतिम घटक कहाँ से आते हैं

घटकों को फिर से संयोजित करना आमतौर पर अंतिम चरण होता है, पूरा प्रक्षेप्य गणना-क्रम नहीं।

मानक HSC प्रक्षेप्य मॉडल में, जहाँ वायु प्रतिरोध नगण्य माना जाता है:

\[ a_x=0 \]

इसलिए क्षैतिज वेग स्थिर रहता है:

\[ v_x=u_x \]

यहाँ \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ a_y=-g \]

जहाँ \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\), यदि ऊपर की दिशा को धनात्मक माना जाए।

इसलिए,

\[ v_y=u_y-gt \]

जहाँ:

• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक है
• \(t\) बीता हुआ समय, सेकंड में, है
• \(v_y\) उस समय के बाद का ऊर्ध्वाधर वेग है

यदि आपको प्रारंभिक प्रक्षेपण चाल और कोण को \(u_x\) तथा \(u_y\) में बदलने का पुनरावलोकन चाहिए, तो HSC भौतिकी के लिए प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग घटक देखें।

एक उपयोगी निर्णय-सारणी है:

एक महत्वपूर्ण बात: “अंतिम वेग” का अर्थ अपने-आप “जमीन से टकराते समय का वेग” नहीं होता। इसका अर्थ उस अंतराल के अंत में वेग है जिसका आप विश्लेषण कर रहे हैं।

03\(v_y\) का चिह्न बहुत महत्वपूर्ण जानकारी देता है

मान लीजिए आपके कैलकुलेटर से मिलता है

\[ v_y=-14\text{ m s}^{-1}. \]

\(14\) आपको बताता है कि वेग का ऊर्ध्वाधर परिमाण कितना है। ऋणात्मक चिह्न बताता है कि वह नीचे की ओर है।

कभी-कभी विद्यार्थी \(-14\) को सीधे

\[ \tan^{-1}\left(\frac{v_y}{v_x}\right) \]

में रख देते हैं और ऋणात्मक कोण प्राप्त करते हैं। कैलकुलेटर गलत नहीं है। उदाहरण के लिए, \(-35^\circ\) का कोण धनात्मक क्षैतिज अक्ष से \(35^\circ\) नीचे का अर्थ रखता है।

HSC उत्तर में आमतौर पर कोण का परिमाण लिखना और फिर दिशा को शब्दों में बताना अधिक स्पष्ट होता है:

\[ 35^\circ\text{ क्षैतिज से नीचे।} \]

भौतिक दिशा तय करने का काम कैलकुलेटर पर छोड़ने की बजाय एक छोटा-सा रेखाचित्र बनाना अधिक सुरक्षित है।

04आपको हमेशा उड़ान का समय ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं होती

मान लीजिए एक प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु से नीचे उतरता है। आपको लग सकता है कि अंतिम वेग ज्ञात करने से पहले उड़ान का समय निकालना आवश्यक है।

कभी-कभी यह आवश्यक होता है। लेकिन यदि ऊर्ध्वाधर विस्थापन ज्ञात है, तो यह समीकरण प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक से सीधे अंतिम ऊर्ध्वाधर घटक तक पहुँच सकता है:

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

लेकिन इसमें एक समस्या है। वर्ग करने से \(v_y\) का चिह्न खो जाता है। वर्गमूल लेने के बाद आपको भौतिक परिस्थिति के आधार पर तय करना होगा कि \(v_y\) धनात्मक है या ऋणात्मक।

टक्कर के समय, यदि प्रक्षेप्य नीचे की ओर जा रहा है, तो ऋणात्मक मूल चुनें।

05सममिति का शॉर्टकट – और उसकी सीमा

यह एक उपयोगी पूर्वानुमान है।

एक प्रक्षेप्य को क्षैतिज से \(\alpha\) ऊपर के कोण पर \(u\) चाल से छोड़ा जाता है। बाद में वह ठीक उसी ऊँचाई पर लौट आता है। वायु प्रतिरोध न होने पर उसका वेग क्या होगा?

क्षैतिज घटक नहीं बदला है:

\[ v_x=u\cos\alpha \]

नीचे आते समय उसी ऊँचाई पर, ऊर्ध्वाधर घटक का परिमाण प्रारंभिक मान के बराबर होता है, लेकिन उसका चिह्न विपरीत होता है:

\[ v_y=-u\sin\alpha \]

इसलिए अंतिम चाल है

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(u\cos\alpha)^2+(-u\sin\alpha)^2}\\ &=\sqrt{u^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\\ &=u \end{aligned} \]

और दिशा क्षैतिज से \(\alpha\) नीचे होती है।

इसलिए क्षैतिज से \(37^\circ\) ऊपर \(25\text{ m s}^{-1}\) से किया गया प्रक्षेपण उसी ऊँचाई पर \(25\text{ m s}^{-1}\), क्षैतिज से \(37^\circ\) नीचे के वेग के साथ लौटता है।

एक सामान्य गलती यह कहना है कि अंतिम वेग प्रारंभिक वेग का केवल ऋणात्मक रूप है।

ऐसा नहीं है।

यदि

\[ \vec u=(u_x,u_y), \]

तो नीचे आते समय उसी ऊँचाई पर,

\[ \vec v=(u_x,-u_y). \]

केवल ऊर्ध्वाधर घटक उलटता है। क्षैतिज घटक अभी भी उसी दिशा में रहता है।

यह शॉर्टकट तब भी लागू नहीं होता जब अंतिम ऊँचाई प्रारंभिक ऊँचाई से अलग हो, जब वायु प्रतिरोध महत्वपूर्ण हो, या जब कोई अन्य बल प्रक्षेप्य को क्षैतिज त्वरण दे।

06अंतिम वेग निकालने की एक विश्वसनीय प्रक्रिया

जब HSC के किसी प्रश्न में अंतिम वेग पूछा जाए, तो इस क्रम का उपयोग करें:

1. अपनी धनात्मक दिशाएँ चुनें।
2. \(v_x\) ज्ञात करें और उसका चिह्न बनाए रखें।
3. \(v_y\) ज्ञात करें और उसका चिह्न बनाए रखें।
4. दोनों घटकों का रेखाचित्र बनाएँ।
5. \(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\) का उपयोग करके चाल निकालें।
6. त्रिकोणमिति से संदर्भ कोण निकालें।
7. दिशा को स्पष्ट रूप से लिखें, जैसे “क्षैतिज से नीचे”।

जब तक आपको यह न पता हो कि चिह्नों का भौतिक अर्थ क्या है, तब तक कोण की गणना न करें।

07प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रक्षेप्य के अंतिम वेग घटक हैं

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y=-5.0\text{ m s}^{-1}. \]

उसकी अंतिम चाल और दिशा ज्ञात करें।

समाधान 1

अंतिम वेग \(13.0\text{ m s}^{-1}\), क्षैतिज से \(22.6^\circ\) नीचे है।

चाल दो परस्पर लंबवत घटकों का परिणामी परिमाण है:

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(12.0)^2+(-5.0)^2}\\ &=\sqrt{169}\\ &=13.0\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

दिशा के लिए,

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{|v_y|}{v_x}\right)\\ &=\tan^{-1}\left(\frac{5.0}{12.0}\right)\\ &=22.6^\circ. \end{aligned} \]

क्योंकि \(v_y\) ऋणात्मक है, प्रक्षेप्य नीचे की ओर चल रहा है। इसलिए उसकी दिशा क्षैतिज से \(22.6^\circ\) नीचे है।

एक आकर्षक गलती \(12.0-5.0=7.0\text{ m s}^{-1}\) निकालना है। इसमें परस्पर लंबवत घटकों को ऐसे माना जाता है मानो वे एक ही सीधी रेखा में कार्य कर रहे हों।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य \(2.50\text{ s}\) में क्षैतिज रूप से \(40.0\text{ m}\) की दूरी तय करता है। उसी समय-अंतराल में वह अपने प्रक्षेपण बिंदु से \(5.00\text{ m}\) नीचे समाप्त होता है।

वायु प्रतिरोध को अनदेखा करें और \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) लें।

ज्ञात करें:

• उसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक,
• उसके अंतिम वेग घटक, और
• उसकी अंतिम चाल और दिशा।

समाधान 2

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर \(10.25\text{ m s}^{-1}\) है, और अंतिम वेग लगभग \(21.4\text{ m s}^{-1}\), क्षैतिज से \(41.7^\circ\) नीचे है।

पहले क्षैतिज वेग ज्ञात करें। शून्य क्षैतिज त्वरण के साथ,

\[ \begin{aligned} v_x&=\frac{\Delta x}{t}\\ &=\frac{40.0}{2.50}\\ &=16.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

अब ऊर्ध्वाधर विस्थापन का समीकरण उपयोग करें:

\[ \Delta y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

यहाँ,

\[ \Delta y=-5.00\text{ m},\qquad a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} -5.00&=u_y(2.50)+\frac12(-9.8)(2.50)^2\\ -5.00&=2.50u_y-30.625\\ 25.625&=2.50u_y\\ u_y&=10.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

अंतिम ऊर्ध्वाधर घटक है

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y+a_yt\\ &=10.25+(-9.8)(2.50)\\ &=-14.25\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

इसलिए अंतिम घटक हैं

\[ v_x=16.0\text{ m s}^{-1},\qquad v_y=-14.25\text{ m s}^{-1}. \]

अब इन्हें पुनः संयोजित करें:

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(16.0)^2+(-14.25)^2}\\ &=21.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

दिशा है

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{14.25}{16.0}\right)\\ &=41.7^\circ. \end{aligned} \]

क्योंकि \(v_y<0\), दिशा क्षैतिज से \(41.7^\circ\) नीचे है।

एक आकर्षक तरीका औसत ऊर्ध्वाधर वेग,

\[ \frac{-5.00}{2.50}=-2.00\text{ m s}^{-1}, \]

को अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग मान लेना है। यह गलत है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण \(v_y\) को लगातार बदलता रहता है। इस समय-अंतराल का औसत ऊर्ध्वाधर वेग अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग नहीं है।

प्रश्न 3

बिंदु \(A\) पर एक प्रक्षेप्य \(18.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(25^\circ\) ऊपर चल रहा है।

बाद में वह बिंदु \(B\) पर पहुँचता है, जो बिंदु \(A\) से \(3.00\text{ m}\) नीचे है। \(B\) पर प्रक्षेप्य नीचे की ओर जा रहा है।

वायु प्रतिरोध को अनदेखा करें।

ज्ञात करें:

• \(B\) पर प्रक्षेप्य का वेग, और
• \(A\) से \(B\) तक जाने में लगा समय।

समाधान 3

\(B\) पर प्रक्षेप्य लगभग \(19.6\text{ m s}^{-1}\), क्षैतिज से \(33.5^\circ\) नीचे की दिशा में चल रहा है, और \(A\) से \(B\) तक यात्रा का समय \(1.88\text{ s}\) है।

\(A\) पर वेग को घटकों में विभाजित करने से शुरू करें:

\[ \begin{aligned} v_{Ax}&=(18.0)\cos25^\circ\\ &=16.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

और

\[ \begin{aligned} v_{Ay}&=(18.0)\sin25^\circ\\ &=7.61\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

क्षैतिज घटक स्थिर रहता है, इसलिए

\[ v_{Bx}=16.3\text{ m s}^{-1}. \]

ऊर्ध्वाधर घटक के लिए,

\[ v_{By}^2=v_{Ay}^2+2a_y\Delta y. \]

का उपयोग करें।

यहाँ,

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2},\qquad \Delta y=-3.00\text{ m}. \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} v_{By}^2 &=(7.61)^2+2(-9.8)(-3.00)\\ &\approx116.7. \end{aligned} \]

अतः,

\[ v_{By}=\pm10.8\text{ m s}^{-1}. \]

प्रश्न में कहा गया है कि \(B\) पर प्रक्षेप्य नीचे की ओर जा रहा है, इसलिए भौतिक रूप से सही मूल है

\[ v_{By}=-10.8\text{ m s}^{-1}. \]

अब चाल ज्ञात करें:

\[ \begin{aligned} v_B&=\sqrt{(16.3)^2+(-10.8)^2}\\ &=19.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

उसकी दिशा है

\[ \begin{aligned} \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{10.8}{16.3}\right)\\ &=33.5^\circ. \end{aligned} \]

इसलिए वेग \(19.6\text{ m s}^{-1}\), क्षैतिज से \(33.5^\circ\) नीचे है।

समय ज्ञात करने के लिए,

\[ v_{By}=v_{Ay}+a_yt. \]

का उपयोग करें।

अतः,

\[ \begin{aligned} -10.8&=7.61-9.8t\\ t&=\frac{-10.8-7.61}{-9.8}\\ &=1.88\text{ s}. \end{aligned} \]

यहाँ जाल वर्गमूल में है। \(v_{By}^2\) का समीकरण गणितीय रूप से दो संभावनाएँ देता है। यह कथन कि \(B\) पर पहुँचते समय प्रक्षेप्य नीचे की ओर जा रहा है, ऋणात्मक मान को चुनता है।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य को बिंदु \(O\) से छोड़ा जाता है। बाद के एक बिंदु \(P\) पर, जो \(O\) से \(8.00\text{ m}\) ऊपर है, वह \(20.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(30^\circ\) नीचे चल रहा है।

वायु प्रतिरोध रहित मानक प्रक्षेप्य गति मानें।

ज्ञात करें:

• प्रक्षेप्य की प्रक्षेपण चाल,
• क्षैतिज से ऊपर उसका प्रक्षेपण कोण, और
• प्रक्षेपण से \(P\) तक पहुँचने के बीच का समय।

समाधान 4

प्रक्षेप्य को लगभग \(23.6\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(42.8^\circ\) ऊपर छोड़ा गया था, और वह \(2.66\text{ s}\) बाद \(P\) तक पहुँचता है।

इस प्रश्न की असामान्य विशेषता यह है कि हम बाद के वेग से पहले के वेग का पुनर्निर्माण कर रहे हैं।

\(P\) पर,

\[ \begin{aligned} v_x&=(20.0)\cos30^\circ\\ &=17.3\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]

और क्योंकि प्रक्षेप्य नीचे की ओर जा रहा है,

\[ \begin{aligned} v_y&=-(20.0)\sin30^\circ\\ &=-10.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

पूरी उड़ान के दौरान क्षैतिज वेग नहीं बदलता, इसलिए प्रारंभिक क्षैतिज घटक भी

\[ u_x=17.3\text{ m s}^{-1}. \]

था।

अब

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

का उपयोग करके ऊर्ध्वाधर दिशा में पीछे की ओर गणना करें।

\(O\) से \(P\) तक,

\[ \Delta y=+8.00\text{ m} \]

और

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2}. \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} (-10.0)^2 &=u_y^2+2(-9.8)(8.00)\\ 100&=u_y^2-156.8\\ u_y^2&=256.8. \end{aligned} \]

इससे मिलता है

\[ u_y=\pm16.0\text{ m s}^{-1}. \]

यहाँ धनात्मक मूल आवश्यक है:

\[ u_y=+16.0\text{ m s}^{-1}. \]

हम \(-16.0\text{ m s}^{-1}\) को क्यों अस्वीकार कर सकते हैं?

यदि प्रक्षेप्य ने शुरुआत नीचे की ओर चलते हुए की होती और उसका ऊर्ध्वाधर त्वरण भी नीचे की ओर होता, तो वह बाद में अपने प्रक्षेपण बिंदु से \(8.00\text{ m}\) ऊपर किसी बिंदु तक कभी नहीं पहुँच सकता था। ऋणात्मक मूल वर्गित समीकरण को तो संतुष्ट करता है, लेकिन वास्तविक भौतिक पथ को नहीं।

अब प्रारंभिक घटकों को पुनः संयोजित करें:

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(17.3)^2+(16.0)^2}\\ &=23.6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

प्रक्षेपण कोण है

\[ \begin{aligned} \alpha&=\tan^{-1}\left(\frac{16.0}{17.3}\right)\\ &=42.8^\circ. \end{aligned} \]

अंत में,

\[ v_y=u_y+a_yt, \]

इसलिए

\[ \begin{aligned} -10.0&=16.0-9.8t\\ t&=\frac{-10.0-16.0}{-9.8}\\ &=2.66\text{ s}. \end{aligned} \]

एक आकर्षक गलती बाद के नीचे की ओर वेग को देखकर यह मान लेना है कि प्रक्षेप्य को भी नीचे की ओर ही छोड़ा गया होगा। प्रक्षेप्य गति में ऊर्ध्वाधर घटक उलट सकता है: ऊपर की ओर गति धीमी होकर शून्य होती है, फिर नीचे की ओर गति बन जाती है।

प्रश्न 5

एक कैलिब्रेट किया हुआ प्रक्षेपण सेंसर दर्ज करता है कि एक प्रक्षेप्य प्लेटफ़ॉर्म से \(26.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(35^\circ\) ऊपर निकलता है।

उसकी उड़ान के अंत में, उच्च-गति वीडियो विश्वसनीय रूप से दिखाता है कि उसका वेग क्षैतिज से \(50^\circ\) नीचे की दिशा में है। एक अलग चाल-प्रदर्शक \(30.0\text{ m s}^{-1}\) दिखाता है।

मान लें कि प्रक्षेप्य आदर्श HSC मॉडल का पालन करता है: वायु प्रतिरोध नगण्य है और गुरुत्वीय त्वरण नीचे की ओर \(9.8\text{ m s}^{-2}\) है।

क्या तीनों माप सही हो सकते हैं?

यदि नहीं:

• असंगति पहचानें,
• आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल के अनुसार आवश्यक अंतिम चाल ज्ञात करें,
• अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग घटक ज्ञात करें, और
• प्रक्षेपण बिंदु के सापेक्ष अंतिम बिंदु का ऊर्ध्वाधर विस्थापन ज्ञात करें।

समाधान 5

नहीं। आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल के अंतर्गत तीनों माप एक साथ सही नहीं हो सकते। प्रक्षेपण डेटा और अंतिम दिशा के अनुसार अंतिम चाल लगभग \(33.1\text{ m s}^{-1}\) होनी चाहिए, न कि \(30.0\text{ m s}^{-1}\), और अंतिम बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से लगभग \(21.5\text{ m}\) नीचे है।

मुख्य बंधन वही है जिसे अनदेखा करना सबसे आसान है: क्षैतिज वेग स्थिर रहना चाहिए।

प्रक्षेपण डेटा से,

\[ \begin{aligned} u_x&=(26.0)\cos35^\circ\\ &=21.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

इसलिए पूरी उड़ान के दौरान,

\[ v_x=21.3\text{ m s}^{-1}. \]

अब क्षैतिज से \(50^\circ\) नीचे की दिशा में बताए गए \(30.0\text{ m s}^{-1}\) के अंतिम वेग की जाँच करें।

उसका क्षैतिज घटक होगा

\[ \begin{aligned} v_x&=(30.0)\cos50^\circ\\ &=19.3\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

लेकिन आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल के अनुसार \(v_x=21.3\text{ m s}^{-1}\) होना चाहिए।

इसलिए मापों में असंगति है।

क्योंकि प्रक्षेपण माप को कैलिब्रेट किया हुआ बताया गया है और अंतिम दिशा को विश्वसनीय बताया गया है, इसलिए अंतिम चाल का माप गलत होना चाहिए।

भौतिक रूप से संगत अंतिम चाल को \(v_f\) मानें। तब

\[ v_f\cos50^\circ=21.3. \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} v_f&=\frac{21.3}{\cos50^\circ}\\ &=33.1\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

उसका ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर है:

\[ \begin{aligned} v_y&=-v_f\sin50^\circ\\ &=-(33.1)\sin50^\circ\\ &=-25.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

अब प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक ज्ञात करें:

\[ \begin{aligned} u_y&=(26.0)\sin35^\circ\\ &=14.9\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

उपयोग करें

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} (-25.4)^2 &=(14.9)^2+2(-9.8)\Delta y\\ 644.2&=222.4-19.6\Delta y. \end{aligned} \]

अतः,

\[ \begin{aligned} 421.8&=-19.6\Delta y\\ \Delta y&=-21.5\text{ m}. \end{aligned} \]

इसलिए अंतिम बिंदु प्रक्षेपण बिंदु से लगभग \(21.5\text{ m}\) नीचे है।

एक आकर्षक तरीका बताए गए \(30.0\text{ m s}^{-1}\) को स्वीकार करके उसके ऊर्ध्वाधर घटक का तुरंत किसी गतिविज्ञान समीकरण में उपयोग करना है। इससे एक संख्यात्मक उत्तर तो मिल जाएगा, लेकिन वह उत्तर ऐसे डेटा पर आधारित होगा जो पहले ही प्रक्षेप्य मॉडल का उल्लंघन करते हैं।

अधिक गहरी जाँच पहले आती है: घटकों को पुनः संयोजित करने या कोई अन्य समीकरण लगाने से पहले पूछें कि क्या क्षैतिज घटक संगत है। भौतिक रूप से उचित दिखने वाली चाल और कोण अपने-आप बाकी गति के साथ संगत नहीं हो जाते।

08अब आप आगे क्या कर सकते हैं

जब आप \(v_x\), \(v_y\), चाल और दिशा के बीच आत्मविश्वास से बदलना सीख जाते हैं, तो प्रक्षेप्य के प्रश्नों को व्यवस्थित करना बहुत आसान हो जाता है।

घटक आपको बताते हैं कि गुरुत्वाकर्षण ने क्या बदला है और क्या नहीं। उन्हें पुनः संयोजित करने से पता चलता है कि किसी एक क्षण पर प्रक्षेप्य वास्तव में क्या कर रहा है।

यही विचार प्रक्षेपण वेग, अधिकतम ऊँचाई पर वेग और टक्कर के वेग के बीच तुलना को सटीक बनाता है। अधिकतम ऊँचाई पर \(v_y=0\) होता है, लेकिन \(v_x\) बना रहता है। उसी ऊँचाई पर उतरते समय \(v_y\) का चिह्न उलट चुका होता है। नीचे के स्तर पर उतरते समय उसके नीचे की ओर परिमाण का मान अधिक होता है।

इसलिए उपयोगी आदत केवल

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

को याद रखना नहीं है।

बल्कि यह सीखना है कि दोनों घटकों को एक भौतिक कहानी की तरह कैसे पढ़ें, और फिर उन्हें वापस एक अंतिम वेग सदिश में कैसे बदलें।