HSC 物理：螺线管之间的互感

将一个螺线管透过开关接到电池上，然后在附近放置第二个螺线管，并在第二个螺线管两端接上电压计。两个线圈之间没有电气连接。闭合开关时，第二个线圈会短暂显示电压。保持开关闭合后，电压便消失。打开开关时，又会出现另一个电压脉冲，而且方向相反。

在继续之前，先预测一下：如果第一个螺线管中有很大但完全稳定的电流，第二个螺线管是否应该持续产生电动势？

直觉上似乎应该如此。毕竟，大电流会产生磁场。但稳定的磁场并不足够。第二个线圈会对穿过它的磁通量变化作出反应。这就是互感背后的核心概念。

01从变化的电流到感应电动势的因果链

将第一个螺线管称为初级线圈，第二个称为次级线圈。

当电流 \(I_1\) 流过初级线圈时，它会产生磁场 \(B_1\)。其中一部分磁场会穿过次级线圈的线圈匝。

现在想像初级电流逐渐增加。

过程如下：

\[ \text{变化的 } I_1 \rightarrow \text{变化的 } B_1 \rightarrow \text{穿过次级线圈的磁通量发生变化} \rightarrow \text{次级线圈中产生感应电动势} \]

这条因果链值得记住，因为它能避免一个非常常见的错误。初级电流并不会以某种方式从空隙中「跳」到另一边。两个线圈可以完全彼此电气绝缘。将它们连系起来的是磁场。

若想用一个有点搞笑的方法记住「变化」这一点，可以把次级线圈想像成一位一直关注你感情状态的朋友。「已经交往六个月」并不是新消息；「开始交往了」或「分手了」才会让群组聊天立刻热闹起来。同样地，稳定的初级电流会产生稳定的磁通量，因此不会持续产生感应电动势。真正产生作用的是变化的电流。

这个类比到此为止。磁通量并不是在线圈之间传递的资讯，而感应电动势在数值上取决于磁通量变化得有多快。

02「共享磁通量」是甚么意思？

磁通量衡量有多少磁场穿过某一面积。

对于均匀磁场，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中：

• \(\Phi\) 是磁通量，单位为韦伯，\(\mathrm{Wb}\)
• \(B\) 是磁场强度，单位为特斯拉，\(\mathrm{T}\)
• \(A\) 是一匝线圈所包围的面积，单位为 \(\mathrm{m^2}\)
• \(\theta\) 是磁场方向与线圈法线之间的夹角

如果磁场垂直穿过线圈平面，\(\theta=0^\circ\)，因此 \(\cos\theta=1\)，磁通量达到最大。

如果磁场平行于线圈平面，\(\theta=90^\circ\)，因此磁通量为零。

如果你需要复习这项基础知识，可以参阅 HSC 物理磁通量，其中涵盖了相关的关键几何关系。

不过，在互感中还有一个额外细节：初级线圈的磁场未必全部穿过次级线圈。

可以把次级线圈想像成一扇窗。只有初级线圈磁场中穿过这扇窗的部分，才会对次级线圈中的磁通量有贡献。把两个线圈移得更远、改变它们之间的角度，或让初级线圈的大部分磁场没有穿过次级线圈，都会减少共享磁通量。

磁力线很适合用来帮助想像，但它们并不是实际存在的绳线。「有更多磁力线穿过线圈」只是「磁通量较大」的一种简写说法。

03法拉第定律给出感应电动势

假设在时间间隔 \(\Delta t\) 内，由初级线圈穿过次级线圈每一匝的磁通量改变了 \(\Delta\Phi_{1\to2}\)。

对于具有 \(N_2\) 匝的次级线圈，

\[ \varepsilon_2=-N_2\frac{\Delta\Phi_{1\to2}}{\Delta t} \]

其中 \(\varepsilon_2\) 是平均感应电动势，单位为伏特。

因此，其大小为

\[ |\varepsilon_2|=N_2\left|\frac{\Delta\Phi_{1\to2}}{\Delta t}\right| \]

以下三件事会直接增大感应电动势的大小：

• 增加次级线圈匝数，
• 增大每匝共享磁通量的变化量，以及
• 让该变化在更短时间内发生。

请注意，这个列表中没有包括甚么：仅仅具有很大但稳定的磁通量。

初级线圈即使产生极大的恒定磁场，只要次级线圈保持静止，仍然可以完全不产生感应电动势。

这正是法拉第定律所表达的内容：感应电动势取决于磁通量的变化率。

04将电动势直接与初级电流的变化连系起来

对一个相当长的螺线管而言，其中央附近的磁场可近似为

\[ B_1\approx\mu_0\frac{N_1}{L_1}I_1 \]

其中：

• \(B_1\) 是初级线圈的磁场，单位为特斯拉
• \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\,m\,A^{-1}}\) 是真空磁导率
• \(N_1\) 是初级线圈的匝数
• \(L_1\) 是初级线圈的长度，单位为米
• \(I_1\) 是初级电流，单位为安培

因此，对固定的螺线管而言，

\[ B_1\propto I_1 \]

电流加倍，磁场大约也会加倍。对电磁感应而言更重要的是：电流发生变化，就会令磁场发生变化。

如果次级线圈与初级线圈对齐，而且有一个面积 \(A_{\text{link}}\) 实际上被初级磁场穿过，

\[ \Phi_{1\to2}\approx B_1A_{\text{link}} \]

将此式与法拉第定律结合，可得

\[ |\varepsilon_2| \approx N_2A_{\text{link}}\mu_0\frac{N_1}{L_1} \left|\frac{\Delta I_1}{\Delta t}\right| \]

这条方程很有用，但只在我们刚才所作的假设下成立：初级磁场近似均匀、几何配置固定、两个线圈对齐，而且有明确定义的磁通链结区域。

更一般而重要的物理叙述是：

变化的初级电流会令连结次级线圈的磁通量发生变化，因此在次级线圈中产生感应电动势。

06负号：楞次定律

法拉第定律中的负号告诉我们感应效应的方向。

假设穿过次级线圈的初级磁场向右，而且正在增强。

次级线圈应该怎样反应？

它会产生一个向左的磁场。这个感应磁场会反抗磁通量的增加。

现在假设初级磁场仍然向右，但正在减弱。

一个常见错误是说：「因为感应磁场会反抗原本的磁场，所以次级线圈一定会产生一个向左的磁场。」

这并不是楞次定律。

此时，次级线圈会产生一个向右的磁场。它正试图借由维持正在消失的磁通量来反抗磁通量的减少。

因此，一个实用的规则是：

• 某方向的磁通量正在增加 → 感应磁场指向相反方向；
• 某方向的磁通量正在减少 → 感应磁场指向相同方向。

感应效应所反抗的是磁通量的变化，而不是自动反抗磁场本身。

一旦知道所需的感应磁场方向，就可以利用右手线圈定则判断感应电流的方向。

07电动势并不等同于电流

想像只在次级线圈两端接上一个高电阻电压计。

法拉第定律仍然预测会产生感应电动势。即使几乎没有电流流动，电压计仍可侦测到电势差。

如果次级线圈改为接成闭合导电电路，感应电动势便可驱动电流。对于简单的电阻 \(R_2\)，

\[ I_2=\frac{\varepsilon_2}{R_2} \]

因此，以下是两个不同的问题：

1. 是否产生了感应电动势？
2. 如果电路闭合，这个电动势会产生多大的电流？

不要写「没有电流，所以没有感应」。开路的次级线圈可以具有感应电动势，同时几乎没有电流流过。

08较大的次级线圈并非所有面积都一定有帮助

第一个例题刻意让次级线圈完全位于初级线圈近似均匀的磁场内。

现在改变几何配置。

对理想的长螺线管而言，螺线管内部的磁场近似均匀，而外部磁场非常小。假设次级线圈比初级线圈宽得多。

在 \(\Phi=BA\) 中使用整个次级线圈的面积合理吗？

不合理。那些额外面积的大部分几乎没有初级磁场。有效面积近似为实际上被初级磁场穿过的区域。

09使用直流电和交流电时会发生甚么？

假设初级线圈透过开关接到直流电源。

开关刚闭合时，电流由零开始上升。这个变化的电流会产生变化的磁通量，因此次级线圈会出现短暂的感应电动势。

当初级电流变为恒定后，

\[ \frac{\Delta I_1}{\Delta t}=0 \]

因此，在几何配置固定的情况下，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

次级线圈的电动势便降至零。

当开关打开时，初级电流会下降并趋近于零。此时磁通量以相反方向变化，因此次级线圈会收到另一个极性相反的脉冲。

交流电源的情况不同。它的电流持续变化，因此其磁场和共享磁通量也持续变化。次级线圈因此会持续出现交变电动势。

这就是变压器背后最基本的物理原理。

10值得注意的常见错误

一个可靠的 HSC 判断规则是：先从次级线圈出发，而不是从初级线圈出发：

穿过次级线圈的磁通量是否正在改变？如果是，就会产生感应电动势。接著用变化率判断大小，再用楞次定律判断方向。

11题目与解答

题目 1

一个 \(200\) 匝的次级线圈受到附近初级螺线管的磁通量影响。穿过每一匝次级线圈的磁通量，在 \(0.020\ \mathrm{s}\) 内由 \(5.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}\) 均匀地减少至 \(1.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb}\)。

计算平均感应电动势的大小。

如果原本的初级磁通量指向纸面内，判断感应磁场的方向，以及从纸面正面观看时次级线圈中的传统电流方向。

解答 1

平均感应电动势为 \(0.40\ \mathrm{V}\)，感应磁场指向纸面内，因此需要顺时针方向的传统电流。

由法拉第定律，

\[ |\varepsilon| = N\left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| \]

每匝磁通量的变化为

\[ \Delta\Phi = 1.0\times10^{-5}-5.0\times10^{-5} = -4.0\times10^{-5}\ \mathrm{Wb} \]

因此，

\[ |\varepsilon| = 200 \left| \frac{-4.0\times10^{-5}}{0.020} \right| = 0.40\ \mathrm{V} \]

指向纸面内的初级磁通量正在减少。根据楞次定律，次级线圈必须反抗这个减少，因此其感应磁场也指向纸面内。

根据右手线圈定则，顺时针电流会产生指向纸面内的磁场。

容易犯的错误，是因为感应磁场「反抗初级磁场」而令它指向纸面外。它并不是在反抗初级磁场本身，而是在反抗初级磁场变弱这个变化。

题目 2

一个初级螺线管和一个次级螺线管的位置固定。

开关闭合时，初级电流在 \(40\ \mathrm{ms}\) 内均匀地由 \(0\) 上升至 \(1.5\ \mathrm{A}\)。之后，电流在 \(2.0\ \mathrm{s}\) 内保持恒定为 \(1.5\ \mathrm{A}\)。开关打开时，电流在 \(5.0\ \mathrm{ms}\) 内均匀地由 \(1.5\ \mathrm{A}\) 降至零。

假设连结次级线圈的磁通量与初级电流成正比。

当开关正在闭合时，连接到次级线圈的检流计向右偏转。

描述在恒定电流期间以及开关打开时检流计的读数。比较打开开关时的脉冲与闭合开关时脉冲的大小。

解答 2

在初级电流恒定时，检流计读数为零；当开关打开时，检流计向左偏转。在题目所给假设下，打开开关时的脉冲大小是闭合开关时的八倍。

在开关闭合期间，

\[ \left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = \frac{1.5}{0.040} = 37.5\ \mathrm{A\,s^{-1}} \]

在恒定电流期间，

\[ \frac{\Delta I}{\Delta t}=0 \]

由于几何配置固定，而且磁通量与电流成正比，

\[ \frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0 \]

因此没有感应电动势，检流计回到零。

当开关打开时，

\[ \left|\frac{\Delta I}{\Delta t}\right| = \frac{1.5}{0.0050} = 300\ \mathrm{A\,s^{-1}} \]

因此，

\[ \frac{|\varepsilon_{\text{open}}|} {|\varepsilon_{\text{close}}|} = \frac{300}{37.5} = 8 \]

打开开关时的变化方向相反，因此根据楞次定律，极性亦相反，所以检流计向左偏转。

一个容易令人误解的论点是：最强的感应应该出现在电流保持在最大值 \(1.5\ \mathrm{A}\) 时。真正的限制条件来自法拉第定律：一旦电流停止变化，共享磁通量也会停止变化。

题目 3

一个长初级螺线管有 \(1000\) 匝、长度 \(0.50\ \mathrm{m}\)、半径 \(1.0\ \mathrm{cm}\)。一个与其共轴的次级线圈有 \(300\) 匝、半径 \(2.0\ \mathrm{cm}\)，并完全包围初级线圈。

初级电流以恒定速率 \(25\ \mathrm{A\,s^{-1}}\) 增加。

假设初级线圈内的磁场均匀，而外部磁场为零。

计算次级线圈中产生的电动势大小。如果正在增强的初级磁场指向左方，指出次级线圈感应磁场的方向。

解答 3

感应电动势约为 \(5.9\ \mathrm{mV}\)，而次级线圈的感应磁场指向右方。

第一个陷阱是面积。虽然次级线圈的半径为 \(2.0\ \mathrm{cm}\)，但模型指出初级磁场只存在于半径 \(1.0\ \mathrm{cm}\) 的初级线圈内部。

因此，

\[ A_{\text{link}} = \pi(0.010)^2 = 3.14\times10^{-4}\ \mathrm{m^2} \]

初级磁场的变化率为

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} = \mu_0\frac{N_1}{L_1} \frac{\Delta I_1}{\Delta t} \]

代入数值，

\[ \frac{\Delta B}{\Delta t} = (4\pi\times10^{-7}) \left(\frac{1000}{0.50}\right) (25) = 6.28\times10^{-2}\ \mathrm{T\,s^{-1}} \]

接著利用法拉第定律，

\[ |\varepsilon_2| = N_2A_{\text{link}} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

\[ = 300(3.14\times10^{-4})(6.28\times10^{-2}) = 5.92\times10^{-3}\ \mathrm{V} \]

所以，

\[ |\varepsilon_2|\approx5.9\ \mathrm{mV} \]

初级磁场指向左方，而且正在增强。因此次级线圈的感应磁场必须指向右方，以反抗这个增加。

容易走错的做法，是使用次级线圈完整的 \(2.0\ \mathrm{cm}\) 半径来计算 \(BA\)。这相当于假设初级线圈外部区域具有与内部相同的磁场，直接违反了题目所给的模型。

题目 4

一个长初级螺线管的半径为

\[ R=1.5\times10^{-2}\ \mathrm{m} \]

在其中央附近，磁场的变化率为

\[ \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| = 0.40\ \mathrm{T\,s^{-1}} \]

可把磁场视为在半径 \(R\) 内均匀，而在外部为零。

你有 \(18.0\ \mathrm{m}\) 长的导线，并使用全部导线制作一个非常短、与初级线圈共轴的次级螺线管。每一匝次级线圈的半径均近似为 \(r\)。忽略导线厚度、电阻及端部效应。

求出令感应电动势最大的 \(r\) 值。分别推导 \(r\le R\) 和 \(r\ge R\) 时电动势对 \(r\) 的关系，然后计算最大电动势。

解答 4

当次级线圈的半径等于初级线圈的半径，即 \(r=R=1.5\ \mathrm{cm}\) 时，感应电动势最大，其最大值约为 \(5.4\times10^{-2}\ \mathrm{V}\)。

这里有两个互相竞争的效应。起初，增大 \(r\) 会令每一匝有更多有效面积；但由于导线总长度固定，半径愈大也代表匝数愈少。一旦 \(r\) 超过初级线圈半径，在题目所给模型中，额外包围的面积完全没有磁场。

设导线总长度为 \(L_{\mathrm w}=18.0\ \mathrm{m}\)。

一个圆形线圈匝约需要 \(2\pi r\) 长的导线，因此

\[ N=\frac{L_{\mathrm w}}{2\pi r} \]

对于 \(r\le R\)，每一匝次级线圈的全部面积都位于初级磁场内。有效面积为

\[ A=\pi r^2 \]

因此，

\[ |\varepsilon| = N\pi r^2\left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

代入 \(N\)，

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}}{2\pi r} \pi r^2 \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

所以

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}r}{2} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \qquad (r\le R) \]

因此，只要 \(r\le R\)，电动势会随 \(r\) 增加而增加。

对于 \(r\ge R\)，把次级线圈做得更宽并不会增加有效磁通量，因为模型指定初级线圈外部的磁场为零。此时有效面积固定为

\[ A_{\text{link}}=\pi R^2 \]

因此，

\[ |\varepsilon| = N\pi R^2 \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \]

所以

\[ |\varepsilon| = \frac{L_{\mathrm w}R^2}{2r} \left|\frac{\Delta B}{\Delta t}\right| \qquad (r\ge R) \]

这个表达式会随 \(r\) 增加而减少。

第一个表达式会一路增加至 \(r=R\)，而第二个表达式在 \(r=R\) 之后开始下降。因此最大值必然出现在两区域的边界：

\[ r=R=0.015\ \mathrm{m} \]

最大电动势为

\[ |\varepsilon_{\max}| = \frac{(18.0)(0.015)}{2}(0.40) = 5.4\times10^{-2}\ \mathrm{V} \]

所以

\[ |\varepsilon_{\max}|=0.054\ \mathrm{V} \]

容易走错的思路，是说「匝数愈多一定愈好」而令 \(r\) 非常小，或者说「面积愈大一定愈好」而令 \(r\) 非常大。两者都不成立，因为同一段有限长度的导线同时限制了这两个量。最佳值恰好出现在增大线圈之后不再能包围额外磁场的位置。

题目 5

一个次级螺线管位于初级螺线管附近。这次不提供详细几何配置，而是假设其磁通链结由下式描述：

\[ \Lambda=0.012fI_1 \]

其中：

• \(\Lambda=N_2\Phi\) 是次级线圈的磁通链结，单位为 \(\mathrm{Wb\,turn}\)，
• \(I_1\) 是初级电流，单位为安培，以及
• \(f\) 是描述初级磁通量与次级线圈连结程度的比例。

定义正的 \(\Lambda\) 表示磁通量方向与正的初级电流所产生的方向相同。

系统依次经历三个连续的 \(20\ \mathrm{ms}\) 时间区间。

在区间 A，\(f=0.80\)，初级电流均匀地由 \(0\) 上升至 \(2.0\ \mathrm{A}\)。

在区间 B，初级电流保持恒定为 \(2.0\ \mathrm{A}\)，但次级线圈被移远，使 \(f\) 均匀地由 \(0.80\) 降至 \(0.30\)。

在区间 C，\(f=0.30\)，初级电流均匀地由 \(2.0\ \mathrm{A}\) 降至零。

对每一个区间，按照

\[ \varepsilon=-\frac{\Delta\Lambda}{\Delta t} \]

计算平均感应电动势，包括其正负号。

然后求全部三个区间的总带符号电压-时间面积，

\[ \sum \varepsilon\Delta t \]

最后，解释为甚么区间 B 是概念上的陷阱。

解答 5

区间 A、B 和 C 的平均感应电动势分别为 \(-0.96\ \mathrm{V}\)、\(+0.60\ \mathrm{V}\) 和 \(+0.36\ \mathrm{V}\)。总带符号电压-时间面积为零。即使初级电流保持恒定，区间 B 仍有感应电动势，因为几何配置的改变令共享磁通量发生变化。

先看区间 A。

起初，

\[ \Lambda_i=0 \]

在区间结束时，

\[ \Lambda_f = 0.012(0.80)(2.0) = 0.0192\ \mathrm{Wb\,turn} \]

因此，

\[ \varepsilon_A = -\frac{0.0192-0}{0.020} = -0.96\ \mathrm{V} \]

负号表达楞次定律：由初级线圈所连结的磁通量正向增加，因此感应电动势会以相反方向作用。

对区间 B 而言，电流保持在 \(2.0\ \mathrm{A}\)，但 \(f\) 发生变化。

初始磁通链结为

\[ \Lambda_i = 0.012(0.80)(2.0) = 0.0192\ \mathrm{Wb\,turn} \]

最终磁通链结为

\[ \Lambda_f = 0.012(0.30)(2.0) = 0.0072\ \mathrm{Wb\,turn} \]

因此，

\[ \varepsilon_B = -\frac{0.0072-0.0192}{0.020} = +0.60\ \mathrm{V} \]

对区间 C，

\[ \Lambda_i=0.0072\ \mathrm{Wb\,turn} \]

而由于初级电流最后降至零，

\[ \Lambda_f=0 \]

所以，

\[ \varepsilon_C = -\frac{0-0.0072}{0.020} = +0.36\ \mathrm{V} \]

现在计算带符号的电压-时间面积。

\[ \varepsilon_A\Delta t = (-0.96)(0.020) = -0.0192\ \mathrm{V\,s} \]

\[ \varepsilon_B\Delta t = (0.60)(0.020) = +0.0120\ \mathrm{V\,s} \]

\[ \varepsilon_C\Delta t = (0.36)(0.020) = +0.0072\ \mathrm{V\,s} \]

因此，

\[ \sum\varepsilon\Delta t = -0.0192+0.0120+0.0072 = 0 \]

这并非巧合。法拉第定律指出，在整个过程中，

\[ \int\varepsilon\,dt=-\Delta\Lambda \]

次级线圈一开始的磁通链结为零，最后也回到零，因此总带符号面积也必须为零。

区间 B 是关键陷阱。只记住「变化的电流会产生感应」的学生，可能会因为 \(I_1\) 保持恒定而预测感应电动势为零。但变化的电流只是改变磁通量的其中一种方法。

更深层的规则是：共享磁通量必须发生变化。

移动线圈会改变初级磁场中有多少部分连结次级线圈，因此即使初级电流本身保持稳定，仍然可以产生感应电动势。

12从互感到变压器

两个相邻的螺线管已经包含了变压器物理的核心。变化的初级电流会产生变化的磁通量，其中一部分磁通量会连结次级线圈，而法拉第定律则给出次级线圈的电动势。

变压器会令这个过程有效得多。其初级电流持续交变，而共用磁芯会把更多变化中的磁通量引导穿过两组绕组。接著，匝数便决定相同的变化磁通量会在每个线圈中产生多大的电动势。

因此，当你之后遇到变压器方程时，有用的理解方式不是「变压器以某种方式改变电压」。其背后的因果链仍然与本文建立的一样：

\[ \text{变化的电流} \rightarrow \text{变化的磁场} \rightarrow \text{变化的共享磁通量} \rightarrow \text{感应电动势} \]

当你之后学习匝数比、不完全磁通链结以及变压器效率时，应该把这个核心概念一直带在身上。