समांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र: E = V/d का उपयोग

दो धातु की प्लेटें 20 mm की दूरी पर हैं। एक प्लेट \(+600\ \text{V}\) पर है और दूसरी \(0\ \text{V}\) पर। उनके बीच एक इलेक्ट्रॉन रखें, तो वह धनात्मक प्लेट की ओर त्वरित होता है।

अब प्लेटों के बीच की दूरी दोगुनी कर दें, लेकिन वही 600 V का विभवांतर बनाए रखें। विद्युत क्षेत्र पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

एक आकर्षक उत्तर हो सकता है, “कुछ नहीं-वोल्टेज अभी भी 600 V ही है।” लेकिन क्षेत्र की तीव्रता आधी हो जाती है। विद्युत विभव में वही परिवर्तन अब दोगुनी दूरी में फैला हुआ है।

यही विचार-प्रति इकाई दूरी पर वोल्टेज में परिवर्तन-समांतर प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र को समझने की कुंजी है।

01विभवांतर से विद्युत क्षेत्र तक

दो बड़ी, सपाट, समांतर चालक प्लेटों की कल्पना करें:

• धनात्मक प्लेट उच्च विद्युत विभव पर है,
• ऋणात्मक प्लेट निम्न विद्युत विभव पर है,
• प्लेटें एक-दूसरे से लम्बवत दूरी \(d\) से अलग हैं।

पर्याप्त रूप से बड़ी प्लेटों के बीच के केंद्रीय क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र का परिमाण और दिशा दोनों लगभग स्थिर होते हैं।

समीकरण का उपयोग करने से पहले, वोल्टेज को एक ढलान की तरह सोचें।

मान लीजिए कि 20 mm की दूरी में विभव 600 V घटता है। यदि यही 600 V की गिरावट केवल 10 mm में होती है, तो स्थिति के साथ विभव अधिक तेजी से बदलता है। हम कहते हैं कि विद्युत क्षेत्र अधिक प्रबल है।

यह कुछ-कुछ एक ढलानदार रास्ते जैसा है। 2 m की ऊँचाई में वृद्धि यदि लंबी दूरी में फैली हो, तो ढलान कम होगी। वही 2 m की वृद्धि यदि छोटी दूरी में हो, तो ढलान अधिक तीखी होगी।

यहाँ:

• विभवांतर \(V\), ऊँचाई में परिवर्तन की भूमिका निभाता है,
• प्लेटों के बीच की दूरी \(d\), क्षैतिज दूरी की भूमिका निभाती है,
• विद्युत क्षेत्र की तीव्रता \(E\) बताती है कि स्थिति के साथ विभव कितनी तेजी से बदलता है।

यह उपमा अंततः सीमित हो जाती है। विद्युत विभव वास्तविक ऊँचाई नहीं है और विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है, कोई भौतिक ढलान नहीं। फिर भी “ढलान की तीव्रता” का विचार उपयोगी है।

समांतर प्लेटों के बीच एकसमान विद्युत क्षेत्र के लिए,

\[
E=\frac{V}{d}
\]

जहाँ:

• \(E\) विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है, जिसकी इकाई वोल्ट प्रति मीटर, \(\text{V m}^{-1}\), या इसके समतुल्य न्यूटन प्रति कूलॉम, \(\text{N C}^{-1}\), है,
• \(V\) प्लेटों के बीच विभवांतर का परिमाण है, जिसकी इकाई वोल्ट, \(\text{V}\), है,
• \(d\) प्लेटों के बीच की लम्बवत दूरी है, जिसकी इकाई मीटर, \(\text{m}\), है।

ध्यान दें कि यहाँ \(V\) का अर्थ विभवांतर है, यह आवश्यक नहीं कि वह किसी एक प्लेट का अलग-अलग विभव हो।

यदि एक प्लेट \(+700\ \text{V}\) पर और उसके सामने वाली प्लेट \(+200\ \text{V}\) पर हो, तो विभवांतर होगा

\[
700-200=500\ \text{V}.
\]

क्षेत्र के परिमाण के लिए आप \(V=500\ \text{V}\) का उपयोग करेंगे।

02क्षेत्र किस दिशा में होता है?

समीकरण \(E=V/d\) क्षेत्र का परिमाण देता है। विद्युत क्षेत्र की एक दिशा भी होती है।

परिभाषा के अनुसार, विद्युत क्षेत्र उस दिशा में होता है जिस दिशा में एक धनात्मक परीक्षण आवेश त्वरित होगा।

इसलिए समांतर प्लेटों के बीच यह दिशा होती है:

धनात्मक, उच्च-विभव वाली प्लेट से ऋणात्मक, निम्न-विभव वाली प्लेट की ओर।

इलेक्ट्रॉनों के मामले में यह अक्सर भ्रम पैदा करता है।

इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है, इसलिए उस पर लगने वाला विद्युत बल विद्युत क्षेत्र की दिशा के विपरीत होता है।

किसी भी आवेश पर लगने वाला बल है

\[
F=qE,
\]

जहाँ \(F\) न्यूटन में विद्युत बल है, \(q\) कूलॉम में आवेश है और \(E\) न्यूटन प्रति कूलॉम में विद्युत क्षेत्र की तीव्रता है।

धनात्मक आवेश के लिए बल और क्षेत्र एक ही दिशा में होते हैं। ऋणात्मक आवेश के लिए वे विपरीत दिशाओं में होते हैं।

इसलिए प्लेटों के बीच एक इलेक्ट्रॉन धनात्मक प्लेट की ओर त्वरित होता है, भले ही विद्युत क्षेत्र ऋणात्मक प्लेट की ओर हो।

03\(E=V/d\) क्यों काम करता है?

विद्युत विभवांतर हमें बताता है कि प्रति इकाई आवेश विद्युत स्थितिज ऊर्जा कितनी बदलती है।

किसी आवेश \(q\) के लिए,

\[
V=\frac{\Delta U}{q},
\]

जहाँ \(\Delta U\) विद्युत स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है।

अब ऐसे आवेश पर विचार करें जो एकसमान विद्युत क्षेत्र की दिशा में सीधे \(d\) दूरी तय करता है। विद्युत बल का परिमाण है

\[
F=qE.
\]

इसलिए \(d\) दूरी में किए गए कार्य का परिमाण है

\[
W=Fd=qEd.
\]

क्योंकि वोल्टेज प्रति इकाई आवेश स्थानांतरित ऊर्जा है,

\[
V=\frac{W}{q}.
\]

\(W=qEd\) रखने पर,

\[
V=\frac{qEd}{q}=Ed.
\]

अतः,

\[
E=\frac{V}{d}.
\]

आवेश \(q\) समाप्त हो जाता है। यह महत्वपूर्ण है: प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र विद्युत व्यवस्था का गुण है, न कि उस परीक्षण आवेश का जिसे आप वहाँ रखते हैं।

एक ही बिंदु पर रखे गए प्रोटॉन और इलेक्ट्रॉन समान विद्युत क्षेत्र का अनुभव करते हैं। उनके बल विपरीत दिशाओं में होते हैं क्योंकि उनके आवेशों के चिह्न विपरीत हैं।

04अधिक सटीक संबंध

सरल समीकरण के भीतर एक महत्वपूर्ण सीमा छिपी हुई है।

विद्युत क्षेत्र और विभव के बीच सटीक संबंध यह है कि विद्युत क्षेत्र बताता है कि स्थिति के साथ विभव कैसे बदलता है। एक आयाम में,

\[
E_x=-\frac{\Delta V}{\Delta x}
\]

उस क्षेत्र के लिए जहाँ विद्युत क्षेत्र स्थिर है।

ऋण चिह्न बताता है कि विद्युत क्षेत्र घटते हुए विद्युत विभव की दिशा में होता है।

यदि हम आदर्श समांतर प्लेटों के बीच केवल परिमाण ज्ञात कर रहे हों, तो यह बन जाता है

\[
E=\frac{V}{d}.
\]

इसलिए \(E=V/d\) कोई सार्वभौमिक सूत्र नहीं है जो कहता हो कि हर विद्युत क्षेत्र “किसी वोल्टेज को किसी दूरी से भाग देने” के बराबर है। यह सीधे तब लागू होता है जब विचाराधीन दूरी पर क्षेत्र एकसमान हो।

वास्तविक प्लेटों के किनारों के पास यह अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है।

05\(V\) या \(d\) बदलने पर क्या होता है?

समीकरण

\[
E=\frac{V}{d}
\]

कई उपयोगी पूर्वानुमान देता है।

अंतिम स्थिति ध्यान देने योग्य है। अधिक वोल्टेज का अर्थ स्वतः अधिक प्रबल विद्युत क्षेत्र नहीं होता।

उदाहरण के लिए,

\[
\frac{200\ \text{V}}{2.0\ \text{mm}}
\]

और

\[
\frac{1000\ \text{V}}{10\ \text{mm}}
\]

समान आदर्श क्षेत्र तीव्रता उत्पन्न करते हैं:

\[
E=1.0\times10^5\ \text{V m}^{-1}.
\]

महत्वपूर्ण यह है कि प्रति इकाई दूरी पर वोल्टेज कितना बदलता है।

06एकसमान-क्षेत्र मॉडल कहाँ काम करता है

वास्तविक प्लेटें सीमित आकार की होती हैं। वे अनंत चौड़ी चादरें नहीं होतीं।

दो बड़ी और कम दूरी पर स्थित समांतर प्लेटों के बीच के मध्य भाग में क्षेत्र रेखाएँ लगभग सीधी, समांतर और समान दूरी पर होती हैं। इसी कारण वहाँ विद्युत क्षेत्र को एकसमान मानने वाला मॉडल अच्छी तरह काम करता है।

यह सन्निकटन सबसे अच्छा तब होता है जब:

• प्लेटें समांतर हों,
• प्रत्येक प्लेट के आयाम उनकी आपसी दूरी से बहुत बड़े हों,
• विचाराधीन बिंदु किनारों से पर्याप्त दूर हो,
• आसपास की आवेशित वस्तुएँ या चालक क्षेत्र को उल्लेखनीय रूप से विकृत न करें।

इन परिस्थितियों में,

\[
E\approx\frac{V}{d}.
\]

वास्तविक उपकरणों की बात करते समय सन्निकटन का चिह्न महत्वपूर्ण है।

07मॉडल कहाँ विफल होता है

किसी किनारे के पास क्षेत्र रेखाएँ पूरी तरह सीधी और समांतर रहने के बजाय बाहर की ओर फैलती हैं। इसे फ्रिंजिंग कहा जाता है।

किनारों के पास:

• क्षेत्र की दिशा स्थिति के साथ बदलती है,
• क्षेत्र का परिमाण स्थिति के साथ बदल सकता है,
• \(E=V/d\) स्थानीय क्षेत्र का सटीक मान नहीं देता।

यह समीकरण फिर भी क्षेत्र के सामान्य या औसत पैमाने को बता सकता है, लेकिन इसे हर बिंदु पर सटीक क्षेत्र नहीं माना जाना चाहिए।

यहाँ मुख्य अंतर है:

किसी ज्ञात दूरी के पार ज्ञात विभवांतर होना, अपने आप यह सिद्ध नहीं करता कि विद्युत क्षेत्र एकसमान है।

ज्यामिति और आसपास के आवेशों का वितरण भी महत्वपूर्ण है।

क्या प्लेटों को बड़ा करने से \(E\) बढ़ता है?

मान लीजिए कि वोल्टेज और प्लेटों की दूरी स्थिर रहती है, लेकिन प्रत्येक प्लेट को अधिक चौड़ा कर दिया जाता है।

एक विद्यार्थी यह अनुमान लगा सकता है कि क्षेत्र अधिक होगा क्योंकि अब “अधिक आवेशित धातु” है।

लेकिन निश्चित विभवांतर पर बनाए रखे गए आदर्श समांतर-प्लेट क्षेत्र के लिए,

\[
E=\frac{V}{d}
\]

में प्लेट का क्षेत्रफल शामिल नहीं है।

प्लेटों को बड़ा करने से मुख्य रूप से केंद्रीय क्षेत्र में एकसमान-क्षेत्र का सन्निकटन अधिक बड़े क्षेत्र में मान्य हो जाता है। यदि \(V\) और \(d\) अपरिवर्तित रहें, तो इससे आदर्श केंद्रीय क्षेत्र स्वतः नहीं बढ़ता।

यह एक कारण है कि समीकरणों को केवल चरों की सूची की तरह नहीं देखना चाहिए और यह नहीं मानना चाहिए कि हर भौतिक परिवर्तन सूत्र में कहीं न कहीं अवश्य दिखाई देगा। कुछ परिवर्तन मॉडल की वैधता को प्रभावित करते हैं, न कि मॉडल द्वारा अनुमानित संख्यात्मक मान को।

08वोल्टेज और विद्युत क्षेत्र एक ही चीज़ नहीं हैं

एक और आकर्षक भ्रांति यह है कि जिस बिंदु पर वोल्टेज अधिक हो, वहाँ विद्युत क्षेत्र भी प्रबल होना चाहिए।

ऐसा आवश्यक नहीं है।

विद्युत क्षेत्र इस पर निर्भर करता है कि स्थिति के साथ विभव कितनी तेजी से बदलता है।

कल्पना करें कि एक पूरी चालक प्लेट \(1000\ \text{V}\) पर है। उस चालक के प्रत्येक बिंदु का विभव समान हो सकता है, इसलिए उसकी सतह के साथ चलने पर विभव में कोई परिवर्तन नहीं होता। वहाँ स्पर्शरेखीय विद्युत क्षेत्र शून्य है, भले ही विभव स्वयं \(1000\ \text{V}\) हो।

महत्वपूर्ण विभव की प्रवणता है, केवल यह नहीं कि विभव का संख्यात्मक मान बड़ा है या नहीं।

यह ऊँचाई जैसा है। किसी ऊँचे लेकिन पूरी तरह समतल पठार पर खड़े होने का अर्थ है कि आप समुद्र तल से काफी ऊपर हैं, लेकिन इसका अर्थ यह नहीं कि आप किसी तीखी ढलान पर खड़े हैं।

फिर से, इस उपमा की सीमाएँ हैं, लेकिन यह विभव और विभव प्रवणता के बीच के अंतर को अच्छी तरह दर्शाती है।

09प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

दो समांतर प्लेटें \(3.0\ \text{mm}\) की दूरी पर हैं। बाईं प्लेट \(+12\ \text{V}\) पर और दाईं प्लेट \(0\ \text{V}\) पर है।

प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र की तीव्रता की गणना करें और उसकी दिशा बताएं।

समाधान 1

क्षेत्र की तीव्रता \(4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}\) है और इसकी दिशा बाईं प्लेट से दाईं प्लेट की ओर है।

क्षेत्र लगभग एकसमान है, इसलिए

\[
E=\frac{V}{d}.
\]

दूरी को बदलें:

\[
d=3.0\ \text{mm}=3.0\times10^{-3}\ \text{m}.
\]

विभवांतर \(12\ \text{V}\) है, इसलिए

\[
\begin{aligned}
E&=\frac{12}{3.0\times10^{-3}}\\
&=4.0\times10^3\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

विद्युत क्षेत्र उच्च विभव से निम्न विभव की ओर होता है, इसलिए इसकी दिशा \(+12\ \text{V}\) वाली बाईं प्लेट से \(0\ \text{V}\) वाली दाईं प्लेट की ओर है।

एक सामान्य गलती केवल \(4000\) लिख देना है, बिना इकाई या दिशा के। विद्युत क्षेत्र एक सदिश राशि है, इसलिए दोनों महत्वपूर्ण हैं।

प्रश्न 2

दो बड़ी क्षैतिज प्लेटें \(20\ \text{mm}\) की दूरी पर हैं और उनके बीच \(800\ \text{V}\) का विभवांतर बनाए रखा गया है। एक इलेक्ट्रॉन उनके बीच ठीक मध्य बिंदु से विराम अवस्था में चलना शुरू करता है।

मान लें कि क्षेत्र एकसमान है और गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करें।

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान \(9.11\times10^{-31}\ \text{kg}\) है और उसके आवेश का परिमाण \(1.60\times10^{-19}\ \text{C}\) है।

गणना करें:

a. विद्युत क्षेत्र की तीव्रता,

b. इलेक्ट्रॉन के त्वरण का परिमाण,

c. धनात्मक प्लेट तक पहुँचने में इलेक्ट्रॉन द्वारा लिया गया समय।

समाधान 2

विद्युत क्षेत्र \(4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) है, इलेक्ट्रॉन के त्वरण का परिमाण लगभग \(7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}\) है और वह लगभग \(1.7\times10^{-9}\ \text{s}\) में धनात्मक प्लेट तक पहुँचता है।

पहले प्लेटों के बीच की दूरी बदलें:

\[
d=20\ \text{mm}=2.0\times10^{-2}\ \text{m}.
\]

भाग a के लिए,

\[
\begin{aligned}
E&=\frac{V}{d}\\
&=\frac{800}{2.0\times10^{-2}}\\
&=4.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

भाग b के लिए, विद्युत बल का परिमाण है

\[
\begin{aligned}
F&=qE\\
&=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^4)\\
&=6.4\times10^{-15}\ \text{N}.
\end{aligned}
\]

फिर, \(F=ma\) का उपयोग करते हुए,

\[
\begin{aligned}
a&=\frac{F}{m}\\
&=\frac{6.4\times10^{-15}}{9.11\times10^{-31}}\\
&\approx7.0\times10^{15}\ \text{m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

इलेक्ट्रॉन प्लेटों के ठीक मध्य में है, इसलिए वह

\[
s=10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}
\]

दूरी तय करता है।

वह विराम अवस्था से शुरू करता है। स्थिर त्वरण के लिए,

\[
s=ut+\frac12at^2.
\]

क्योंकि \(u=0\),

\[
t=\sqrt{\frac{2s}{a}}.
\]

अतः,

\[
\begin{aligned}
t
&=\sqrt{\frac{2(1.0\times10^{-2})}{7.0\times10^{15}}}\\
&\approx1.7\times10^{-9}\ \text{s}.
\end{aligned}
\]

एक आकर्षक गलती यह है कि इलेक्ट्रॉन को विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित मान लिया जाए। उसका आवेश ऋणात्मक है, इसलिए उसका बल और त्वरण क्षेत्र की दिशा के विपरीत, धनात्मक प्लेट की ओर होता है।

प्रश्न 3

संधारित्र A की समांतर प्लेटों के बीच दूरी \(4.0\ \text{mm}\) और विभवांतर \(240\ \text{V}\) है।

संधारित्र B की प्लेटों के बीच दूरी \(15\ \text{mm}\) और विभवांतर \(750\ \text{V}\) है।

प्रत्येक संधारित्र के केंद्रीय क्षेत्र में एक प्रोटॉन रखा जाता है।

a. कौन-सा संधारित्र प्रोटॉन पर अधिक विद्युत बल उत्पन्न करता है?

b. एक विद्यार्थी कहता है, “यह B ही होना चाहिए क्योंकि 750 V, 240 V से बहुत अधिक है।” स्पष्ट रूप से समझाएँ कि इस तर्क में क्या गलत है।

c. यदि संधारित्र A की प्लेटों को तीन गुना चौड़ा कर दिया जाए जबकि उसका वोल्टेज और प्लेटों की दूरी स्थिर रहे, तो आदर्श केंद्रीय क्षेत्र पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

समाधान 3

संधारित्र A अधिक बल उत्पन्न करता है। विद्यार्थी का तर्क इसलिए गलत है क्योंकि विद्युत क्षेत्र केवल विभवांतर पर नहीं, बल्कि प्रति इकाई दूरी पर विभवांतर पर निर्भर करता है, और \(V\) तथा \(d\) स्थिर रहने पर A की प्लेटों को चौड़ा करने से उसका आदर्श केंद्रीय क्षेत्र नहीं बदलता।

संधारित्र A के लिए,

\[
\begin{aligned}
E_A&=\frac{240}{4.0\times10^{-3}}\\
&=6.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

संधारित्र B के लिए,

\[
\begin{aligned}
E_B&=\frac{750}{15\times10^{-3}}\\
&=5.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

अतः,

\[
E_A>E_B.
\]

क्योंकि दोनों क्षेत्रों में वही प्रोटॉन रखा गया है और

\[
F=qE,
\]

इसलिए बड़ा विद्युत क्षेत्र बड़ा बल उत्पन्न करता है। अतः,

\[
F_A>F_B.
\]

आकर्षक लेकिन गलत तरीका \(750\ \text{V}\) की सीधे \(240\ \text{V}\) से तुलना करना है। लेकिन वोल्टेज क्षेत्र की तीव्रता नहीं है। संधारित्र B का बड़ा विभवांतर कहीं अधिक बड़े अंतराल में फैला हुआ है।

भाग c के लिए,

\[
E_A=\frac{V}{d}
\]

अपरिवर्तित रहता है क्योंकि न तो \(V\) बदलता है और न ही \(d\)।

चौड़ी प्लेटें किनारों के प्रभावों को केंद्रीय क्षेत्र से अधिक दूर करके एकसमान-क्षेत्र सन्निकटन को बेहतर बना सकती हैं। प्लेट का क्षेत्रफल सन्निकटन की ज्यामिति को प्रभावित करता है, लेकिन निश्चित \(V\) और \(d\) पर बनाए गए आदर्श क्षेत्र के लिए यह \(E=V/d\) में नहीं आता।

प्रश्न 4

एक प्रोटॉन \(3.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से दो समांतर प्लेटों के बीच मध्य बिंदु पर क्षैतिज रूप से प्रवेश करता है। प्लेटों की लंबाई \(40\ \text{mm}\), उनके बीच की दूरी \(12\ \text{mm}\) और विभवांतर \(600\ \text{V}\) है।

मान लें कि प्लेटों वाले क्षेत्र के भीतर विद्युत क्षेत्र एकसमान है और प्रोटॉन के प्लेटों से बाहर निकलते ही क्षेत्र शून्य हो जाता है। गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा करें।

एक दूसरा उपकरण बनाया जाता है जिसमें प्लेटें दोगुनी लंबी हैं और उनके बीच की दूरी भी दोगुनी है। वोल्टेज भी दोगुना किया जाता है। प्रोटॉन दूसरे उपकरण में उसी क्षैतिज चाल से प्रवेश करता है।

अनावश्यक गणना किए बिना तुलना करें:

a. विद्युत क्षेत्र की तीव्रताओं की,

b. प्रोटॉन के ऊर्ध्वाधर त्वरण की,

c. प्रत्येक प्रोटॉन द्वारा प्लेटों के बीच बिताए गए समय की,

d. प्लेटों से बाहर निकलते समय प्रत्येक प्रोटॉन के ऊर्ध्वाधर वेग की,

e. प्लेटों के बीच रहते समय प्रत्येक प्रोटॉन द्वारा प्राप्त कुल ऊर्ध्वाधर विस्थापन की।

समाधान 4

दोनों उपकरणों में विद्युत क्षेत्र समान है और ऊर्ध्वाधर त्वरण भी समान है, लेकिन प्रोटॉन दूसरे क्षेत्र में दोगुना समय बिताता है, दोगुने ऊर्ध्वाधर वेग के साथ बाहर निकलता है और प्लेटों के बीच रहते हुए चार गुना ऊर्ध्वाधर विस्थापन प्राप्त करता है।

पहले उपकरण के लिए,

\[
E_1=\frac{V}{d}.
\]

दूसरे उपकरण में \(V\) और \(d\), दोनों दोगुने हैं:

\[
E_2=\frac{2V}{2d}=\frac{V}{d}=E_1.
\]

इसलिए दोनों क्षेत्र समान हैं।

क्योंकि

\[
F=qE
\]

और

\[
a=\frac{F}{m}=\frac{qE}{m},
\]

इसलिए वही प्रोटॉन दोनों उपकरणों में समान ऊर्ध्वाधर त्वरण अनुभव करता है।

अब प्लेटों के बीच बिताए गए समय पर विचार करें। विद्युत बल ऊर्ध्वाधर है, इसलिए दिए गए मॉडल के अनुसार यह प्रोटॉन के क्षैतिज वेग को नहीं बदलता। दूसरे उपकरण की प्लेटें दोगुनी लंबी हैं, इसलिए

\[
t_2=2t_1.
\]

बाहर निकलते समय ऊर्ध्वाधर वेग मिलता है

\[
v_y=u_y+a_yt.
\]

प्रोटॉन क्षैतिज रूप से प्रवेश करता है, इसलिए \(u_y=0\)। अतः,

\[
v_y=a_yt.
\]

क्योंकि त्वरण अपरिवर्तित है लेकिन समय दोगुना हो जाता है,

\[
v_{y,2}=2v_{y,1}.
\]

अंत में, क्षेत्र के भीतर ऊर्ध्वाधर विस्थापन है

\[
y=u_yt+\frac12a_yt^2.
\]

फिर से \(u_y=0\), इसलिए

\[
y=\frac12a_yt^2.
\]

इसलिए समय को दोगुना करने पर

\[
y_2=\frac12a_y(2t_1)^2=4y_1.
\]

एक आकर्षक अनुमान यह है कि “सब कुछ दोगुना करने पर सब कुछ अपरिवर्तित रहना चाहिए”, क्योंकि \(E=V/d\) स्थिर रहता है। लेकिन इससे केवल क्षेत्र और इसलिए त्वरण स्थिर रहता है। प्लेट की लंबाई यह नियंत्रित करती है कि त्वरण कितने समय तक कार्य करता है। समान त्वरण यदि दोगुने समय तक कार्य करे, तो वेग में परिवर्तन दोगुना और विस्थापन चार गुना हो जाता है।

यह मॉडलिंग की एक महत्वपूर्ण आदत है: किसी एक राशि को स्थिर रखने से उस पर निर्भर हर परिणाम स्थिर नहीं रहता।

प्रश्न 5

दो बड़ी प्लेटों के बीच दूरी \(30\ \text{mm}\) है और कुल विभवांतर \(600\ \text{V}\) है।

विद्यार्थी A तुरंत गणना करता है

\[
E=\frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}
\]

और दावा करता है कि प्लेटों के बीच हर बिंदु पर विद्युत क्षेत्र का मान यही होना चाहिए।

इसके बाद उच्च-विभव वाली प्लेट से निम्न-विभव वाली प्लेट तक एक सीधी रेखा में जाँच के लिए एक प्रोब का उपयोग किया जाता है। लगातार तीन \(10\ \text{mm}\) क्षेत्रों में मापी गई विभव गिरावटें हैं:

• पहला क्षेत्र: \(120\ \text{V}\),
• दूसरा क्षेत्र: \(180\ \text{V}\),
• तीसरा क्षेत्र: \(300\ \text{V}\)।

मान लें कि इन तीनों क्षेत्रों में से प्रत्येक के भीतर विभव रैखिक रूप से बदलता है।

a. प्रत्येक क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र का परिमाण ज्ञात करें।

b. समझाएँ कि विद्यार्थी A की गणना फिर भी \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) क्यों देती है, जबकि तीनों में से किसी भी क्षेत्र की क्षेत्र तीव्रता इतनी नहीं है।

c. एक प्रोटॉन उच्च-विभव वाली प्लेट से निम्न-विभव वाली प्लेट तक जाता है। उस पर किए गए कुल विद्युत कार्य की तुलना उसी \(30\ \text{mm}\) दूरी में वास्तव में एकसमान \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) क्षेत्र द्वारा किए जाने वाले कार्य से करें।

d. यह उदाहरण \(E=V/d\) की वास्तविक सीमा के बारे में क्या बताता है?

समाधान 5

तीनों क्षेत्रों में क्षेत्र के परिमाण क्रमशः \(1.2\times10^4\), \(1.8\times10^4\) और \(3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) हैं। विद्यार्थी A ने पूरे अंतराल में औसत विभव प्रवणता की गणना की है, न कि प्रत्येक क्षेत्र में स्थानीय विद्युत क्षेत्र की। अलग-अलग स्थानीय क्षेत्रों के बावजूद, प्रोटॉन को उतना ही कुल विद्युत कार्य प्राप्त होता है जितना समान कुल विभवांतर वाले एकसमान क्षेत्र में होता।

प्रत्येक क्षेत्र की चौड़ाई है

\[
10\ \text{mm}=1.0\times10^{-2}\ \text{m}.
\]

पहले क्षेत्र के लिए,

\[
\begin{aligned}
E_1&=\frac{120}{1.0\times10^{-2}}\\
&=1.2\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

दूसरे के लिए,

\[
\begin{aligned}
E_2&=\frac{180}{1.0\times10^{-2}}\\
&=1.8\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

तीसरे के लिए,

\[
\begin{aligned}
E_3&=\frac{300}{1.0\times10^{-2}}\\
&=3.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

इसलिए जैसे-जैसे प्रोटॉन अंतराल के पार आगे बढ़ता है, क्षेत्र अधिक प्रबल होता जाता है।

विद्यार्थी A ने कुल वोल्टेज गिरावट को कुल दूरी से भाग दिया:

\[
\frac{600}{0.030}=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\]

यह मान पूरे \(30\ \text{mm}\) में प्रति मीटर औसत विभव गिरावट है।

हम तीनों क्षेत्रों से इसकी जाँच कर सकते हैं। प्रत्येक क्षेत्र की चौड़ाई समान है, इसलिए औसत क्षेत्र परिमाण है

\[
\begin{aligned}
E_{\text{avg}}
&=\frac{E_1+E_2+E_3}{3}\\
&=\frac{1.2+1.8+3.0}{3}\times10^4\\
&=2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}.
\end{aligned}
\]

इसलिए गणना संख्यात्मक रूप से अर्थहीन नहीं थी। गलती औसत क्षेत्र को हर स्थान पर स्थानीय क्षेत्र मान लेने में थी।

भाग c के लिए, \(V\) के विभव-पतन से गुजरते हुए प्रोटॉन पर विद्युत क्षेत्र द्वारा किया गया कुल कार्य प्रोटॉन के आवेश और कुल विभवांतर पर निर्भर करता है:

\[
W=qV.
\]

इसका उपयोग करते हुए

\[
q=1.60\times10^{-19}\ \text{C}
\]

और

\[
V=600\ \text{V},
\]

\[
\begin{aligned}
W
&=(1.60\times10^{-19})(600)\\
&=9.6\times10^{-17}\ \text{J}.
\end{aligned}
\]

\(0.030\ \text{m}\) दूरी में वास्तव में एकसमान \(2.0\times10^4\ \text{V m}^{-1}\) क्षेत्र के लिए

\[
V=Ed=(2.0\times10^4)(0.030)=600\ \text{V}.
\]

इसलिए वह भी बिल्कुल उतना ही कुल कार्य करेगा:

\[
W=9.6\times10^{-17}\ \text{J}.
\]

यही इस प्रश्न का मुख्य बिंदु है। प्रोटॉन समान कुल गतिज ऊर्जा प्राप्त कर सकता है, भले ही उसके त्वरण का इतिहास अलग हो।

असमान क्षेत्र में, तीन क्षेत्रों से गुजरते हुए प्रोटॉन पर विद्युत बल बढ़ता जाता है क्योंकि

\[
F=qE.
\]

एकसमान क्षेत्र में बल स्थिर रहता है। फिर भी दोनों मार्गों में विभव में कुल 600 V की समान कमी होती है।

आकर्षक तर्क है, “समान \(V\) और समान \(d\), इसलिए हर जगह समान क्षेत्र।” वास्तव में इससे केवल इतना निष्कर्ष निकलता है कि कुल दूरी में समग्र विभव परिवर्तन प्रति इकाई दूरी \(V/d\) है। इस मान को हर बिंदु पर स्थानीय विद्युत क्षेत्र मानने के लिए अतिरिक्त भौतिक धारणा आवश्यक है कि क्षेत्र एकसमान है।

यही

\[
E=\frac{V}{d}
\]

की वास्तविक सीमा है।

यह इसलिए शक्तिशाली है क्योंकि आदर्श समांतर-प्लेट ज्यामिति केंद्रीय क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र को लगभग एकसमान बनाती है। यह हर संभव व्यवस्था के लिए विद्युत क्षेत्र की परिभाषा नहीं है।

एक बार यह अंतर स्पष्ट हो जाए, तो अगला उपयोगी कदम विद्युत क्षेत्रों को आवेशित कणों की गति और ऊर्जा से जोड़ना है। क्षेत्र \(F=qE\) के माध्यम से बल बताता है, जबकि विभवांतर \(W=qV\) के माध्यम से ऊर्जा स्थानांतरण बताता है। ये दोनों विवरण आपस में निकटता से जुड़े हैं, लेकिन अलग-अलग प्रश्नों का उत्तर देते हैं: एक बताता है कि किसी विशेष स्थान पर कण की गति के साथ क्या होता है, और दूसरा बताता है कि पूरी यात्रा के दौरान उसकी ऊर्जा कितनी बदलती है।