平行载流导线之间的力：HSC Physics

学习如何计算平行载流导线之间的单位长度作用力，并判断它们会互相吸引还是排斥。内容包括例题与具挑战性的 HSC 类型题目。

October 1, 2026 7 min read

把两条长导线并排放置，并让电流流过两条导线。它们彼此没有接触，但每条导线都可能受到侧向力。现在先作一个预测：如果两条导线中的电流方向相同，它们会互相吸引还是排斥？

你可能会很自然地套用电荷的规则，猜想「相同就会排斥」。但在这里这个想法并不成立。平行且同方向的电流会互相吸引；平行但方向相反的电流则会互相排斥。

对 HSC Physics 而言，真正有用的不只是记住这条规则，而是理解这个力从何而来、如何计算单位长度的受力，以及如果你在考试中忘记规则时，如何重新推导出力的方向。

01一条导线产生磁场，进而对另一条导线施力

先考虑两条长、直且互相平行的导线，它们相距 \(d\)。

导线 1 中有电流 \(I_1\)。这个电流会在导线周围产生环形磁场。在导线 2 所在的位置，磁场强度为

\[
B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}
\]

其中：

\(B_1\) 是导线 1 在导线 2 位置产生的磁场，单位为特斯拉（\(\text{T}\)）
\(\mu_0\) 是真空磁导率，\(4\pi\times10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}\)
\(I_1\) 是导线 1 中的电流，单位为安培（\(\text{A}\)）
\(d\) 是两条导线之间的垂直距离，单位为米（\(\text{m}\)）

在 HSC 涉及空气中导线的题目里，通常可以使用 \(\mu_0\)。

此时，导线 2 位于这个磁场之中。载流导体处于磁场中时，会受到马达效应的力：

\[
F=BIL\sin\theta
\]

这里，\(\theta\) 是电流方向与磁场方向之间的夹角。

这里有一个很重要的陷阱。虽然两条导线互相平行，但导线 2 所在位置的磁场方向与导线 2 垂直。因此 \(\theta=90^\circ\)，而不是 \(0^\circ\)。

所以 \(\sin90^\circ=1\)，长度为 \(L\) 的导线 2 所受的力为

\[
F=I_2LB_1
\]

这是马达效应所能产生的最大力。如果你对这个角度的概念还不够熟悉，建议先复习马达效应的最大力与零力，再继续往下。

代入导线 1 所产生的磁场：

\[
F=I_2L\left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\right)
\]

因此，

\[
F=\frac{\mu_0 I_1I_2L}{2\pi d}
\]

再除以 \(L\)，可得到最常使用的形式：

\[
\boxed{\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1I_2}{2\pi d}}
\]

\(F/L\) 的单位是牛顿每米（\(\text{N m}^{-1}\)）。

这条公式适用于可以把导线视为长且直、两导线之间的距离大致保持不变，而且可以忽略端部效应的情况。

02这条公式告诉了你甚么

在处理任何方向规则之前，先看看公式的结构：

\[
\frac{F}{L}\propto\frac{I_1I_2}{d}
\]

所以：

将任一条导线的电流加倍，单位长度的受力也会加倍
将两条导线的电流都加倍，单位长度的受力会变成四倍
将导线间距加倍，单位长度的受力会减半
对调 \(I_1\) 和 \(I_2\)，力的大小不会改变

最后一点很重要。即使两条导线中的电流不同，在对应的相同长度上，每条导线对另一条导线施加的力大小仍然相同。两个力方向相反，符合牛顿第三定律。

由下式还可以得到一个实用的简化：

\[
\frac{\mu_0}{2\pi}
=
\frac{4\pi\times10^{-7}}{2\pi}
=
2.0\times10^{-7}
\]

因此，在空气中，

\[
\frac{F}{L}
=
2.0\times10^{-7}\frac{I_1I_2}{d}
\]

其中电流以安培为单位，而 \(d\) 以米为单位。

03为甚么同方向电流会互相吸引

假设有两条垂直导线并排放置，而且两条导线中的电流都向上流动。

对左边的导线使用右手握持定则。让右手拇指朝向电流方向，也就是向上。弯曲的手指会显示环形磁场的方向。在右边导线所在的位置，磁场方向指向纸面内。

现在对右边的导线使用马达效应的方向规则。它的电流向上，而磁场指向纸面内，所以它所受的力会指向左边的导线。

对另一条导线作同样的分析，也会得到一个指向右边导线的力。

因此，两条导线互相吸引。

两组垂直且互相平行的载流导线。同方向向上的电流互相吸引，而方向相反的电流互相排斥。在右侧导线的位置，左侧导线产生的磁场指向纸面内。 — 同方向的平行电流互相吸引；方向相反的电流互相排斥。一条导线产生的磁场决定另一条导线所受力的方向。

如果把其中一条导线的电流方向反转，马达效应的力也会反向。每条导线都会被推离另一条导线，因此反方向的电流会互相排斥。

简洁的规则如下：

相对电流方向	力
同方向	吸引
相反方向	排斥

如果你忘了这条规则，不要猜。你可以先找出其中一条导线所产生的磁场，再判断另一条导线在该磁场中所受的力，重新推导答案。方向判断的方法在HSC Physics 马达效应方向规则详解中有更完整的说明。

例题：求两条平行导线之间的力

两条长平行导线相距 \(4.0\ \text{cm}\)。它们分别有 \(3.0\ \text{A}\) 和 \(5.0\ \text{A}\) 的同方向电流。求单位长度的受力，以及每条导线长 \(0.80\ \text{m}\) 的部分所受的力。

步骤 1

\[
d=4.0\ \text{cm}=0.040\ \text{m}
\]

步骤 2

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}\\
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{(3.0)(5.0)}{0.040}\\
&=7.5\times10^{-5}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

步骤 3

\[
\begin{aligned}
F
&=\left(\frac{F}{L}\right)L\\
&=(7.5\times10^{-5})(0.80)\\
&=6.0\times10^{-5}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

步骤 4

两个电流方向相同，所以两条导线互相吸引。

这个结果表示，每一段 \(0.80\ \text{m}\) 长的导线都会受到大小为 \(6.0\times10^{-5}\ \text{N}\)、指向另一条导线的力。

注意，公式本身只给出了力的大小。电流方向必须另外考虑。

04单位长度的力通常比总力更有用

为甚么公式很自然地写成 \(F/L\)？

想像比较一段 \(10\ \text{cm}\) 长的导线和一段 \(1.0\ \text{m}\) 长的导线。如果磁场沿著两段导线都近似不变，那么一米长的导线在磁场中的载流导体长度是前者的十倍，因此它所受的总力也是十倍。

但每米所受的力保持不变。

因此，当题目中的另一个物理量也是以「每米」表示时，例如单位长度质量，\(F/L\) 特别有用。

例题：磁斥力支撑一条导线

一条长水平导线固定在另一条平行导线的下方。下方导线中有 \(30\ \text{A}\) 的电流。上方导线的单位长度质量为 \(1.5\ \text{g m}^{-1}\)，并位于下方导线上方 \(8.0\ \text{mm}\) 处。

忽略其他支撑，要使磁力恰好平衡其重量，上方导线中需要流过多大的电流？并说明所需电流相对于下方导线的方向。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

步骤 1

上方导线的重量向下。因此，磁力必须向上。

由于上方导线位于下方导线之上，两条导线必须互相排斥。

所以它们的电流方向必须相反。

步骤 2

\[
1.5\ \text{g m}^{-1}
=
1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1}
\]

设单位长度质量为 \(\lambda\)。

单位长度的重量为

\[
\begin{aligned}
\frac{W}{L}
&=\lambda g\\
&=(1.5\times10^{-3})(9.8)\\
&=1.47\times10^{-2}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

步骤 3

两条导线之间的距离为

\[
d=8.0\times10^{-3}\ \text{m}
\]

在平衡状态下，

\[
\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}=\lambda g
\]

使用 \(\mu_0/(2\pi)=2.0\times10^{-7}\)，

\[
(2.0\times10^{-7})
\frac{(30)I_2}{8.0\times10^{-3}}
=
1.47\times10^{-2}
\]

步骤 4

\[
\begin{aligned}
I_2
&=
\frac{(1.47\times10^{-2})(8.0\times10^{-3})}
{(2.0\times10^{-7})(30)}\\
&=19.6\ \text{A}
\end{aligned}
\]

所以，上方导线所需的电流约为

\[
\boxed{20\ \text{A}}
\]

而且方向必须与下方导线中的电流相反。

这个例题很有用，因为完全不需要指定某一段导线的实际长度。重量和磁力都可以用单位长度来比较。

05最容易出现的误解：「平行就代表力为零」

学生常常记得

\[
F=BIL\sin\theta
\]

然后想：「两条导线是平行的，所以 \(\theta=0^\circ\)，因此力为零。」

问题在于，\(\theta\) 并不是两条导线之间的夹角。

它是受到力作用的导线中，电流方向与该位置磁场方向之间的夹角。

对平行直导线而言，其中一条导线产生的磁场会绕著它形成环形。在相邻导线的位置，这个磁场与电流方向垂直。

因此，

\[
\theta=90^\circ
\]

所以对于该磁场强度而言，马达效应的力其实达到最大值。

另一个常见错误，是在 \(F=BIL\) 中使用两条导线共同产生的磁场。若要计算导线 1 对导线 2 的作用力，应使用导线 1 在导线 2 位置所产生的磁场。在这个简化的马达效应计算中，不会把导线自身产生的磁场代入，让它对自己产生侧向推力。

06题目与解答

题目 1

两条长平行导线相距 \(6.0\ \text{cm}\)。它们分别有 \(4.0\ \text{A}\) 和 \(7.5\ \text{A}\) 的同方向电流。

a. 计算两条导线之间的单位长度受力。

b. 求长度为 \(1.20\ \text{m}\) 的一段导线所受的力。

c. 说明这个力是吸引力还是排斥力。

解答 1

单位长度的受力为 \(1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\)，因此在 \(1.20\ \text{m}\) 长的导线上，力为 \(1.2\times10^{-4}\ \text{N}\)，而且两条导线互相吸引。

先换算距离：

\[
d=6.0\ \text{cm}=0.060\ \text{m}
\]

然后

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{I_1I_2}{d}\\
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{(4.0)(7.5)}{0.060}\\
&=1.0\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

对 \(L=1.20\ \text{m}\)，

\[
\begin{aligned}
F
&=\left(\frac{F}{L}\right)L\\
&=(1.0\times10^{-4})(1.20)\\
&=1.2\times10^{-4}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

由于两个电流方向相同，所以作用力为吸引力。

一个常见错误，是把 \(6.0\ \text{cm}\) 直接以厘米代入。力的公式要求距离以米为单位。

题目 2

两条长平行导线 A 和 B 相距 \(3.0\ \text{cm}\)。A 位于 B 的左边。

导线 A 中有 \(12\ \text{A}\) 的电流，而导线 B 中有 \(4.0\ \text{A}\) 的反方向电流。A 和 B 的单位长度质量分别为 \(0.020\ \text{kg m}^{-1}\) 和 \(0.010\ \text{kg m}^{-1}\)。

a. 计算每条导线所受的单位长度磁力。

b. 说明每条导线所受力的方向。

c. 如果两条导线由静止释放，而且可以向侧面移动，计算它们最初的横向加速度。

解答 2

每条导线都受到 \(3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}\) 的磁力，但由于导线 B 的单位长度质量只有导线 A 的一半，所以 B 最初的加速度是 A 的两倍。

单位长度的磁力为

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=(2.0\times10^{-7})
\frac{(12)(4.0)}{0.030}\\
&=3.2\times10^{-4}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

两个电流方向相反，所以两条导线互相排斥。由于 A 位于左边，A 被推向左，而 B 被推向右。

对导线 A 的一米长部分，

\[
F=3.2\times10^{-4}\ \text{N}
\]

而其质量为 \(0.020\ \text{kg}\)。因此，

\[
\begin{aligned}
a_A
&=\frac{F}{m}\\
&=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.020}\\
&=1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}
\end{aligned}
\]

对导线 B 的一米长部分，

\[
\begin{aligned}
a_B
&=\frac{3.2\times10^{-4}}{0.010}\\
&=3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}
\end{aligned}
\]

所以 A 最初向左加速，其加速度为

\[
\boxed{1.6\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}}
\]

而 B 向右加速，其加速度为

\[
\boxed{3.2\times10^{-2}\ \text{m s}^{-2}}
\]

一个很容易出现的错误，是认为 \(12\ \text{A}\) 的导线一定比 \(4.0\ \text{A}\) 的导线受到更大的力。实际上并非如此。两导线间的相互作用力公式包含乘积 \(I_1I_2\)，所以两个力的大小相等。不同的加速度来自不同的质量，而不是不同大小的磁力。

题目 3

三条长平行导线 A、B 和 C 位于同一平面内。

A 位于 B 左边 \(3.0\ \text{cm}\) 处。C 位于 B 右边 \(5.0\ \text{cm}\) 处。

A 中有 \(8.0\ \text{A}\) 向上的电流，而 B 中有 \(6.0\ \text{A}\) 向下的电流。

求 C 中电流的大小和方向，使 B 所受的合磁力为零。

解答 3

导线 C 必须有约 \(13\ \text{A}\) 向上的电流。

先判断所需方向。

A 和 B 的电流方向相反，所以它们互相排斥。由于 A 位于 B 的左边，因此 A 会把 B 推向右。

要使 B 所受的合力为零，C 必须把 B 推向左。

C 位于 B 的右边。若要把 B 推离 C，B 和 C 必须互相排斥，因此它们的电流方向必须相反。

B 的电流向下，所以 C 的电流必须向上。

现在令两个力的大小相等。

A 对 B 产生的单位长度受力为

\[
\left(\frac{F}{L}\right)_{AB}
=
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}}
\]

C 对 B 产生的单位长度受力为

\[
\left(\frac{F}{L}\right)_{CB}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}}
\]

要使合力为零，

\[
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi d_{AB}}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi d_{CB}}
\]

共同因子约去：

\[
\frac{I_A}{d_{AB}}
=
\frac{I_C}{d_{CB}}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
I_C
&=I_A\frac{d_{CB}}{d_{AB}}\\
&=(8.0)\frac{0.050}{0.030}\\
&=13.3\ \text{A}
\end{aligned}
\]

所以

\[
\boxed{I_C\approx13\ \text{A，方向向上}}
\]

一个很容易出现的想法，是认为 C 的电流应该向下，因为这样就和 B 的方向相同。但如果电流方向相同，B 和 C 就会互相吸引，把 B 拉向右边，与 A 对 B 的力方向相同。在令两个力的大小相等之前，必须先确定方向。

题目 4

两条完全相同的水平导线彼此平行，而且有大小相同的电流。每条导线长 \(1.20\ \text{m}\)，质量为 \(1.8\ \text{g}\)。

每条导线的两端都由长度为 \(0.20\ \text{m}\) 的轻质绝缘细线悬吊。没有电流时，两条导线上方对应的悬挂点彼此相距 \(0.060\ \text{m}\)。

当接通方向相反的电流后，两条导线对称地互相排斥。最后，每条悬线都与铅直方向成 \(6.0^\circ\)。

假设两条导线仍然保持水平且互相平行。

计算每条导线中的电流。取 \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\)。

两条平行导线的截面图，悬挂支点相距 0.060 m。每条长 0.20 m 的悬线向外倾斜 6.0 度，使导线间距增加至 d。每条导线都受到向下的重量、向外的磁力，以及沿悬线方向的张力。 — 反方向电流互相排斥，因此悬挂的导线会彼此分开，直到悬线张力同时平衡重量与向外的磁力。

解答 4

每条导线中的电流约为 \(28\ \text{A}\)。

关键在于，计算磁力时必须使用导线移动之后的新间距，而不是原本悬挂点之间的 \(0.060\ \text{m}\) 距离。

每条导线向外水平移动的距离为

\[
x=(0.20)\sin6.0^\circ
\]

所以导线最后的间距为

\[
\begin{aligned}
d
&=0.060+2(0.20)\sin6.0^\circ\\
&=0.1018\ \text{m}
\end{aligned}
\]

现在考虑一整条导线的受力平衡。

两条悬线张力的总向上分量平衡导线的重量，而总水平分量则平衡磁力。因此，

\[
\tan\theta=\frac{F_{\text{mag}}}{mg}
\]

所以

\[
F_{\text{mag}}=mg\tan\theta
\]

代入

\[
m=1.8\times10^{-3}\ \text{kg}
\]

得到

\[
\begin{aligned}
F_{\text{mag}}
&=(1.8\times10^{-3})(9.8)\tan6.0^\circ\\
&=1.85\times10^{-3}\ \text{N}
\end{aligned}
\]

因此，单位长度的力为

\[
\begin{aligned}
\frac{F}{L}
&=\frac{1.85\times10^{-3}}{1.20}\\
&=1.54\times10^{-3}\ \text{N m}^{-1}
\end{aligned}
\]

两条导线中的电流大小都为 \(I\)，所以

\[
\frac{F}{L}
=
\frac{\mu_0I^2}{2\pi d}
=
(2.0\times10^{-7})\frac{I^2}{d}
\]

代入数值，

\[
1.54\times10^{-3}
=
(2.0\times10^{-7})
\frac{I^2}{0.1018}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
I^2
&=
\frac{(1.54\times10^{-3})(0.1018)}
{2.0\times10^{-7}}\\
&\approx7.84\times10^2
\end{aligned}
\]

所以

\[
I\approx28.0\ \text{A}
\]

因此，

\[
\boxed{I\approx28\ \text{A}}
\]

由于观察到的运动是排斥，所以两条导线中的电流方向必须相反。

这里有两个很容易使用的错误捷径。第一个，是即使导线已经移动，仍然把 \(0.060\ \text{m}\) 当作两条导线之间的距离。这会高估磁场。第二个，是直接把 \(F/L\) 与整条导线的重量 \(mg\) 比较。一个是每米的力，另一个是总力，所以在没有考虑导线长度之前，两者不能直接设为相等。

题目 5

两条固定的长平行导线 A 和 C 相距 \(0.50\ \text{m}\)。它们的电流都向上。

导线 A 中有 \(3.0\ \text{A}\) 的电流，而导线 C 中有 \(12\ \text{A}\) 的电流。

第三条长平行导线 B 放在两者之间的某个位置，并有 \(5.0\ \text{A}\) 的电流。

a. 当 B 的电流向上时，找出 A 和 C 之间使 B 所受合磁力为零的位置。

b. 对一个很小的侧向位移而言，这个零力位置是稳定平衡还是不稳定平衡？解释原因。

c. 现在把 B 的电流方向反转，而 A 和 C 保持不变。零力位置会移动吗？

d. 当 B 的电流反转后，平衡是稳定还是不稳定？

e. 如果 B 的电流大小加倍，零力位置会改变吗？

解答 5

导线 B 在距离 A \(0.10\ \text{m}\) 的位置所受合力为零。当 B 的电流向上时，这个平衡是不稳定的；把 B 的电流反转后，平衡位置仍然相同，但会变成稳定平衡。将 \(I_B\) 加倍也不会改变平衡位置。

设 A 到 B 的距离为 \(x\)。那么 B 到 C 的距离就是

\[
0.50-x
\]

当 B 的电流向上时，它与两条外侧导线中的电流都同方向。A 把 B 吸向左边，而 C 把 B 吸向右边。

要使合力为零，两个力的大小必须相等：

\[
\frac{\mu_0I_AI_B}{2\pi x}
=
\frac{\mu_0I_CI_B}{2\pi(0.50-x)}
\]

约去共同因子，包括 \(I_B\)：

\[
\frac{I_A}{x}
=
\frac{I_C}{0.50-x}
\]

代入电流：

\[
\frac{3.0}{x}
=
\frac{12}{0.50-x}
\]

交叉相乘，

\[
\begin{aligned}
3.0(0.50-x)&=12x\\
1.50-3.0x&=12x\\
1.50&=15x\\
x&=0.10\ \text{m}
\end{aligned}
\]

所以 B 必须位于

\[
\boxed{\text{距离 A }0.10\ \text{m}}
\]

因此距离 C 为 \(0.40\ \text{m}\)。

一开始看起来可能有点奇怪，B 竟然要更靠近只有 \(3.0\ \text{A}\) 的较弱导线。但这正是必须发生的情况。较弱的电流需要较小的距离，才能产生与较强的 \(12\ \text{A}\) 导线相等的磁力。

接下来要检验稳定性，而不能只注意到合力为零。

假设 B 稍微向右移。它与 C 的距离减小，因此 C 的吸引力变强。同时，它与 A 的距离增加，因此 A 的吸引力变弱。

所以产生的合力会向右，也就是与位移方向相同。

因此，原本的平衡是

\[
\boxed{\text{不稳定}}
\]

这就像一颗球刚好平衡在山顶上：在某一个精确位置受力为零，并不代表受到扰动后系统会自行回复。

现在把 B 的电流反转。

B 与 A、C 的电流都变成反平行，所以两个相互作用都变成排斥。力的大小仍然包含

\[
I_AI_B
\quad\text{和}\quad
I_CI_B
\]

而反转电流只是让两个力的方向同时改变。两个力大小相等的条件并没有改变。

因此，零力位置仍然是

\[
\boxed{\text{距离 A }0.10\ \text{m}}
\]

但它的稳定性改变了。

让 B 稍微向右移，也就是靠近 C。来自较近的 C 的排斥力会变强，把 B 推向左边。与此同时，由于 A 现在更远，来自 A 的排斥力会变弱。

所以合力会向左，也就是把 B 推回平衡位置。

因此，当 B 的电流反转后，平衡是

\[
\boxed{\text{稳定}}
\]

最后，把 \(I_B\) 加倍会使两个方向相反的磁力都乘上同一个倍数。在