HSC 物理：马达效应力的最大值与零值

一条直导线在均匀磁场中通有稳定电流。你保持电流、导线长度和磁场强度不变，只转动导线。在某个方向上，磁力会达到可能的最大值。再把导线转到另一个方向，力则会完全消失。

继续阅读之前，先预测这两种方向。当电流沿著磁场方向流动时，力应该最大，还是当电流横切磁场时最大？

第一次接触时，答案可能有点违反直觉：当电流方向与磁场互相垂直时，力最大；当两者平行或反平行时，力为零。

这一个概念就能解释马达效应中与角度有关的部分。

01想像电流横切磁场

想像磁力线在纸面上水平延伸。现在把一条载流导线放进这个磁场中。

如果电流也沿水平方向流动，它完全没有横切磁场。在 HSC 模型中，导线不会受到马达效应力。

把导线转到电流沿垂直方向流动。此时它的方向完全横跨磁场，因此力会达到可能的最大值。

如果角度介于两者之间，只有电流方向的一部分有效地横切磁场。

一个有点傻气的想像方式，是把它当成拥挤的学校走廊。假设其他所有人都朝同一方向前进，而你代表电流。若你完全顺著人群走，或完全逆著人群方向走，都不会产生横跨人流的侧向分量。若你直接横穿走廊，跨越人流的交互作用就最大。

这个类比到此为止。磁力并不是由人彼此碰撞造成的。这个类比真正有用的地方只是几何关系：横向分量有影响；沿著磁场的分量没有影响。

02方程式精确告诉我们角度有多重要

对于均匀磁场中的直载流导体，

\[
F = BIL\sin\theta
\]

其中：

• \(F\) 是作用在导体上的磁力，单位为牛顿（\(\text{N}\)），
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(I\) 是传统电流，单位为安培（\(\text{A}\)），
• \(L\) 是位于磁场内的导体长度，单位为米（\(\text{m}\)），以及
• \(\theta\) 是传统电流方向与磁场方向之间的夹角。

本指南最重要的部分是 \(\sin\theta\)。

即使其他所有量都保持不变，只要转动导线，力就会改变。

请注意一个重要现象：\(30^\circ\) 和 \(150^\circ\) 会产生相同大小的力。

这条公式在意的是电流方向有多大程度横切磁场，而不只是角度的数值看起来有多大。

03为甚么在 \(90^\circ\) 时力最大？

\(\sin\theta\) 的最大可能值是 1。

这发生在

\[
\theta = 90^\circ
\]

因此力变成

\[
F_{\text{max}} = BIL.
\]

整个电流方向都与磁场垂直，没有任何分量沿著磁场方向。

另一种表达相同概念的方法，是只考虑导体的垂直分量：

\[
L_\perp = L\sin\theta.
\]

于是

\[
F = BI L_\perp.
\]

在 \(90^\circ\) 时，

\[
L_\perp = L,
\]

所以整段相关长度都会对力产生贡献。

这并不代表导线在物理上变长了。\(L_\perp\) 是一个几何分量：它表示导线方向中有多少位于与磁场垂直的方向。

范例：\(30^\circ\) 导线所受的力

一条 \(0.25\text{ m}\) 长的导线，在 \(0.40\text{ T}\) 的均匀磁场中通有 \(3.0\text{ A}\) 的电流。电流方向与磁场成 \(30^\circ\) 夹角。计算导线所受的磁力，并与可能的最大磁力比较。

步骤 1：找出马达效应方程式。

\[
F = BIL\sin\theta
\]

步骤 2：代入数值，包括角度。

\[
\begin{aligned}
F
&= (0.40)(3.0)(0.25)\sin30^\circ \\
&= (0.40)(3.0)(0.25)(0.5) \\
&= 0.15\text{ N}
\end{aligned}
\]

所以磁力为 \(0.15\text{ N}\)。

步骤 3：令 \(\theta=90^\circ\)，求最大力。

\[
\begin{aligned}
F_{\text{max}}
&= BIL \\
&= (0.40)(3.0)(0.25) \\
&= 0.30\text{ N}
\end{aligned}
\]

\(30^\circ\) 时的力正好是最大值的一半，因为 \(\sin30^\circ=0.5\)。

物理意义比算术本身更有用：在 \(30^\circ\) 时，电流的垂直分量只有在 \(90^\circ\) 时的一半。

04为甚么在 \(0^\circ\) 和 \(180^\circ\) 时力都是零？

这里很容易出现一个常见错误。

学生可能会认为 \(180^\circ\) 应该产生非常大的力，因为电流与磁场指向相反方向。方向相反听起来好像代表最大的「冲突」。

但磁力并不是靠衡量两个箭头彼此有多「不一致」来决定的。它取决于两者之间的垂直关系。

在 \(0^\circ\) 时，

\[
\sin0^\circ=0.
\]

在 \(180^\circ\) 时，

\[
\sin180^\circ=0.
\]

因此，在这两种情况下，

\[
F=0
\]

。

在 \(0^\circ\) 时，电流与磁场平行；在 \(180^\circ\) 时，两者反平行。无论哪一种情况，都没有垂直分量。

这也与单一运动电荷所受的磁力有关：

\[
F=qvB\sin\theta,
\]

其中 \(q\) 是电荷量，\(v\) 是它的速度，而 \(\theta\) 是其速度方向与磁场之间的夹角。

在 HSC 的导体模型中，马达效应是与运动电荷载流子相关的磁力共同作用的结果。沿著磁场方向的运动不会由该分量产生磁力；横跨磁场的运动则会。

05必须使用正确的角度

在这类题目中，最容易失分的方法之一，就是直接使用图中标示的角度，却没有先确认那个角度究竟是哪两个方向之间的夹角。

在

\[
F=BIL\sin\theta,
\]

中，\(\theta\) 必须是传统电流方向与磁场方向之间的夹角。

假设图中给的是导线与一条垂直于磁场的直线之间的夹角 \(20^\circ\)。那么电流与磁场之间的夹角就是

\[
90^\circ-20^\circ=70^\circ,
\]

因此你必须使用 \(\sin70^\circ\)，而不是 \(\sin20^\circ\)。

一个好习惯是先找出电流箭头和磁场箭头，再找这两个方向之间的夹角。

如果你还需要判断合力指向哪个方向，请使用马达效应方向规则。角度决定力的大小；方向规则则用来判断方向。

范例：由力推算导线的角度

一条 \(0.20\text{ m}\) 的导体在 \(0.80\text{ T}\) 的磁场中通有 \(4.0\text{ A}\) 的电流。磁力大小为 \(0.52\text{ N}\)。求电流与磁场之间可能的夹角。

步骤 1：从力的方程式开始。

\[
F=BIL\sin\theta
\]

步骤 2：整理方程式，求 \(\sin\theta\)。

\[
\sin\theta=\frac{F}{BIL}
\]

步骤 3：代入测量值。

\[
\begin{aligned}
\sin\theta
&=\frac{0.52}{(0.80)(4.0)(0.20)}\\
&=\frac{0.52}{0.64}\\
&=0.8125
\end{aligned}
\]

步骤 4：求第一个可能的角度。

\[
\theta=\sin^{-1}(0.8125)\approx54^\circ.
\]

但在 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\) 之间，\(54^\circ\) 并不是唯一可能的角度。

因为

\[
\sin54^\circ=\sin126^\circ,
\]

所以第二个可能的角度约为

\[
180^\circ-54^\circ=126^\circ.
\]

因此，电流与磁场之间的夹角可能约为 \(54^\circ\) 或 \(126^\circ\)。

两者会产生相同大小的力，因为它们具有相同的垂直分量。若要判断实际上是哪一个角度，还需要图示或有关导线方向的资讯。

06最快速的判断规则

对于一条载流直导线：

• 电流垂直于磁场 \(\rightarrow\) 力最大，
• 电流平行于磁场 \(\rightarrow\) 力为零，
• 电流反平行于磁场 \(\rightarrow\) 力为零，
• 任何介于其间的角度 \(\rightarrow\) 使用 \(F=BIL\sin\theta\)。

不要把 \(90^\circ\) 和 \(0^\circ\) 当成彼此无关的事实来死记。记住原因：只有垂直于磁场的分量会对马达效应力产生贡献。

当导体弯曲、数段导体同时受力，以及之后研究载流线圈所受的力矩时，这个原理仍然非常有用。

07题目与解答

题目 1

一条 \(0.40\text{ m}\) 长的直导体，在 \(0.60\text{ T}\) 的均匀磁场中通有 \(2.5\text{ A}\) 的电流。

电流方向与磁场垂直。

计算导体所受的磁力。

解答 1

磁力为 \(0.60\text{ N}\)。

所使用的方程式为

\[
F=BIL\sin\theta.
\]

因为电流与磁场垂直，

\[
\theta=90^\circ
\]

而且

\[
\sin90^\circ=1.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
F
&=(0.60)(2.5)(0.40)\sin90^\circ\\
&=(0.60)(2.5)(0.40)(1)\\
&=0.60\text{ N}.
\end{aligned}
\]

对这些 \(B\)、\(I\) 和 \(L\) 的数值而言，这也是可能的最大力。

一个很容易犯的错误，是认为「垂直」表示方向没有对齐，所以力应该为零。对磁力而言，情况恰好相反：垂直排列会使 \(\sin\theta\) 取得最大值。

题目 2

一条 \(0.50\text{ m}\) 长的导线，在 \(0.75\text{ T}\) 的磁场中通有 \(3.2\text{ A}\) 的电流。导线所受的力为 \(0.78\text{ N}\)。

求电流与磁场之间可能的夹角。

解答 2

可能的角度约为 \(41^\circ\) 和 \(139^\circ\)。

从

\[
F=BIL\sin\theta.
\]

开始。

整理后，

\[
\sin\theta=\frac{F}{BIL}.
\]

代入测量值：

\[
\begin{aligned}
\sin\theta
&=\frac{0.78}{(0.75)(3.2)(0.50)}\\
&=\frac{0.78}{1.20}\\
&=0.65.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
\theta=\sin^{-1}(0.65)\approx40.5^\circ.
\]

所以其中一个可能的角度约为 \(41^\circ\)。

然而，

\[
\sin\theta=\sin(180^\circ-\theta),
\]

所以第二个解为

\[
180^\circ-40.5^\circ=139.5^\circ.
\]

因此两个可能的角度约为 \(41^\circ\) 和 \(139^\circ\)。

一个很容易采用的做法，是只写下计算机给出的反正弦结果。这样会忽略一个限制：两个方向之间的物理夹角可以介于 \(0^\circ\) 到 \(180^\circ\)，而在这个范围内，两个不同角度可以具有相同的正弦值。

题目 3

一条通有恒定电流的导线，相对于均匀磁场从 \(30^\circ\) 旋转到 \(150^\circ\)。

一名学生说：「角度增加了 \(120^\circ\)，所以磁力一定会变得大很多。」

假设 \(B\)、\(I\) 和 \(L\) 保持不变：

1. 比较旋转前后的力大小，以及
2. 解释为甚么这名学生的推理不成立。

解答 3

力的大小不变。

一开始，

\[
F_1=BIL\sin30^\circ.
\]

由于

\[
\sin30^\circ=0.5,
\]

所以

\[
F_1=0.5BIL.
\]

旋转后，

\[
F_2=BIL\sin150^\circ.
\]

但

\[
\sin150^\circ=0.5,
\]

所以

\[
F_2=0.5BIL.
\]

因此，

\[
F_1=F_2.
\]

这名学生的推理不成立，因为磁力并不与角度的数值大小成正比，而是与角度的正弦值成正比。

这两种方向相对于磁场都具有相同大小的垂直分量。

容易产生的想法是：「角度较大」就一定代表力较大。这只在 \(0^\circ\) 到 \(90^\circ\) 的范围内成立。超过 \(90^\circ\) 后，\(\sin\theta\) 会再次减小，直到在 \(180^\circ\) 时力降为零。

题目 4

一条导线在水平向右的均匀磁场 \(B\) 中，电流 \(I\) 从 A 点流向 C 点。

有两种不同形状的导线连接相同的两点。

• 路径 1 是一条由 A 到 C 的直斜线导线。它的水平位移为 \(0.30\text{ m}\)，垂直位移为 \(0.40\text{ m}\)。
• 路径 2 由一段 \(0.30\text{ m}\) 的水平导线，再接一段 \(0.40\text{ m}\) 的垂直导线组成。

两种情况下，相同的电流都由 A 流向 C。

一名学生认为，路径 2 的两段导线与磁场的夹角不同，因此它所受的总磁力一定与路径 1 不同。

判断两条路径所受的总磁力大小是否不同。用 \(B\) 和 \(I\) 表示答案。

解答 4

两条路径所受的总磁力大小相同，都是 \(0.40BI\)。

对路径 2，分别考虑两段导线。

水平段与磁场平行，所以

\[
F_{\text{horizontal}}
=BI(0.30)\sin0^\circ
=0.
\]

垂直段与磁场垂直，所以

\[
\begin{aligned}
F_{\text{vertical}}
&=BI(0.40)\sin90^\circ\\
&=0.40BI.
\end{aligned}
\]

因此，路径 2 所受的总力大小为

\[
F_2=0.40BI.
\]

现在考虑路径 1。

它的长度为

\[
L=\sqrt{(0.30)^2+(0.40)^2}=0.50\text{ m}.
\]

如果它与水平磁场的夹角为 \(\theta\)，则

\[
\sin\theta=\frac{0.40}{0.50}=0.80.
\]

所以

\[
\begin{aligned}
F_1
&=BIL\sin\theta\\
&=BI(0.50)(0.80)\\
&=0.40BI.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
F_1=F_2=0.40BI.
\]

一个容易采用的错误思路，是把注意力放在导线的总长度，或路径中是否包含两个不同角度。真正重要的限制条件是垂直位移。

对路径 1 而言，只有其 \(0.50\text{ m}\) 长度的垂直分量会产生贡献，而该分量为 \(0.40\text{ m}\)。对路径 2 而言，\(0.30\text{ m}\) 的平行段不产生力，而整段 \(0.40\text{ m}\) 的垂直段都会产生贡献。

这是同一条规则更深入的应用：磁力取决于导体垂直于磁场的分量。

题目 5

一个载流正方形线圈完全放置在均匀磁场内。磁场位于线圈平面内，并与其中一对相对的边平行。

一名学生作出以下推理：

「与磁场平行的两条边所受的力为零。另外两条边与磁场垂直，因此每一条都受到最大力。这两个力大小相等、方向相反，所以总力为零。因此，磁场完全不能改变线圈的运动。」

评估这名学生的结论。假设线圈可以自由转动。

解答 5

线圈所受的合力为零，但这名学生最后的结论并不正确：磁场仍然可以产生非零力矩，使线圈转动。

先考虑与磁场平行的两条边。对每一条边而言，

\[
\theta=0^\circ
\]

或 \(180^\circ\)，所以

\[
F=BIL\sin\theta=0.
\]

现在考虑另外两条边。它们与磁场垂直，因此每一条边都受到

\[
F=BIL
\]

的力，也就是对该边而言可能的最大力。

因为电流在这两条相对的边上沿相反方向流动，所以它们所受的磁力也指向相反方向。两个力大小相等，因此它们的向量和为零。

所以，

\[
F_{\text{net}}=0.
\]

到这一步为止，这名学生的论证是正确的。

关键问题在于，这两个大小相等、方向相反的力作用在线圈上的不同位置。它们形成一个力偶。它们不会使线圈的质心产生平移，而是会产生转动效应。

因此，合力为零并不代表没有机械效应。

容易得出的错误结论，是把所有大小相等、方向相反的力都视为好像作用在同一点上。被忽略的限制条件是它们之间的距离。力可以在平移效果上互相抵消，同时仍然产生力矩。

这正是为甚么马达效应力与角度有关的行为，会自然引出下一个概念：载流线圈所受的力矩。马达不需要一个合力把整个线圈推过房间。它需要的是作用位置适当、能够产生转动的磁力。