Điện trường giữa hai bản song song: Sử dụng E = V/d

Hai bản kim loại cách nhau 20 mm. Một bản có điện thế \(+600\ \text{V}\), còn bản kia có điện thế \(0\ \text{V}\). Đặt một electron vào giữa chúng, electron sẽ gia tốc về phía bản dương.

Bây giờ tăng khoảng cách lên gấp đôi nhưng vẫn giữ hiệu điện thế 600 V như cũ. Điều gì xảy ra với điện trường?

Một câu trả lời dễ nghĩ đến là: “Không có gì thay đổi – điện áp vẫn là 600 V.” Nhưng cường độ điện trường giảm còn một nửa. Cùng một độ biến thiên điện thế giờ đây được trải trên một khoảng cách lớn gấp đôi.

Ý tưởng đó – độ biến thiên điện thế trên mỗi đơn vị khoảng cách – là chìa khóa để hiểu điện trường giữa hai bản song song.

01Từ hiệu điện thế đến điện trường

Hãy hình dung hai bản dẫn điện lớn, phẳng và song song:

• bản dương có điện thế cao hơn,
• bản âm có điện thế thấp hơn,
• hai bản cách nhau một khoảng vuông góc \(d\).

Ở vùng trung tâm giữa hai bản đủ lớn, điện trường xấp xỉ không đổi cả về độ lớn lẫn hướng.

Trước khi dùng phương trình, hãy hình dung điện áp như độ dốc.

Giả sử điện thế giảm 600 V trên khoảng cách 20 mm. Nếu cùng mức giảm 600 V đó xảy ra chỉ trên 10 mm, điện thế thay đổi nhanh hơn theo vị trí. Ta nói điện trường mạnh hơn.

Điều này hơi giống một mặt dốc. Độ cao tăng 2 m nhưng trải trên một quãng đường dài sẽ tạo ra độ dốc thoải. Cũng mức tăng 2 m đó nhưng bị nén vào một khoảng cách ngắn sẽ tạo ra độ dốc lớn hơn.

Ở đây:

• hiệu điện thế \(V\) đóng vai trò tương tự độ thay đổi độ cao,
• khoảng cách giữa hai bản \(d\) đóng vai trò tương tự khoảng cách theo phương ngang,
• cường độ điện trường \(E\) cho biết điện thế thay đổi nhanh đến mức nào theo vị trí.

Phép tương tự này cuối cùng cũng có giới hạn. Điện thế không phải là độ cao theo nghĩa đen, và điện trường là một đại lượng vectơ chứ không phải một mặt dốc vật lý. Tuy vậy, ý tưởng về “độ dốc” vẫn rất hữu ích.

Đối với điện trường đều giữa hai bản song song,

\[ E=\frac{V}{d} \]

trong đó:

• \(E\) là cường độ điện trường, có đơn vị vôn trên mét, \(\text{V m}^{-1}\), hoặc tương đương là niutơn trên culông, \(\text{N C}^{-1}\),
• \(V\) là độ lớn của hiệu điện thế giữa hai bản, tính bằng vôn, \(\text{V}\),
• \(d\) là khoảng cách vuông góc giữa hai bản, tính bằng mét, \(\text{m}\).

Lưu ý rằng \(V\) ở đây là hiệu điện thế, không nhất thiết là điện thế riêng của một trong hai bản.

Một bản ở \(+700\ \text{V}\) đặt đối diện với một bản ở \(+200\ \text{V}\) có hiệu điện thế là

\[ 700-200=500\ \text{V}. \]

Khi tính độ lớn của điện trường, ta dùng \(V=500\ \text{V}\).

02Điện trường hướng về đâu?

Phương trình \(E=V/d\) cho ta độ lớn của điện trường. Điện trường còn có hướng.

Theo định nghĩa, điện trường hướng theo chiều mà một điện tích thử dương sẽ gia tốc.

Vì vậy, giữa hai bản song song, điện trường hướng:

từ bản dương có điện thế cao hơn về phía bản âm có điện thế thấp hơn.

Điều này tạo ra một lỗi rất thường gặp khi xét electron.

Electron mang điện tích âm, vì vậy lực điện tác dụng lên nó có hướng ngược với hướng điện trường.

Lực tác dụng lên bất kỳ điện tích nào là

\[ F=qE, \]

trong đó \(F\) là lực điện tính bằng niutơn, \(q\) là điện tích tính bằng culông, và \(E\) là cường độ điện trường tính bằng niutơn trên culông.

Với điện tích dương, lực và điện trường cùng hướng. Với điện tích âm, chúng ngược hướng.

Vì vậy, một electron nằm giữa hai bản sẽ gia tốc về phía bản dương mặc dù điện trường hướng về phía bản âm.

03Tại sao \(E=V/d\) đúng?

Hiệu điện thế cho biết thế năng điện thay đổi bao nhiêu trên mỗi đơn vị điện tích.

Với một điện tích \(q\),

\[ V=\frac{\Delta U}{q}, \]

trong đó \(\Delta U\) là độ biến thiên thế năng điện.

Bây giờ xét một điện tích dịch chuyển một khoảng \(d\) theo đúng hướng của một điện trường đều. Độ lớn của lực điện là

\[ F=qE. \]

Vì vậy, độ lớn của công thực hiện trên quãng đường \(d\) là

\[ W=Fd=qEd. \]

Vì điện áp là năng lượng được truyền trên mỗi đơn vị điện tích,

\[ V=\frac{W}{q}. \]

Thay \(W=qEd\),

\[ V=\frac{qEd}{q}=Ed. \]

Do đó,

\[ E=\frac{V}{d}. \]

Điện tích \(q\) bị triệt tiêu. Điều này rất quan trọng: điện trường giữa hai bản là một tính chất của hệ điện, chứ không phụ thuộc vào điện tích thử cụ thể mà ta đặt vào đó.

Một proton và một electron đặt tại cùng một điểm sẽ chịu cùng một điện trường. Lực tác dụng lên chúng hướng ngược nhau vì điện tích của chúng trái dấu.

04Mối quan hệ chính xác hơn

Có một giới hạn quan trọng ẩn trong phương trình đơn giản này.

Mối quan hệ chính xác giữa điện trường và điện thế là: điện trường mô tả cách điện thế thay đổi theo vị trí. Trong một chiều,

\[ E_x=-\frac{\Delta V}{\Delta x} \]

đối với một vùng có điện trường không đổi.

Dấu trừ cho biết điện trường hướng về phía điện thế giảm.

Nếu ta chỉ cần tìm độ lớn giữa hai bản song song lý tưởng, biểu thức này trở thành

\[ E=\frac{V}{d}. \]

Vì vậy, \(E=V/d\) không phải là một công thức phổ quát nói rằng mọi điện trường đều bằng “một điện áp nào đó chia cho một khoảng cách nào đó”. Công thức này áp dụng trực tiếp khi điện trường là đều trên khoảng cách đang xét.

Sự phân biệt đó trở nên quan trọng ở gần mép của các bản thực.

05Điều gì thay đổi khi \(V\) hoặc \(d\) thay đổi?

Phương trình

\[ E=\frac{V}{d} \]

cho phép đưa ra một số dự đoán hữu ích.

Trường hợp cuối đáng chú ý. Điện áp lớn hơn không tự động có nghĩa là điện trường mạnh hơn.

Ví dụ,

\[ \frac{200\ \text{V}}{2.0\ \text{mm}} \]

và

\[ \frac{1000\ \text{V}}{10\ \text{mm}} \]

tạo ra cùng một cường độ điện trường lý tưởng:

\[ E=1.0\times10^5\ \text{V m}^{-1}. \]

Điều quan trọng là độ biến thiên điện thế trên mỗi đơn vị khoảng cách.

06Khi nào mô hình điện trường đều áp dụng tốt?

Các bản thực có kích thước hữu hạn. Chúng không phải những tấm phẳng rộng vô hạn.

Ở giữa hai bản song song lớn và đặt gần nhau, các đường sức điện gần như thẳng, song song và cách đều nhau. Đó là lý do mô hình điện trường đều hoạt động tốt tại vùng này.

Phép xấp xỉ chính xác nhất khi:

• các bản song song,
• kích thước của mỗi bản lớn hơn nhiều so với khoảng cách giữa chúng,
• điểm đang xét nằm cách xa các mép,
• các vật tích điện hoặc vật dẫn ở gần không làm biến dạng điện trường đáng kể.

Trong những điều kiện đó,

\[ E\approx\frac{V}{d}. \]

Dấu xấp xỉ rất quan trọng khi nói về thiết bị thực tế.

07Khi nào mô hình không còn đúng?

Ở gần mép, các đường sức điện loe ra ngoài thay vì luôn thẳng và song song hoàn toàn. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng viền.

Ở gần các mép:

• hướng của điện trường thay đổi theo vị trí,
• độ lớn của điện trường có thể thay đổi theo vị trí,
• \(E=V/d\) không còn cho giá trị chính xác của điện trường cục bộ.

Phương trình vẫn có thể mô tả thang giá trị đặc trưng hoặc điện trường trung bình, nhưng không nên xem đó là điện trường chính xác tại mọi điểm.

Đây là sự phân biệt then chốt:

Việc biết hiệu điện thế trên một khoảng cách đã biết, tự nó, không chứng minh rằng điện trường là đều.

Hình học của hệ và sự phân bố điện tích xung quanh cũng rất quan trọng.

Làm các bản lớn hơn có làm tăng \(E\) không?

Giả sử điện áp và khoảng cách giữa hai bản giữ nguyên, nhưng mỗi bản được làm rộng hơn.

Một học sinh có thể dự đoán điện trường sẽ lớn hơn vì có “nhiều kim loại tích điện hơn”.

Tuy nhiên, đối với điện trường lý tưởng giữa hai bản song song được duy trì ở một hiệu điện thế cố định,

\[ E=\frac{V}{d} \]

không chứa diện tích bản.

Việc làm các bản lớn hơn chủ yếu khiến phép xấp xỉ điện trường đều ở vùng trung tâm đúng trên một vùng rộng hơn. Nó không tự động làm tăng điện trường lý tưởng ở trung tâm khi \(V\) và \(d\) không đổi.

Đây là một lý do vì sao không nên xem các phương trình chỉ như danh sách các biến rồi giả định rằng mọi thay đổi vật lý đều phải xuất hiện đâu đó trong công thức. Một số thay đổi ảnh hưởng đến điều kiện áp dụng của mô hình chứ không ảnh hưởng đến giá trị số mà mô hình dự đoán.

08Điện áp không phải là điện trường

Một quan niệm sai lầm dễ mắc khác là một điểm có điện áp cao thì nhất thiết phải có điện trường mạnh.

Không nhất thiết.

Điện trường phụ thuộc vào tốc độ điện thế thay đổi theo vị trí.

Hãy tưởng tượng toàn bộ một bản dẫn điện ở điện thế \(1000\ \text{V}\). Mọi điểm trên vật dẫn đó có thể có cùng điện thế, nên khi di chuyển dọc theo bề mặt của nó, điện thế không thay đổi. Điện trường tiếp tuyến tại đó bằng không mặc dù bản thân điện thế là \(1000\ \text{V}\).

Điều quan trọng là gradient điện thế, chứ không đơn giản là giá trị số của điện thế có lớn hay không.

Điều này tương tự độ cao. Đứng trên một cao nguyên cao nhưng hoàn toàn bằng phẳng nghĩa là bạn đang ở cao hơn mực nước biển, nhưng bạn không đứng trên một sườn dốc lớn.

Một lần nữa, phép tương tự này có giới hạn, nhưng nó thể hiện khá rõ sự khác nhau giữa điện thế và gradient điện thế.

09Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Hai bản song song cách nhau \(3.0\ \text{mm}\). Bản bên trái có điện thế \(+12\ \text{V}\), còn bản bên phải có điện thế \(0\ \text{V}\).

Tính cường độ điện trường giữa hai bản và nêu hướng của nó.

Lời giải 1

Cường độ điện trường là \(4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}\), hướng từ bản bên trái sang bản bên phải.

Điện trường xấp xỉ đều, nên

\[ E=\frac{V}{d}. \]

Đổi khoảng cách:

\[ d=3.0\ \text{mm}=3.0\times10^{-3}\ \text{m}. \]

Hiệu điện thế là \(12\ \text{V}\), do đó

\[ \begin{aligned} E&=\frac{12}{3.0\times10^{-3}}\\ &=4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Điện trường hướng từ nơi có điện thế cao hơn đến nơi có điện thế thấp hơn, vì vậy nó hướng từ bản bên trái ở \(+12\ \text{V}\) về phía bản bên phải ở \(0\ \text{V}\).

Một lỗi thường gặp là chỉ ghi \(4000\) mà không có đơn vị hoặc hướng. Điện trường là một đại lượng vectơ, vì vậy cả hai đều quan trọng.

Câu hỏi 2

Hai bản nằm ngang lớn cách nhau \(20\ \text{mm}\) và được duy trì ở hiệu điện thế \(800\ \text{V}\). Một electron bắt đầu từ trạng thái nghỉ tại vị trí chính giữa hai bản.

Giả sử điện trường đều và bỏ qua trọng lực.

Khối lượng electron là \(9.11\times10^{-31}\ \text{kg}\), và độ lớn điện tích của nó là \(1.60\times10^{-19}\ \text{C}\).

Tính:

a. cường độ điện trường,

b. độ lớn gia tốc của electron,

c. thời gian để electron đi đến bản dương.

Lời giải 2

Điện trường là \(4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\), độ lớn gia tốc của electron xấp xỉ \(7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}\), và electron đi đến bản dương sau khoảng \(1.7\times10^{-9}\ \text{s}\).

Trước hết, đổi khoảng cách giữa hai bản:

\[ d=20\ \text{mm}=2.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

Với phần a,

\[ \begin{aligned} E&=\frac{V}{d}\\ &=\frac{800}{2.0\times10^{-2}}\\ &=4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Với phần b, độ lớn của lực điện là

\[ \begin{aligned} F&=qE\\ &=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^4)\\ &=6.4\times10^{-15}\ \text{N}. \end{aligned} \]

Sau đó, dùng \(F=ma\),

\[ \begin{aligned} a&=\frac{F}{m}\\ &=\frac{6.4\times10^{-15}}{9.11\times10^{-31}}\\ &\approx7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}. \end{aligned} \]

Electron nằm chính giữa hai bản, nên nó đi một quãng đường

\[ s=10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

Nó bắt đầu từ trạng thái nghỉ. Với gia tốc không đổi,

\[ s=ut+\frac12at^2. \]

Vì \(u=0\),

\[ t=\sqrt{\frac{2s}{a}}. \]

Do đó,

\[ \begin{aligned} t &=\sqrt{\frac{2(1.0\times10^{-2})}{7.0\times10^{15}}}\\ &\approx1.7\times10^{-9}\ \text{s}. \end{aligned} \]

Một lỗi dễ mắc là cho electron gia tốc theo hướng điện trường. Điện tích của nó là âm, nên lực và gia tốc của nó ngược hướng điện trường, tức là hướng về phía bản dương.

Câu hỏi 3

Tụ điện A có hai bản song song cách nhau \(4.0\ \text{mm}\) với hiệu điện thế \(240\ \text{V}\).

Tụ điện B có hai bản cách nhau \(15\ \text{mm}\) với hiệu điện thế \(750\ \text{V}\).

Một proton được đặt trong vùng trung tâm của mỗi tụ điện.

a. Tụ điện nào tạo ra lực điện lớn hơn tác dụng lên proton?

b. Một học sinh nói: “Chắc chắn phải là B vì 750 V lớn hơn 240 V rất nhiều.” Hãy giải thích chính xác điểm sai trong lập luận này.

c. Nếu các bản của tụ điện A được làm rộng gấp ba lần trong khi điện áp và khoảng cách giữa chúng vẫn giữ nguyên, điều gì xảy ra với điện trường lý tưởng ở vùng trung tâm?

Lời giải 3

Tụ điện A tạo ra lực lớn hơn. Lập luận của học sinh sai vì điện trường phụ thuộc vào hiệu điện thế trên mỗi đơn vị khoảng cách giữa hai bản, chứ không chỉ phụ thuộc vào hiệu điện thế; đồng thời, làm các bản của A rộng hơn không làm thay đổi điện trường lý tưởng ở trung tâm khi \(V\) và \(d\) vẫn giữ nguyên.

Với tụ điện A,

\[ \begin{aligned} E_A&=\frac{240}{4.0\times10^{-3}}\\ &=6.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Với tụ điện B,

\[ \begin{aligned} E_B&=\frac{750}{15\times10^{-3}}\\ &=5.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Do đó,

\[ E_A>E_B. \]

Vì cùng một proton được đặt trong mỗi điện trường và

\[ F=qE, \]

điện trường lớn hơn tạo ra lực lớn hơn. Vì vậy,

\[ F_A>F_B. \]

Cách suy luận dễ mắc sai lầm là so sánh trực tiếp \(750\ \text{V}\) với \(240\ \text{V}\). Nhưng điện áp không phải là cường độ điện trường. Tụ điện B phân bố hiệu điện thế lớn hơn của nó trên một khoảng cách lớn hơn nhiều.

Với phần c,

\[ E_A=\frac{V}{d} \]

không thay đổi vì cả \(V\) lẫn \(d\) đều không thay đổi.

Các bản rộng hơn có thể làm phép xấp xỉ điện trường đều chính xác hơn bằng cách đưa các hiệu ứng mép ra xa vùng trung tâm hơn. Diện tích bản ảnh hưởng đến hình học của phép xấp xỉ, nhưng không xuất hiện trong \(E=V/d\) đối với điện trường lý tưởng được duy trì ở \(V\) và \(d\) cố định.

Câu hỏi 4

Một proton đi vào theo phương ngang tại vị trí chính giữa hai bản song song với tốc độ \(3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}\). Các bản dài \(40\ \text{mm}\), cách nhau \(12\ \text{mm}\), và có hiệu điện thế \(600\ \text{V}\).

Giả sử điện trường đều trong vùng giữa các bản và bằng không ngay sau khi proton đi ra khỏi vùng đó. Bỏ qua trọng lực.

Một thiết bị thứ hai được chế tạo với các bản dài gấp đôi và cách nhau gấp đôi. Điện áp cũng được tăng gấp đôi. Proton đi vào thiết bị thứ hai với cùng tốc độ theo phương ngang.

Không thực hiện nhiều phép tính hơn mức cần thiết, hãy so sánh:

a. cường độ điện trường,

b. gia tốc theo phương thẳng đứng của proton,

c. thời gian mỗi proton ở giữa các bản,

d. vận tốc theo phương thẳng đứng của mỗi proton khi rời khỏi các bản,

e. độ lệch theo phương thẳng đứng tích lũy trong thời gian mỗi proton ở giữa các bản.

Lời giải 4

Hai thiết bị có cùng điện trường và cùng gia tốc theo phương thẳng đứng, nhưng proton ở trong điện trường của thiết bị thứ hai lâu gấp đôi, rời khỏi các bản với vận tốc theo phương thẳng đứng lớn gấp đôi và tích lũy độ lệch theo phương thẳng đứng lớn gấp bốn lần khi còn ở giữa các bản.

Với thiết bị thứ nhất,

\[ E_1=\frac{V}{d}. \]

Với thiết bị thứ hai, cả \(V\) và \(d\) đều tăng gấp đôi:

\[ E_2=\frac{2V}{2d}=\frac{V}{d}=E_1. \]

Vì vậy, hai điện trường bằng nhau.

Do

\[ F=qE \]

và

\[ a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m}, \]

cùng một proton chịu cùng một gia tốc theo phương thẳng đứng trong cả hai thiết bị.

Bây giờ xét thời gian proton ở giữa các bản. Lực điện có phương thẳng đứng, nên theo mô hình đã cho, nó không làm thay đổi vận tốc theo phương ngang của proton. Các bản thứ hai dài gấp đôi, nên

\[ t_2=2t_1. \]

Vận tốc theo phương thẳng đứng khi ra khỏi vùng giữa các bản được xác định từ

\[ v_y=u_y+a_yt. \]

Proton đi vào theo phương ngang, nên \(u_y=0\). Do đó,

\[ v_y=a_yt. \]

Vì gia tốc không đổi nhưng thời gian tăng gấp đôi,

\[ v_{y,2}=2v_{y,1}. \]

Cuối cùng, độ dịch chuyển theo phương thẳng đứng bên trong điện trường là

\[ y=u_yt+\frac12a_yt^2. \]

Một lần nữa \(u_y=0\), nên

\[ y=\frac12a_yt^2. \]

Do đó, tăng thời gian gấp đôi cho

\[ y_2=\frac12a_y(2t_1)^2=4y_1. \]

Một dự đoán dễ mắc sai lầm là “tăng mọi thứ gấp đôi thì mọi thứ phải giữ nguyên”, vì \(E=V/d\) vẫn không đổi. Điều đó chỉ cố định điện trường và do đó cố định gia tốc. Chiều dài bản quyết định gia tốc tác dụng trong bao lâu. Một gia tốc không đổi tác dụng trong thời gian dài gấp đôi tạo ra độ biến thiên vận tốc lớn gấp đôi và độ dịch chuyển lớn gấp bốn lần.

Đây là một thói quen mô hình hóa quan trọng: giữ nguyên một đại lượng không có nghĩa là giữ nguyên mọi kết quả phụ thuộc vào đại lượng đó.

Câu hỏi 5

Hai bản lớn cách nhau \(30\ \text{mm}\) với tổng hiệu điện thế \(600\ \text{V}\).

Học sinh A lập tức tính

\[ E=\frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1} \]

và khẳng định rằng đây chắc chắn là điện trường tại mọi điểm giữa hai bản.

Sau đó, một đầu dò được dùng dọc theo một đường thẳng từ bản có điện thế cao đến bản có điện thế thấp. Trong ba vùng liên tiếp, mỗi vùng dài \(10\ \text{mm}\), độ giảm điện thế đo được là:

• vùng thứ nhất: \(120\ \text{V}\),
• vùng thứ hai: \(180\ \text{V}\),
• vùng thứ ba: \(300\ \text{V}\).

Giả sử điện thế thay đổi tuyến tính trong từng vùng trong ba vùng đó.

a. Xác định độ lớn điện trường trong mỗi vùng.

b. Giải thích vì sao phép tính của học sinh A vẫn cho \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\), mặc dù không vùng nào trong ba vùng có cường độ điện trường đó.

c. Một proton di chuyển từ bản có điện thế cao đến bản có điện thế thấp. So sánh tổng công điện thực hiện lên proton với công sẽ được thực hiện trong một điện trường thực sự đều \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) trên cùng khoảng cách \(30\ \text{mm}\).

d. Ví dụ này cho thấy điều gì về giới hạn thực sự của \(E=V/d\)?

Lời giải 5

Độ lớn điện trường trong ba vùng lần lượt là \(1.2\times10^4\), \(1.8\times10^4\), và \(3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\). Học sinh A đã tính gradient điện thế trung bình trên toàn bộ khoảng cách, chứ không phải điện trường cục bộ trong từng vùng. Mặc dù các điện trường cục bộ khác nhau, proton nhận được cùng tổng công điện như trong một điện trường đều có cùng tổng hiệu điện thế.

Mỗi vùng có chiều rộng

\[ 10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}. \]

Với vùng thứ nhất,

\[ \begin{aligned} E_1&=\frac{120}{1.0\times10^{-2}}\\ &=1.2\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Với vùng thứ hai,

\[ \begin{aligned} E_2&=\frac{180}{1.0\times10^{-2}}\\ &=1.8\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Với vùng thứ ba,

\[ \begin{aligned} E_3&=\frac{300}{1.0\times10^{-2}}\\ &=3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Vì vậy, điện trường mạnh dần khi proton di chuyển qua khoảng cách giữa hai bản.

Học sinh A đã dùng tổng độ giảm điện thế chia cho tổng khoảng cách:

\[ \frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \]

Giá trị đó là độ giảm điện thế trung bình trên mỗi mét trong toàn bộ \(30\ \text{mm}\).

Ta có thể kiểm tra điều này từ ba vùng. Mỗi vùng có cùng chiều rộng, nên độ lớn điện trường trung bình là

\[ \begin{aligned} E_{\text{tb}} &=\frac{E_1+E_2+E_3}{3}\\ &=\frac{1.2+1.8+3.0}{3}\times10^4\\ &=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}. \end{aligned} \]

Vì vậy, phép tính không phải là vô nghĩa về mặt số học. Sai lầm nằm ở việc diễn giải một điện trường trung bình thành điện trường cục bộ tại mọi điểm.

Với phần c, tổng công do điện trường thực hiện lên một proton khi proton đi qua một độ giảm điện thế \(V\) phụ thuộc vào điện tích của proton và tổng hiệu điện thế:

\[ W=qV. \]

Dùng

\[ q=1.60\times10^{-19}\ \text{C} \]

và

\[ V=600\ \text{V}, \]

\[ \begin{aligned} W &=(1.60\times10^{-19})(600)\\ &=9.6\times10^{-17}\ \text{J}. \end{aligned} \]

Một điện trường thực sự đều \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) trên khoảng cách \(0.030\ \text{m}\) sẽ có

\[ V=Ed=(2.0\times10^4)(0.030)=600\ \text{V}. \]

Vì vậy, nó sẽ thực hiện chính xác cùng một tổng công:

\[ W=9.6\times10^{-17}\ \text{J}. \]

Đây là điểm then chốt của bài toán. Proton có thể nhận cùng một tổng động năng mặc dù quá trình gia tốc của nó theo thời gian là khác nhau.

Trong điện trường không đều, lực điện tác dụng lên proton trở nên lớn hơn khi nó đi qua ba vùng vì

\[ F=qE. \]

Trong điện trường đều, lực không đổi. Tuy nhiên, cả hai đường đi đều có cùng mức giảm điện thế tổng cộng là 600 V.

Lập luận dễ mắc sai lầm là: “Cùng \(V\) và cùng \(d\), do đó điện trường ở mọi nơi phải giống nhau.” Điều thực sự có thể kết luận chỉ là độ biến thiên điện thế tổng thể trên tổng khoảng cách bằng \(V/d\). Muốn đồng nhất giá trị đó với điện trường cục bộ tại mọi điểm, ta cần thêm giả định vật lý rằng điện trường là đều.

Đó là giới hạn thực sự của

\[ E=\frac{V}{d}. \]

Công thức này rất hữu ích vì hình học lý tưởng của hai bản song song làm cho điện trường ở vùng trung tâm gần như đều. Nó không phải là định nghĩa của điện trường cho mọi cách bố trí có thể có.

Khi đã hiểu rõ sự phân biệt này, bước hữu ích tiếp theo là liên hệ điện trường với chuyển động và năng lượng của các hạt mang điện. Điện trường cho biết lực thông qua \(F=qE\), còn hiệu điện thế cho biết sự truyền năng lượng thông qua \(W=qV\). Hai cách mô tả này liên hệ chặt chẽ với nhau, nhưng trả lời những câu hỏi khác nhau: một cách cho biết điều gì xảy ra với chuyển động của hạt tại một vị trí cụ thể, còn cách kia cho biết năng lượng thay đổi bao nhiêu trong suốt một hành trình.