विद्युत क्षेत्र बनाम चुंबकीय क्षेत्र: HSC Physics की व्याख्या

एक प्रोटॉन को स्थिर अवस्था में ऐसे क्षेत्र में रखें जहाँ विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र दोनों मौजूद हों। कौन-सा क्षेत्र उसे बल लगाएगा?

विद्युत क्षेत्र। स्थिर प्रोटॉन पर चुंबकीय क्षेत्र कोई बल नहीं लगाता।

अब उसी प्रोटॉन को उसी क्षेत्र से होकर गति कराएँ। अब चुंबकीय क्षेत्र भी अचानक उस पर बल लगा सकता है। यहाँ एक अधिक महत्वपूर्ण पूर्वानुमान है: यदि वह चुंबकीय बल प्रोटॉन को बहुत बड़े कोण से मोड़ देता है, तो क्या चुंबकीय क्षेत्र ने उसे ऊर्जा स्थानांतरित की है?

नहीं। चुंबकीय क्षेत्र किसी आवेशित कण की दिशा को बहुत अधिक बदल सकता है, जबकि उसकी चाल, और इसलिए उसकी गतिज ऊर्जा, अपरिवर्तित रह सकती है। गति बदलने और ऊर्जा बदलने के बीच यही अंतर HSC Physics में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को अलग-अलग समझने की कुंजी है।

01पहला मानसिक मॉडल: धक्का बनाम दिशा मोड़ना

विद्युत क्षेत्र किसी आवेश पर बल लगा सकता है, चाहे वह आवेश गतिमान हो या स्थिर।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए आवेश का गतिमान होना आवश्यक है। तब भी यह कण की गति की दिशा में आगे या पीछे बल नहीं लगाता। इसका बल पार्श्व दिशा में होता है।

एक उपयोगी प्रारंभिक चित्र यह है:

• विद्युत क्षेत्र त्वरक की तरह कार्य कर सकता है, क्योंकि उसके बल का एक घटक गति की दिशा में हो सकता है;
• चुंबकीय क्षेत्र दिशा मोड़ने जैसा अधिक कार्य करता है, क्योंकि उसका बल गति के लंबवत होता है।

यह मॉडल उपयोगी है, लेकिन पूर्ण नहीं है। यदि विद्युत बल वेग के समानांतर न हो, तो विद्युत क्षेत्र भी कण की दिशा मोड़ सकता है, और चुंबकीय क्षेत्र हर गतिमान आवेश पर बल नहीं लगाता: चुंबकीय क्षेत्र के ठीक समानांतर चलने वाला आवेश कोई चुंबकीय बल अनुभव नहीं करता।

दिशा मोड़ने वाली उपमा की भी एक सीमा है। वास्तविक कार को मोड़ने में टायरों और सड़क से लगने वाले बल शामिल होते हैं। HSC के आदर्श आवेशित-कण मॉडल में चुंबकीय बल कण के तात्कालिक वेग के ठीक लंबवत होता है, और इसी कारण वह कोई कार्य नहीं करता।

02विद्युत बल: गति आवश्यक नहीं है

विद्युत क्षेत्र \(\mathbf E\) में रखे आवेश \(q\) के लिए,

\[
\mathbf F_E=q\mathbf E
\]

जहाँ:

• \(\mathbf F_E\) विद्युत बल है, जिसकी इकाई न्यूटन, N है,
• \(q\) आवेश है, जिसकी इकाई कूलॉम, C है, और
• \(\mathbf E\) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है, जिसकी इकाई न्यूटन प्रति कूलॉम, N C\(^{-1}\), है, जो वोल्ट प्रति मीटर, V m\(^{-1}\), के समतुल्य है।

परिमाण के लिए,

\[
F_E=|q|E
\]

धनात्मक आवेश पर विद्युत क्षेत्र की दिशा में बल लगता है। ऋणात्मक आवेश पर इसके विपरीत दिशा में बल लगता है।

ध्यान दें कि समीकरण में क्या नहीं है: वेग। आवेश का गतिमान होना आवश्यक नहीं है।

दाईं ओर निर्देशित विद्युत क्षेत्र में स्थिर प्रोटॉन पर तुरंत दाईं ओर बल लगता है। उसी क्षेत्र में स्थिर इलेक्ट्रॉन पर तुरंत बाईं ओर बल लगता है।

03चुंबकीय बल: वेग महत्वपूर्ण है

चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश के लिए,

\[
\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B
\]

HSC गणनाओं के लिए इसका परिमाण सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:

\[
F_B=|q|vB\sin\theta
\]

जहाँ:

• \(F_B\) चुंबकीय बल है, जिसकी इकाई न्यूटन, N है,
• \(v\) कण की चाल है, जिसकी इकाई मीटर प्रति सेकंड, m s\(^{-1}\), है,
• \(B\) चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है, जिसकी इकाई टेस्ला, T है, और
• \(\theta\) वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

इससे तुरंत तीन उपयोगी स्थितियाँ मिलती हैं।

धनात्मक आवेश के लिए \(\mathbf v\times\mathbf B\) की दिशा ज्ञात करने हेतु दाएँ हाथ का नियम प्रयोग करें। ऋणात्मक आवेश के लिए उस दिशा को उलट दें।

महत्वपूर्ण ज्यामितीय तथ्य यह है कि जब भी चुंबकीय बल शून्य नहीं होता, वह कण के वेग के लंबवत होता है।

इसी कारण चुंबकीय क्षेत्र चाल बढ़ाए बिना त्वरण उत्पन्न कर सकता है। त्वरण का अर्थ वेग सदिश में परिवर्तन है। केवल दिशा बदलना भी इसमें शामिल है।

04यदि दोनों क्षेत्र मौजूद हों तो क्या होगा?

विद्युत और चुंबकीय बल सदिशों की तरह सीधे जुड़ते हैं:

\[
\mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B)
\]

इसे लॉरेंट्ज़ बल कहते हैं।

\(E\) और \(B\) को केवल संख्यात्मक मानों के रूप में सीधे तुलना न करें। उनकी इकाइयाँ अलग-अलग हैं। वास्तविक बलों की तुलना करें:

\[
F_E=|q|E
\]

और, लंबवत गति के लिए,

\[
F_B=|q|vB
\]

क्योंकि दोनों व्यंजकों में समान \(|q|\) आता है, एक सामान्य विशेष स्थिति तब बनती है जब दोनों बल विपरीत दिशाओं में हों और उनके परिमाण बराबर हों:

\[
|q|E=|q|vB
\]

अतः

\[
v=\frac{E}{B}
\]

इस चाल से चलता हुआ कण परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विक्षेपित हुए सीधा गुजर सकता है।

इसका अर्थ यह नहीं है कि कोई भी क्षेत्र बल नहीं लगा रहा। दो अशून्य बल एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं।

05बल और ऊर्जा एक ही प्रश्न नहीं हैं

यहीं कई अन्यथा सही उत्तर गलत हो जाते हैं।

बल बताता है कि संवेग कैसे बदलता है। कार्य बताता है कि ऊर्जा स्थानांतरित होती है या नहीं।

विद्युत क्षेत्र किसी आवेश पर कार्य कर सकता है। अकेला चुंबकीय क्षेत्र ऐसा नहीं कर सकता।

विद्युत क्षेत्र गतिज ऊर्जा बदल सकते हैं

किसी आवेश की विद्युत स्थितिज ऊर्जा है

\[
U=qV
\]

जहाँ \(V\) वोल्ट में विद्युत विभव है।

यदि कोई आवेश प्रारंभिक विभव \(V_i\) से अंतिम विभव \(V_f\) तक जाता है,

\[
\Delta U=q(V_f-V_i)
\]

विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन का ऋणात्मक होता है:

\[
W_E=-\Delta U=q(V_i-V_f)
\]

यदि कोई अन्य बल ऊर्जा स्थानांतरित नहीं करता,

\[
\Delta K=W_E
\]

अतः

\[
\Delta K=q(V_i-V_f)
\]

यह प्रायः पथ के प्रत्येक भाग को अलग-अलग ट्रैक करने की तुलना में अधिक उपयोगी होता है।

एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए यही विचार इस प्रकार लिखा जा सकता है:

\[
W_E=qEs\cos\phi
\]

जहाँ \(s\) विस्थापन है और \(\phi\) विद्युत क्षेत्र तथा विस्थापन के बीच का कोण है।

इसलिए विद्युत क्षेत्र हमेशा ऊर्जा स्थानांतरित नहीं करता। यदि कोई आवेश \(\mathbf E\) के ठीक लंबवत चलता है, तो \(\cos90^\circ=0\), और उस विस्थापन के दौरान विद्युत क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता।

चुंबकीय क्षेत्र कोई कार्य नहीं करते

कार्य बल के उस घटक पर निर्भर करता है जो विस्थापन की दिशा में हो।

चुंबकीय बल हमेशा तात्कालिक वेग के लंबवत होता है और इसलिए कण के तात्कालिक विस्थापन के भी लंबवत होता है।

अतः

\[
W_B=0
\]

चुंबकीय क्षेत्र कण के संवेग की दिशा बदल सकता है, लेकिन गैर-सापेक्षिक HSC मॉडल में उसके संवेग के परिमाण को नहीं बदल सकता।

समान रूप से, वह गतिज ऊर्जा बदले बिना दिशा बदल सकता है।

यही कारण है कि एकसमान वृत्तीय गति में निरंतर त्वरण हो सकता है, जबकि चाल स्थिर रहती है।

एक आकर्षक लेकिन गलत तर्क यह है: “चुंबकीय बल मौजूद है, इसलिए कण त्वरित हो रहा है, इसलिए उसकी चाल अवश्य बढ़नी चाहिए।”

पहले दो कथन सही हैं। अंतिम कथन सही नहीं है। त्वरण चाल के बजाय दिशा भी बदल सकता है।

HSC के अध्ययन में हम त्वरित आवेशों से निकलने वाले विकिरण और पदार्थ के साथ टक्करों जैसे प्रभावों की भी उपेक्षा करते हैं।

एक उपयोगी ऊर्जा परीक्षण

जब विद्युत और चुंबकीय दोनों क्षेत्र मौजूद हों, तो दो अलग प्रश्न पूछें:

1. परिणामी बल क्या है, और इसलिए पथ कैसे बदलता है?
2. कितना कार्य किया जाता है, और इसलिए गतिज ऊर्जा कैसे बदलती है?

चुंबकीय क्षेत्र पहली गणना में शामिल होता है। वह दूसरी गणना में सीधे योगदान नहीं देता।

स्थिर विद्युत क्षेत्रों के लिए,

\[
\Delta K=q(V_i-V_f)
\]

भले ही चुंबकीय क्षेत्र उन दो बिंदुओं के बीच के पथ को कितना भी जटिल बना दे।

यह तथ्य आगे महत्वपूर्ण होगा।

06एक संक्षिप्त तुलना

परीक्षा के लिए एक उपयोगी निर्णय नियम सरल है: यदि प्रश्न पथ के बारे में है, तो दोनों क्षेत्रों पर विचार करें। यदि प्रश्न गतिज ऊर्जा के बारे में है, तो विद्युत कार्य या विद्युत विभव में परिवर्तन देखें। चुंबकीय बल को ऊर्जा स्थानांतरण का कारण न मानें।

07प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन प्रारंभ में एक ऐसे क्षेत्र में विराम पर हैं जहाँ पूर्व की ओर निर्देशित \(4.0\times10^3\) N C\(^{-1}\) का एकसमान विद्युत क्षेत्र और उत्तर की ओर निर्देशित \(0.20\) T का एकसमान चुंबकीय क्षेत्र मौजूद है।

प्रत्येक कण के लिए:

(a) उसके प्रारंभिक विद्युत बल का परिमाण और दिशा निर्धारित करें,

(b) उसका प्रारंभिक चुंबकीय बल निर्धारित करें, और

(c) पहचानें कि छोड़े जाने के बाद कौन-सा क्षेत्र उसकी गतिज ऊर्जा बदल सकता है।

\(e=1.60\times10^{-19}\) C लें।

समाधान 1

प्रोटॉन पर प्रारंभ में \(6.4\times10^{-16}\) N का विद्युत बल पूर्व दिशा में लगता है, जबकि इलेक्ट्रॉन पर समान परिमाण का बल पश्चिम दिशा में लगता है। दोनों पर प्रारंभिक चुंबकीय बल शून्य है, और केवल विद्युत क्षेत्र उनकी गतिज ऊर्जा को सीधे बदल सकता है।

दोनों में से किसी भी कण के लिए,

\[
F_E=|q|E
=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^3)
=6.4\times10^{-16}\text{ N}
\]

प्रोटॉन धनात्मक है, इसलिए उसका बल \(\mathbf E\) की दिशा में है: पूर्व।

इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक है, इसलिए उसका बल \(\mathbf E\) के विपरीत है: पश्चिम।

चुंबकीय बल के लिए,

\[
F_B=|q|vB\sin\theta
\]

प्रारंभ में \(v=0\), इसलिए

\[
F_B=0
\]

दोनों कणों के लिए।

एक आकर्षक गलती यह है कि चुंबकीय क्षेत्र का मान लेकर \(F_B=qvB\) का उपयोग कर दिया जाए, लेकिन यह भूल जाएँ कि कण स्थिर हैं। चुंबकीय क्षेत्र मौजूद हो सकता है और फिर भी स्थिर बिंदु आवेश पर कोई बल न लगाए।

जब कण चलना शुरू करते हैं, तो उनके वेग की दिशाओं के आधार पर चुंबकीय बल उत्पन्न हो सकते हैं। वे चुंबकीय बल उनके पथ बदल सकते हैं, लेकिन तब भी कोई कार्य नहीं करते। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन विद्युत क्षेत्र से आता है।

प्रश्न 2

एक इलेक्ट्रॉन \(3.0\times10^6\) m s\(^{-1}\) की चाल से क्षैतिज रूप से दाईं ओर चलता हुआ एक क्षेत्र में प्रवेश करता है।

विद्युत क्षेत्र \(1.0\times10^5\) N C\(^{-1}\) ऊपर की ओर है, और चुंबकीय क्षेत्र \(5.0\times10^{-2}\) T पृष्ठ के भीतर की ओर है।

\(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C लें।

(a) प्रारंभिक विद्युत बल का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

(b) प्रारंभिक चुंबकीय बल का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

(c) प्रारंभिक परिणामी बल ज्ञात कीजिए।

(d) जिस ठीक क्षण इलेक्ट्रॉन क्षेत्र में प्रवेश करता है, क्या उसकी चाल बढ़ रही है, घट रही है, या उस क्षण अपरिवर्तित है? बताइए कि उसके तुरंत बाद क्या होता है।

समाधान 2

दोनों प्रारंभिक बल नीचे की ओर हैं, जिससे \(4.0\times10^{-14}\) N का परिणामी बल नीचे की ओर मिलता है। इस अशून्य परिणामी बल के बावजूद, प्रवेश के ठीक क्षण इलेक्ट्रॉन की चाल क्षणिक रूप से अपरिवर्तित रहती है क्योंकि बल उसके प्रारंभिक वेग के लंबवत है; उसके तुरंत बाद विद्युत क्षेत्र उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ाना शुरू कर देता है।

विद्युत बल के लिए,

\[
F_E=|q|E
=(1.60\times10^{-19})(1.0\times10^5)
=1.60\times10^{-14}\text{ N}
\]

विद्युत क्षेत्र ऊपर की ओर है, लेकिन इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक है, इसलिए उसका विद्युत बल नीचे की ओर है।

चुंबकीय बल के लिए,

\[
F_B=|q|vB
\]

क्योंकि वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है।

इसलिए,

\[
F_B=(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^6)(5.0\times10^{-2})
=2.40\times10^{-14}\text{ N}
\]

पृष्ठ के भीतर की ओर चुंबकीय क्षेत्र में दाईं ओर चलते धनात्मक आवेश के लिए \(\mathbf v\times\mathbf B\) ऊपर की ओर होता। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक है, इसलिए उसका चुंबकीय बल नीचे की ओर है।

इसलिए दोनों बल जुड़ते हैं:

\[
F_{\text{net}}
=1.60\times10^{-14}+2.40\times10^{-14}
=4.00\times10^{-14}\text{ N नीचे की ओर}
\]

यह निष्कर्ष निकालना आकर्षक लग सकता है कि अशून्य परिणामी बल का अर्थ है कि चाल तुरंत बढ़ रही होगी। यह आवश्यक रूप से सही नहीं है।

प्रवेश के क्षण इलेक्ट्रॉन का वेग दाईं ओर है जबकि परिणामी बल नीचे की ओर है। बल वेग के लंबवत है, इसलिए कार्य की तात्कालिक दर शून्य है।

इसलिए इलेक्ट्रॉन सबसे पहले अपनी दिशा बदलना शुरू करता है।

एक क्षण बाद उसमें कुछ नीचे की ओर वेग उत्पन्न हो चुका होता है। तब नीचे की ओर विद्युत बल का एक घटक उसकी गति की दिशा में होता है और वह धनात्मक कार्य करता है। उसकी गतिज ऊर्जा बढ़ना शुरू हो जाती है।

चुंबकीय बल तात्कालिक वेग के लंबवत बना रहता है और कोई कार्य नहीं करता।

प्रश्न 3

एक एकल-आवेशित धनात्मक आयन परस्पर लंबवत क्षेत्रों से होकर दाईं ओर चलता है। विद्युत क्षेत्र \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\) ऊपर की ओर है, और चुंबकीय क्षेत्र \(1.2\times10^{-2}\) T पृष्ठ से बाहर की ओर है।

(a) वह चाल ज्ञात कीजिए जिस पर आयन बिना विक्षेपित हुए गुजरता।

वास्तव में आयन \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) की चाल से प्रवेश करता है।

(b) उसके प्रारंभिक विक्षेप की दिशा बताइए।

बाद में आयन अपनी प्रारंभिक क्षैतिज रेखा से \(5.0\) mm नीचे है।

(c) प्रवेश से उस बिंदु तक उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन की गणना कीजिए।

(d) समझाइए कि इस ऊर्जा परिवर्तन की गणना के लिए चुंबकीय क्षेत्र से उत्पन्न वक्र पथ जानना क्यों आवश्यक नहीं है।

\(e=1.60\times10^{-19}\) C लें।

समाधान 3

बिना विक्षेप की चाल \(2.0\times10^6\) m s\(^{-1}\) है। \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) पर आयन प्रारंभ में नीचे की ओर विक्षेपित होता है, और \(5.0\) mm नीचे के बिंदु तक पहुँचने पर उसकी गतिज ऊर्जा \(120\) eV, अर्थात \(1.92\times10^{-17}\) J, कम हो चुकी होती है।

बिना विक्षेप की गति के लिए,

\[
qE=qvB
\]

अतः

\[
v=\frac{E}{B}
=\frac{2.4\times10^4}{1.2\times10^{-2}}
=2.0\times10^6\text{ m s}^{-1}
\]

वास्तविक आयन इससे तेज है।

\(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) पर,

\[
vB=(2.5\times10^6)(1.2\times10^{-2})
=3.0\times10^4\text{ N C}^{-1}
\]

यह \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\) की विद्युत क्षेत्र तीव्रता से बड़ा है, इसलिए प्रारंभ में चुंबकीय बल का परिमाण अधिक है।

पृष्ठ से बाहर की ओर \(\mathbf B\) के साथ दाईं ओर चलते धनात्मक आवेश के लिए चुंबकीय बल नीचे की ओर होता है। विद्युत बल ऊपर की ओर है। इसलिए परिणामी बल प्रारंभ में नीचे की ओर है।

ऊर्जा परिवर्तन के लिए, \(5.0\) mm नीचे की ओर जाने का अर्थ है ऊपर की ओर विद्युत क्षेत्र के विपरीत चलना। इसलिए विद्युत विभव बढ़ता है:

\[
\Delta V=Ed
=(2.4\times10^4)(5.0\times10^{-3})
=120\text{ V}
\]

धनात्मक आयन के लिए,

\[
\Delta K=q(V_i-V_f)=-q\Delta V
\]

अतः

\[
\Delta K=-(1.60\times10^{-19})(120)
=-1.92\times10^{-17}\text{ J}
\]

समान रूप से,

\[
\Delta K=-120\text{ eV}
\]

एक आकर्षक गलती यह है कि क्योंकि प्रारंभ में चुंबकीय बल अधिक था, इसलिए ऊर्जा की कमी का कारण चुंबकीय क्षेत्र को मान लिया जाए।

चुंबकीय क्षेत्र पथ के आकार का बड़ा हिस्सा निर्धारित करता है, लेकिन वह शून्य कार्य करता है। गतिज ऊर्जा में परिवर्तन प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं के बीच विद्युत विभवांतर से निर्धारित होता है।

स्थिर विद्युत क्षेत्र के लिए उन बिंदुओं के बीच लिया गया विस्तृत मार्ग विद्युत कार्य के लिए अप्रासंगिक है।

प्रश्न 4

एक ही एकल-आवेशित धनात्मक आयन का उपयोग दो प्रयोगों में किया जाता है। गैर-सापेक्षिक गति तथा प्रत्येक चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश मानें।

Run A में आयन विराम से शुरू करता है, एक त्वरक विभवांतर से गुजरते समय \(800\) eV गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है, और फिर \(0.20\) T के चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। उसके वृत्तीय पथ की त्रिज्या \(r\) है।

Run B में आयन किसी अज्ञात प्रारंभिक गतिज ऊर्जा \(K_0\) के साथ त्वरक क्षेत्र में प्रवेश करता है। इसके बाद विद्युत क्षेत्र उसकी गतिज ऊर्जा में \(400\) eV जोड़ता है। वह \(0.10\) T के चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है, और मापी गई त्रिज्या फिर से \(r\) है।

क्या \(K_0\) का कोई भौतिक रूप से संभव मान इन प्रेक्षणों को संगत बना सकता है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

समाधान 4

नहीं। इन प्रेक्षणों के लिए \(K_0=-200\) eV होना आवश्यक होगा, जो असंभव है क्योंकि गतिज ऊर्जा ऋणात्मक नहीं हो सकती। इसलिए दी गई धारणाओं या मापों में से कम-से-कम एक गलत होना चाहिए।

एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत गति के लिए,

\[
r=\frac{mv}{|q|B}
\]

या, संवेग \(p=mv\) का उपयोग करते हुए,

\[
p=|q|Br
\]

दोनों रन में वही आयन उपयोग किया गया है, और मापी गई त्रिज्या समान है।

इसलिए,

\[
\frac{p_B}{p_A}
=\frac{B_B}{B_A}
=\frac{0.10}{0.20}
=\frac12
\]

उसी गैर-सापेक्षिक कण के लिए,

\[
K=\frac{p^2}{2m}
\]

इसलिए संवेग को आधा करने पर गतिज ऊर्जा एक-चौथाई हो जाती है:

\[
K_B=\frac14K_A
\]

Run A में

\[
K_A=800\text{ eV}
\]

है, इसलिए चुंबकीय त्रिज्या का माप बताता है कि

\[
K_B=\frac14(800)=200\text{ eV}
\]

लेकिन Run B में,

\[
K_B=K_0+400\text{ eV}
\]

इसलिए,

\[
K_0+400=200
\]

जिससे

\[
K_0=-200\text{ eV}
\]

मिलता है।

यह आवेशित कणों का कोई विचित्र लेकिन स्वीकार्य गुण नहीं है। यह एक विरोधाभास है।

एक सामान्य जाल यह है कि \(-200\) eV प्राप्त करने के बाद भी समीकरणों को चलाते रहें और उसी को उत्तर के रूप में लिख दें। भौतिक प्रतिबंध \(K\geq0\) भी संतुष्ट होना चाहिए।

क्योंकि Run B में अकेला विद्युत क्षेत्र \(400\) eV जोड़ता है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र तक पहुँचने पर आयन के पास कम-से-कम \(400\) eV होना चाहिए। उसी समय उसके पास दी गई चुंबकीय त्रिज्या के लिए आवश्यक \(200\) eV नहीं हो सकते।

संभव गलत धारणाओं में बताए गए क्षेत्र-मान, मापी गई त्रिज्या, लंबवत प्रवेश, कण की पहचान, या बताया गया ऊर्जा-वृद्धि मान शामिल हैं।

प्रश्न 5

एक एकल-आवेशित धनात्मक आयन बिंदु A पर एक उपकरण में प्रवेश करता है, जहाँ विद्युत विभव \(100\) V है। उसकी प्रारंभिक गतिज ऊर्जा \(500\) eV है।

उपकरण में एक स्थिर विद्युत क्षेत्र और एक समायोज्य चुंबकीय क्षेत्र है। इसमें दो निकास छिद्र हैं:

• छिद्र C \(100\) V समविभव रेखा पर है;
• छिद्र D \(40\) V समविभव रेखा पर है।

कोई टक्कर या अन्य ऊर्जा स्थानांतरण नहीं होता।

चुंबकीय क्षेत्र की एक सेटिंग पर आयन A से C तक एक लंबा वक्र पथ अपनाता है।

केवल चुंबकीय क्षेत्र बदलने पर वही आयन A से D तक एक अलग वक्र पथ अपनाता है।

(a) C पर अंतिम गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

(b) D पर अंतिम गतिज ऊर्जा ज्ञात कीजिए।

(c) एक विद्यार्थी तर्क देता है, “केवल चुंबकीय क्षेत्र बदला गया था, इसलिए D पर अतिरिक्त गतिज ऊर्जा सिद्ध करती है कि चुंबकीय क्षेत्र ने कार्य किया।” दूसरा विद्यार्थी तर्क देता है, “चुंबकीय क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता, इसलिए उसे बदलने से कण की अंतिम गतिज ऊर्जा कभी नहीं बदल सकती।”

समझाइए कि दोनों कथन गलत क्यों हैं।

(d) मान लीजिए चुंबकीय क्षेत्र फिर बदल दिया जाता है, जिससे C तक का पथ दो गुना लंबा हो जाता है, लेकिन वह फिर भी A से शुरू होकर C पर समाप्त होता है। अंतिम गतिज ऊर्जा निर्धारित कीजिए।

समाधान 5

आयन C से \(500\) eV और D से \(560\) eV गतिज ऊर्जा के साथ निकलता है। इसलिए संयुक्त-क्षेत्र उपकरण में चुंबकीय क्षेत्र बदलने से किसी कण की अंतिम गतिज ऊर्जा बदल सकती है, लेकिन केवल अप्रत्यक्ष रूप से-इस कारण कि उसका पथ बदलने से वह अलग विद्युत विभव वाले बिंदु तक पहुँचता है; चुंबकीय बल स्वयं तब भी शून्य कार्य करता है।

A से C तक गति के लिए,

\[
\Delta K=q(V_A-V_C)
\]

दोनों बिंदु \(100\) V पर हैं, इसलिए

\[
\Delta K=e(100-100)=0
\]

अतः,

\[
K_C=500\text{ eV}
\]

A से D तक गति के लिए,

\[
\Delta K=e(100-40)
=60\text{ eV}
\]

अतः

\[
K_D=500+60
=560\text{ eV}
\]

पहला विद्यार्थी एक वास्तविक सहसंबंध देखता है, लेकिन उसका कारण गलत बताता है। चुंबकीय क्षेत्र बदलने से पथ बदल गया, जिससे आयन अलग विद्युत विभव वाले छिद्र से बाहर निकला। \(60\) eV ऊर्जा की वृद्धि विद्युत क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य से आई।

चुंबकीय बल स्वयं पूरे समय कण के तात्कालिक वेग के लंबवत रहा और उसने कोई कार्य नहीं किया।

दूसरा विद्यार्थी विपरीत गलती करता है। “चुंबकीय क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता” का अर्थ यह नहीं है कि अन्य क्षेत्रों वाले उपकरण में चुंबकीय क्षेत्र बदलने से देखी गई अंतिम ऊर्जा कभी नहीं बदल सकती।

कण को दूसरी दिशा में मोड़कर चुंबकीय क्षेत्र यह निर्धारित कर सकता है कि वह किस स्थान तक पहुँचेगा। यदि संभावित अंतिम बिंदुओं पर विद्युत विभव अलग-अलग हों, तो विद्युत क्षेत्र अलग-अलग मात्रा में कार्य कर सकता है।

इससे यह उपयोगी अंतर मिलता है:

• निश्चित प्रारंभिक और अंतिम विद्युत विभवों के लिए, चुंबकीय पथ बदलने से विद्युत कार्य नहीं बदलता;
• यदि चुंबकीय क्षेत्र बदलने से अंतिम विद्युत विभव बदल जाता है, तो अंतिम गतिज ऊर्जा बदल सकती है, भले ही चुंबकीय क्षेत्र स्वयं सीधे कोई ऊर्जा स्थानांतरित न करे।

अंत में, A से C तक के मार्ग को दो गुना लंबा करने से ऊर्जा के परिणाम में कोई परिवर्तन नहीं होता। प्रारंभिक और अंतिम विभव अब भी \(100\) V हैं:

\[
\Delta K=e(100-100)=0
\]

इसलिए आयन अब भी

\[
K_C=500\text{ eV}
\]

के साथ बाहर निकलता है।

लंबा मार्ग यात्रा समय और पथ के विवरण बदल सकता है, लेकिन स्थिरवैद्युत कार्य विभवांतर पर निर्भर करता है, तय की गई दूरी पर नहीं।

जब बल और ऊर्जा को अलग-अलग रखा जाता है, तो आवेशित कणों की गति को व्यवस्थित रूप से समझना बहुत आसान हो जाता है। एकसमान विद्युत क्षेत्र चाल और दिशा दोनों बदल सकता है, जो विद्युत क्षेत्रों में आवेशित-कणों के पथ की ओर ले जाता है। वेग के लंबवत कार्य करने वाला एकसमान चुंबकीय क्षेत्र चाल को स्थिर रखते हुए कण की दिशा लगातार बदलता है, जो सीधे चुंबकीय क्षेत्र में आवेश की वृत्तीय गति की ओर ले जाता है।