载流导体所受的力：HSC 物理指南
学习如何正确使用 F = BIl sin θ、判断有效导体长度，并避免 HSC 物理电动机效应题目中的常见错误。
一条 50 cm 长的导线有电流通过，但只有其中 8 cm 的部分位于磁场内。在 \(F = BIl\sin\theta\) 中，应该使用哪一个长度：50 cm 还是 8 cm？
答案是 8 cm。导线的其余部分可能因为与这一段相连而一起移动，但磁力只会在载流导体与磁场重叠的区域产生。正确判断这个有效导体长度，是电动机效应计算中最重要的部分之一。
01力究竟从哪里产生？
想像一条直导线载著稳定电流穿过磁场。在金属内部，带电粒子正在移动。移动中的电荷在磁场中会受到磁力。
这个侧向力会传递到金属晶格，因此导体本身也会受到力。这就是电动机效应。
现在想像只有导线的一部分位于磁场内。磁场外的电荷不会受到这个磁力。因此，只有位于磁场内的那一段会直接对导体所受的力作出贡献。
可以用一个有点滑稽的模型来想像：一条很长的泳池浮条穿过一个狭窄的洗车刷。刷子推动它时，整条浮条都可能移动，但只有真正位于刷子之间的那一小段正在被直接推动。
这个比喻的局限在于，磁场并不会实际摩擦导线。更重要的是，磁力还取决于电流与磁场之间的夹角。
02力的方程式
对于载著电流、穿过均匀磁场的直导体，
\[
F = BIl\sin\theta
\]
其中：
| 符号 | 意义 | 单位 |
|---|---|---|
| \(F\) | 导体所受磁力的大小 | 牛顿，N |
| \(B\) | 磁通密度 | 特斯拉，T |
| \(I\) | 传统电流 | 安培，A |
| \(l\) | 位于磁场内的有效导体长度 | 米，m |
| \(\theta\) | 传统电流方向与磁场之间的夹角 | 度 |
有两个细节值得特别注意。
第一，\(l\) 并不一定等于导线的总长度。它是相关导体部分位于磁场内的长度。
第二，\(\theta\) 是电流与磁场之间的夹角。它并不一定是导线与边界、桌面、纸面，或题目图中其他任何线之间的夹角。
这个方程式给出的是力的大小。力的方向同时垂直于电流和磁场。如果你需要另外复习方向判断，可参阅 HSC 物理：电动机效应方向判断规则解析。
03为甚么会有 \(\sin\theta\)？
假设导体的方向与磁场完全相同。
你预期会有多大的力？
磁力为零。移动中的电荷不会因与其运动方向平行的磁场分量而受到磁力。
在另一个极端情况下，让导体与磁场垂直。此时，在给定的 \(B\)、\(I\) 和 \(l\) 下，力会达到最大值。
正弦因子正好反映这两个极限情况：
| 电流与磁场之间的夹角 | \(\sin\theta\) | 力 |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | 0 | 零 |
| \(30^\circ\) | 0.5 | \(0.5BIl\) |
| \(90^\circ\) | 1 | 最大，\(BIl\) |
| \(180^\circ\) | 0 | 零 |
你可以把 \(l\sin\theta\) 看成有效导体长度在垂直于磁场方向上的分量。
但这不代表你应该把图中某个随意的垂直距离拿来代替有效长度。先找出实际位于磁场内的导体长度，再利用 \(\sin\theta\) 考虑它与磁场之间的夹角。
如想更仔细了解这些极限情况，可参阅 HSC 物理中的最大与零电动机效应力。
04如何判断有效导体长度
一个可靠的方法是：
- 找出磁场存在的区域。
- 沿著导体追踪它穿过该区域的部分。
- 找出实际位于磁场内的导体长度。
- 计算该磁场造成的力时，忽略磁场外的导体部分。
- 如果 \(B\)、电流方向或夹角沿导体发生变化，就把导体分成合适的区段，并分别考虑各段所受的力。
第三点最容易令人出错。
假设一个磁场区域由左至右的宽度为 10 cm。一条导线斜穿过这个区域。有效导体长度就是 10 cm 吗？
不一定。
10 cm 只是磁场区域的水平宽度。由于导线是斜著穿过磁场，所以位于磁场内的那一段导线会更长。
例如，若导线与水平方向成 \(\alpha\) 角，并穿过两条水平相距 \(w\) 的垂直边界，
\[
\cos\alpha = \frac{w}{l}
\]
因此
\[
l = \frac{w}{\cos\alpha}.
\]
这个 \(l\) 才是实际的有效导体长度。
例题：垂直导体所受的力
一条导线载有 \(3.2\text{ A}\) 的电流。导线中有一段 \(0.18\text{ m}\) 位于 \(0.40\text{ T}\) 的均匀磁场内。导线与磁场垂直。计算导线所受磁力的大小。
步骤 1
只有 \(0.18\text{ m}\) 的导体位于磁场内，因此
\[
l = 0.18\text{ m}.
\]
步骤 2
电流与磁场互相垂直：
\[
\theta = 90^\circ,
\qquad
\sin90^\circ = 1.
\]
步骤 3
\[
\begin{aligned}
F &= BIl\sin\theta\\
&=(0.40)(3.2)(0.18)\sin90^\circ\\
&=0.2304\text{ N}.
\end{aligned}
\]
步骤 4
\[
F \approx 0.23\text{ N}.
\]
磁场对有效的 \(0.18\text{ m}\) 导体部分施加约 \(0.23\text{ N}\) 的磁力。由于电流与磁场垂直，在这些 \(B\)、\(I\) 和 \(l\) 的数值下，力的大小达到最大可能值。
例题：先找出有效长度
一条 \(0.60\text{ m}\) 长的直导线斜穿过一个均匀磁场区域。该区域的两条垂直边界在水平方向相距 \(0.12\text{ m}\)。导线与水平方向成向上 \(40^\circ\) 的角。
导线载有 \(4.5\text{ A}\) 的电流。磁场大小为 \(0.75\text{ T}\)，方向为水平方向以上 \(10^\circ\)。计算磁场内导线所受磁力的大小。
步骤 1
导线总长为 \(0.60\text{ m}\)，但大部分都位于磁场外。我们需要的是两条磁场边界之间那段斜向导线的长度。
若这个有效长度为 \(l\)，
\[
\cos40^\circ = \frac{0.12}{l}.
\]
因此，
\[
\begin{aligned}
l &= \frac{0.12}{\cos40^\circ}\\
&=0.1566\text{ m}\\
&\approx 0.157\text{ m}.
\end{aligned}
\]
步骤 2
电流方向为水平方向以上 \(40^\circ\)，而磁场方向为水平方向以上 \(10^\circ\)。
因此，
\[
\theta = 40^\circ-10^\circ=30^\circ.
\]
注意，\(40^\circ\) 并不是力的方程式所需的角度。它描述的是导线相对于水平方向的角度。我们需要的是电流与磁场之间的夹角。
步骤 3
\[
\begin{aligned}
F
&=(0.75)(4.5)(0.1566)\sin30^\circ\\
&=(0.75)(4.5)(0.1566)(0.5)\\
&=0.264\text{ N}.
\end{aligned}
\]
步骤 4
磁力大小为
\[
F \approx 0.26\text{ N}.
\]
这里需要作出两个独立的几何判断：图形决定有效导体长度，而电流与磁场的相对方向则决定 \(\theta\)。
05最容易犯的错误
| 看似合理的做法 | 为甚么会错 | 较好的判断 |
|---|---|---|
| 使用导线的总长度 | 位于磁场外的部分不会对该磁场所造成的力作出贡献 | 只使用磁场内的导体部分 |
| 把磁场区域的宽度当作 \(l\) | 斜向导体在区域内经过的距离可能比该区域的水平或垂直宽度更长 | 找出沿导线方向的实际长度 |
| 使用图中标在导线旁的角度 | 该角度可能是相对于边界或水平线量度的 | 找出电流与 \(B\) 之间的夹角 |
| 假设角度越大，力就一定越大 | \(\sin\theta\) 在 \(90^\circ\) 前增加，之后又减小 | 使用 \(\sin\theta\)，而不是只看 \(\theta\) 的数值大小 |
| 把多个区段所受的力当作普通数值直接相加 | 磁力有方向 | 以向量方式合成各个力 |
还有一个更细微的重点。如果导体在磁场内弯曲，不同区段所受的力可能指向不同方向。一般而言，你不能把所有区段的长度相加，再把总长度代入一个 \(BIl\sin\theta\) 计算。
对每一个直线区段而言，更精确的向量关系是
\[
\vec F = I\vec l\times\vec B,
\]
其中 \(\vec l\) 沿传统电流方向，大小等于该直线区段的有效长度。
你不需要把每一道 HSC 题目都变成向量积练习。实用的概念其实更简单：如果导体方向改变，就检查力的方向是否也会改变。
06问题与解答
问题 1
一条直导体载有 \(4.0\text{ A}\) 的电流。其中 \(0.20\text{ m}\) 的部分与 \(0.35\text{ T}\) 的均匀磁场垂直。
计算导体所受磁力的大小。
解答 1
磁力为 \(0.28\text{ N}\)。
有效导体长度为 \(0.20\text{ m}\)，而电流与磁场垂直，所以 \(\theta=90^\circ\)。
\[
\begin{aligned}
F&=BIl\sin\theta\\
&=(0.35)(4.0)(0.20)\sin90^\circ\\
&=0.28\text{ N}.
\end{aligned}
\]
一个常见但不必要的步骤，是继续在图中寻找其他角度。当题目已告诉你导体与磁场垂直时，所需的角度已经是 \(90^\circ\)。
问题 2
一条直导线穿过一个均匀磁场区域，该区域由两条相距 \(0.14\text{ m}\) 的垂直线界定。导线与水平方向成向上 \(30^\circ\) 的角，并载有 \(6.0\text{ A}\) 的电流，由左向右流动。
磁场大小为 \(0.55\text{ T}\)，方向为水平方向以上 \(75^\circ\)。
计算：
(a) 有效导体长度，
(b) \(F=BIl\sin\theta\) 中所需的夹角 \(\theta\)，以及
(c) 磁力的大小。
解答 2
有效长度为 \(0.162\text{ m}\)，所需夹角为 \(45^\circ\)，而磁力约为 \(0.38\text{ N}\)。
对于 (a)，\(0.14\text{ m}\) 的间距是水平距离。它不是沿斜向导线量得的长度。
\[
\cos30^\circ=\frac{0.14}{l}
\]
因此
\[
\begin{aligned}
l&=\frac{0.14}{\cos30^\circ}\\
&=0.1617\text{ m}\\
&\approx0.162\text{ m}.
\end{aligned}
\]
对于 (b)，电流方向为水平方向以上 \(30^\circ\)，而磁场方向为水平方向以上 \(75^\circ\)。因此，
\[
\theta=75^\circ-30^\circ=45^\circ.
\]
对于 (c)，
\[
\begin{aligned}
F
&=BIl\sin\theta\\
&=(0.55)(6.0)(0.1617)\sin45^\circ\\
&=0.377\text{ N}\\
&\approx0.38\text{ N}.
\end{aligned}
\]
很容易令人想直接代入 \(l=0.14\text{ m}\) 和 \(\theta=30^\circ\)，但这两个量都不正确。\(0.14\text{ m}\) 是水平位移，而 \(30^\circ\) 是相对于水平方向量度的角，而不是相对于磁场量度的角。
问题 3
一条水平导线载有 \(5.0\text{ A}\) 的电流，方向向右，并穿过两个相邻的磁场区域。
在区域 A 中，有 \(0.12\text{ m}\) 的导线位于 \(0.80\text{ T}\) 的磁场内，磁场方向指向纸面内。
在区域 B 中，有 \(0.20\text{ m}\) 的导线位于 \(0.48\text{ T}\) 的磁场内，磁场方向指向纸面外。
电流与两个磁场都垂直。
求导线所受的合磁力，并解释为甚么不能把总有效长度 \(0.32\text{ m}\) 直接代入一次力的计算。
解答 3
合磁力为 \(0\text{ N}\)，因为两个区域产生大小相等、方向相反的力。
对区域 A，
\[
\begin{aligned}
F_A
&=B_AI l_A\sin90^\circ\\
&=(0.80)(5.0)(0.12)\\
&=0.48\text{ N}.
\end{aligned}
\]
当电流向右、磁场指向纸面内时，力的方向向上。
对区域 B，
\[
\begin{aligned}
F_B
&=B_BI l_B\sin90^\circ\\
&=(0.48)(5.0)(0.20)\\
&=0.48\text{ N}.
\end{aligned}
\]
磁场方向反转，因此这个力的方向向下。
所以，
\[
F_{\text{net}}=0.48-0.48=0\text{ N}.
\]
学生可能会把两段长度相加得到 \(0.32\text{ m}\)，然后尝试进行一次 \(BIl\) 计算。这样做不可行，因为并不存在一个适用于整段 \(0.32\text{ m}\) 导线的单一磁场：两个区域中的磁场大小和方向都不同。
合力为零也不代表没有磁力作用。实际上有两个非零的力在作用，只是它们的向量和为零。
问题 4
一条弯曲导线完全位于一个方向指向纸面内、大小为 \(0.40\text{ T}\) 的均匀磁场中。导线载有 \(3.0\text{ A}\) 的电流。
电流首先沿 AB 段水平向右流过 \(0.20\text{ m}\)，然后转过 \(90^\circ\)，再沿 BC 段垂直向上流过 \(0.15\text{ m}\)。
求弯曲部分所受合磁力的大小和方向。
一名学生认为总有效长度为 \(0.35\text{ m}\)，所以力一定是
\[
F=(0.40)(3.0)(0.35)=0.42\text{ N}.
\]
解释这个错误。
解答 4
合力为 \(0.30\text{ N}\)，方向为北偏西 \(36.9^\circ\)。
两段导线都与磁场垂直，但它们的电流方向不同。因此，它们所受的力方向也不同。
对 AB 段，
\[
\begin{aligned}
F_{AB}
&=BIl_{AB}\\
&=(0.40)(3.0)(0.20)\\
&=0.24\text{ N}.
\end{aligned}
\]
电流向右，而 \(B\) 指向纸面内，因此 AB 所受的力向上。
对 BC 段，
\[
\begin{aligned}
F_{BC}
&=BIl_{BC}\\
&=(0.40)(3.0)(0.15)\\
&=0.18\text{ N}.
\end{aligned}
\]
电流向上，而 \(B\) 指向纸面内，因此 BC 所受的力向左。
两个力互相垂直，所以合力大小为
\[
\begin{aligned}
F_{\text{net}}
&=\sqrt{(0.24)^2+(0.18)^2}\\
&=\sqrt{0.0900}\\
&=0.30\text{ N}.
\end{aligned}
\]
相对于北方的方向为
\[
\begin{aligned}
\tan\phi&=\frac{0.18}{0.24}\\
\phi&=36.9^\circ.
\end{aligned}
\]
因此，合力方向为北偏西 \(36.9^\circ\)。
看似合理的 \(0.42\text{ N}\) 计算把弯曲导线视为其 \(0.35\text{ m}\) 的每一部分都受到相同方向的力。实际上并非如此。AB 段被推向北，而 BC 段被推向西。
只有在相关各段具有相同的电流方向、磁场，以及因而相同的受力方向时，才可以安全地先把有效长度相加，再使用 \(F=BIl\)。
问题 5
一个大小为 \(0.60\text{ T}\) 的均匀磁场在纸面内垂直向上。磁场占据一条高而狭长的区域，由两条水平相距 \(w=0.10\text{ m}\) 的垂直线界定。
一条载有 \(4.0\text{ A}\) 电流的直导线从左侧边界进入，并从右侧边界离开。导线与水平方向成向上 \(\alpha\) 的角。假设 \(\alpha\) 只取使导线在碰到任何其他边界前先到达右侧边界的数值。
一名学生预测，增大 \(\alpha\) 一定会令磁力增大，因为磁场内的导线长度会增加。
另一名学生预测，增大 \(\alpha\) 一定会令力减小，因为导线会变得更接近与磁场平行。
透过以下步骤判断哪一个预测正确：
(a) 以 \(w\) 和 \(\alpha\) 表示有效长度，
(b) 以 \(\alpha\) 表示 \(\theta\)，
(c) 以 \(B\)、\(I\) 和 \(w\) 推导力的表示式，
(d) 计算 \(\alpha=0^\circ\) 和 \(\alpha=45^\circ\) 时的力，以及
(e) 解释为甚么你的结果不能在恰好 \(\alpha=90^\circ\) 时不加判断地直接套用。
解答 5
两名学生的预测都不正确：对每一个容许的 \(\alpha\) 值，磁力大小都相同，为 \(0.24\text{ N}\)。有效导体长度的增加正好抵消正弦因子的减小。
对于 (a)，两条边界的水平间距为 \(w\)。有效导线是直角三角形的斜边：
\[
\cos\alpha=\frac{w}{l}.
\]
因此，
\[
l=\frac{w}{\cos\alpha}.
\]
所以第一名学生确实注意到了一个真实的效果：增大 \(\alpha\) 会令有效长度增加。
对于 (b)，磁场垂直向上，也就是水平方向以上 \(90^\circ\)。电流方向则为水平方向以上 \(\alpha\)。
因此，
\[
\theta=90^\circ-\alpha.
\]
随著 \(\alpha\) 增加，\(\theta\) 会减小。所以第二名学生也注意到了一个真实的效果。
对于 (c)，
\[
F=BIl\sin\theta.
\]
把 \(l\) 和 \(\theta\) 的表示式代入：
\[
\begin{aligned}
F
&=BI\left(\frac{w}{\cos\alpha}\right)
\sin(90^\circ-\alpha).
\end{aligned}
\]
利用
\[
\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha,
\]
可得
\[
\begin{aligned}
F
&=BI\left(\frac{w}{\cos\alpha}\right)\cos\alpha\\
&=BIw.
\end{aligned}
\]
角度消失了。
对于 (d)，
\[
\begin{aligned}
F
&=BIw\\
&=(0.60)(4.0)(0.10)\\
&=0.24\text{ N}.
\end{aligned}
\]
所以在 \(\alpha=0^\circ\) 时，
\[
F=0.24\text{ N},
\]
而在 \(\alpha=45^\circ\) 时，
\[
F=0.24\text{ N}.
\]
这个结果起初可能令人觉得奇怪，因为单独来看，两名学生的论点都似乎合理。导线越陡，确实会有更多导体位于磁场内，但同时也会令电流方向更接近与磁场平行。在这个特定的几何情况下，这两种效应恰好完全抵消。
对于 (e)，恰好 \(\alpha=90^\circ\) 并不属于我们所推导的情况。
表示式
\[
l=\frac{w}{\cos\alpha}
\]
假设导线从其中一条垂直边界进入，并从另一条垂直边界离开。在 \(90^\circ\) 时，导线是垂直的，因此它根本不会从左侧边界穿越到右侧边界。由于 \(\cos90^\circ=0\)，\(l\) 的表示式也会变成没有定义。
如果你改为把一段有限长度的垂直导线放在磁场内，它的电流会与 \(B\) 平行，因此
\[
F=BIl\sin0^\circ=0.
\]
这个看似矛盾的结果，其实来自改变了几何情况，却仍假装原本的假设继续成立。检查一条方程式的假设在极限情况下是否仍然成立，往往比再做一次计算更重要。
07掌握这个概念后可以进一步做到甚么
当你能够判断有效导体长度和正确的夹角后，就会更容易把电动机效应延伸到其他情况。
在载流线圈中，线圈不同边所受的磁力方向不同。这些力可以形成转动效应，而这正是电动机的基础。同一条力的定律也有助解释为甚么两条平行的载流导线会互相施力：每条导线都会产生磁场，而该磁场会作用于另一条导线中的电流。
这个关系在 平行载流导线之间的力：HSC 物理 中有进一步说明。