चुंबकीय क्षेत्र में आवेश की वृत्तीय गति: HSC भौतिकी

एक प्रोटॉन एक समान चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र के समकोण पर प्रवेश करता है। चुंबकीय बल आगे या पीछे नहीं, बल्कि बगल की ओर लगता है। तो आगे क्या होना चाहिए: क्या प्रोटॉन की चाल बढ़ेगी, घटेगी, वह सर्पिल पथ पर दूर चला जाएगा, या एक वृत्त में घूमने लगेगा?

मुख्य बात यह है कि बगल की ओर लगने वाला बल वेग का परिमाण बदले बिना उसकी दिशा बदल सकता है। यदि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है, तो यह पार्श्व बल कण के साथ-साथ लगातार दिशा बदलता रहता है और हमेशा उसी गतिशील केंद्र की ओर इंगित करता है। परिणामस्वरूप वृत्तीय गति होती है।

इससे तुरंत दो उपयोगी प्रश्न सामने आते हैं: वृत्त कितना बड़ा है, और एक परिक्रमा में कितना समय लगता है?

01चुंबकीय क्षेत्र वृत्तीय गति कैसे उत्पन्न कर सकता है

द्रव्यमान \(m\), आवेश \(q\) और चाल \(v\) वाले एक कण से शुरुआत करें, जो परिमाण \(B\) के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत चल रहा है।

गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल का परिमाण है

\[ F_B = |q|vB \]

जब वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत हो। यहाँ निरपेक्ष मान \( |q| \) महत्वपूर्ण है क्योंकि बल का परिमाण धनात्मक होता है। आवेश का चिह्न बल की दिशा निर्धारित करता है, जिस पर हम थोड़ी देर में चर्चा करेंगे।

यदि आपको यह दोहराने की आवश्यकता है कि यह बल कैसे निकाला जाता है और इसकी दिशा कैसे निर्धारित की जाती है, तो चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर बल देखें।

अब कल्पना कीजिए कि आप किसी गोल चक्कर पर स्थिर चाल से गाड़ी चला रहे हैं। आपका स्पीडोमीटर एक ही मान दिखा सकता है, फिर भी आपका वेग बदल रहा होता है, क्योंकि वेग में दिशा भी शामिल होती है। कोई बल आपको लगातार वृत्त के केंद्र की ओर खींचता या धकेलता रहना चाहिए।

चुंबकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण भी इसी तरह व्यवहार करता है। यह उपमा उपयोगी है क्योंकि चुंबकीय बल अंदर की ओर मोड़ने वाले बल की तरह काम करता है। लेकिन इसकी सीमा यह है कि कार को सड़क से संपर्क बलों की आवश्यकता होती है और घर्षण के कारण उसकी ऊर्जा कम होती है, जबकि आदर्श चुंबकीय बल सीधे गतिमान आवेश पर कार्य करता है और कोई कार्य नहीं करता।

वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अंदर की ओर परिणामी बल है

\[ F_c = \frac{mv^2}{r} \]

जहाँ \(r\) वृत्त की त्रिज्या है।

यहाँ शब्दावली से जुड़ी एक महत्वपूर्ण बात है। “अभिकेंद्रीय बल” कोई अतिरिक्त बल नहीं है जो चुंबकीय बल के साथ अलग से प्रकट होता है। यह उस परिणामी बल का नाम है जो केंद्र की ओर इंगित करता है।

इस स्थिति में चुंबकीय बल ही अभिकेंद्रीय बल है।

02त्रिज्या की व्युत्पत्ति

क्योंकि चुंबकीय बल आवश्यक अंदर की ओर बल प्रदान करता है,

\[ F_B = F_c \]

इसलिए

\[ |q|vB = \frac{mv^2}{r}. \]

गतिमान कण के लिए दोनों पक्षों को \(v\) से भाग दें:

\[ |q|B = \frac{mv}{r}. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर मिलता है

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

इस समीकरण को केवल याद करने के बजाय समझना अधिक उपयोगी है।

त्रिज्या बड़ी होती है यदि कण का:

• द्रव्यमान \(m\) अधिक हो,
• चाल \(v\) अधिक हो, या
• चुंबकीय क्षेत्र \(B\) कमजोर हो।

यदि आवेश का परिमाण \( |q| \) अधिक हो, तो त्रिज्या छोटी होती है।

आप अंश को संवेग के रूप में भी लिख सकते हैं, क्योंकि गैर-सापेक्षिक HSC मॉडल में \(p=mv\):

\[ r = \frac{p}{|q|B}. \]

इसलिए चुंबकीय क्षेत्र प्रभावी रूप से यह मापता है कि कण के संवेग की दिशा मोड़ना कितना कठिन है।

तेज़ और भारी कण की दिशा मोड़ना कठिन होता है। प्रबल चुंबकीय क्षेत्र में अधिक आवेश-परिमाण वाले कण को मोड़ना कहीं आसान होता है।

03कण की चाल स्थिर क्यों रहती है

एक सामान्य शुरुआती अनुमान यह होता है कि चुंबकीय बल अंततः कण को धीमा कर देगा। आखिरकार, वह लगातार कण को उस दिशा से हटने के लिए मजबूर कर रहा है जिसमें वह “चलना चाहता” है।

लेकिन बल और तात्कालिक गति के बीच का कोण देखें। यह हमेशा \(90^\circ\) होता है।

किसी छोटे विस्थापन पर एक स्थिर बल द्वारा किया गया कार्य इस संबंध से दिया जाता है

\[ W = Fs\cos\theta. \]

चुंबकीय बल के लिए,

\[ \theta = 90^\circ \]

इसलिए चुंबकीय बल कण पर कोई कार्य नहीं करता।

कोई कार्य न होने का अर्थ है गतिज ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं। इसलिए, यदि चुंबकीय बल ही एकमात्र ऐसा बल है जिसका प्रभाव महत्वपूर्ण है,

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

स्थिर रहता है, और इसलिए चाल भी स्थिर रहती है।

वेग फिर भी बदलता है क्योंकि उसकी दिशा लगातार बदलती रहती है।

यही अंतर वृत्तीय गति के मॉडल का मूल है: स्थिर चाल का अर्थ स्थिर वेग नहीं होता।

04आवर्तकाल की व्युत्पत्ति

आवर्तकाल \(T\) एक पूर्ण परिक्रमा के लिए आवश्यक समय है।

एक पूरे वृत्त में कण परिधि के बराबर दूरी तय करता है,

\[ 2\pi r. \]

समय = दूरी ÷ चाल, इसलिए

\[ T = \frac{2\pi r}{v}. \]

अब

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

प्रतिस्थापित करें।

तब

\[ T = \frac{2\pi}{v}\left(\frac{mv}{|q|B}\right) = \frac{2\pi m}{|q|B}. \]

अतः,

\[ \boxed{T = \frac{2\pi m}{|q|B}}. \]

ध्यान दें कि क्या गायब हो गया: \(v\)।

इस गैर-सापेक्षिक मॉडल में आवर्तकाल कण की चाल पर निर्भर नहीं करता।

शुरुआत में यह अजीब लग सकता है। यदि कण तेज़ चलता है, तो क्या उसे परिक्रमा जल्दी पूरी नहीं करनी चाहिए?

ऐसा तब होता, यदि कक्षा का आकार स्थिर रहता। लेकिन ऐसा नहीं है। क्योंकि

\[ r=\frac{mv}{|q|B}, \]

इसलिए \(v\) को दोगुना करने पर \(r\) भी दोगुना हो जाता है। अतः परिधि भी दोगुनी हो जाती है। कण ऐसे पथ पर दोगुनी चाल से चलता है जिसकी लंबाई भी दोगुनी है, इसलिए एक परिक्रमा का समय अपरिवर्तित रहता है।

यह निरस्तीकरण इस विषय के सबसे उपयोगी परिणामों में से एक है।

05त्रिज्या और आवर्तकाल को कौन-से कारक नियंत्रित करते हैं?

जब तक अन्यथा न कहा गया हो, एक ही कण के लिए:

आवेश या चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उलटने से पथ किस ओर मुड़ता है, यह बदलता है। इससे वृत्त का आकार नहीं बदलता।

06दिशा किससे निर्धारित होती है?

त्रिज्या और आवर्तकाल के समीकरणों में \( |q| \) का उपयोग होता है, इसलिए वे यह नहीं बताते कि पथ घड़ी की दिशा में मुड़ेगा या घड़ी की विपरीत दिशा में।

दिशा चुंबकीय बल से निर्धारित होती है।

धनात्मक आवेश के लिए इस दिशा का उपयोग करें

\[ \vec F_B = q\vec v\times\vec B. \]

ऋणात्मक आवेश के लिए, उसी प्रकार चल रहे धनात्मक आवेश के लिए प्राप्त बल की दिशा को उलट दें।

मान लीजिए कि कोई कण शुरुआत में दाईं ओर चलता है, जबकि चुंबकीय क्षेत्र पृष्ठ के भीतर की ओर है। धनात्मक आवेश पर चुंबकीय बल ऊपर की ओर लगता है। ऋणात्मक आवेश पर बल नीचे की ओर लगता है।

फिर कण के चलते समय बल की दिशा लगातार बदलती रहती है, वह कण के वेग के लंबवत रहता है और उसके वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर इंगित करता है।

07वह शर्त जिसे विद्यार्थी अक्सर छोड़ देते हैं: \(v\) का \(B\) के लंबवत होना आवश्यक है

सरल समीकरण

\[ F_B=|q|vB \]

यह मानता है कि कण चुंबकीय क्षेत्र से \(90^\circ\) के कोण पर चलता है।

अधिक सामान्य रूप में,

\[ F_B=|q|vB\sin\theta, \]

जहाँ \(\theta\) वेग और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।

केवल वेग का चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक ही मुड़ता है।

यदि हम उस घटक को \(v_\perp\) कहते हैं, तो वृत्तीय त्रिज्या है

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B}. \]

क्षेत्र के समानांतर वेग का कोई भी घटक, \(v_\parallel\), चुंबकीय बल से अप्रभावित रहता है। इसलिए कण क्षेत्र की दिशा में आगे बढ़ते हुए उसके चारों ओर घूमता है, जिससे एक हेलिक्स बनती है।

दो उपयोगी सीमांत स्थितियाँ हैं:

• यदि \(\theta=90^\circ\), तो पूरा वेग लंबवत होता है, इसलिए पथ एक वृत्त है।
• यदि \(\theta=0^\circ\), तो \(\sin\theta=0\), इसलिए कोई चुंबकीय बल नहीं लगता और कण सीधी रेखा में चलता रहता है।

इसलिए यह कहना कि “चुंबकीय क्षेत्र में एक आवेशित कण वृत्त में चलता है” पूरी तरह सटीक कथन नहीं है।

एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गतिमान आवेशित कण, जब चुंबकीय बल परिणामी बल प्रदान करता है, का पथ वृत्तीय होता है।

10तीन आकर्षक लेकिन गलत धारणाएँ

अभिकेंद्रीय बल को एक अतिरिक्त बल मानना

कोई विद्यार्थी लिख सकता है

\[ F_{\text{net}}=F_B+F_c. \]

इससे एक ही भौतिक भूमिका को दो बार गिना जाता है।

“अभिकेंद्रीय बल” का अर्थ वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अंदर की ओर परिणामी बल है। यहाँ,

\[ F_B=F_c. \]

यह मानना कि अधिक तेज़ कण का आवर्तकाल कम होता है

तेज़ कण वास्तव में दूरी अधिक तेजी से तय करता है, लेकिन उसकी कक्षा भी बड़ी हो जाती है।

क्योंकि

\[ r\propto v, \]

कक्षीय दूरी में वृद्धि चाल की वृद्धि से ठीक मेल खाती है। इसलिए,

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

गैर-सापेक्षिक मॉडल में \(v\) से स्वतंत्र है।

यह मानना कि चुंबकीय क्षेत्र कण को उसकी गतिज ऊर्जा देता है

चुंबकीय क्षेत्र पथ को मोड़ता है, लेकिन वह कण की गतिज ऊर्जा नहीं बढ़ाता क्योंकि उसका बल गति के लंबवत होता है।

यदि चाल बदलती है, तो कोई अन्य परस्पर क्रिया शामिल होनी चाहिए, जैसे विद्युत क्षेत्र।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक इलेक्ट्रॉन \(4.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\) की चाल से दाईं ओर एक \(0.250\text{ T}\) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र से होकर चलता है, जिसकी दिशा पृष्ठ के भीतर की ओर है।

उसके वृत्तीय पथ की त्रिज्या की गणना करें और बताइए कि वह शुरुआत में ऊपर की ओर मुड़ेगा या नीचे की ओर।

\(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) और \(e=1.60\times10^{-19}\text{ C}\) का उपयोग करें।

समाधान 1

इलेक्ट्रॉन \(9.11\times10^{-5}\text{ m}\) त्रिज्या वाले पथ पर चलता है और शुरुआत में नीचे की ओर मुड़ता है।

त्रिज्या के लिए इलेक्ट्रॉन के आवेश का परिमाण उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} r &=\frac{mv}{|q|B}\\ &=\frac{(9.11\times10^{-31})(4.00\times10^6)} {(1.60\times10^{-19})(0.250)}\\ &=9.11\times10^{-5}\text{ m}. \end{aligned} \]

यदि धनात्मक आवेश दाईं ओर चल रहा हो और \(B\) पृष्ठ के भीतर की ओर हो, तो चुंबकीय बल ऊपर की ओर होगा। इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक होता है, इसलिए उस पर बल विपरीत दिशा में, अर्थात नीचे की ओर लगता है।

एक आकर्षक गलती यह है कि त्रिज्या के समीकरण में इलेक्ट्रॉन का ऋणात्मक आवेश सीधे रख दिया जाए और “ऋणात्मक त्रिज्या” प्राप्त हो। त्रिज्या एक परिमाण है। आवेश का चिह्न वक्रता की दिशा नियंत्रित करता है, कक्षा का आकार नहीं।

प्रश्न 2

एक आवेशित कण \(0.300\text{ T}\) के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत चलता है। वह \(0.0800\text{ m}\) त्रिज्या वाले वृत्तीय पथ का ठीक आधा भाग \(3.30\times10^{-7}\text{ s}\) में तय करता है।

ज्ञात करें:

• कण की चाल, और
• उसका द्रव्यमान-से-आवेश-परिमाण अनुपात \(m/|q|\)।

समाधान 2

कण की चाल \(7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}\) है, और उसका द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात \(3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\) है।

अर्धवृत्त के लिए तय की गई दूरी \(2\pi r\) नहीं होती। यह है

\[ s=\pi r. \]

अतः,

\[ \begin{aligned} v &=\frac{\pi r}{t}\\ &=\frac{\pi(0.0800)} {3.30\times10^{-7}}\\ &=7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

दिया गया समय आधे आवर्तकाल के बराबर है, इसलिए

\[ T=2(3.30\times10^{-7}) =6.60\times10^{-7}\text{ s}. \]

इसका उपयोग करें

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

और पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ \frac{m}{|q|} =\frac{TB}{2\pi}. \]

तब

\[ \begin{aligned} \frac{m}{|q|} &=\frac{(6.60\times10^{-7})(0.300)} {2\pi}\\ &=3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि अर्धवृत्त के समय को सीधे \(T\) मान लिया जाए। इससे गणना किया गया \(m/|q|\) आधा हो जाएगा। ज्यामिति यह निर्धारित करती है कि पूर्ण आवर्तकाल का कितना भाग वास्तव में बीत चुका है।

प्रश्न 3

एक प्रोटॉन और एक अल्फा कण समान एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में क्षेत्र रेखाओं के लंबवत प्रवेश करते हैं। उनकी गतिज ऊर्जा समान है।

इस प्रश्न के लिए मानें

\[ m_\alpha=4m_p \]

और

\[ q_\alpha=2q_p. \]

तुलना करें:

• उनकी कक्षीय त्रिज्याओं की, और
• उनके आवर्तकालों की।

समाधान 3

प्रोटॉन और अल्फा कण की कक्षीय त्रिज्या समान होती है, जबकि अल्फा कण का आवर्तकाल प्रोटॉन के आवर्तकाल का दोगुना होता है।

आश्चर्यजनक भाग त्रिज्या है। यह देखकर

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

यह सोचना आकर्षक है कि अल्फा कण का अधिक द्रव्यमान अवश्य ही बड़ा वृत्त बनाएगा। लेकिन दोनों कणों की चाल समान नहीं है।

स्थिर गतिज ऊर्जा \(K\) के लिए,

\[ K=\frac12mv^2. \]

अतः,

\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}}. \]

इसे त्रिज्या के समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\[ \begin{aligned} r &=\frac{m}{|q|B}\sqrt{\frac{2K}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2mK}}{|q|B}. \end{aligned} \]

प्रोटॉन की तुलना में अल्फा कण के लिए,

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt{m_\alpha}/q_\alpha} {\sqrt{m_p}/q_p}. \]

\(m_\alpha=4m_p\) और \(q_\alpha=2q_p\) का उपयोग करने पर,

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt4}{2} =1. \]

अतः उनकी त्रिज्याएँ समान हैं।

आवर्तकाल के लिए,

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

इसलिए

\[ \frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha/q_\alpha} {m_p/q_p} = \frac{4}{2} =2. \]

इसलिए अल्फा कण को समान आकार के वृत्त की एक परिक्रमा पूरी करने में दोगुना समय लगता है।

मुख्य शर्त समान गतिज ऊर्जा है, समान चाल नहीं। अल्फा कण का अधिक द्रव्यमान उसे धीमी चाल से चलाता है, और चाल में यह कमी त्रिज्या में द्रव्यमान तथा आवेश के प्रभावों को ठीक-ठीक संतुलित कर देती है।

प्रश्न 4

एक अज्ञात धनात्मक कण विराम से शुरू होता है और \(30.0\text{ kV}\) के विभवांतर से त्वरित किया जाता है। इसके बाद वह समकोण पर \(0.200\text{ T}\) के एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है।

उसके वृत्तीय पथ की त्रिज्या \(0.150\text{ m}\) है, और उसका मापा गया आवर्तकाल \(4.71\times10^{-7}\text{ s}\) है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है:

“हमें त्वरक वोल्टेज, चुंबकीय क्षेत्र, त्रिज्या और आवर्तकाल ज्ञात हैं, इसलिए हमारे पास कण के द्रव्यमान और आवेश को अलग-अलग निकालने के लिए पर्याप्त जानकारी है।”

विद्यार्थी के दावे की जाँच करें। कण की चाल और \(m/q\) ज्ञात करें, जाँचें कि त्वरक वोल्टेज चुंबकीय मापों के अनुरूप है या नहीं, और तय करें कि क्या \(m\) और \(q\) वास्तव में अलग-अलग ज्ञात किए जा सकते हैं।

समाधान 4

कण की चाल लगभग \(2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\) है, उसका द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात \(1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\) है, और \(30.0\text{ kV}\) का त्वरक वोल्टेज इन मापों के अनुरूप है। फिर भी, दी गई जानकारी से द्रव्यमान और आवेश को अलग-अलग निर्धारित नहीं किया जा सकता।

पहले त्रिज्या और आवर्तकाल के संबंधों को मिलाएँ।

क्योंकि

\[ T=\frac{2\pi r}{v}, \]

इसलिए चाल है

\[ \begin{aligned} v &=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(0.150)} {4.71\times10^{-7}}\\ &=2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

इसके बाद आवर्तकाल के समीकरण का उपयोग करें:

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

क्योंकि कण धनात्मक है, \(q=|q|\)। पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ \frac{m}{q} =\frac{TB}{2\pi}. \]

अतः

\[ \begin{aligned} \frac{m}{q} &=\frac{(4.71\times10^{-7})(0.200)} {2\pi}\\ &=1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

अब त्वरक वोल्टेज की जाँच करें।

विराम से शुरू करने पर,

\[ qV=\frac12mv^2. \]

\(q\) से भाग दें:

\[ V=\frac12\left(\frac{m}{q}\right)v^2. \]

चुंबकीय मापों के मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} V &=\frac12(1.50\times10^{-8})(2.00\times10^6)^2\\ &=3.00\times10^4\text{ V}\\ &=30.0\text{ kV}. \end{aligned} \]

इसलिए माप एक-दूसरे से मेल खाते हैं।

विद्यार्थी का आकर्षक तर्क यह है कि कई अज्ञात राशियों के लिए कई समीकरण उपलब्ध प्रतीत होते हैं। समस्या यह है कि ये समीकरण \(m\) और \(q\) के बारे में स्वतंत्र जानकारी नहीं दे रहे।

चुंबकीय आवर्तकाल अनुपात

\[ \frac{m}{q}, \]

निर्धारित करता है, न कि \(m\) या \(q\) को अलग-अलग। त्वरक-वोल्टेज का समीकरण भी उसी अनुपात से जुड़ी शर्त में बदल जाता है:

\[ \frac{m}{q}=\frac{2V}{v^2}. \]

उदाहरण के लिए, यदि \(m\) और \(q\) दोनों को दोगुना कर दिया जाए, तो ये सभी माप अपरिवर्तित रहेंगे।

वास्तविक द्रव्यमान और आवेश को अलग-अलग निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त स्वतंत्र माप या आवेश अवस्था के बारे में किसी धारणा की आवश्यकता होगी।

प्रश्न 5

एक धनात्मक आयन एकसमान चुंबकीय क्षेत्र \(B\) में चलता है। उसकी कक्षा के एक व्यास के साथ एक संकरा त्वरक अंतराल स्थित है। हर बार जब आयन इस अंतराल को पार करता है, विद्युत क्षेत्र उसकी गतिज ऊर्जा को समान मात्रा \(\Delta K\) से बढ़ा देता है। अंतराल के बाहर केवल एकसमान चुंबकीय क्षेत्र कार्य करता है।

किसी एक विशेष पारगमन के तुरंत बाद आयन की गतिज ऊर्जा \(K_0\) है।

मान लें कि गति गैर-सापेक्षिक बनी रहती है।

ज्ञात करें:

1. अंतराल के लगातार दो पारगमनों के बीच का समय,
2. आगे \(n\) बार ऊर्जा बढ़ने के बाद त्रिज्या,
3. लगातार कक्षीय त्रिज्याओं के बीच का अंतर स्थिर रहता है, बढ़ता है या घटता है, और
4. एक निश्चित आवृत्ति वाला प्रत्यावर्ती विद्युत क्षेत्र आयन को लगातार त्वरित क्यों कर सकता है, जबकि प्रत्येक अर्धवृत्तीय पथ बड़ा होता जाता है।

समाधान 5

आयन हर \(\pi m/(qB)\) के बाद अंतराल को पार करता है, \(n\) अतिरिक्त ऊर्जा-वृद्धियों के बाद उसकी त्रिज्या है

\[ r_n=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}, \]

लगातार त्रिज्याओं के बीच की दूरी घटती जाती है, और एक निश्चित प्रत्यावर्ती क्षेत्र समकालित रह सकता है क्योंकि पथ की लंबाई में वृद्धि ठीक उतनी ही चाल में वृद्धि से संतुलित हो जाती है।

एक पूर्ण चुंबकीय परिक्रमा के समय से शुरुआत करें:

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

अंतराल एक व्यास पर स्थित है, इसलिए प्रत्येक अर्धवृत्त के बाद आयन फिर अंतराल तक पहुँचता है। अतः,

\[ t_{\text{gap}} =\frac{T}{2} =\frac{\pi m}{qB}. \]

इस समय में न \(v\) है और न ही गतिज ऊर्जा।

अब कक्षा के आकार पर विचार करें।

हर बार \(\Delta K\) जोड़ने वाले \(n\) अतिरिक्त पारगमनों के बाद,

\[ K_n=K_0+n\Delta K. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ K_n=\frac12mv_n^2, \]

चाल है

\[ v_n=\sqrt{\frac{2K_n}{m}}. \]

चुंबकीय त्रिज्या है

\[ r_n=\frac{mv_n}{qB}. \]

प्रतिस्थापित करने पर,

\[ \begin{aligned} r_n &=\frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2(K_0+n\Delta K)}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}. \end{aligned} \]

अतः,

\[ r_n\propto\sqrt{K_0+n\Delta K}. \]

हर त्वरण के बाद त्रिज्या बढ़ती है, लेकिन गतिज ऊर्जा में समान वृद्धि से त्रिज्या में समान वृद्धि नहीं होती।

लगातार त्रिज्याओं के बीच का अंतर है

\[ r_{n+1}-r_n = \frac{\sqrt{2m}}{qB} \left[ \sqrt{K_0+(n+1)\Delta K} - \sqrt{K_0+n\Delta K} \right]. \]

जैसे-जैसे \(n\) बड़ा होता है, दोनों वर्गमूलों के बीच का अंतर छोटा होता जाता है। इसलिए कक्षीय त्रिज्याएँ क्रमशः एक-दूसरे के और निकट आती जाती हैं।

मुख्य वैचारिक जाल केवल बढ़ती हुई त्रिज्या पर ध्यान देना है। बड़े अर्धवृत्त की पथ लंबाई अधिक होती है, इसलिए यह निष्कर्ष निकालना आकर्षक है कि आयन हर बार अंतराल तक देर से पहुँचेगा।

लेकिन उसकी चाल भी बढ़ गई है।

अर्धवृत्त के लिए,

\[ t=\frac{\pi r}{v}. \]

इसमें

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

प्रतिस्थापित करने पर मिलता है

\[ t = \frac{\pi}{v}\frac{mv}{qB} = \frac{\pi m}{qB}. \]

चाल ठीक-ठीक निरस्त हो जाती है।

इसलिए, भले ही आयन लगातार बड़े होते अर्धवृत्तों पर चलता है, वह हर बार समान समय के बाद अंतराल पर वापस पहुँचता है।

पारगमनों के बीच विद्युत क्षेत्र की दिशा उलटनी आवश्यक है, ताकि वह धनात्मक आयन को आगे की ओर धकेले, न कि उसे धीमा करे। क्योंकि पारगमन हर \(T/2\) के बाद होता है, पूर्ण आवर्तकाल

\[ T=\frac{2\pi m}{qB} \]

वाला प्रत्यावर्ती क्षेत्र समकालित रह सकता है। इसलिए उसकी आवृत्ति है

\[ f=\frac{1}{T} =\frac{qB}{2\pi m}. \]

यही साइक्लोट्रॉन के पीछे का मुख्य सिद्धांत है।

स्थिर-आवर्तकाल का परिणाम उन मान्यताओं पर निर्भर करता है जिनका उपयोग इसकी व्युत्पत्ति में किया गया है। जब चाल इतनी अधिक हो जाए कि सापेक्षिक प्रभाव महत्वपूर्ण हो जाएँ, तो सरल गैर-सापेक्षिक संबंध पूरी तरह सटीक नहीं रहता।

12यह परिणाम आगे क्या करने देता है

दो समीकरण

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B} \]

और

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

एक आवेशित कण के बारे में अलग-अलग जानकारी देते हैं।

त्रिज्या में उसके लंबवत संवेग की जानकारी होती है। आवर्तकाल में उसके द्रव्यमान-से-आवेश अनुपात की जानकारी होती है। दोनों को साथ लेकर आप केवल पथ की भविष्यवाणी ही नहीं, बल्कि देखे गए पथ से पीछे की ओर तर्क भी कर सकते हैं।

अगली उपयोगी तुलना विद्युत क्षेत्रों के साथ है। विद्युत क्षेत्र किसी कण की गतिज ऊर्जा बदल सकते हैं, जबकि चुंबकीय क्षेत्र उसकी चाल बदले बिना उसके वेग की दिशा मोड़ सकते हैं। जब इन दोनों भूमिकाओं को अलग-अलग समझ लिया जाता है, तो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को मिलाकर उपयोग करने वाले उपकरणों का विश्लेषण काफी आसान हो जाता है।