Quỹ đạo của hạt mang điện trong điện trường: Vật lý HSC
Tìm hiểu cách các hạt mang điện chuyển động trong điện trường đều, cách tính độ lệch và vì sao quỹ đạo của chúng giống chuyển động ném. Có ví dụ có lời giải và câu hỏi HSC nâng cao.
Một electron đi vào khoảng giữa hai bản tích điện nằm ngang, chuyển động thẳng sang phải. Bản phía trên tích điện dương, bản phía dưới tích điện âm. Điều gì xảy ra tiếp theo: electron sẽ chuyển động theo đường chéo, uốn cong thành đường tròn, hay đi theo một đường cong giống như chuyển động ném?
Hãy dự đoán trước khi đọc tiếp. Điện trường hướng xuống dưới, từ bản dương về phía bản âm. Nhưng electron mang điện tích âm, nên lực điện tác dụng lên nó hướng lên trên. Electron tiếp tục chuyển động sang phải đồng thời gia tốc lên trên. Trong một điện trường đều, sự kết hợp này tạo ra một quỹ đạo parabol.
Ý tưởng quan trọng không chỉ là “các hạt mang điện bị bẻ cong trong điện trường”. Chính xác hơn: một lực điện không đổi tạo ra gia tốc không đổi theo một hướng, trong khi chuyển động vuông góc với lực đó có thể tiếp tục không đổi. Cấu trúc này gần như giống hệt chuyển động ném.
01Bắt đầu từ dạng chuyển động bạn đã biết
Hãy hình dung một xe đẩy đang lăn về phía đông trên một sàn gần như không có ma sát, trong khi có người kéo nó về phía bắc bằng một lực không đổi.
Lực kéo về phía bắc không làm mất vận tốc hướng đông của xe. Xe vẫn tiếp tục chuyển động về phía đông trong khi vận tốc hướng bắc ngày càng tăng. Vì thế, đường đi của nó bị uốn cong.
Một hạt mang điện trong điện trường đều cũng hoạt động theo cách tương tự. “Sợi dây” ở đây là lực điện. Tuy nhiên, khác với một sợi dây thật, không có vật gì tiếp xúc trực tiếp với hạt, và lực có thể tác dụng trong toàn bộ vùng có điện trường.
Điều này ngay lập tức cho ta hai bài toán chuyển động riêng biệt:
- vuông góc với điện trường: vận tốc không đổi, nếu không có lực theo hướng đó
- song song với điện trường: gia tốc không đổi
Việc tách hai thành phần này là chìa khóa cho gần như mọi câu hỏi HSC về quỹ đạo của hạt mang điện.
02Xác định hướng trước khi dùng phương trình
Hướng của điện trường được định nghĩa là hướng mà một điện tích dương sẽ bị đẩy theo.
Vì vậy:
| Hạt | Lực so với \(\vec E\) |
|---|---|
| Điện tích dương | Cùng hướng với điện trường |
| Điện tích âm | Ngược hướng với điện trường |
| Hạt trung hòa | Không có lực điện |
Đối với điện tích \(q\) trong điện trường \(\vec E\),
\[ \vec F = q\vec E \]
trong đó \(F\) là lực điện tính bằng newton, \(q\) là điện tích tính bằng coulomb, và \(E\) là cường độ điện trường tính bằng newton trên coulomb.
Định luật II Newton cho
\[ \vec a=\frac{\vec F}{m}=\frac{q\vec E}{m} \]
trong đó \(m\) là khối lượng của hạt tính bằng kilogram và \(a\) là gia tốc của nó tính bằng mét trên giây bình phương.
Lưu ý rằng \(q\) có dấu. Nếu ta chọn hướng lên là chiều dương và điện trường hướng xuống, thì thành phần điện trường \(E_y\) là âm. Đối với electron, \(q\) cũng âm. Do đó, tích \(qE_y\) là dương, nên gia tốc hướng lên trên.
Cách này an toàn hơn việc ghi nhớ rằng “electron đi lên”. Không phải lúc nào cũng vậy. Electron gia tốc theo hướng ngược với hướng của điện trường, bất kể điện trường đang chỉ theo hướng nào.
03Vì sao quỹ đạo trở thành một parabol
Giả sử một hạt đi vào một điện trường đều theo phương ngang.
Chọn:
- hướng \(x\) cùng hướng với vận tốc ban đầu
- hướng \(y\) dọc theo trục của điện trường
- tốc độ ngang ban đầu \(u_x\)
- tốc độ thẳng đứng ban đầu \(u_y=0\)
Giả sử điện trường không có thành phần theo \(x\). Khi đó không có lực điện theo phương ngang, nên
\[ a_x=0 \]
và chuyển động theo phương ngang là
\[ x=u_xt \]
Gia tốc theo phương thẳng đứng là không đổi:
\[ a_y=\frac{qE_y}{m} \]
nên độ dời theo phương thẳng đứng là
\[ y=\frac{1}{2}a_yt^2 \]
Thay \(t=x/u_x\),
\[ y=\frac{1}{2}\left(\frac{qE_y}{m}\right)\left(\frac{x}{u_x}\right)^2 \]
ta được
\[ y=\frac{qE_y}{2mu_x^2}x^2 \]
Sự xuất hiện của \(x^2\) là dấu hiệu rõ ràng. Quỹ đạo là một parabol.
Kết quả này cũng cho ta biết những yếu tố chi phối mức độ lệch của hạt. Độ lệch lớn hơn khi:
- điện trường mạnh hơn,
- độ lớn điện tích lớn hơn,
- hạt nhẹ hơn, hoặc
- tốc độ ngang nhỏ hơn.
Yếu tố cuối cùng đặc biệt quan trọng. Một hạt chuyển động nhanh hơn vẫn chịu cùng một gia tốc, nhưng nó ở trong điện trường có chiều dài cố định trong thời gian ngắn hơn.
Quỹ đạo tổng quát hơn
Nếu hạt đã có một vận tốc thẳng đứng \(u_y\), lập luận tương tự cho
\[ y=y_0+\frac{u_y}{u_x}x+\frac{qE_y}{2mu_x^2}x^2 \]
trong đó \(y_0\) là vị trí thẳng đứng ban đầu.
Quỹ đạo vẫn là một parabol miễn là điện trường đều, \(u_x\neq0\), và không có gia tốc theo hướng \(x\).
Có một trường hợp biên hữu ích. Nếu hạt đi vào chính xác song song với điện trường, sẽ không có thành phần chuyển động ngang để tạo ra quỹ đạo cong. Hạt chỉ chuyển động theo một đường thẳng đồng thời tăng tốc hoặc giảm tốc.
04Cách nhanh nhất để xử lý các bản có chiều dài hữu hạn
Giả sử điện trường đều kéo dài một đoạn ngang \(L\), và hạt đi vào theo phương ngang với tốc độ \(u\).
Vì tốc độ ngang của nó không đổi,
\[ t=\frac{L}{u} \]
Do đó, độ dời theo phương thẳng đứng khi hạt ở giữa hai bản là
\[ \Delta y =\frac{1}{2}\left(\frac{qE_y}{m}\right)\left(\frac{L}{u}\right)^2 \]
hay
\[ \Delta y=\frac{qE_yL^2}{2mu^2} \]
Nếu chỉ xét độ lớn,
\[ |\Delta y|=\frac{|q|EL^2}{2mu^2} \]
Vận tốc thẳng đứng tại mép ra khỏi các bản là
\[ v_y=a_yt=\frac{qE_yL}{mu} \]
trong khi vận tốc ngang vẫn là \(u\).
Do đó, góc ra \(\theta\), đo từ phương ngang, có thể được xác định bằng
\[ \tan\theta=\frac{v_y}{u} \]
Dấu của các đại lượng nên được xác định từ hình vẽ của bạn, thay vì máy móc đưa các số âm vào mọi dòng tính toán.
05Nếu điện trường được tạo bởi hai bản song song
Các câu hỏi không phải lúc nào cũng cho trực tiếp \(E\). Giữa hai bản song song lý tưởng,
\[ E=\frac{V}{d} \]
trong đó \(V\) là hiệu điện thế giữa hai bản tính bằng volt, và \(d\) là khoảng cách giữa chúng tính bằng mét.
Để ôn lại kỹ hơn bước này, hãy xem Điện trường giữa hai bản song song: Sử dụng \(E=V/d\).
Mô hình lý tưởng hóa này rất quan trọng. \(E=V/d\) xem điện trường là đều. Gần mép các bản, các đường sức điện thực tế xòe ra, tạo nên hiệu ứng viền. Các bài toán quỹ đạo HSC thông thường sẽ cung cấp đủ thông tin để bạn sử dụng mô hình điện trường đều.
Ví dụ có lời giải: Độ lệch của proton
Một proton đi theo phương ngang vào một điện trường đều hướng xuống có độ lớn \(5.0\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}\). Tốc độ của nó là \(3.0\times10^5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\), và điện trường kéo dài \(5.0\times10^{-2}\ \mathrm{m}\) theo phương ngang. Hãy tính độ lệch theo phương thẳng đứng của proton trước khi nó rời khỏi điện trường.
Dùng \(q_p=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) và \(m_p=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\).
Bước 1
Proton mang điện tích dương, nên lực tác dụng lên nó cùng hướng với điện trường. Do đó, proton sẽ lệch xuống dưới.
Bước 2
\[ a=\frac{qE}{m} =\frac{(1.60\times10^{-19})(5.0\times10^3)} {1.67\times10^{-27}} =4.79\times10^{11}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]
Gia tốc này có vẻ rất lớn, nhưng các hạt ở cấp độ nguyên tử có khối lượng cực kỳ nhỏ.
Bước 3
Vận tốc ngang của nó không đổi:
\[ t=\frac{L}{u} =\frac{5.0\times10^{-2}}{3.0\times10^5} =1.67\times10^{-7}\ \mathrm s \]
Bước 4
Vận tốc thẳng đứng ban đầu bằng không, nên
\[ \Delta y =\frac12at^2 =\frac12(4.79\times10^{11})(1.67\times10^{-7})^2 =6.65\times10^{-3}\ \mathrm m \]
Proton lệch xuống khoảng \(6.7\ \mathrm{mm}\).
Điểm vật lý quan trọng là proton không mất chuyển động ngang. Điện trường tạo thêm một vận tốc hướng xuống ngày càng tăng, trong khi vận tốc ngang vẫn tiếp tục tồn tại.
Ví dụ có lời giải: Độ lệch của electron rồi đi vào vùng không có điện trường
Một electron chuyển động theo phương ngang tại vị trí chính giữa hai bản song song. Hai bản có hiệu điện thế \(300\ \mathrm V\), cách nhau \(1.5\times10^{-2}\ \mathrm m\), và dài \(3.0\times10^{-2}\ \mathrm m\). Electron đi vào với tốc độ \(3.0\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
Bản phía trên tích điện dương. Một màn chắn nằm cách đầu cuối của hai bản \(0.15\ \mathrm m\).
Hãy tính:
- độ lệch của electron khi ở giữa hai bản,
- hướng chuyển động của nó khi rời khỏi hai bản, và
- tổng độ dời theo phương thẳng đứng khi nó đến màn chắn.
Dùng \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) và \(m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\).
Bước 1
Điện trường hướng từ bản dương phía trên đến bản âm phía dưới, nên nó hướng xuống.
Độ lớn của điện trường là
\[ E=\frac{V}{d} =\frac{300}{1.5\times10^{-2}} =2.0\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}} \]
Electron mang điện tích âm, nên lực điện và gia tốc của nó hướng lên.
Bước 2
Xét độ lớn,
\[ a=\frac{eE}{m_e} =\frac{(1.60\times10^{-19})(2.0\times10^4)} {9.11\times10^{-31}} =3.51\times10^{15}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]
Bước 3
\[ t_1=\frac{L}{u} =\frac{3.0\times10^{-2}}{3.0\times10^7} =1.0\times10^{-9}\ \mathrm s \]
Bước 4
\[ y_1 =\frac12at_1^2 =\frac12(3.51\times10^{15})(1.0\times10^{-9})^2 =1.76\times10^{-3}\ \mathrm m \]
Vì vậy, electron đi lên khoảng \(1.8\ \mathrm{mm}\) khi ở giữa hai bản.
Bước 5
\[ v_y=at_1 =(3.51\times10^{15})(1.0\times10^{-9}) =3.51\times10^6\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Vận tốc ngang của nó vẫn là \(3.0\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
Do đó,
\[ \tan\theta =\frac{3.51\times10^6}{3.0\times10^7} \]
suy ra
\[ \theta\approx6.7^\circ \]
phía trên phương ngang.
Bước 6
Khi electron rời khỏi điện trường, lực điện biến mất. Theo mô hình HSC thông thường, ta bỏ qua trọng lực và mọi lực khác.
Do đó, electron tiếp tục chuyển động theo đường thẳng với vận tốc tại thời điểm rời khỏi hai bản.
Thời gian electron đi đến màn chắn là
\[ t_2=\frac{0.15}{3.0\times10^7} =5.0\times10^{-9}\ \mathrm s \]
Độ dời thêm theo hướng lên là
\[ y_2=v_yt_2 =(3.51\times10^6)(5.0\times10^{-9}) =1.76\times10^{-2}\ \mathrm m \]
Tổng độ dời là
\[ y_{\text{total}} =y_1+y_2 =1.76\times10^{-3}+1.76\times10^{-2} =1.93\times10^{-2}\ \mathrm m \]
Vì vậy, electron chạm màn chắn tại vị trí cao hơn đường chuyển động ban đầu khoảng \(1.9\ \mathrm{cm}\).
Hãy chú ý sự thay đổi mô hình tại mép bản: quỹ đạo là parabol khi lực còn tác dụng, sau đó trở thành chuyển động thẳng khi lực biến mất.
06Sự lệch trong điện trường và chuyển động ném
Sự tương đồng về mặt toán học với chuyển động ném rất rõ vì cả hai đều có gia tốc không đổi theo một hướng và vận tốc không đổi theo hướng vuông góc.
| Vật ném gần bề mặt Trái Đất | Hạt mang điện trong điện trường đều |
|---|---|
| Lực xấp xỉ \(mg\) hướng xuống | Lực là \(qE\) |
| Gia tốc là \(g\) hướng xuống | Gia tốc là \(qE/m\) |
| Vận tốc ngang không đổi nếu bỏ qua lực cản không khí | Vận tốc vuông góc không đổi nếu điện trường không có thành phần theo hướng đó |
| Quỹ đạo là parabol | Quỹ đạo là parabol |
| \(g\) không phụ thuộc vào khối lượng vật ném | Gia tốc điện phụ thuộc vào \(q/m\) |
| Trọng lực tác dụng trong toàn bộ quãng bay thông thường | Trong mô hình, điện trường giữa các bản thường kết thúc đột ngột |
Có một điểm khác biệt đáng để dừng lại suy nghĩ.
Nếu thả đồng thời một quả bóng bowling và một quả cầu kim loại nhỏ, bỏ qua lực cản không khí, chúng có cùng gia tốc trọng trường. Khối lượng triệt tiêu vì \(F_g=mg\).
Điều đó không tự động xảy ra đối với chuyển động điện:
\[ a=\frac{qE}{m} \]
Do đó, hai hạt trong cùng một điện trường có thể có gia tốc rất khác nhau vì tỉ số điện tích trên khối lượng \(q/m\) của chúng khác nhau.
07Những sai lầm dễ mắc nhất
“Hạt bị bẻ cong về phía bản âm”
Điều đó chỉ đúng với hạt mang điện dương.
Điện trường hướng về phía bản âm. Một hạt mang điện âm chịu lực theo hướng ngược lại và bị bẻ cong về phía bản dương.
Trình tự an toàn luôn là:
- vẽ điện trường,
- xác định dấu của điện tích,
- xác định hướng của lực,
- xác định hướng của gia tốc.
“Một quỹ đạo cong chắc hẳn là một phần của đường tròn”
Chuyển động tròn đòi hỏi gia tốc liên tục đổi hướng sao cho luôn hướng về tâm đường tròn.
Trong điện trường đều, lực điện luôn chỉ theo một hướng cố định. Vì thế, gia tốc cũng có hướng cố định thay vì liên tục quay.
Quỹ đạo thu được là một parabol, không phải đường tròn.
“Tốc độ ngang bị dùng dần khi hạt đổi hướng”
Ta rất dễ hình dung vận tốc như một lượng cố định phải được chia sẻ giữa chuyển động ngang và chuyển động thẳng đứng. Nhưng các thành phần vectơ không hoạt động như vậy.
Nếu không có lực theo phương ngang,
\[ a_x=0 \]
thì \(v_x\) vẫn không đổi. Điện trường tạo ra một \(v_y\) thay đổi; nó không lấy bớt vận tốc từ \(v_x\).
“Sau khi rời các bản, hạt sẽ tự thẳng lại theo hướng ban đầu”
Sau khi rời khỏi điện trường, hạt chuyển động thẳng, nhưng không quay trở lại hướng ban đầu.
Ngay tại thời điểm rời khỏi điện trường, nó đã có cả thành phần vận tốc ngang và thẳng đứng. Khi không còn lực tác dụng, cả hai thành phần đều không đổi. Vì vậy, hạt chuyển động theo tiếp tuyến của quỹ đạo parabol tại điểm rời khỏi điện trường.
08Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một electron đi theo phương ngang với tốc độ \(2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) vào một điện trường đều \(1.5\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) hướng xuống. Điện trường kéo dài \(2.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) theo phương ngang.
Hãy tính độ lệch theo phương thẳng đứng của electron trước khi nó rời khỏi điện trường, và nêu hướng lệch.
Dùng \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) và \(m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\).
Lời giải 1
Electron bị lệch \(8.4\times10^{-4}\ \mathrm m\), hay \(0.84\ \mathrm{mm}\), theo hướng lên.
Điện trường hướng xuống, nhưng electron mang điện tích âm nên lực tác dụng lên nó hướng lên.
Trước tiên tính độ lớn gia tốc:
\[ a=\frac{eE}{m_e} =\frac{(1.60\times10^{-19})(1.5\times10^4)} {9.11\times10^{-31}} =2.63\times10^{15}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]
Thời gian ở trong điện trường là
\[ t=\frac{L}{u} =\frac{2.0\times10^{-2}}{2.5\times10^7} =8.0\times10^{-10}\ \mathrm s \]
Vận tốc thẳng đứng ban đầu bằng không, nên
\[ \Delta y =\frac12at^2 =\frac12(2.63\times10^{15})(8.0\times10^{-10})^2 =8.43\times10^{-4}\ \mathrm m \]
Do đó,
\[ \boxed{\Delta y\approx0.84\ \mathrm{mm}\text{ hướng lên}} \]
Một cách làm sai phổ biến là cho electron lệch xuống chỉ vì điện trường hướng xuống. Hướng điện trường cho biết hướng lực tác dụng lên điện tích dương; lực tác dụng lên electron có hướng ngược lại.
Câu hỏi 2
Một proton và một hạt alpha đi theo phương ngang vào cùng một điện trường đều và đi qua cùng một khoảng cách theo phương ngang.
Coi proton có điện tích \(+e\) và khối lượng \(m_p\). Xấp xỉ hạt alpha có điện tích \(+2e\) và khối lượng \(4m_p\).
So sánh độ lệch của chúng nếu:
a. chúng đi vào với cùng tốc độ,
b. chúng đi vào với cùng động năng.
Không cần dùng giá trị số.
Lời giải 2
Khi có cùng tốc độ, proton bị lệch xa gấp đôi hạt alpha. Khi có cùng động năng, hạt alpha bị lệch xa gấp đôi proton.
Đối với một hạt đi vào theo phương ngang,
\[ y=\frac{qEL^2}{2mu^2} \]
Ở phần a, \(E\), \(L\), và \(u\) giống nhau, nên
\[ y\propto\frac qm \]
Đối với proton,
\[ \frac qm=\frac{e}{m_p} \]
Đối với hạt alpha,
\[ \frac qm=\frac{2e}{4m_p} =\frac12\frac{e}{m_p} \]
Do đó,
\[ y_\alpha=\frac12y_p \]
nên proton bị bẻ cong nhiều gấp đôi.
Phần b thay đổi một điều quan trọng: cùng động năng không có nghĩa là cùng tốc độ.
Sử dụng
\[ K=\frac12mu^2 \]
ta có
\[ u^2=\frac{2K}{m} \]
Thay vào phương trình độ lệch:
\[ y =\frac{qEL^2} {2m(2K/m)} =\frac{qEL^2}{4K} \]
Khối lượng lúc này đã triệt tiêu. Với \(K\) cố định,
\[ y\propto q \]
Hạt alpha có điện tích gấp đôi proton, nên
\[ y_\alpha=2y_p \]
Sai lầm dễ mắc là dùng \(q/m\) cho cả hai phần. Điều đó chỉ đúng khi tốc độ được giữ cố định. Khi động năng được giữ cố định, các hạt đi vào với tốc độ khác nhau, làm thay đổi thời gian chúng ở trong điện trường.
Câu hỏi 3
Một electron đi theo phương ngang vào một điện trường đều. Cường độ điện trường là \(1.2\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}\), và vùng điện trường dài \(4.0\times10^{-2}\ \mathrm m\).
Sau khi rời khỏi điện trường, electron đi thêm \(0.20\ \mathrm m\) theo phương ngang trước khi chạm vào màn chắn. Tổng độ dời theo phương thẳng đứng so với đường chuyển động ban đầu là \(3.0\times10^{-2}\ \mathrm m\).
Hãy xác định tốc độ ngang khi electron đi vào.
Dùng \(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) và \(m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\).
Lời giải 3
Tốc độ đi vào của electron xấp xỉ \(2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\).
Điểm mấu chốt là độ dời \(3.0\ \mathrm{cm}\) không được tạo ra hoàn toàn trong lúc electron ở giữa hai bản. Electron tiếp tục chuyển động theo phương thẳng đứng sau khi rời khỏi điện trường vì nó vẫn giữ vận tốc thẳng đứng tại mép ra.
Gọi chiều dài các bản là \(L\), khoảng cách không có điện trường là \(D\), và tốc độ ngang là \(u\).
Độ lớn gia tốc là
\[ a=\frac{eE}{m_e} \]
Trong vùng điện trường,
\[ t_1=\frac Lu \]
nên độ dời thẳng đứng đầu tiên là
\[ y_1=\frac12a\left(\frac Lu\right)^2 =\frac{aL^2}{2u^2} \]
Vận tốc thẳng đứng tại mép ra là
\[ v_y=a\frac Lu \]
Thời gian đi từ mép bản đến màn chắn là
\[ t_2=\frac Du \]
nên độ dời thêm là
\[ y_2=v_yt_2 =\left(\frac{aL}{u}\right)\left(\frac Du\right) =\frac{aLD}{u^2} \]
Do đó,
\[ Y =\frac{a}{u^2}\left(\frac{L^2}{2}+LD\right) \]
và vì thế
\[ u^2 =\frac{a}{Y}\left(\frac{L^2}{2}+LD\right) \]
Trước tiên,
\[ a =\frac{(1.60\times10^{-19})(1.2\times10^4)} {9.11\times10^{-31}} =2.11\times10^{15}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]
Sau đó,
\[ u^2 = \frac{2.11\times10^{15}}{3.0\times10^{-2}} \left[ \frac{(4.0\times10^{-2})^2}{2} +(4.0\times10^{-2})(0.20) \right] \]
\[ u^2\approx6.18\times10^{14}\ \mathrm{m^2\,s^{-2}} \]
nên
\[ u\approx2.49\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
Do đó,
\[ \boxed{u\approx2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}} \]
Một cách làm tắt dễ mắc sai lầm là đưa toàn bộ \(3.0\ \mathrm{cm}\) vào \(y=\frac12at^2\) nhưng chỉ dùng chiều dài các bản. Cách đó bỏ qua phần lớn hình học của bài toán: sau khi rời khỏi các bản, gia tốc trở thành không, nhưng vận tốc thẳng đứng thì không.
Câu hỏi 4
Một proton chuyển động theo phương ngang với tốc độ \(4.0\times10^5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) qua hai vùng điện trường liền kề.
Mỗi vùng dài \(2.0\times10^{-2}\ \mathrm m\).
- Trong vùng thứ nhất, điện trường đều \(3.0\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) hướng lên.
- Trong vùng thứ hai, điện trường có cùng độ lớn nhưng hướng xuống.
Proton đi vào mà không có vận tốc thẳng đứng.
Hãy xác định:
a. vận tốc thẳng đứng của proton khi rời khỏi vùng thứ hai,
b. tổng độ dời theo phương thẳng đứng,
c. liệu việc đảo chiều điện trường trong nửa sau có hoàn toàn đảo ngược chuyển động do nửa đầu gây ra hay không.
Dùng \(q_p=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) và \(m_p=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\).
Lời giải 4
Proton rời khỏi vùng thứ hai với vận tốc thẳng đứng bằng không, nhưng vẫn bị dịch lên trên khoảng \(7.2\times10^{-4}\ \mathrm m\). Việc đảo chiều điện trường triệt tiêu vận tốc thẳng đứng, chứ không triệt tiêu độ dời đã tích lũy.
Độ lớn gia tốc là
\[ a=\frac{qE}{m} =\frac{(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^3)} {1.67\times10^{-27}} =2.87\times10^{11}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \]
Thời gian đi qua mỗi vùng là
\[ \tau =\frac{2.0\times10^{-2}}{4.0\times10^5} =5.0\times10^{-8}\ \mathrm s \]
Trong vùng thứ nhất, proton gia tốc hướng lên.
Độ dời của nó là
\[ y_1 =\frac12a\tau^2 =\frac12(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8})^2 =3.59\times10^{-4}\ \mathrm m \]
Vận tốc thẳng đứng tại điểm giữa là
\[ v_{y,1} =a\tau =(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8}) =1.44\times10^4\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]
hướng lên.
Trong vùng thứ hai, gia tốc đảo chiều. Sau một khoảng thời gian \(\tau\) nữa,
\[ v_{y,2}=v_{y,1}-a\tau=0 \]
nên proton thực sự kết thúc với vận tốc thẳng đứng bằng không.
Nhưng trong khoảng thời gian thứ hai đó, proton bắt đầu với vận tốc hướng lên. Độ dời của nó là
\[ y_2 =v_{y,1}\tau-\frac12a\tau^2 \]
\[ y_2 =(1.44\times10^4)(5.0\times10^{-8}) -\frac12(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8})^2 \]
\[ y_2=3.59\times10^{-4}\ \mathrm m \]
Do đó,
\[ y_{\text{total}} =y_1+y_2 =7.19\times10^{-4}\ \mathrm m \]
hay khoảng
\[ \boxed{0.72\ \mathrm{mm}\text{ hướng lên}} \]
Proton đi ra song song với hướng chuyển động ban đầu nhưng bị dịch lên trên.
Lập luận dễ mắc sai lầm là cho rằng hai điện trường bằng nhau và ngược chiều, tác dụng trong các khoảng thời gian bằng nhau, thì chắc chắn phải triệt tiêu hoàn toàn nhau. Chúng đúng là triệt tiêu sự thay đổi vận tốc. Nhưng chúng không thể xóa đi độ dời hướng lên đầu tiên vì trong vùng thứ hai, proton vẫn đang chuyển động hướng lên trong lúc vận tốc thẳng đứng của nó bị giảm.
Đây cũng chính là lý do khi ném một quả bóng lên trên và chờ đến lúc vận tốc thẳng đứng của nó trở về bằng không, quả bóng không quay lại vị trí ban đầu.
Câu hỏi 5
Một proton và một hạt alpha đều bắt đầu từ trạng thái nghỉ.
Mỗi hạt được gia tốc qua cùng một hiệu điện thế \(800\ \mathrm V\). Sau đó, chúng đi theo phương ngang vào cùng một điện trường đều dùng để làm lệch quỹ đạo.
Điện trường làm lệch có độ lớn \(4.0\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) và kéo dài \(5.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) theo phương ngang.
Coi proton có điện tích \(+e\) và khối lượng \(m_p\), còn hạt alpha có điện tích \(+2e\) và khối lượng \(4m_p\).
Một học sinh lập luận:
“Proton có \(q/m\) lớn hơn, nên chắc chắn nó phải đi theo quỹ đạo cong hơn.”
Hãy xác định xem proton và hạt alpha có thực sự đi theo các quỹ đạo khác nhau bên trong điện trường làm lệch hay không. Tính độ lệch tại mép ra và góc ra của chúng.
Giả sử chuyển động phi tương đối tính và bỏ qua trọng lực.
Lời giải 5
Proton và hạt alpha đi theo cùng một quỹ đạo hình học bên trong điện trường làm lệch. Mỗi hạt bị lệch \(3.13\ \mathrm{mm}\), và mỗi hạt rời khỏi điện trường với góc khoảng \(7.1^\circ\) so với phương ngang.
Lập luận của học sinh đã nhận ra đúng rằng gia tốc của hai hạt trong điện trường làm lệch là khác nhau. Điều còn thiếu là các hạt trước đó đã được gia tốc từ trạng thái nghỉ qua cùng một hiệu điện thế. Vì vậy, chúng không đi vào vùng điện trường làm lệch với cùng tốc độ.
Một hạt mang điện tích dương \(q\), được gia tốc từ trạng thái nghỉ qua hiệu điện thế \(V_a\), thu được động năng
\[ qV_a=\frac12mu^2 \]
nên
\[ u^2=\frac{2qV_a}{m} \]
Bên trong điện trường làm lệch vuông góc,
\[ y=\frac{qEx^2}{2mu^2} \]
Thay biểu thức của \(u^2\),
\[ y = \frac{qEx^2} {2m(2qV_a/m)} \]
Cả điện tích và khối lượng đều triệt tiêu:
\[ y=\frac{Ex^2}{4V_a} \]
Phương trình này không chứa \(q\) cũng không chứa \(m\).
Vì vậy, với các giả định trên, mọi hạt dương phi tương đối tính được gia tốc từ trạng thái nghỉ qua cùng một hiệu điện thế rồi đi vào cùng điện trường làm lệch này đều đi theo cùng một quỹ đạo \(y(x)\).
Tại mép ra của các bản, \(x=L\):
\[ y =\frac{EL^2}{4V_a} \]
\[ y = \frac{(4.0\times10^3)(5.0\times10^{-2})^2} {4(800)} \]
\[ y =\frac{10}{3200} =3.125\times10^{-3}\ \mathrm m \]
Do đó,
\[ \boxed{y\approx3.13\ \mathrm{mm}} \]
đối với cả hai hạt.
Đối với góc ra,
\[ \tan\theta=\frac{v_y}{u} \]
Vì
\[ v_y=\frac{qEL}{mu}, \]
ta được
\[ \tan\theta =\frac{qEL}{mu^2} \]
và sử dụng
\[ mu^2=2qV_a, \]
ta có
\[ \tan\theta=\frac{EL}{2V_a} \]
Do đó,
\[ \tan\theta =\frac{(4.0\times10^3)(5.0\times10^{-2})} {2(800)} =0.125 \]
nên
\[ \boxed{\theta\approx7.1^\circ} \]
đối với cả hai hạt.
Proton thực sự có tỉ số điện tích trên khối lượng lớn gấp đôi hạt alpha, nên gia tốc của nó trong điện trường làm lệch lớn gấp đôi. Nhưng proton cũng rời khỏi vùng gia tốc bởi hiệu điện thế với tốc độ lớn hơn. Nó đi qua điện trường làm lệch nhanh hơn. Gia tốc tăng và thời gian tương tác giảm bù trừ chính xác cho nhau.
Đó là điểm then chốt của bài toán: chỉ riêng \(q/m\) cho bạn biết gia tốc, nhưng quỹ đạo phụ thuộc vào cả gia tốc lẫn khoảng thời gian mà gia tốc đó tác dụng.
09Kiến thức này giúp bạn hiểu gì tiếp theo
Khi bạn có thể tách chuyển động của hạt mang điện thành chuyển động vuông góc với vận tốc không đổi và chuyển động song song có gia tốc, nhiều bài toán điện trường khó hơn trở nên dễ xử lý hơn đáng kể.
Bước hữu ích tiếp theo là liên hệ mô hình quỹ đạo với thế năng điện. Một hiệu điện thế có thể xác định tốc độ đi vào của hạt thông qua \(qV=\Delta K\), trong khi điện trường làm lệch quyết định tốc độ đó đổi hướng như thế nào. Câu hỏi 5 đã cho thấy vì sao việc kết hợp hai ý tưởng này có thể tạo ra những kết quả không hiển nhiên nếu chỉ xét \(F=qE\).