चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर बल: HSC Physics

एक धन आवेश पृष्ठ के भीतर की ओर निर्देशित चुंबकीय क्षेत्र से होकर दाईं ओर उड़ता है। क्षेत्र उस पर बल लगाता है। क्या होना चाहिए: क्या आवेश की चाल बढ़ेगी, घटेगी, या वह मुड़ेगा?

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए।

वह ऊपर की ओर मुड़ता है। आश्चर्यजनक बात यह है कि चुंबकीय बल गति की दिशा के पार्श्व में होता है। चुंबकीय क्षेत्र किसी आवेशित कण के पथ को लगातार मोड़ सकता है, बिना उसकी चाल बढ़ाए।

यही एक विचार चुंबकीय बल से जुड़े अधिकांश HSC प्रश्नों को समझाता है। गणना आपको बताती है कि पार्श्व बल कितना प्रबल है। दिशा का नियम बताता है कि कण किस ओर मुड़ेगा।

01पार्श्व-बल मॉडल से शुरुआत करें

कल्पना कीजिए कि कोई कण अंतरिक्ष में चल रहा है और कोई चीज़ उसे लगातार ठीक पार्श्व दिशा में धकेल रही है। हर धक्का कण की गति की दिशा बदलता है, लेकिन उसकी चाल नहीं बदलता।

गतिमान विद्युत आवेश के लिए चुंबकीय क्षेत्र इसी तरह व्यवहार करता है। यह उपमा उपयोगी है, लेकिन पूरी नहीं है। चुंबकीय बल केवल “कोई पार्श्व बल” नहीं है। इसका परिमाण आवेश, चाल, चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता और वेग तथा क्षेत्र के बीच के कोण पर निर्भर करता है।

इसकी दिशा भी स्पष्ट रूप से निर्धारित होती है: बल कण के वेग और चुंबकीय क्षेत्र, दोनों के लंबवत होता है।

इसका एक तत्काल परिणाम ध्यान देने योग्य है। यदि कण सीधे चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में चलता है, तो वेग और क्षेत्र मिलकर किसी पार्श्व दिशा को निर्धारित नहीं करते। चुंबकीय बल शून्य होता है।

02चुंबकीय बल के परिमाण की गणना

चुंबकीय क्षेत्र से होकर गतिमान किसी आवेश पर लगने वाले चुंबकीय बल का परिमाण है

\[ F=|q|vB\sin\theta \]

जहाँ:

• \(F\) न्यूटन, \(\text{N}\), में चुंबकीय बल है,
• \(q\) कूलॉम, \(\text{C}\), में आवेश है,
• \(v\) मीटर प्रति सेकंड, \(\text{m s}^{-1}\), में कण की चाल है,
• \(B\) टेस्ला, \(\text{T}\), में चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है, और
• \(\theta\) कण के वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

आप इसे प्रायः इस रूप में भी लिखा हुआ देखेंगे

\[ F=qvB\sin\theta. \]

जब आप बल के परिमाण की गणना कर रहे हों, तो आवेश का परिमाण इस्तेमाल करें। दूसरे शब्दों में, इलेक्ट्रॉन का आवेश \(1.60\times10^{-19}\text{ C}\) का योगदान देता है, न कि किसी “ऋणात्मक बल” का। ऋणात्मक चिह्न तब महत्त्वपूर्ण होता है जब आप दिशा निर्धारित करते हैं।

\(\sin\theta\) क्यों आता है?

मान लीजिए कण कुछ हद तक चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में और कुछ हद तक उसके आर-पार चलता है। उसकी गति का कौन-सा भाग चुंबकीय बल उत्पन्न करना चाहिए?

केवल वह घटक जो क्षेत्र के लंबवत है।

यह लंबवत चाल है

\[ v_\perp=v\sin\theta. \]

इसलिए बल को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

\[ F=|q|v_\perp B. \]

चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर वेग का घटक कोई चुंबकीय बल उत्पन्न नहीं करता।

इससे कुछ उपयोगी सीमांत स्थितियाँ मिलती हैं:

अंतिम पंक्ति अक्सर भ्रम पैदा करती है। चुंबकीय क्षेत्र के विपरीत चलना भी उसकी कार्य-दिशा के समानांतर चलना ही है, इसलिए कोई चुंबकीय बल नहीं लगता।

03दिशा ज्ञात करना

समीकरण परिमाण देता है। वह अपने आप आपको अंतरिक्ष में बल की दिशा नहीं बताता।

पूरा संबंध है

\[ \vec F=q\vec v\times\vec B. \]

आपको हर HSC प्रश्न को सदिश बीजगणित में बदलने की आवश्यकता नहीं है। दाएँ हाथ का नियम यही काम करता है।

धन आवेश के लिए:

1. अपनी दाहिनी तर्जनी को वेग \(\vec v\) की दिशा में रखें।
2. अपनी मध्यमा को चुंबकीय क्षेत्र \(\vec B\) की दिशा में रखें और उसे तर्जनी के लंबवत बनाए रखें।
3. आपका अंगूठा चुंबकीय बल \(\vec F\) की दिशा बताएगा।

ऋण आवेश के लिए पहले धन आवेश की दिशा ज्ञात करें, फिर उसे उलट दें।

परीक्षा के दबाव में किसी विशेष बाएँ हाथ के नियम को करने की कोशिश करने की तुलना में यह अंतिम चरण अधिक सुरक्षित है।

आवेश का चिह्न दिशा बदलता है, परिमाण नहीं

मान लीजिए एक प्रोटॉन और एक इलेक्ट्रॉन की चाल समान है और वे एक ही चुंबकीय क्षेत्र में एक ही दिशा में चल रहे हैं।

उनके आवेशों के परिमाण समान हैं:

\[ |q_p|=|q_e|=1.60\times10^{-19}\text{ C}. \]

इसलिए दोनों चुंबकीय बलों के परिमाण समान होते हैं।

लेकिन उनके आवेशों के चिह्न विपरीत होने के कारण बल विपरीत दिशाओं में लगते हैं।

इसीलिए किसी अदिश बल की गणना में इलेक्ट्रॉन का ऋणात्मक आवेश सीधे रख देना भ्रामक हो सकता है। बल का परिमाण \(-3.0\times10^{-13}\text{ N}\) नहीं हो सकता। पहले धनात्मक परिमाण की गणना करें, फिर दिशा को अलग से संभालें।

04यदि कण \(90^\circ\) पर नहीं चल रहा हो तो?

यहीं पर बिना सोचे \(F=qvB\) इस्तेमाल करने से समस्या होती है।

मान लीजिए कण चुंबकीय क्षेत्र से \(35^\circ\) के कोण पर चलता है। केवल क्षेत्र के लंबवत वेग ही बल उत्पन्न करता है, इसलिए बल अपने अधिकतम संभव मान से छोटा होता है।

आप चाहें तो पहले \(v_\perp\) की गणना करें या सीधे \(\sin35^\circ\) का उपयोग करें। दोनों बिल्कुल एक ही विधि हैं।

05चुंबकीय क्षेत्र बिना चाल बदले पथ को क्यों मोड़ता है

एक सहज अनुमान यह हो सकता है कि यदि किसी कण पर बल लगता है, तो निश्चित रूप से उसकी चाल बढ़नी या घटनी चाहिए।

यह केवल तभी सत्य है जब बल का कोई घटक गति की दिशा में या उसके विपरीत हो।

चुंबकीय बल तात्कालिक वेग के लंबवत होता है:

\[ \vec F\perp\vec v. \]

इसलिए क्षेत्र वेग की दिशा बदलता है, उसका परिमाण नहीं।

किसी वस्तु को डोरी से क्षैतिज वृत्त में घुमाने की कल्पना कीजिए। तनाव लगातार वस्तु की दिशा बदलता रहता है, भले ही उसे वस्तु की चाल बढ़ाने की आवश्यकता न हो। यह उपमा पूरी नहीं है क्योंकि चुंबकीय बल डोरी का तनाव नहीं है और उसकी दिशा \(q\vec v\times\vec B\) से निर्धारित होती है, लेकिन पार्श्व दिशा में मोड़ने का विचार वही है।

इसका अर्थ यह भी है कि चुंबकीय क्षेत्र अकेले किसी आवेशित कण पर कोई कार्य नहीं करता।

यदि कण प्रारंभ में किसी समान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत चलता है, तो चुंबकीय बल अभिकेंद्रीय बल की तरह व्यवहार करता है। कण वृत्ताकार पथ पर चल सकता है।

यदि कण के वेग का कुछ घटक क्षेत्र के समानांतर भी है, तो वह समानांतर घटक अपरिवर्तित रहता है जबकि लंबवत घटक घूमता है। परिणामस्वरूप गति एक हेलिक्स का रूप ले सकती है।

महत्त्वपूर्ण कारण अब भी वही है:

\[ F=|q|v_\perp B. \]

06चुंबकीय और विद्युत बलों में भ्रम न करें

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र आवेशों को अलग-अलग तरीके से प्रभावित करते हैं।

विद्युत क्षेत्र स्थिर आवेश पर भी बल लगा सकता है। उसका बल है

\[ \vec F=q\vec E. \]

चुंबकीय क्षेत्र के लिए आवेश का गतिमान होना आवश्यक है। उसका बल उस गति की दिशा पर भी निर्भर करता है।

इसलिए विद्युत क्षेत्र किसी कण की गतिज ऊर्जा को अधिक सीधे बदल सकते हैं। आप यह अंतर विद्युत क्षेत्रों में आवेशित-कणों के प्रक्षेपपथ: HSC Physics में देख सकते हैं। यदि विद्युत क्षेत्र प्लेटों के बीच उत्पन्न होता है, तो \(E=V/d\) संबंध को समांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र: E = V/d का उपयोग में विकसित किया गया है।

परीक्षा में एक उपयोगी निर्णय-सारणी है:

07समस्या हल करने की सबसे उपयोगी प्रक्रिया

जब आपको चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश दिखाई दे, तो तुरंत गणना शुरू न करें।

पहले पूछें:

1. कण किस दिशा में चल रहा है?
2. चुंबकीय क्षेत्र किस दिशा में है?
3. उनके बीच का कोण कितना है?
4. आवेश धनात्मक है या ऋणात्मक?
5. क्या मुझे पूरा वेग चाहिए, या केवल \(v_\perp\)?
6. धन आवेश के लिए बल किस दिशा में होगा?
7. यदि कण ऋणात्मक है, तो क्या मैंने उस दिशा को उलट दिया है?

इसके बाद परिमाण की गणना करें।

यह क्रम दो सामान्य त्रुटियों को रोकता है: जब गति लंबवत न हो तब \(F=qvB\) का उपयोग करना, और पूरी तरह सही परिमाण निकालकर बल की दिशा गलत बता देना।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक प्रोटॉन \(2.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) की चाल से दाईं ओर चलता है और पृष्ठ के भीतर की ओर निर्देशित \(0.30\text{ T}\) के समान चुंबकीय क्षेत्र से गुजरता है।

प्रोटॉन पर लगने वाले चुंबकीय बल का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

बल \(9.6\times10^{-14}\text{ N}\) ऊपर की ओर है।

वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए

\[ \theta=90^\circ. \]

प्रोटॉन का आवेश \(q=1.60\times10^{-19}\text{ C}\) इस्तेमाल करते हुए,

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.30)\sin90^\circ\\ &=9.6\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

धन आवेश के लिए दाईं ओर क्रॉस पृष्ठ के भीतर की ओर से ऊपर की ओर बल मिलता है।

एक सहज लेकिन गलत विचार यह हो सकता है कि क्षेत्र प्रोटॉन को पृष्ठ के भीतर या बाहर धकेलेगा क्योंकि क्षेत्र की दिशा वही है। ऐसा नहीं होता। चुंबकीय बल \(\vec v\) और \(\vec B\), दोनों के लंबवत होता है।

प्रश्न 2

एक इलेक्ट्रॉन \(6.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पूर्व से \(50^\circ\) उत्तर की ओर चलता है। \(0.25\text{ T}\) का एक समान चुंबकीय क्षेत्र पूर्व की ओर है।

दूसरे इलेक्ट्रॉन की चाल और क्षेत्र वही हैं, लेकिन वह पूर्व से \(50^\circ\) दक्षिण की ओर चलता है।

प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए:

• चुंबकीय बल का परिमाण ज्ञात कीजिए, और
• बल की दिशा निर्धारित कीजिए।

समझाइए कि वेग की दिशाएँ अलग होने के बावजूद बलों के परिमाण समान क्यों हैं।

समाधान 2

दोनों इलेक्ट्रॉनों पर लगभग \(1.8\times10^{-13}\text{ N}\) का बल लगता है, लेकिन पहले पर बल पृष्ठ से बाहर की ओर और दूसरे पर पृष्ठ के भीतर की ओर है।

दोनों इलेक्ट्रॉनों के लिए वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच के कोण का परिमाण \(50^\circ\) है। इसलिए,

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(6.0\times10^6)(0.25)\sin50^\circ\\ &=1.84\times10^{-13}\text{ N}. \end{aligned} \]

अतः

\[ F\approx1.8\times10^{-13}\text{ N}. \]

पहले इलेक्ट्रॉन के लिए प्रासंगिक लंबवत वेग-घटक उत्तर की ओर है। उत्तर क्रॉस पूर्व से धन आवेश के लिए पृष्ठ के भीतर की ओर बल मिलता है। इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक है, इसलिए उसका बल पृष्ठ से बाहर की ओर है।

दूसरे इलेक्ट्रॉन के लिए लंबवत घटक दक्षिण की ओर है। दक्षिण क्रॉस पूर्व से धन आवेश के लिए पृष्ठ से बाहर की ओर बल मिलता है, इसलिए इलेक्ट्रॉन का बल पृष्ठ के भीतर की ओर है।

एक सहज रास्ता यह मानना है कि वेग की दिशा बदलने से बल का परिमाण अवश्य बदलना चाहिए। वास्तव में महत्त्वपूर्ण है लंबवत वेग-घटक का परिमाण। दोनों कणों के लिए

\[ v_\perp=v\sin50^\circ, \]

इसलिए उनके बलों के परिमाण समान हैं। उस लंबवत घटक को उलटने से बल की दिशा उलट जाती है।

प्रश्न 3

एक एकल-आवेशित धनात्मक आयन \(0.80\text{ T}\) के समान चुंबकीय क्षेत्र से होकर चलता है। उसके वेग के घटक हैं:

• \(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर, और
• \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत।

आयन का आवेश \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\) है।

चुंबकीय बल का परिमाण ज्ञात कीजिए। फिर समझाइए कि चुंबकीय क्षेत्र निम्न में परिवर्तन करता है या नहीं:

1. वेग का समानांतर घटक,
2. लंबवत घटक का परिमाण, और
3. आयन की कुल चाल।

समाधान 3

बल \(5.1\times10^{-14}\text{ N}\) है। समानांतर वेग अपरिवर्तित रहता है, लंबवत वेग की दिशा बदलती है लेकिन उसका परिमाण नहीं, और कुल चाल स्थिर रहती है।

केवल लंबवत घटक चुंबकीय बल उत्पन्न करता है, इसलिए

\[ \begin{aligned} F&=|q|v_\perp B\\ &=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^5)(0.80)\\ &=5.12\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

अतः,

\[ F\approx5.1\times10^{-14}\text{ N}. \]

\(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) वाला समानांतर घटक कोई चुंबकीय बल उत्पन्न नहीं करता, इसलिए वह अपरिवर्तित रहता है।

लंबवत घटक को चुंबकीय बल लगातार मोड़ता रहता है। उसकी दिशा बदलती है, लेकिन उसका परिमाण \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) ही रहता है।

कुल प्रारंभिक चाल है

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(3.0\times10^5)^2+(4.0\times10^5)^2}\\ &=5.0\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

यह कुल चाल भी स्थिर रहती है क्योंकि चुंबकीय बल हमेशा तात्कालिक वेग के लंबवत होता है और इसलिए कोई कार्य नहीं करता।

एक सहज गलती यह कहना है कि लंबवत घटक “घटता है क्योंकि चुंबकीय बल उसका विरोध करता है”। ऐसा नहीं होता। बल उस घटक की अपनी दिशा में उसका विरोध करने के बजाय उसे लगातार घुमाता है। अपरिवर्तित समानांतर गति और घूमती हुई लंबवत गति के संयोजन से हेलिकल प्रक्षेपपथ बनता है।

प्रश्न 4

पृष्ठ के तल में \(x\)-\(y\) निर्देशांक तंत्र का उपयोग कीजिए।

एक धनात्मक कण मूल बिंदु पर समान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है और \(+x\) दिशा में चल रहा है। चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है। उसके पथ की त्रिज्या \(R\) है।

ठीक एक-चौथाई वृत्त पूरा करने के बाद वह \((R,R)\) पर पहुँचता है और \(+y\) दिशा में चल रहा होता है। उसी बिंदु पर वह अचानक दूसरे क्षेत्र में प्रवेश करता है, जहाँ चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण वही है लेकिन दिशा पृष्ठ से बाहर की ओर है।

मान लीजिए कि कोई फ्रिंज-फील्ड प्रभाव नहीं है।

एक छात्र तर्क देता है:

चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उलटने से बल की दिशा उलट जाती है, इसलिए कण को उसी वृत्ताकार पथ पर वापस लौटना चाहिए जिस पर वह अभी चला था।

निर्धारित कीजिए कि यह कथन सही है या नहीं। कण के नए वृत्ताकार पथ का केंद्र, एक और चौथाई वृत्त पूरा करने के बाद उसकी स्थिति, और उस बिंदु पर उसकी गति की दिशा ज्ञात कीजिए।

समाधान 4

यह कथन गलत है। नए वृत्त का केंद्र \((2R,R)\) है। एक और चौथाई वृत्त के बाद कण \((2R,2R)\) पर होगा और \(+x\) दिशा में चलेगा।

पहले क्षेत्र में कण शुरू में \(+x\) दिशा में चलता है जबकि चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है। धन आवेश के लिए चुंबकीय बल \(+y\) दिशा में है, इसलिए पथ ऊपर की ओर मुड़ता है।

\((R,R)\) पर कण का वेग \(+y\) दिशा में है।

सीमा पार करने से वह वेग तात्कालिक रूप से उलट नहीं जाता। छात्र के तर्क में यही मुख्य बाधा छूट गई है। क्षेत्र त्वरण को बदलता है, कण के पहले से मौजूद वेग को नहीं।

दूसरे क्षेत्र में प्रवेश करते ही:

• \(\vec v\) \(+y\) दिशा में है,
• \(\vec B\) पृष्ठ से बाहर की ओर है।

धन आवेश के लिए \(+y\) क्रॉस पृष्ठ से बाहर की ओर से \(+x\) दिशा में बल मिलता है।

बल अभिकेंद्रीय है, इसलिए नए वृत्ताकार पथ का केंद्र कण से एक त्रिज्या \(R\) दाईं ओर होना चाहिए:

\[ (R,R)+(R,0)=(2R,R). \]

चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण, आवेश और चाल नहीं बदले हैं, इसलिए वक्रता की त्रिज्या भी \(R\) ही रहती है।

इस नए वृत्त के सबसे बाएँ बिंदु \((R,R)\) से ऊपर की ओर वेग के साथ शुरू करते हुए कण घड़ी की दिशा में चलता है। उस वृत्त का एक-चौथाई भाग पूरा करने के बाद वह पहुँचता है

\[ (2R,2R) \]

और उसका स्पर्शरेखीय वेग \(+x\) दिशा में होता है।

वह अपने पुराने पथ पर वापस क्यों नहीं लौटता? वापस लौटने के लिए \((R,R)\) पर वेग को पुराने वृत्त के साथ नीचे की ओर होना चाहिए। \(\vec B\) को उलटने से चुंबकीय त्वरण उलटता है, लेकिन \(\vec v\) नहीं उलटता। इसलिए कण विपरीत ओर एक नया स्पर्शी चाप शुरू करता है।

प्रश्न 5

अज्ञात आवेश-चिह्न वाले कण दाईं ओर चलते हुए एक क्षेत्र में प्रवेश करते हैं। एक समान चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है और एक समान विद्युत क्षेत्र नीचे की ओर है।

\(v_0\) चाल पर कण बिना विचलित हुए सीधे गुजरते हैं।

इसके बाद स्रोत को समायोजित किया जाता है ताकि कण \(1.20v_0\) की चाल से, अभी भी दाईं ओर चलते हुए, प्रवेश करें। ये अधिक तेज कण शुरू में नीचे की ओर विचलित होते हैं।

एक कण के मुड़ना शुरू करने के बाद उसका वेग मुख्यतः दाईं ओर है, लेकिन उसमें नीचे की ओर एक छोटा घटक आ गया है।

निम्न सभी का उत्तर दीजिए:

1. \(v_0\), विद्युत क्षेत्र की तीव्रता \(E\), और चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता \(B\) के बीच संबंध व्युत्पन्न कीजिए।
2. क्या \(v_0\) पर केवल अविचलित गति से यह पता चल सकता है कि कण धनात्मक हैं या ऋणात्मक?
3. \(1.20v_0\) पर देखे गए नीचे की ओर विचलन का उपयोग करके आवेश का चिह्न निर्धारित कीजिए।
4. मान लीजिए कि कण में नीचे की ओर छोटा वेग-घटक आ जाने के बाद विद्युत क्षेत्र को अचानक बंद कर दिया जाता है। अब चुंबकीय बल का एक घटक बाईं ओर है। क्या यह बायाँ घटक कण की चाल कम करता है?
5. यदि इसके बजाय विद्युत क्षेत्र चालू रखा जाए, तो निर्धारित कीजिए कि नीचे की ओर वेग-घटक विकसित हो जाने के बाद वह प्रारंभ में कण की गतिज ऊर्जा बढ़ाता है या घटाता है।

समाधान 5

कण ऋण आवेशित हैं, \(v_0=E/B\), केवल चुंबकीय क्षेत्र उनकी चाल नहीं बदल सकता, और जब वे आंशिक रूप से नीचे की ओर चलने लगते हैं तब विद्युत क्षेत्र प्रारंभ में उनकी गतिज ऊर्जा कम करता है।

मूल अविचलित पुंज के लिए विद्युत और चुंबकीय बलों के परिमाण समान होने चाहिए:

\[ F_E=F_B. \]

क्योंकि कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करते हैं,

\[ |q|E=|q|v_0B. \]

\(|q|\) को काटने पर मिलता है

\[ v_0=\frac{E}{B}. \]

सीधा पथ आवेश का चिह्न नहीं बताता।

यह समझने के लिए पहले धन आवेश की कल्पना करें। वह दाईं ओर चलता है जबकि \(\vec B\) पृष्ठ के भीतर की ओर है, इसलिए उसका चुंबकीय बल ऊपर की ओर है। उसका विद्युत बल नीचे की ओर है। दोनों एक-दूसरे को रद्द कर सकते हैं।

अब आवेश का चिह्न उलट दें। दोनों बल उलट जाते हैं: चुंबकीय बल नीचे की ओर और विद्युत बल ऊपर की ओर हो जाता है। वे अब भी एक-दूसरे को रद्द करते हैं।

इसलिए चयनक चाल पर कोई अविचलित कण आपको उसकी चाल तो बताता है, लेकिन यह नहीं बताता कि आवेश धनात्मक है या ऋणात्मक। यह सहज निष्कर्ष कि “बलों की दिशाएँ ऐसी हैं, इसलिए कण अवश्य धनात्मक होगा” इस तथ्य को भूल जाता है कि \(q\) बदलने से दोनों बल एक साथ उलट जाते हैं।

अब चाल को बढ़ाकर \(1.20v_0\) कर दें।

विद्युत बल का परिमाण रहता है

\[ F_E=|q|E. \]

चुंबकीय बल हो जाता है

\[ F_B=|q|(1.20v_0)B. \]

क्योंकि \(v_0B=E\),

\[ F_B=1.20|q|E. \]

अब चुंबकीय बल विद्युत बल से बड़ा है।

धनात्मक कण के लिए अधिक प्रबल चुंबकीय बल ऊपर की ओर होगा, जिससे शुद्ध विचलन ऊपर की ओर होता। देखा गया विचलन नीचे की ओर है, इसलिए कण ऋण आवेशित होना चाहिए।

अब उस बाद के क्षण पर विचार करें जब ऋणात्मक कण दाईं ओर और थोड़ा नीचे की ओर, दोनों दिशाओं में चल रहा है।

यदि विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाए, तो केवल चुंबकीय बल बचता है। चूँकि वेग अब पूरी तरह क्षैतिज नहीं है, इसलिए चुंबकीय बल की दिशा भी अब पूरी तरह ऊर्ध्वाधर नहीं है। इस ऋणात्मक कण के लिए उसमें बाईं ओर और नीचे की ओर, दोनों घटक होते हैं।

बाईं ओर के बल-घटक को देखकर यह निष्कर्ष निकालना सहज लग सकता है, “कण दाईं ओर चल रहा है, इसलिए यह घटक उसे धीमा करेगा।”

लेकिन इसमें गति के केवल एक घटक पर विचार किया गया है।

कण के वेग का नीचे की ओर भी एक घटक है और चुंबकीय बल का भी नीचे की ओर एक संबंधित घटक है। दोनों योगदान इस प्रकार साथ आते हैं कि पूरा चुंबकीय बल पूरे वेग के बिल्कुल लंबवत बना रहता है।

इसलिए चुंबकीय क्षेत्र कोई कार्य नहीं करता और कण की कुल चाल नहीं बदल सकता। प्रक्षेपपथ के मुड़ने के साथ वह वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं के बीच पुनर्वितरित करता है, लेकिन

\[ |\vec v| \]

स्थिर रहता है।

अंत में, विद्युत क्षेत्र को चालू रहने दें।

विद्युत क्षेत्र नीचे की ओर है, लेकिन कण ऋणात्मक है, इसलिए उसका विद्युत बल ऊपर की ओर है। अब कण के वेग का एक घटक नीचे की ओर है। इसलिए विद्युत बल का एक घटक कण की गति के विपरीत है और प्रारंभ में ऋणात्मक कार्य करता है।

उसकी गतिज ऊर्जा घटने लगती है।

यही मुख्य वैचारिक बिंदु है: चुंबकीय बल वेग के किसी एक निर्देशांक-घटक के विपरीत घटक रख सकता है, फिर भी कुल चाल कम नहीं करता, क्योंकि पूरा चुंबकीय बल पूरे वेग के लंबवत बना रहता है। विद्युत बल पर ऐसी कोई पाबंदी नहीं है और वह कण की गतिज ऊर्जा बदल सकता है।

यही अंतर आपको अलग-अलग \(F=qvB\sin\theta\) गणनाओं से आगे बढ़कर संयुक्त विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में आवेशित कणों के पूरे प्रक्षेपपथ का पूर्वानुमान लगाने देता है।