HSC 物理楞次定律：判斷感應電流方向

把條形磁鐵的北極移向一個導電線圈。雖然沒有連接電池，卻會出現電流。把磁鐵拉遠，電流方向便會反轉。

在繼續之前，先作一個很有用的判斷：假設穿過線圈的磁場指向紙面內，而且正在變弱。線圈應該產生指向紙面外的磁場來「反抗磁鐵」，還是產生指向紙面內的磁場，以補回正在消失的磁通量？

它會產生指向紙面內的磁場。

這就是楞次定律的核心概念。感應效應所反抗的是磁通量的變化，而不一定是磁場本身。

01楞次定律究竟在反抗甚麼？

想像一個正面朝向你的圓形導線線圈。有一個外加磁場穿過線圈，方向指向紙面內。

如果磁場變強，穿入紙面內的磁通量便會增加。線圈會作出反應，產生一個指向紙面外的磁場。這個感應磁場會反抗磁通量的增加。

現在改為令外加磁場變弱。穿入紙面內的磁通量正在減少。這一次，線圈會產生一個指向紙面內的感應磁場。它的作用是阻止原有磁通量那麼快消失。

因此，同一個外加磁場方向可以產生方向相反的電流。

可以用一個有點傻氣的方式理解楞次定律：想像有一個人並不討厭目前的情況；他討厭的是情況改變。音樂變大聲，他便把音量調低。音樂變小聲，他便把音量調高。當然，這個比喻並不完全成立，因為導電線圈沒有意圖或意識。這種反應來自電磁感應。

規則是：

感應電流的方向，會使它產生的磁場反抗造成它的磁通量變化。

其中最重要的字是變化。

02先從磁通量開始

當你不再只想着磁場，而是開始考慮磁通量時，楞次定律便會容易得多。

對於穿過平面線圈的均勻磁場，

\[
\Phi = BA\cos\theta
\]

其中：

• \(\Phi\) 是穿過每一匝線圈的磁通量，單位為韋伯（\(\text{Wb}\)），
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉（\(\text{T}\)），
• \(A\) 是線圈面積，單位為平方米（\(\text{m}^2\)），以及
• \(\theta\) 是磁場方向與線圈法線之間的夾角。

法線是一條假想的直線，垂直於線圈所在的平面。如果最後一句聽起來令人有點抽象，磁通量指南會從幾何關係開始建立這個概念。

磁通量可能因為以下原因而改變：

• \(B\) 改變，
• 面積 \(A\) 改變，
• 角度 \(\theta\) 改變，或
• 線圈移入或移出磁場不同的區域。

楞次定律所回應的是由此產生的磁通量變化。它不在乎是哪一種改變造成了磁通量變化。

這一點在較難的題目中特別重要，因為兩種變化可能互相競爭。

03四種方向情況

對於畫在紙面上的線圈，可用叉號表示指向紙面內的磁場，用圓點表示指向紙面外的磁場。

這樣便有四種基本情況。

不要把這個表格當成四項互不相關的事實來背誦。有一個可靠得多的方法。

04解答楞次定律題目的可靠方法

步驟 1：找出外加磁通量的方向

穿過線圈的相關磁場是指向紙面內、紙面外、左、右、上，還是下？

這時先不要考慮電流。

步驟 2：判斷磁通量正在增加還是減少

很多題目的成敗就在這一步。

例如：

• 磁鐵接近線圈可能令磁通量增加，
• 磁鐵遠離線圈可能令磁通量減少，
• 磁場變弱會令磁通量減少，
• 線圈進入磁場區域時會增加磁通量，以及
• 即使線圈正在移動，只要它完全位於均勻磁場內，磁通量仍可能保持不變。

步驟 3：判斷感應磁場的方向

問自己：甚麼方向的感應磁場能夠反抗這個特定的變化？

例如，如果指向紙面內的磁通量正在增加，指向紙面外的感應磁場便會反抗這個增加。

如果指向紙面內的磁通量正在減少，指向紙面內的感應磁場便會嘗試維持原有磁通量。

步驟 4：把感應磁場轉換成電流方向

現在使用右手握拳定則。

讓右手手指沿着傳統電流方向彎曲，你的拇指便會指出線圈所產生磁場的方向。

因此：

• 逆時針電流會產生指向紙面外的磁場，而
• 順時針電流會產生指向紙面內的磁場。

把各個步驟分開：

\[
\text{磁通量變化} \rightarrow \text{感應磁場} \rightarrow \text{感應電流}
\]

如果嘗試直接從「磁鐵向這個方向移動」跳到「電流是順時針」，就很容易累積方向或正負號錯誤。

05為甚麼楞次定律必須如此運作

這種反抗背後有一個更深層的原因：能量守恆。

想像把磁鐵的北極推向一個閉合導電線圈。

增加的磁通量會感應出電流。這股電流會產生磁場，使線圈靠近磁鐵的一面表現得像北極。因此，正在接近的北極會受到排斥力。

你必須做功，才能繼續把磁鐵向前推。

這些機械功可以轉化成電路中的電能；如果導線有電阻，還可以轉化成熱能。

現在想像相反的定律存在。假設感應電流不是反抗變化，而是幫助變化。

接近線圈的北極便會感應出一個吸引它的磁場。磁鐵會加速衝向線圈。更快的運動會造成更大的磁通量變化，產生更大的電流，而這又會更強烈地拉動磁鐵。

這樣你便能在沒有提供相應能量的情況下，同時獲得動能和電能。

這是不可能的。

楞次定律防止了這種失控過程。

有一項限定值得記住。當磁通量變化完全由磁鐵與導體之間的相對運動造成時，感應磁力通常會反抗這種運動。不過，「力總是反抗運動」並不是基本定律。基本定律是：感應效應會反抗磁通量的變化。

稍後我們會看到一個例子：外部電源正在改變磁場，而感應磁力實際上可以與物體的運動方向相同。

06法拉第定律中的負號

法拉第定律給出感應電動勢的大小和正負方向：

\[
\varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}
\]

其中：

• \(\varepsilon\) 是感應電動勢，單位為伏特（\(\text{V}\)），
• \(N\) 是線圈匝數，
• \(\Delta\Phi\) 是每一匝線圈的磁通量變化，單位為韋伯（\(\text{Wb}\)），以及
• \(\Delta t\) 是變化發生的時間，單位為秒（\(\text{s}\)）。

這個負號就是以數學形式表示的楞次定律。

它並不表示電路具有某種絕對意義上的「負電壓」。電壓方向取決於你選擇的參考方向。負號表示感應電動勢的作用方向會反抗磁通量的變化。

對大多數 HSC 方向判斷題，一個好方法是：

1. 使用法拉第定律計算大小，以及
2. 再利用楞次定律和右手握拳定則，分開判斷方向。

這樣通常比較不容易出現正負號錯誤。

如想進一步了解如何計算感應電動勢本身，請參閱 HSC 物理的法拉第定律。

07磁鐵版本：接近與離開

假設磁鐵的北極朝向一個導電線圈。

當北極接近時，穿過線圈的磁通量增加。線圈會產生一個磁場來反抗這個增加。線圈靠近磁鐵的一面表現得像另一個北極，因此產生排斥作用。

現在讓磁鐵經過線圈後開始遠離。

原有磁通量此時正在減少。感應電流會反向，使線圈嘗試維持正在消失的磁通量。此時線圈與正在離開的磁鐵之間會產生吸引作用。

在兩個階段中，磁力都會抵抗由磁鐵運動造成的變化：

• 磁鐵接近：排斥，
• 磁鐵離開：吸引。

這就是為甚麼磁鐵從導電管中掉落時，可以比單純受重力作用時慢得多。機械能會透過感應電流轉移，最後以熱能形式耗散。

如果把導電路徑切斷，使電路成為開路，仍然可以產生感應電動勢。不過，由於沒有可供顯著電流持續流動的閉合路徑，磁煞車效應便會大幅減弱。

感應電動勢與感應電流之間的這項區別，也是常見的考試陷阱。

08三個值得釐清的誤解

「感應磁場總是反抗外加磁場」

不是。

如果外加磁通量正在增加，感應磁場會與它的方向相反。

如果外加磁通量正在減少，感應磁場會指向相同方向，以嘗試維持原有磁通量。

永遠先問：究竟是甚麼正在改變？

「在磁場中移動一定會產生感應電流」

不是。

線圈可以在完全均勻的磁場中移動，而它的面積、方向和所處磁場強度全部保持不變。

此時磁通量保持恆定：

\[
\Delta\Phi=0
\]

因此，對整個線圈而言，

\[
\varepsilon=0
\]

單純運動並不足夠。磁通量必須改變。

「感應電流會嘗試阻止磁通量」

也不是。

穩定不變的磁通量不會產生感應電動勢。

楞次定律所反抗的是磁通量的變化，而不是磁通量本身。一旦磁通量停止改變，產生感應電動勢的原因也會消失。

09問題與解答

問題 1

從正面觀察一個圓形導電線圈。一個指向紙面外的磁場正在增強。

判斷感應電流的方向，並解釋你的推理。

解答 1

感應電流方向為順時針。

指向紙面外的外加磁通量正在增加。根據楞次定律，線圈會產生一個感應磁場來反抗這個增加，因此感應磁場必須指向紙面內。

利用右手握拳定則，順時針的傳統電流會產生指向紙面內的磁場。

一個很容易犯的錯誤，是只記住「磁場方向相反」，卻沒有先檢查磁通量是在增加還是減少。這種想法在這題恰好成立，只因為指向紙面外的外加磁通量正在增加。

問題 2

一個 40 匝的長方形線圈以 \(2.5\ \text{m s}^{-1}\) 的速度向右移動，進入一個均勻磁場區域。磁場大小為 \(0.60\ \text{T}\)，方向指向紙面內。跨越磁場邊界的線圈垂直邊長為 \(0.12\ \text{m}\)。線圈總電阻為 \(1.5\ \Omega\)。

假設線圈以題目所述的恆定速度運動。

求：

a. 線圈進入磁場區域時的感應電動勢和電流，

b. 線圈進入時的電流方向，

c. 整個線圈完全位於均勻磁場中時的電流，以及

d. 線圈之後以相同速度離開磁場區域時的電流方向。

解答 2

線圈進入時，感應電動勢為 \(7.2\ \text{V}\)，電流為 \(4.8\ \text{A}\)，方向為逆時針；當線圈完全位於均勻磁場內時，電流為零；線圈離開時，電流方向為順時針。

線圈進入磁場時，位於磁場中的面積增加。因此，指向紙面內的磁通量增加。

對於以恆定速度跨越直線磁場邊界的線圈，進入磁場的面積變化率為

\[
\frac{\Delta A}{\Delta t}=lv
\]

其中 \(l=0.12\ \text{m}\) 是跨越邊界的邊長，而 \(v=2.5\ \text{m s}^{-1}\) 是速度。

因此，感應電動勢為

\[
\varepsilon=NBlv
=40(0.60)(0.12)(2.5)
=7.2\ \text{V}
\]

利用歐姆定律，

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{7.2}{1.5}
=4.8\ \text{A}
\]

正在增加的外加磁通量指向紙面內。因此，感應磁場必須指向紙面外，需要逆時針電流。

當線圈完全位於均勻磁場內時，它的面積、方向和磁場強度全部保持不變。因此，即使線圈仍在移動，它的磁通量仍然恆定：

\[
\Delta\Phi=0
\]

所以感應電動勢和電流都為零。

當線圈離開時，指向紙面內的磁通量減少。感應磁場此時指向紙面內，以反抗這個減少，因此電流變成順時針。

一個看似合理但錯誤的思路，是認為移動中的導體一定有感應電流。缺少的條件是：穿過完整電路的磁通量必須改變。一旦線圈完全位於均勻磁場內，就沒有這種改變。

問題 3

一個 100 匝的導電線圈保持與一個指向紙面外的均勻磁場垂直。在 \(0.10\ \text{s}\) 的時間內，磁場強度由 \(0.40\ \text{T}\) 增加至 \(0.55\ \text{T}\)，同時線圈所包圍的面積由 \(0.020\ \text{m}^2\) 減少至 \(0.014\ \text{m}^2\)。

線圈的電阻為 \(0.50\ \Omega\)。

求平均感應電流，包括其方向。

解答 3

平均感應電流為 \(0.60\ \text{A}\)，方向為逆時針。

關鍵是：雖然磁場強度增加，但磁通量並不只取決於 \(B\)。還必須把面積縮小這項變化計算在內。

最初，

\[
\Phi_i=B_iA_i
=(0.40)(0.020)
=8.0\times10^{-3}\ \text{Wb}
\]

每匝。

最後，

\[
\Phi_f=B_fA_f
=(0.55)(0.014)
=7.7\times10^{-3}\ \text{Wb}
\]

每匝。

因此，

\[
\Delta\Phi
=7.7\times10^{-3}-8.0\times10^{-3}
=-3.0\times10^{-4}\ \text{Wb}
\]

儘管磁場強度增加，指向紙面外的磁通量實際上減少了。

平均感應電動勢的大小為

\[
|\varepsilon|
=N\frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}
=100\left(\frac{3.0\times10^{-4}}{0.10}\right)
=0.30\ \text{V}
\]

所以

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{0.30}{0.50}
=0.60\ \text{A}
\]

由於指向紙面外的磁通量正在減少，感應磁場會指向紙面外，以反抗這個減少。

因此，電流方向為逆時針。

一個很容易出現的預測是：「\(B\) 增加，所以感應磁場一定要反抗 \(B\)。」這忽略了面積同時也在改變。楞次定律回應的是 \(\Phi=BA\) 的淨變化，而在這題中，面積減少的影響略大於磁場強度增加的影響。

問題 4

一根長度為 \(0.50\ \text{m}\) 的導電棒在水平導電軌道上無摩擦地向右滑動。軌道與導電棒構成一個閉合長方形電路，其中有一個 \(2.0\ \Omega\) 的電阻。其他所有電阻均可忽略。

一個大小為 \(0.80\ \text{T}\) 的均勻磁場指向紙面內。一個恆定的 \(0.40\ \text{N}\) 外力把導電棒向右拉。

當導電棒移動時，電路所包圍的面積增加。

a. 解釋感應電流的方向，以及作用在導電棒上的磁力方向。

b. 計算導電棒的終端速度。

c. 計算終端速度下的電流和熱能產生率。

d. 把電阻換成 \(4.0\ \Omega\)，並繼續使用相同的恆定拉力。求新的終端速度和電流。解釋為甚麼在這種情況下，增加電阻不會減少終端電流。

解答 4

感應電流為逆時針，導電棒所受磁力向左；原本的終端速度為 \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)。把電阻加倍後，終端速度增加至 \(10\ \text{m s}^{-1}\)，但終端電流仍然是 \(1.0\ \text{A}\)。

當導電棒向右移動時，電路包圍的面積增加。外加磁場指向紙面內，因此指向紙面內的磁通量增加。

楞次定律要求感應磁場指向紙面外。因此，電流為逆時針。

在右側正在移動的導電棒上，逆時針電流向上流動。作用在這根載流導電棒上的磁力向左，反抗令磁通量增加的運動。

對於以速度 \(v\) 垂直於磁場移動的導電棒，

\[
\varepsilon=Blv
\]

所以電流為

\[
I=\frac{Blv}{R}
\]

作用在導電棒上的磁力大小為

\[
F_B=BIl
\]

代入電流，

\[
F_B
=B\left(\frac{Blv}{R}\right)l
=\frac{B^2l^2v}{R}
\]

在終端速度下，加速度為零，因此磁力與外加拉力平衡：

\[
F_{\text{pull}}=F_B
\]

因此，

\[
0.40
=\frac{(0.80)^2(0.50)^2v}{2.0}
\]

所以

\[
v
=\frac{(0.40)(2.0)}{(0.80)^2(0.50)^2}
=5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

在這個速度下，

\[
I
=\frac{Blv}{R}
=\frac{(0.80)(0.50)(5.0)}{2.0}
=1.0\ \text{A}
\]

熱能產生率為

\[
P=I^2R
=(1.0)^2(2.0)
=2.0\ \text{W}
\]

這與輸入的機械功率相符：

\[
P=Fv=(0.40)(5.0)=2.0\ \text{W}
\]

現在把電阻換成 \(R=4.0\ \Omega\)。

在終端速度下，

\[
v
=\frac{F_{\text{pull}}R}{B^2l^2}
=\frac{(0.40)(4.0)}{(0.80)^2(0.50)^2}
=10\ \text{m s}^{-1}
\]

新的電流為

\[
I
=\frac{Blv}{R}
=\frac{(0.80)(0.50)(10)}{4.0}
=1.0\ \text{A}
\]

所以終端電流仍然是 \(1.0\ \text{A}\)。

一個很容易想到的論點是：把電阻加倍一定會令電流減半。如果感應電動勢保持不變，這確實正確。但感應電動勢並不保持不變。

較大的電阻最初會令電流較小，因此磁煞車力也較小。恆定外力隨後會令導電棒加速到更高速度。更高的速度又會產生更大的感應電動勢。只有當電流再次大到足以使磁力平衡固定的 \(0.40\ \text{N}\) 拉力時，才會達到終端運動狀態。

事實上，在終端速度下，

\[
F_{\text{pull}}=BIl
\]

所以

\[
I=\frac{F_{\text{pull}}}{Bl}
\]

當中完全沒有電阻。

電阻控制的是產生這個電流所需要的終端速度。

這是楞次定律與能量守恆共同作用的結果，而不是兩個彼此分離的物理概念。

問題 5

一個 50 匝、電阻為 \(0.50\ \Omega\) 的導電線圈，與一個電磁鐵共軸，並位於電磁鐵右方。電磁鐵穿過線圈的磁場指向右方，而且越接近電磁鐵的位置，磁場越強。

線圈已經在向右移動，亦即遠離電磁鐵。

在某一瞬間，有兩個過程正在改變穿過每一匝線圈的外加磁通量：

• 由於線圈正在遠離，向右的磁通量正以 \(6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率減少；
• 由於外部電源正在增加電磁鐵中的電流，向右的磁通量正以 \(9.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率增加。

把向右的磁通量定義為正。

a. 求每匝外加磁通量的淨變化率。

b. 計算感應電動勢與電流的大小。

c. 一名觀察者站在線圈右側，望回電磁鐵。判斷他看到的感應電流是順時針還是逆時針。

d. 判斷此刻線圈所受磁力是朝向電磁鐵還是遠離電磁鐵。由此判斷磁力是反抗還是協助線圈目前的運動。

e. 電磁鐵造成的磁通量增加率要是多少，才會令感應電流瞬間為零？解釋如果電源造成的磁通量增加率稍微低於這個值，電流和磁力會發生甚麼變化。

假設感應電流足夠小，因此題目給出的外加磁通量變化率可視為固定不變。

解答 5

向右的淨磁通量正以 \(3.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\) 的速率增加，產生 \(0.015\ \text{V}\) 的感應電動勢，以及從右側觀察為順時針、大小 \(0.030\ \text{A}\) 的電流。此刻，感應磁相互作用會把線圈推離電磁鐵，因此磁力會協助線圈目前的運動，而不是反抗它。這並不違反楞次定律或能量守恆。

先把造成磁通量變化的兩個原因合併。

把向右磁通量的增加定義為正。線圈運動造成的貢獻為

\[
-6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}
\]

而電磁鐵電流增加造成的貢獻為

\[
+9.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}
\]

因此，

\[
\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}
=
9.0\times10^{-4}
–
6.0\times10^{-4}
=
3.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}
\]

外加磁通量的淨結果是向右增加。

感應電動勢的大小為

\[
|\varepsilon|
=N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right|
=50(3.0\times10^{-4})
=1.5\times10^{-2}\ \text{V}
\]

所以

\[
|\varepsilon|=0.015\ \text{V}
\]

電流為

\[
I=\frac{\varepsilon}{R}
=\frac{0.015}{0.50}
=0.030\ \text{A}
\]

現在判斷方向。

向右的外加磁通量正在增加，因此線圈必須產生一個向左的磁場。

觀察者站在線圈右側，向左望。如果磁場向右，它便會指向觀察者，相當於從他的視角看是指向紙面外。因此，所需的向左感應磁場會指離觀察者，相當於指向紙面內。

這需要順時針電流。

現在考慮力。

電磁鐵的磁場指向右方。線圈的感應磁場指向左方，所以線圈的磁矩與電磁鐵的磁場方向相反。由於越接近電磁鐵，外加磁場越強，這個方向相反的磁矩會被推向較弱磁場的區域，也就是遠離電磁鐵。

線圈本身已經正在遠離，因此磁力與它的速度方向相同。

這看起來可能與常見說法「楞次定律反抗運動」矛盾，但其實並不矛盾。

線圈並不只是在回應自身的運動。它的運動正在嘗試減少磁通量，但由外部電源驅動的電磁鐵令磁通量以更快的速率增加。淨結果是向右的磁通量正在增加。

感應電流正是按照楞次定律的要求，反抗這個淨增加。

額外的機械能和熱能可以來自驅動電磁鐵的外部電源。並沒有憑空產生能量。

要令電流瞬間變成零，兩個磁通量變化的貢獻必須互相抵消：

\[
\left(\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right)_{\text{source}}
=
6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}
\]

在這個確切速率下，

\[
\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0
\]

所以

\[
\varepsilon=0
\]

因此沒有感應電流。

如果電源造成的磁通量增加率稍微低於 \(6.0\times10^{-4}\ \text{Wb s}^{-1}\)，由運動造成的磁通量減少便會成為較大的效應。向右的淨磁通量此時會減少。

感應磁場會反向，改為指向右方，因此從右側觀察時，電流會變成逆時針。線圈的磁矩此時與外加磁場方向一致，因此線圈會被吸向電磁鐵附近較強的磁場區域。

這個力指向左方，反抗線圈向外遠離的運動。

這題最難掌握的關鍵在於，楞次定律並不問：「物體正在向哪個方向移動？」它問的是：「總磁通量正在發生甚麼變化？」

10楞次定律讓你接下來能理解甚麼

一旦你能夠把外加磁通量變化、感應磁場和感應電流分開處理，幾個 HSC 電磁學概念便會容易得多。

法拉第定律告訴你磁通量變化會產生多大的感應電動勢。楞次定律告訴你它的方向或取向。電動機效應再告訴你，這股感應電流在磁場中可能受到甚麼力。

把這些概念結合起來，你便可以分析磁煞車、發電機、運動導體、反電動勢和能量轉移，而不必依賴死記順時針或逆時針的模式。

要保留的習慣很簡單：在使用右手定則之前，先準確判斷磁通量到底正在發生甚麼變化。