विद्युत क्षेत्रों में आवेशित कणों के प्रक्षेप-पथ: HSC भौतिकी

एक इलेक्ट्रॉन दो क्षैतिज आवेशित प्लेटों के बीच की जगह में प्रवेश करता है और सीधा दाईं ओर चल रहा है। ऊपरी प्लेट धनात्मक है और निचली प्लेट ऋणात्मक। आगे क्या होगा: क्या इलेक्ट्रॉन तिरछा चलेगा, वृत्त में मुड़ेगा, या प्रक्षेप्य जैसी वक्र राह का अनुसरण करेगा?

आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए। विद्युत क्षेत्र धनात्मक प्लेट से ऋणात्मक प्लेट की ओर, यानी नीचे की ओर, होता है। लेकिन इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित होता है, इसलिए उस पर लगने वाला विद्युत बल ऊपर की ओर होता है। वह दाईं ओर चलता रहता है और साथ ही ऊपर की ओर त्वरण करता है। एक समान विद्युत क्षेत्र के भीतर यह संयोजन एक परवलय बनाता है।

महत्त्वपूर्ण विचार केवल यह नहीं है कि “आवेशित कण विद्युत क्षेत्रों में मुड़ते हैं”। इससे अधिक सटीक बात यह है: एक नियत विद्युत बल एक दिशा में नियत त्वरण उत्पन्न करता है, जबकि उस बल के लंबवत गति बिना बदले जारी रह सकती है। यह लगभग ठीक वही संरचना है जो प्रक्षेप्य गति में होती है।

01उस गति से शुरू करें जिसे आप पहले से जानते हैं

कल्पना कीजिए कि लगभग घर्षणरहित फर्श पर एक ट्रॉली पूर्व दिशा में चल रही है, जबकि कोई व्यक्ति उसे उत्तर दिशा में एक नियत बल से खींच रहा है।

उत्तर दिशा का खिंचाव उसकी पूर्व दिशा की वेग को समाप्त नहीं करता। ट्रॉली पूर्व की ओर चलती रहती है और साथ ही उसका उत्तर दिशा का वेग लगातार बढ़ता जाता है। उसकी राह मुड़ जाती है।

एक समान विद्युत क्षेत्र में आवेशित कण इसी तरह व्यवहार करता है। यहाँ “रस्सी” की भूमिका विद्युत बल निभाता है। हालांकि वास्तविक रस्सी के विपरीत, कण को कोई वस्तु भौतिक रूप से छूती नहीं है, और बल पूरे उस क्षेत्र में कार्य कर सकता है जहाँ विद्युत क्षेत्र मौजूद है।

इससे हमें तुरंत गति की दो अलग समस्याएँ मिलती हैं:

• क्षेत्र के लंबवत: यदि उस दिशा में कोई बल नहीं है, तो वेग नियत रहता है
• क्षेत्र के समानांतर: त्वरण नियत रहता है

यही विभाजन आवेशित-कण प्रक्षेप-पथों से जुड़े लगभग हर HSC प्रश्न की कुंजी है।

02किसी समीकरण का उपयोग करने से पहले दिशा तय करें

विद्युत क्षेत्र की दिशा को उस दिशा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें किसी धनात्मक आवेश को धकेला जाएगा।

इसलिए:

विद्युत क्षेत्र \(\vec E\) में आवेश \(q\) के लिए,

\[
\vec F = q\vec E
\]

जहाँ \(F\) न्यूटन में विद्युत बल है, \(q\) कूलॉम में आवेश है, और \(E\) न्यूटन प्रति कूलॉम में विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

न्यूटन का दूसरा नियम देता है

\[
\vec a=\frac{\vec F}{m}=\frac{q\vec E}{m}
\]

जहाँ \(m\) किलोग्राम में कण का द्रव्यमान है और \(a\) मीटर प्रति सेकंड वर्ग में उसका त्वरण है।

ध्यान दें कि \(q\) में चिन्ह शामिल होता है। यदि हम ऊपर की दिशा को धनात्मक चुनें और क्षेत्र नीचे की ओर हो, तो क्षेत्र का घटक \(E_y\) ऋणात्मक होगा। इलेक्ट्रॉन के लिए \(q\) भी ऋणात्मक होता है। इसलिए गुणनफल \(qE_y\) धनात्मक होता है, जिससे ऊपर की ओर त्वरण मिलता है।

यह “इलेक्ट्रॉन ऊपर जाते हैं” याद रखने की तुलना में अधिक सुरक्षित तरीका है। इलेक्ट्रॉन हमेशा ऊपर नहीं जाते। वे विद्युत क्षेत्र जिस भी दिशा में हो, उसके विपरीत दिशा में त्वरण करते हैं।

03प्रक्षेप-पथ परवलय क्यों बनता है

मान लीजिए कोई कण एक समान विद्युत क्षेत्र में क्षैतिज रूप से प्रवेश करता है।

चुनिए:

• \(x\)-दिशा उसकी प्रारंभिक वेग की दिशा में
• \(y\)-दिशा विद्युत क्षेत्र के अक्ष के साथ
• प्रारंभिक क्षैतिज चाल \(u_x\)
• प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर चाल \(u_y=0\)

मान लें कि क्षेत्र का कोई \(x\)-घटक नहीं है। इसलिए कोई क्षैतिज विद्युत बल नहीं है, अतः

\[
a_x=0
\]

और क्षैतिज गति है

\[
x=u_xt
\]

ऊर्ध्वाधर त्वरण नियत है:

\[
a_y=\frac{qE_y}{m}
\]

इसलिए ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
y=\frac{1}{2}a_yt^2
\]

\(t=x/u_x\) रखने पर,

\[
y=\frac{1}{2}\left(\frac{qE_y}{m}\right)\left(\frac{x}{u_x}\right)^2
\]

जो बन जाता है

\[
y=\frac{qE_y}{2mu_x^2}x^2
\]

यह \(x^2\) ही स्पष्ट संकेत है। प्रक्षेप-पथ परवलयाकार है।

यह परिणाम हमें यह भी बताता है कि मुड़ाव की मात्रा किन बातों पर निर्भर करती है। विक्षेप अधिक होगा जब:

• विद्युत क्षेत्र अधिक प्रबल हो,
• आवेश का परिमाण अधिक हो,
• कण हल्का हो, या
• क्षैतिज चाल कम हो।

अंतिम बिंदु विशेष रूप से महत्त्वपूर्ण है। तेज़ कण वही त्वरण अनुभव करता है, लेकिन निश्चित लंबाई वाले क्षेत्र के भीतर कम समय बिताता है।

अधिक सामान्य प्रक्षेप-पथ

यदि कण के पास पहले से कुछ ऊर्ध्वाधर वेग \(u_y\) है, तो यही तर्क देता है

\[
y=y_0+\frac{u_y}{u_x}x+\frac{qE_y}{2mu_x^2}x^2
\]

जहाँ \(y_0\) उसकी प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर स्थिति है।

जब तक क्षेत्र एक समान है, \(u_x\neq0\) है, और \(x\)-दिशा में कोई त्वरण नहीं है, प्रक्षेप-पथ फिर भी परवलय ही रहता है।

एक उपयोगी सीमांत स्थिति भी है। यदि कण क्षेत्र के बिल्कुल समानांतर प्रवेश करता है, तो वक्र प्रक्षेप-पथ बनाने के लिए कोई पार्श्व घटक नहीं होता। वह केवल सीधी रेखा में चलता है और उसकी चाल बढ़ती या घटती रहती है।

04सीमित प्लेट लंबाई वाले प्रश्न को हल करने का सबसे तेज़ तरीका

मान लीजिए एक समान क्षेत्र क्षैतिज दिशा में लंबाई \(L\) तक फैला है और कण क्षैतिज रूप से चाल \(u\) के साथ प्रवेश करता है।

क्योंकि उसकी क्षैतिज चाल नियत रहती है,

\[
t=\frac{L}{u}
\]

इसलिए प्लेटों के बीच उसका ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
\Delta y
=\frac{1}{2}\left(\frac{qE_y}{m}\right)\left(\frac{L}{u}\right)^2
\]

या

\[
\Delta y=\frac{qE_yL^2}{2mu^2}
\]

केवल परिमाण के लिए,

\[
|\Delta y|=\frac{|q|EL^2}{2mu^2}
\]

प्लेटों से बाहर निकलते समय ऊर्ध्वाधर वेग है

\[
v_y=a_yt=\frac{qE_yL}{mu}
\]

जबकि क्षैतिज वेग \(u\) ही रहता है।

क्षैतिज से मापा गया निर्गमन कोण \(\theta\) इसलिए इससे निकाला जा सकता है

\[
\tan\theta=\frac{v_y}{u}
\]

चिन्ह अपने आरेख से तय करें, न कि हर पंक्ति में बिना सोचे ऋणात्मक संख्याएँ डालकर।

05यदि क्षेत्र समानांतर प्लेटों से उत्पन्न हो

प्रश्नों में हमेशा \(E\) सीधे नहीं दिया जाता। आदर्श समानांतर प्लेटों के बीच,

\[
E=\frac{V}{d}
\]

जहाँ \(V\) वोल्ट में प्लेटों के बीच का विभवांतर है और \(d\) मीटर में उनके बीच की दूरी है।

इस चरण की अधिक विस्तृत पुनरावृत्ति के लिए देखें समानांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र: \(E=V/d\) का उपयोग।

यह आदर्शीकरण महत्त्वपूर्ण है। \(E=V/d\) क्षेत्र को एक समान मानता है। वास्तविक प्लेटों के किनारों के पास क्षेत्र रेखाएँ फैलती हैं, जिससे फ्रिंजिंग उत्पन्न होती है। HSC प्रक्षेप-पथ प्रश्न सामान्यतः आपको एक समान क्षेत्र मॉडल उपयोग करने के लिए पर्याप्त जानकारी देंगे।

06विद्युत विक्षेप और प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेप्य गति से इसकी गणितीय समानता बहुत स्पष्ट है, क्योंकि दोनों में एक दिशा में नियत त्वरण और लंबवत दिशा में नियत वेग होता है।

एक अंतर ऐसा है जिस पर रुककर विचार करना उपयोगी है।

वायु प्रतिरोध को उपेक्षित करते हुए यदि एक बॉलिंग बॉल और एक छोटी धातु की गेंद को एक साथ गिराया जाए, तो दोनों का गुरुत्वीय त्वरण समान होगा। उनके द्रव्यमान कट जाते हैं क्योंकि \(F_g=mg\)।

विद्युत गति में ऐसा अपने आप नहीं होता:

\[
a=\frac{qE}{m}
\]

इसलिए एक ही विद्युत क्षेत्र में दो कण बहुत अलग त्वरण कर सकते हैं, क्योंकि उनके आवेश-द्रव्यमान अनुपात \(q/m\) अलग हो सकते हैं।

07सबसे आकर्षक गलतियाँ

“कण ऋणात्मक प्लेट की ओर मुड़ता है”

ऐसा केवल धनात्मक कण करता है।

क्षेत्र ऋणात्मक प्लेट की ओर होता है। ऋणात्मक कण पर बल विपरीत दिशा में लगता है और वह धनात्मक प्लेट की ओर मुड़ता है।

अधिक सुरक्षित क्रम हमेशा यह है:

1. विद्युत क्षेत्र बनाइए,
2. आवेश का चिन्ह पहचानिए,
3. बल की दिशा निर्धारित कीजिए,
4. त्वरण की दिशा निर्धारित कीजिए।

“वक्र रास्ता किसी वृत्त का भाग ही होना चाहिए”

वृत्तीय गति के लिए ऐसा त्वरण चाहिए जिसकी दिशा लगातार बदलती रहे ताकि वह वृत्त के केंद्र की ओर संकेत करता रहे।

एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत बल एक निश्चित दिशा में होता है। इसलिए त्वरण की दिशा भी लगातार घूमने के बजाय स्थिर रहती है।

फलस्वरूप प्रक्षेप-पथ परवलय होता है, वृत्त नहीं।

“कण के मुड़ने पर उसकी क्षैतिज चाल खर्च हो जाती है”

वेग को एक निश्चित मात्रा मान लेना आसान है जिसे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति के बीच बाँटना पड़ता है। लेकिन सदिश घटक इस तरह काम नहीं करते।

यदि कोई क्षैतिज बल नहीं है,

\[
a_x=0
\]

तो \(v_x\) नियत रहता है। विद्युत क्षेत्र बदलता हुआ \(v_y\) उत्पन्न करता है; वह \(v_x\) से वेग “चुराता” नहीं है।

“प्लेटों से बाहर निकलते ही कण फिर अपनी मूल दिशा में सीधा हो जाता है”

क्षेत्र छोड़ने के बाद वह सीधी रेखा में चलता है, लेकिन अपनी मूल दिशा में वापस नहीं आता।

जिस क्षण वह क्षेत्र छोड़ता है, उसके पास पहले से क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों वेग घटक होते हैं। आगे कोई बल न होने पर दोनों घटक नियत रहते हैं। इसलिए कण अपने परवलयाकार पथ की स्पर्शरेखा के साथ आगे बढ़ता है।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक इलेक्ट्रॉन \(2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से क्षैतिज रूप से \(1.5\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) के नीचे की ओर निर्देशित एक समान विद्युत क्षेत्र में प्रवेश करता है। क्षेत्र क्षैतिज दिशा में \(2.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) तक फैला है।

क्षेत्र से बाहर निकलने से पहले इलेक्ट्रॉन का ऊर्ध्वाधर विक्षेप ज्ञात कीजिए और उसकी दिशा बताइए।

\(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) और \(m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\) का उपयोग करें।

समाधान 1

इलेक्ट्रॉन \(8.4\times10^{-4}\ \mathrm m\), अर्थात \(0.84\ \mathrm{mm}\), ऊपर की ओर विक्षेपित होता है।

क्षेत्र नीचे की ओर है, लेकिन इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक रूप से आवेशित है, इसलिए उस पर बल ऊपर की ओर है।

पहले त्वरण का परिमाण निकालें:

\[
a=\frac{eE}{m_e}
=\frac{(1.60\times10^{-19})(1.5\times10^4)}
{9.11\times10^{-31}}
=2.63\times10^{15}\ \mathrm{m\,s^{-2}}
\]

क्षेत्र में बिताया गया समय है

\[
t=\frac{L}{u}
=\frac{2.0\times10^{-2}}{2.5\times10^7}
=8.0\times10^{-10}\ \mathrm s
\]

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है, इसलिए

\[
\Delta y
=\frac12at^2
=\frac12(2.63\times10^{15})(8.0\times10^{-10})^2
=8.43\times10^{-4}\ \mathrm m
\]

अतः,

\[
\boxed{\Delta y\approx0.84\ \mathrm{mm}\text{ ऊपर की ओर}}
\]

एक सामान्य गलत तरीका इलेक्ट्रॉन को नीचे की ओर भेजना है क्योंकि क्षेत्र नीचे की ओर है। क्षेत्र की दिशा धनात्मक आवेश पर लगने वाले बल की दिशा बताती है; इलेक्ट्रॉन पर बल इसके विपरीत होता है।

प्रश्न 2

एक प्रोटॉन और एक अल्फा कण एक ही एक समान विद्युत क्षेत्र में क्षैतिज रूप से प्रवेश करते हैं और समान क्षैतिज दूरी तय करते हैं।

प्रोटॉन का आवेश \(+e\) और द्रव्यमान \(m_p\) मानें। अल्फा कण का आवेश लगभग \(+2e\) और द्रव्यमान \(4m_p\) मानें।

उनके विक्षेपों की तुलना कीजिए यदि:

a. वे समान चाल से प्रवेश करते हैं,

b. वे समान गतिज ऊर्जा के साथ प्रवेश करते हैं।

किसी संख्यात्मक मान की आवश्यकता नहीं है।

समाधान 2

समान चाल के लिए प्रोटॉन अल्फा कण की तुलना में दोगुना विक्षेपित होता है। समान गतिज ऊर्जा के लिए अल्फा कण प्रोटॉन की तुलना में दोगुना विक्षेपित होता है।

क्षैतिज रूप से प्रवेश करने वाले कण के लिए,

\[
y=\frac{qEL^2}{2mu^2}
\]

भाग a में \(E\), \(L\), और \(u\) समान हैं, इसलिए

\[
y\propto\frac qm
\]

प्रोटॉन के लिए,

\[
\frac qm=\frac{e}{m_p}
\]

अल्फा कण के लिए,

\[
\frac qm=\frac{2e}{4m_p}
=\frac12\frac{e}{m_p}
\]

इसलिए,

\[
y_\alpha=\frac12y_p
\]

अर्थात प्रोटॉन दोगुना मुड़ता है।

भाग b में एक महत्त्वपूर्ण बात बदल जाती है: समान गतिज ऊर्जा का अर्थ समान चाल नहीं होता।

इसका उपयोग करते हुए

\[
K=\frac12mu^2
\]

मिलता है

\[
u^2=\frac{2K}{m}
\]

इसे विक्षेप समीकरण में रखें:

\[
y
=\frac{qEL^2}
{2m(2K/m)}
=\frac{qEL^2}{4K}
\]

अब द्रव्यमान कट गया है। नियत \(K\) के लिए,

\[
y\propto q
\]

अल्फा कण का आवेश प्रोटॉन के आवेश से दोगुना है, इसलिए

\[
y_\alpha=2y_p
\]

आकर्षक गलती यह है कि दोनों भागों के लिए \(q/m\) का उपयोग कर लिया जाए। यह केवल तब काम करता है जब चाल को समान रखा गया हो। जब इसके बजाय गतिज ऊर्जा समान रखी जाती है, तो कण अलग-अलग चाल से प्रवेश करते हैं, जिससे क्षेत्र में बिताया गया समय बदल जाता है।

प्रश्न 3

एक इलेक्ट्रॉन एक समान विद्युत क्षेत्र में क्षैतिज रूप से प्रवेश करता है। क्षेत्र की तीव्रता \(1.2\times10^4\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) है और क्षेत्र वाला भाग \(4.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) लंबा है।

क्षेत्र से बाहर निकलने के बाद इलेक्ट्रॉन स्क्रीन से टकराने से पहले क्षैतिज दिशा में और \(0.20\ \mathrm m\) चलता है। उसकी मूल गति-रेखा से उसका कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन \(3.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) है।

उसकी प्रारंभिक क्षैतिज चाल ज्ञात कीजिए।

\(e=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) और \(m_e=9.11\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\) का उपयोग करें।

समाधान 3

इलेक्ट्रॉन की प्रवेश चाल लगभग \(2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) है।

मुख्य बात यह है कि \(3.0\ \mathrm{cm}\) का पूरा विस्थापन केवल प्लेटों के बीच उत्पन्न नहीं होता। क्षेत्र से बाहर निकलने के बाद भी इलेक्ट्रॉन ऊर्ध्वाधर दिशा में चलता रहता है क्योंकि उसका निर्गमन ऊर्ध्वाधर वेग उसके साथ बना रहता है।

प्लेट की लंबाई \(L\), क्षेत्र-मुक्त दूरी \(D\), और क्षैतिज चाल \(u\) मानें।

त्वरण का परिमाण है

\[
a=\frac{eE}{m_e}
\]

क्षेत्र वाले भाग में,

\[
t_1=\frac Lu
\]

इसलिए पहला ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
y_1=\frac12a\left(\frac Lu\right)^2
=\frac{aL^2}{2u^2}
\]

निर्गमन ऊर्ध्वाधर चाल है

\[
v_y=a\frac Lu
\]

प्लेट के किनारे से स्क्रीन तक जाने का समय है

\[
t_2=\frac Du
\]

इसलिए अतिरिक्त विस्थापन है

\[
y_2=v_yt_2
=\left(\frac{aL}{u}\right)\left(\frac Du\right)
=\frac{aLD}{u^2}
\]

अतः,

\[
Y
=\frac{a}{u^2}\left(\frac{L^2}{2}+LD\right)
\]

और इसलिए

\[
u^2
=\frac{a}{Y}\left(\frac{L^2}{2}+LD\right)
\]

पहले,

\[
a
=\frac{(1.60\times10^{-19})(1.2\times10^4)}
{9.11\times10^{-31}}
=2.11\times10^{15}\ \mathrm{m\,s^{-2}}
\]

फिर

\[
u^2
=
\frac{2.11\times10^{15}}{3.0\times10^{-2}}
\left[
\frac{(4.0\times10^{-2})^2}{2}
+(4.0\times10^{-2})(0.20)
\right]
\]

\[
u^2\approx6.18\times10^{14}\ \mathrm{m^2\,s^{-2}}
\]

इसलिए

\[
u\approx2.49\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

अतः,

\[
\boxed{u\approx2.5\times10^7\ \mathrm{m\,s^{-1}}}
\]

आकर्षक शॉर्टकट यह है कि पूरे \(3.0\ \mathrm{cm}\) को \(y=\frac12at^2\) में रख दिया जाए और समय निकालने के लिए केवल प्लेट की लंबाई का उपयोग किया जाए। इससे ज्यामिति का अधिकांश भाग अनदेखा हो जाता है: प्लेटों से बाहर निकलने के बाद त्वरण शून्य हो जाता है, लेकिन ऊर्ध्वाधर वेग शून्य नहीं होता।

प्रश्न 4

एक प्रोटॉन \(4.0\times10^5\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) की चाल से क्षैतिज रूप से दो सटे हुए विद्युत-क्षेत्र क्षेत्रों से गुजरता है।

प्रत्येक क्षेत्र \(2.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) लंबा है।

• पहले क्षेत्र में, एक समान विद्युत क्षेत्र \(3.0\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) ऊपर की ओर है।
• दूसरे क्षेत्र में, क्षेत्र का परिमाण समान है लेकिन दिशा नीचे की ओर है।

प्रोटॉन बिना किसी प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के प्रवेश करता है।

ज्ञात कीजिए:

a. दूसरे क्षेत्र से बाहर निकलते समय उसका ऊर्ध्वाधर वेग,

b. उसका कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन,

c. क्या दूसरे आधे भाग में क्षेत्र को उलट देने से पहले आधे भाग की गति पूरी तरह निष्प्रभावी हो जाती है।

\(q_p=1.60\times10^{-19}\ \mathrm C\) और \(m_p=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\) का उपयोग करें।

समाधान 4

प्रोटॉन शून्य ऊर्ध्वाधर वेग के साथ बाहर निकलता है, लेकिन वह फिर भी लगभग \(7.2\times10^{-4}\ \mathrm m\) ऊपर विस्थापित रहता है। क्षेत्र को उलटना ऊर्ध्वाधर वेग को निरस्त करता है, पहले से जमा हुए विस्थापन को नहीं।

त्वरण का परिमाण है

\[
a=\frac{qE}{m}
=\frac{(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^3)}
{1.67\times10^{-27}}
=2.87\times10^{11}\ \mathrm{m\,s^{-2}}
\]

प्रत्येक क्षेत्र को पार करने में

\[
\tau
=\frac{2.0\times10^{-2}}{4.0\times10^5}
=5.0\times10^{-8}\ \mathrm s
\]

लगते हैं।

पहले क्षेत्र में प्रोटॉन ऊपर की ओर त्वरण करता है।

उसका विस्थापन है

\[
y_1
=\frac12a\tau^2
=\frac12(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8})^2
=3.59\times10^{-4}\ \mathrm m
\]

मध्य बिंदु पर उसका ऊर्ध्वाधर वेग है

\[
v_{y,1}
=a\tau
=(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8})
=1.44\times10^4\ \mathrm{m\,s^{-1}}
\]

ऊपर की ओर।

दूसरे क्षेत्र में त्वरण की दिशा उलट जाती है। एक और समय \(\tau\) के बाद,

\[
v_{y,2}=v_{y,1}-a\tau=0
\]

इसलिए प्रोटॉन वास्तव में शून्य ऊर्ध्वाधर वेग के साथ समाप्त करता है।

लेकिन दूसरे अंतराल की शुरुआत में उसके पास ऊपर की ओर वेग होता है। उसका विस्थापन है

\[
y_2
=v_{y,1}\tau-\frac12a\tau^2
\]

\[
y_2
=(1.44\times10^4)(5.0\times10^{-8})
-\frac12(2.87\times10^{11})(5.0\times10^{-8})^2
\]

\[
y_2=3.59\times10^{-4}\ \mathrm m
\]

अतः,

\[
y_{\text{total}}
=y_1+y_2
=7.19\times10^{-4}\ \mathrm m
\]

या लगभग

\[
\boxed{0.72\ \mathrm{mm}\text{ ऊपर की ओर}}
\]

प्रोटॉन अपनी मूल दिशा के समानांतर बाहर निकलता है, लेकिन ऊपर की ओर विस्थापित रहता है।

आकर्षक तर्क यह है कि समान समय तक कार्य करने वाले बराबर और विपरीत क्षेत्र एक-दूसरे के प्रभाव को समाप्त कर देंगे। वे वेग में हुए परिवर्तन को अवश्य समाप्त करते हैं। लेकिन वे पहले हुए ऊपर की ओर विस्थापन को समाप्त नहीं कर सकते, क्योंकि दूसरे क्षेत्र के दौरान प्रोटॉन ऊर्ध्वाधर रूप से धीमा होते हुए भी ऊपर की ओर चल रहा होता है।

यही कारण है कि किसी गेंद को ऊपर फेंकने के बाद केवल इतना इंतज़ार करना कि उसका ऊर्ध्वाधर वेग फिर शून्य हो जाए, गेंद को उसकी प्रारंभिक स्थिति पर वापस नहीं लाता।

प्रश्न 5

एक प्रोटॉन और एक अल्फा कण दोनों विराम अवस्था से शुरू करते हैं।

दोनों को समान \(800\ \mathrm V\) के विभवांतर से त्वरित किया जाता है। फिर वे एक ही एक समान विक्षेपक विद्युत क्षेत्र में क्षैतिज रूप से प्रवेश करते हैं।

विक्षेपक क्षेत्र का परिमाण \(4.0\times10^3\ \mathrm{N\,C^{-1}}\) है और वह क्षैतिज दिशा में \(5.0\times10^{-2}\ \mathrm m\) तक फैला है।

प्रोटॉन का आवेश \(+e\) और द्रव्यमान \(m_p\), तथा अल्फा कण का आवेश \(+2e\) और द्रव्यमान \(4m_p\) मानें।

एक विद्यार्थी तर्क देता है:

“प्रोटॉन का \(q/m\) बड़ा है, इसलिए उसे अधिक तीव्रता से वक्र प्रक्षेप-पथ का अनुसरण करना चाहिए।”

निर्धारित कीजिए कि विक्षेपक क्षेत्र के भीतर प्रोटॉन और अल्फा कण वास्तव में अलग-अलग प्रक्षेप-पथों का अनुसरण करते हैं या नहीं। उनका निर्गमन विक्षेप और निर्गमन कोण ज्ञात कीजिए।

गति को गैर-सापेक्षिक मानें और गुरुत्वाकर्षण को उपेक्षित करें।

समाधान 5

प्रोटॉन और अल्फा कण विक्षेपक क्षेत्र के भीतर एक ही ज्यामितीय प्रक्षेप-पथ का अनुसरण करते हैं। प्रत्येक का विक्षेप \(3.13\ \mathrm{mm}\) है और प्रत्येक क्षैतिज से लगभग \(7.1^\circ\) के कोण पर बाहर निकलता है।

विद्यार्थी का तर्क सही रूप से यह पहचानता है कि विक्षेपक क्षेत्र में उनके त्वरण अलग-अलग हैं। जो शर्त छूट गई है वह यह है कि दोनों कणों को पहले विराम से समान विभवांतर से त्वरित किया गया था। इसलिए वे विक्षेपक क्षेत्र में समान चाल से प्रवेश नहीं करते।

धनात्मक आवेश \(q\) वाला कोई कण, जिसे विराम से विभवांतर \(V_a\) द्वारा त्वरित किया जाता है, गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है

\[
qV_a=\frac12mu^2
\]

इसलिए

\[
u^2=\frac{2qV_a}{m}
\]

लंबवत विक्षेपक क्षेत्र के भीतर,

\[
y=\frac{qEx^2}{2mu^2}
\]

\(u^2\) का व्यंजक रखने पर,

\[
y
=
\frac{qEx^2}
{2m(2qV_a/m)}
\]

आवेश और द्रव्यमान दोनों कट जाते हैं:

\[
y=\frac{Ex^2}{4V_a}
\]

इस समीकरण में न \(q\) है और न \(m\)।

इसलिए, इन मान्यताओं के अंतर्गत, कोई भी धनात्मक गैर-सापेक्षिक कण जिसे विराम से समान विभवांतर से त्वरित किया गया हो और फिर इसी विक्षेपक क्षेत्र में प्रवेश कराया जाए, वही \(y(x)\) प्रक्षेप-पथ अपनाएगा।

प्लेट से बाहर निकलते समय, \(x=L\):

\[
y
=\frac{EL^2}{4V_a}
\]

\[
y
=
\frac{(4.0\times10^3)(5.0\times10^{-2})^2}
{4(800)}
\]

\[
y
=\frac{10}{3200}
=3.125\times10^{-3}\ \mathrm m
\]

अतः,

\[
\boxed{y\approx3.13\ \mathrm{mm}}
\]

दोनों कणों के लिए।

निर्गमन कोण के लिए,

\[
\tan\theta=\frac{v_y}{u}
\]

क्योंकि

\[
v_y=\frac{qEL}{mu},
\]

इसलिए हमें मिलता है

\[
\tan\theta
=\frac{qEL}{mu^2}
\]

और इसका उपयोग करते हुए

\[
mu^2=2qV_a,
\]

\[
\tan\theta=\frac{EL}{2V_a}
\]

अतः,

\[
\tan\theta
=\frac{(4.0\times10^3)(5.0\times10^{-2})}
{2(800)}
=0.125
\]

इसलिए

\[
\boxed{\theta\approx7.1^\circ}
\]

दोनों कणों के लिए।

प्रोटॉन का आवेश-द्रव्यमान अनुपात वास्तव में अल्फा कण के अनुपात से दोगुना है, इसलिए विक्षेपक क्षेत्र में उसका त्वरण भी दोगुना है। लेकिन प्रोटॉन त्वरक विभवांतर से अधिक चाल के साथ बाहर निकलता है। वह विक्षेपक क्षेत्र को अधिक तेज़ी से पार करता है। बढ़ा हुआ त्वरण और घटा हुआ अंतःक्रिया समय एक-दूसरे की ठीक-ठीक भरपाई कर देते हैं।

यही इस समस्या का निर्णायक बिंदु है: केवल \(q/m\) आपको त्वरण बताता है, लेकिन प्रक्षेप-पथ त्वरण और उस त्वरण के कार्य करने की अवधि-दोनों पर निर्भर करता है।

09इससे आगे आप क्या समझ सकते हैं

एक बार जब आप आवेशित-कण गति को लंबवत दिशा में नियत-वेग गति और समानांतर दिशा में त्वरित गति में अलग कर पाते हैं, तो कई अधिक कठिन विद्युत-क्षेत्र समस्याएँ काफी अधिक प्रबंधनीय हो जाती हैं।

अगला उपयोगी कदम प्रक्षेप-पथ मॉडल को विद्युत स्थितिज ऊर्जा से जोड़ना है। विभवांतर \(qV=\Delta K\) के माध्यम से कण की प्रवेश चाल निर्धारित कर सकता है, जबकि विक्षेपक क्षेत्र यह निर्धारित करता है कि उस चाल की दिशा कैसे बदलती है। प्रश्न 5 ने दिखाया कि इन दोनों विचारों को मिलाने पर ऐसे परिणाम मिल सकते हैं जो केवल \(F=qE\) से स्पष्ट नहीं होते।