HSC 物理：螺線管之間的互感

將一個螺線管透過開關接到電池上，然後在附近放置第二個螺線管，並在第二個螺線管兩端接上電壓計。兩個線圈之間沒有電氣連接。閉合開關時，第二個線圈會短暫顯示電壓。保持開關閉合後，電壓便消失。打開開關時，又會出現另一個電壓脈衝，而且方向相反。

在繼續之前，先預測一下：如果第一個螺線管中有很大但完全穩定的電流，第二個螺線管是否應該持續產生電動勢？

直覺上似乎應該如此。畢竟，大電流會產生磁場。但穩定的磁場並不足夠。第二個線圈會對穿過它的磁通量變化作出反應。這就是互感背後的核心概念。

01從變化的電流到感應電動勢的因果鏈

將第一個螺線管稱為初級線圈，第二個稱為次級線圈。

當電流 \(I_1\) 流過初級線圈時，它會產生磁場 \(B_1\)。其中一部分磁場會穿過次級線圈的線圈匝。

現在想像初級電流逐漸增加。

過程如下：

\[ \text{變化的 } I_1 \rightarrow \text{變化的 } B_1 \rightarrow \text{穿過次級線圈的磁通量發生變化} \rightarrow \text{次級線圈中產生感應電動勢} \]

這條因果鏈值得記住，因為它能避免一個非常常見的錯誤。初級電流並不會以某種方式從空隙中「跳」到另一邊。兩個線圈可以完全彼此電氣絕緣。將它們連繫起來的是磁場。

若想用一個有點搞笑的方法記住「變化」這一點，可以把次級線圈想像成一位一直關注你感情狀態的朋友。「已經交往六個月」並不是新消息；「開始交往了」或「分手了」才會讓群組聊天立刻熱鬧起來。同樣地，穩定的初級電流會產生穩定的磁通量，因此不會持續產生感應電動勢。真正產生作用的是變化的電流。

這個類比到此為止。磁通量並不是在線圈之間傳遞的資訊，而感應電動勢在數值上取決於磁通量變化得有多快。

02「共享磁通量」是甚麼意思？

磁通量衡量有多少磁場穿過某一面積。

對於均勻磁場，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，單位為韋伯，\(\mathrm{Wb}\)
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉，\(\mathrm{T}\)
• \(A\) 是一匝線圈所包圍的面積，單位為 \(\mathrm{m^2}\)
• \(\theta\) 是磁場方向與線圈法線之間的夾角

如果磁場垂直穿過線圈平面，\(\theta=0^\circ\)，因此 \(\cos\theta=1\)，磁通量達到最大。

如果磁場平行於線圈平面，\(\theta=90^\circ\)，因此磁通量為零。

如果你需要複習這項基礎知識，可以參閱 HSC 物理磁通量，其中涵蓋了相關的關鍵幾何關係。

不過，在互感中還有一個額外細節：初級線圈的磁場未必全部穿過次級線圈。

可以把次級線圈想像成一扇窗。只有初級線圈磁場中穿過這扇窗的部分，才會對次級線圈中的磁通量有貢獻。把兩個線圈移得更遠、改變它們之間的角度，或讓初級線圈的大部分磁場沒有穿過次級線圈，都會減少共享磁通量。

磁力線很適合用來幫助想像，但它們並不是實際存在的繩線。「有更多磁力線穿過線圈」只是「磁通量較大」的一種簡寫說法。

03法拉第定律給出感應電動勢

假設在時間間隔 \(\Delta t\) 內，由初級線圈穿過次級線圈每一匝的磁通量改變了 \(\Delta\Phi_{1\to2}\)。

對於具有 \(N_2\) 匝的次級線圈，

\[ \varepsilon_2=-N_2\frac{\Delta\Phi_{1\to2}}{\Delta t} \]

其中 \(\varepsilon_2\) 是平均感應電動勢，單位為伏特。

因此，其大小為

\[ |\varepsilon_2|=N_2\left|\frac{\Delta\Phi_{1\to2}}{\Delta t}\right| \]

以下三件事會直接增大感應電動勢的大小：

• 增加次級線圈匝數，
• 增大每匝共享磁通量的變化量，以及
• 讓該變化在更短時間內發生。

請注意，這個列表中沒有包括甚麼：僅僅具有很大但穩定的磁通量。

初級線圈即使產生極大的恆定磁場，只要次級線圈保持靜止，仍然可以完全不產生感應電動勢。

這正是法拉第定律所表達的內容：感應電動勢取決於磁通量的變化率。

04將電動勢直接與初級電流的變化連繫起來

對一個相當長的螺線管而言，其中央附近的磁場可近似為

\[ B_1\approx\mu_0\frac{N_1}{L_1}I_1 \]

其中：

• \(B_1\) 是初級線圈的磁場，單位為特斯拉
• \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m\,A^{-1}}\) 是真空磁導率
• \(N_1\) 是初級線圈的匝數
• \(L_1\) 是初級線圈的長度，單位為米
• \(I_1\) 是初級電流，單位為安培

因此，對固定的螺線管而言，

\[ B_1\propto I_1 \]

電流加倍，磁場大約也會加倍。對電磁感應而言更重要的是：電流發生變化，就會令磁場發生變化。

如果次級線圈與初級線圈對齊，而且有一個面積 \(A_{\text{link}}\) 實際上被初級磁場穿過，

\[ \Phi_{1\to2}\approx B_1A_{\text{link}} \]

將此式與法拉第定律結合，可得

\[ |\varepsilon_2| \approx N_2A_{\text{link}}\mu_0\frac{N_1}{L_1} \left|\frac{\Delta I_1}{\Delta t}\right| \]

這條方程很有用，但只在我們剛才所作的假設下成立：初級磁場近似均勻、幾何配置固定、兩個線圈對齊，而且有明確定義的磁通鏈結區域。

更一般而重要的物理敘述是：

變化的初級電流會令連結次級線圈的磁通量發生變化，因此在次級線圈中產生感應電動勢。

06負號：楞次定律

法拉第定律中的負號告訴我們感應效應的方向。

假設穿過次級線圈的初級磁場向右，而且正在增強。

次級線圈應該怎樣反應？

它會產生一個向左的磁場。這個感應磁場會反抗磁通量的增加。

現在假設初級磁場仍然向右，但正在減弱。

一個常見錯誤是說：「因為感應磁場會反抗原本的磁場，所以次級線圈一定會產生一個向左的磁場。」

這並不是楞次定律。

此時，次級線圈會產生一個向右的磁場。它正試圖藉由維持正在消失的磁通量來反抗磁通量的減少。

因此，一個實用的規則是：

• 某方向的磁通量正在增加 → 感應磁場指向相反方向；
• 某方向的磁通量正在減少 → 感應磁場指向相同方向。

感應效應所反抗的是磁通量的變化，而不是自動反抗磁場本身。

一旦知道所需的感應磁場方向，就可以利用右手線圈定則判斷感應電流的方向。

07電動勢並不等同於電流

想像只在次級線圈兩端接上一個高電阻電壓計。

法拉第定律仍然預測會產生感應電動勢。即使幾乎沒有電流流動，電壓計仍可偵測到電勢差。

如果次級線圈改為接成閉合導電電路，感應電動勢便可驅動電流。對於簡單的電阻 \(R_2\)，

\[ I_2=\frac{\varepsilon_2}{R_2} \]

因此，以下是兩個不同的問題：

1. 是否產生了感應電動勢？
2. 如果電路閉合，這個電動勢會產生多大的電流？

不要寫「沒有電流，所以沒有感應」。開路的次級線圈可以具有感應電動勢，同時幾乎沒有電流流過。

08較大的次級線圈並非所有面積都一定有幫助

第一個例題刻意讓次級線圈完全位於初級線圈近似均勻的磁場內。

現在改變幾何配置。

對理想的長螺線管而言，螺線管內部的磁場近似均勻，而外部磁場非常小。假設次級線圈比初級線圈寬得多。

在 \(\Phi=BA\) 中使用整個次級線圈的面積合理嗎？

不合理。那些額外面積的大部分幾乎沒有初級磁場。有效面積近似為實際上被初級磁場穿過的區域。

09使用直流電和交流電時會發生甚麼？

假設初級線圈透過開關接到直流電源。

開關剛閉合時，電流由零開始上升。這個變化的電流會產生變化的磁通量，因此次級線圈會出現短暫的感應電動勢。

當初級電流變為恆定後，

\[ \frac{\Delta I_1}{\Delta t}=0 \]

因此，在幾何配置固定的情況下，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

次級線圈的電動勢便降至零。

當開關打開時，初級電流會下降並趨近於零。此時磁通量以相反方向變化，因此次級線圈會收到另一個極性相反的脈衝。

交流電源的情況不同。它的電流持續變化，因此其磁場和共享磁通量也持續變化。次級線圈因此會持續出現交變電動勢。

這就是變壓器背後最基本的物理原理。

10值得注意的常見錯誤

一個可靠的 HSC 判斷規則是：先從次級線圈出發，而不是從初級線圈出發：

穿過次級線圈的磁通量是否正在改變？如果是，就會產生感應電動勢。接著用變化率判斷大小，再用楞次定律判斷方向。

11題目與解答

題目 1

一個 \(200\) 匝的次級線圈受到附近初級螺線管的磁通量影響。穿過每一匝次級線圈的磁通量，在 \(0.020\ \mathrm{s}\) 內由 \(5.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}\) 均勻地減少至 \(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}\)。

計算平均感應電動勢的大小。

如果原本的初級磁通量指向紙面內，判斷感應磁場的方向，以及從紙面正面觀看時次級線圈中的傳統電流方向。

解答 1

平均感應電動勢為 \(0.40\ \mathrm{V}\)，感應磁場指向紙面內，因此需要順時針方向的傳統電流。

由法拉第定律，

\[ |\varepsilon| = N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| \]

每匝磁通量的變化為

\[ \Delta\Phi = 1.0\times10^{-5}-5.0\times10^{-5} = -4.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb} \]

因此，

\[ |\varepsilon| = 200 \left| \frac{-4.0\times10^{-5}}{0.020} \right| = 0.40\ \mathrm{V} \]

指向紙面內的初級磁通量正在減少。根據楞次定律，次級線圈必須反抗這個減少，因此其感應磁場也指向紙面內。

根據右手線圈定則，順時針電流會產生指向紙面內的磁場。

容易犯的錯誤，是因為感應磁場「反抗初級磁場」而令它指向紙面外。它並不是在反抗初級磁場本身，而是在反抗初級磁場變弱這個變化。

題目 2

一個初級螺線管和一個次級螺線管的位置固定。

開關閉合時，初級電流在 \(40\ \mathrm{ms}\) 內均勻地由 \(0\) 上升至 \(1.5\ \mathrm{A}\)。之後，電流在 \(2.0\ \mathrm{s}\) 內保持恆定為 \(1.5\ \mathrm{A}\)。開關打開時，電流在 \(5.0\ \mathrm{ms}\) 內均勻地由 \(1.5\ \mathrm{A}\) 降至零。

假設連結次級線圈的磁通量與初級電流成正比。

當開關正在閉合時，連接到次級線圈的檢流計向右偏轉。

描述在恆定電流期間以及開關打開時檢流計的讀數。比較打開開關時的脈衝與閉合開關時脈衝的大小。

解答 2

在初級電流恆定時，檢流計讀數為零；當開關打開時，檢流計向左偏轉。在題目所給假設下，打開開關時的脈衝大小是閉合開關時的八倍。

在開關閉合期間，

\[ \left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = \frac{1.5}{0.040} = 37.5\ \mathrm{A\,s^{-1}} \]

在恆定電流期間，

\[ \frac{\Delta I}{\Delta t}=0 \]

由於幾何配置固定，而且磁通量與電流成正比，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

因此沒有感應電動勢，檢流計回到零。

當開關打開時，

\[ \left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = \frac{1.5}{0.0050} = 300\ \mathrm{A\,s^{-1}} \]

因此，

\[ \frac{|\varepsilon_{\text{open}}|} {|\varepsilon_{\text{close}}|} = \frac{300}{37.5} = 8 \]

打開開關時的變化方向相反，因此根據楞次定律，極性亦相反，所以檢流計向左偏轉。

一個容易令人誤解的論點是：最強的感應應該出現在電流保持在最大值 \(1.5\ \mathrm{A}\) 時。真正的限制條件來自法拉第定律：一旦電流停止變化，共享磁通量也會停止變化。

題目 3

一個長初級螺線管有 \(1000\) 匝、長度 \(0.50\ \mathrm{m}\)、半徑 \(1.0\ \mathrm{cm}\)。一個與其共軸的次級線圈有 \(300\) 匝、半徑 \(2.0\ \mathrm{cm}\)，並完全包圍初級線圈。

初級電流以恆定速率 \(25\ \mathrm{A\,s^{-1}}\) 增加。

假設初級線圈內的磁場均勻，而外部磁場為零。

計算次級線圈中產生的電動勢大小。如果正在增強的初級磁場指向左方，指出次級線圈感應磁場的方向。

解答 3

感應電動勢約為 \(5.9\ \mathrm{mV}\)，而次級線圈的感應磁場指向右方。

第一個陷阱是面積。雖然次級線圈的半徑為 \(2.0\ \mathrm{cm}\)，但模型指出初級磁場只存在於半徑 \(1.0\ \mathrm{cm}\) 的初級線圈內部。

因此，

\[ A_{\text{link}} = \pi(0.010)^2 = 3.14\times10^{-4}\ \mathrm{m^2} \]

初級磁場的變化率為

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} = \mu_0\frac{N_1}{L_1} \frac{\Delta I_1}{\Delta t} \]

代入數值，

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} = (4\pi\times10^{-7}) \left(\frac{1000}{0.50}\right) (25) = 6.28\times10^{-2}\ \mathrm{T\,s^{-1}} \]

接著利用法拉第定律，

\[ |\varepsilon_2| = N_2A_{\text{link}} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

\[ = 300(3.14\times10^{-4})(6.28\times10^{-2}) = 5.92\times10^{-3}\ \mathrm{V} \]

所以，

\[ |\varepsilon_2|\approx5.9\ \mathrm{mV} \]

初級磁場指向左方，而且正在增強。因此次級線圈的感應磁場必須指向右方，以反抗這個增加。

容易走錯的做法，是使用次級線圈完整的 \(2.0\ \mathrm{cm}\) 半徑來計算 \(BA\)。這相當於假設初級線圈外部區域具有與內部相同的磁場，直接違反了題目所給的模型。

題目 4

一個長初級螺線管的半徑為

\[ R=1.5\times10^{-2}\ \mathrm{m} \]

在其中央附近，磁場的變化率為

\[ \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| = 0.40\ \mathrm{T\,s^{-1}} \]

可把磁場視為在半徑 \(R\) 內均勻，而在外部為零。

你有 \(18.0\ \mathrm{m}\) 長的導線，並使用全部導線製作一個非常短、與初級線圈共軸的次級螺線管。每一匝次級線圈的半徑均近似為 \(r\)。忽略導線厚度、電阻及端部效應。

求出令感應電動勢最大的 \(r\) 值。分別推導 \(r\le R\) 和 \(r\ge R\) 時電動勢對 \(r\) 的關係，然後計算最大電動勢。

解答 4

當次級線圈的半徑等於初級線圈的半徑，即 \(r=R=1.5\ \mathrm{cm}\) 時，感應電動勢最大，其最大值約為 \(5.4\times10^{-2}\ \mathrm{V}\)。

這裡有兩個互相競爭的效應。起初，增大 \(r\) 會令每一匝有更多有效面積；但由於導線總長度固定，半徑愈大也代表匝數愈少。一旦 \(r\) 超過初級線圈半徑，在題目所給模型中，額外包圍的面積完全沒有磁場。

設導線總長度為 \(L_{\mathrm w}=18.0\ \mathrm{m}\)。

一個圓形線圈匝約需要 \(2\pi r\) 長的導線，因此

\[ N=\frac{L_{\mathrm w}}{2\pi r} \]

對於 \(r\le R\)，每一匝次級線圈的全部面積都位於初級磁場內。有效面積為

\[ A=\pi r^2 \]

因此，

\[ |\varepsilon| = N\pi r^2\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

代入 \(N\)，

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}}{2\pi r} \pi r^2 \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

所以

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}r}{2} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \qquad (r\le R) \]

因此，只要 \(r\le R\)，電動勢會隨 \(r\) 增加而增加。

對於 \(r\ge R\)，把次級線圈做得更寬並不會增加有效磁通量，因為模型指定初級線圈外部的磁場為零。此時有效面積固定為

\[ A_{\text{link}}=\pi R^2 \]

因此，

\[ |\varepsilon| = N\pi R^2 \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

所以

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}R^2}{2r} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \qquad (r\ge R) \]

這個表達式會隨 \(r\) 增加而減少。

第一個表達式會一路增加至 \(r=R\)，而第二個表達式在 \(r=R\) 之後開始下降。因此最大值必然出現在兩區域的邊界：

\[ r=R=0.015\ \mathrm{m} \]

最大電動勢為

\[ |\varepsilon_{\max}| = \frac{(18.0)(0.015)}{2}(0.40) = 5.4\times10^{-2}\ \mathrm{V} \]

所以

\[ |\varepsilon_{\max}|=0.054\ \mathrm{V} \]

容易走錯的思路，是說「匝數愈多一定愈好」而令 \(r\) 非常小，或者說「面積愈大一定愈好」而令 \(r\) 非常大。兩者都不成立，因為同一段有限長度的導線同時限制了這兩個量。最佳值恰好出現在增大線圈之後不再能包圍額外磁場的位置。

題目 5

一個次級螺線管位於初級螺線管附近。這次不提供詳細幾何配置，而是假設其磁通鏈結由下式描述：

\[ \Lambda=0.012fI_1 \]

其中：

• \(\Lambda=N_2\Phi\) 是次級線圈的磁通鏈結，單位為 \(\mathrm{Wb\,turn}\)，
• \(I_1\) 是初級電流，單位為安培，以及
• \(f\) 是描述初級磁通量與次級線圈連結程度的比例。

定義正的 \(\Lambda\) 表示磁通量方向與正的初級電流所產生的方向相同。

系統依次經歷三個連續的 \(20\ \mathrm{ms}\) 時間區間。

在區間 A，\(f=0.80\)，初級電流均勻地由 \(0\) 上升至 \(2.0\ \mathrm{A}\)。

在區間 B，初級電流保持恆定為 \(2.0\ \mathrm{A}\)，但次級線圈被移遠，使 \(f\) 均勻地由 \(0.80\) 降至 \(0.30\)。

在區間 C，\(f=0.30\)，初級電流均勻地由 \(2.0\ \mathrm{A}\) 降至零。

對每一個區間，按照

\[ \varepsilon=-\frac{\Delta\Lambda}{\Delta t} \]

計算平均感應電動勢，包括其正負號。

然後求全部三個區間的總帶符號電壓-時間面積，

\[ \sum \varepsilon\Delta t \]

最後，解釋為甚麼區間 B 是概念上的陷阱。

解答 5

區間 A、B 和 C 的平均感應電動勢分別為 \(-0.96\ \mathrm{V}\)、\(+0.60\ \mathrm{V}\) 和 \(+0.36\ \mathrm{V}\)。總帶符號電壓-時間面積為零。即使初級電流保持恆定，區間 B 仍有感應電動勢，因為幾何配置的改變令共享磁通量發生變化。

先看區間 A。

起初，

\[ \Lambda_i=0 \]

在區間結束時，

\[ \Lambda_f = 0.012(0.80)(2.0) = 0.0192\ \mathrm{Wb\,turn} \]

因此，

\[ \varepsilon_A = -\frac{0.0192-0}{0.020} = -0.96\ \mathrm{V} \]

負號表達楞次定律：由初級線圈所連結的磁通量正向增加，因此感應電動勢會以相反方向作用。

對區間 B 而言，電流保持在 \(2.0\ \mathrm{A}\)，但 \(f\) 發生變化。

初始磁通鏈結為

\[ \Lambda_i = 0.012(0.80)(2.0) = 0.0192\ \mathrm{Wb\,turn} \]

最終磁通鏈結為

\[ \Lambda_f = 0.012(0.30)(2.0) = 0.0072\ \mathrm{Wb\,turn} \]

因此，

\[ \varepsilon_B = -\frac{0.0072-0.0192}{0.020} = +0.60\ \mathrm{V} \]

對區間 C，

\[ \Lambda_i=0.0072\ \mathrm{Wb\,turn} \]

而由於初級電流最後降至零，

\[ \Lambda_f=0 \]

所以，

\[ \varepsilon_C = -\frac{0-0.0072}{0.020} = +0.36\ \mathrm{V} \]

現在計算帶符號的電壓-時間面積。

\[ \varepsilon_A\Delta t = (-0.96)(0.020) = -0.0192\ \mathrm{V\,s} \]

\[ \varepsilon_B\Delta t = (0.60)(0.020) = +0.0120\ \mathrm{V\,s} \]

\[ \varepsilon_C\Delta t = (0.36)(0.020) = +0.0072\ \mathrm{V\,s} \]

因此，

\[ \sum\varepsilon\Delta t = -0.0192+0.0120+0.0072 = 0 \]

這並非巧合。法拉第定律指出，在整個過程中，

\[ \int\varepsilon\,dt=-\Delta\Lambda \]

次級線圈一開始的磁通鏈結為零，最後也回到零，因此總帶符號面積也必須為零。

區間 B 是關鍵陷阱。只記住「變化的電流會產生感應」的學生，可能會因為 \(I_1\) 保持恆定而預測感應電動勢為零。但變化的電流只是改變磁通量的其中一種方法。

更深層的規則是：共享磁通量必須發生變化。

移動線圈會改變初級磁場中有多少部分連結次級線圈，因此即使初級電流本身保持穩定，仍然可以產生感應電動勢。

12從互感到變壓器

兩個相鄰的螺線管已經包含了變壓器物理的核心。變化的初級電流會產生變化的磁通量，其中一部分磁通量會連結次級線圈，而法拉第定律則給出次級線圈的電動勢。

變壓器會令這個過程有效得多。其初級電流持續交變，而共用磁芯會把更多變化中的磁通量引導穿過兩組繞組。接著，匝數便決定相同的變化磁通量會在每個線圈中產生多大的電動勢。

因此，當你之後遇到變壓器方程時，有用的理解方式不是「變壓器以某種方式改變電壓」。其背後的因果鏈仍然與本文建立的一樣：

\[ \text{變化的電流} \rightarrow \text{變化的磁場} \rightarrow \text{變化的共享磁通量} \rightarrow \text{感應電動勢} \]

當你之後學習匝數比、不完全磁通鏈結以及變壓器效率時，應該把這個核心概念一直帶在身上。