قانون مالوس لفيزياء HSC: الشدة وزوايا المستقطِبات

ضع مرشحين مثاليين للاستقطاب في الاتجاه نفسه، وسيمر الضوء من خلالهما. الآن أدر المرشح الثاني بمقدار \(60^\circ\). ما الكسر الذي تتوقعه من الشدة القصوى: ثلثان، أم نصف، أم ربع؟

إنه الربع. فالزاوية لا تقلل الشدة مباشرة. أولًا، يقلل المستقطِب الثاني سعة المجال الكهربائي وفق إسقاط. ثم تعتمد الشدة على مربع تلك السعة. هذه الفكرة المكوّنة من خطوتين هي قانون مالوس.

01ماذا يفعل المحلِّل فعليًا؟

للضوء المستقطَب خطيًا مجال كهربائي يتذبذب في اتجاه ثابت واحد. إذا كانت هذه الصورة غير مألوفة لديك، فراجعها أولًا في استقطاب الضوء والموجات المستعرضة لفيزياء HSC.

تخيّل الآن سعة المجال الكهربائي على هيئة سهم. وللمرشح المستقطِب محور نفاذ. لا ينتقل إلا مركّب المجال الكهربائي الموازي لذلك المحور.

هذه هي الهندسة نفسها المستخدمة عند أخذ إسقاط سهم على خط.

افترض أن اتجاه المجال الكهربائي ومحور النفاذ يفصل بينهما \(45^\circ\). قبل إجراء الحساب، توقّع ما سيحدث.

تبلغ سعة المجال الكهربائي النافذ نحو \(70.7\%\) من قيمتها القصوى لأن \(\cos 45^\circ = 0.707\). ومن المغري أن تقول إن الشدة النافذة تساوي أيضًا \(70.7\%\).

وهنا يقع الخطأ المهم. فشدة الضوء تتناسب مع مربع سعة المجال الكهربائي.

لذلك، إذا كانت السعة تساوي \(0.707\) من القيمة القصوى، فإن الشدة تكون

\[ (0.707)^2 = 0.500 \]

أي \(50.0\%\) من القيمة القصوى.

صورة السهم وإسقاطه مفيدة لأن الإسقاط هنا رياضيات فعلية. لكنها تصبح غير مكتملة إذا تخيلت أن المرشح يقتطع حرفيًا جزءًا هندسيًا من الضوء. ما يتم تحليله إلى مركّبات هو المجال الكهربائي المتذبذب.

02من إسقاط المجال إلى قانون مالوس

لتكن \(E_{\max}\) سعة المجال الكهربائي عندما يكون مستوى استقطاب الضوء الساقط موازيًا لمحور نفاذ المحلِّل.

إذا كانت الزاوية بينهما هي \(\theta\)، فإن سعة المجال الكهربائي النافذ تكون

\[ E = E_{\max}\cos\theta \]

تتناسب الشدة \(I\) مع مربع سعة المجال الكهربائي:

\[ I\propto E^2 \]

ومن ثم،

\[ \frac{I}{I_{\max}} = \frac{E^2}{E_{\max}^2} = \cos^2\theta \]

وهذا يعطينا قانون مالوس:

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

حيث:

كلمة بين مهمة. فإذا كان الضوء الساقط مستقطَبًا بزاوية \(20^\circ\) فوق الأفقي، وكان محور المحلِّل بزاوية \(70^\circ\) فوق الأفقي، فإن

\[ \theta=70^\circ-20^\circ=50^\circ \]

ولا تستخدم \(70^\circ\) في قانون مالوس.

بالنسبة إلى المستقطِبات المثالية، من المفيد معرفة القيم التالية:

لاحظ مدى فشل النموذج الخطي. فمضاعفة الزاوية من \(30^\circ\) إلى \(60^\circ\) لا تقلل الشدة إلى النصف. بل تغيّر الكسر النافذ من \(0.75\) إلى \(0.25\).

03ما المقصود تحديدًا بـ \(I_{\max}\)؟

من الأخطاء الشائعة اعتبار \(I_{\max}\) أنها «أي شدة ظهرت في بداية السؤال».

هذا ليس صحيحًا دائمًا.

في قانون مالوس، تمثل \(I_{\max}\) أقصى شدة يمكن أن ينفذها المحلِّل للضوء الذي يصل إليه. وبالنسبة إلى محلِّل مثالي يستقبل ضوءًا مستقطَبًا خطيًا بالفعل، فهي ببساطة شدة الضوء الساقط.

إذا كان الضوء غير مستقطَب في البداية، فلا يوجد اتجاه استقطاب واحد يمكن إدخاله في قانون مالوس. ينفذ المستقطِب المثالي الأول نصف شدة الضوء غير المستقطَب:

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

حيث \(I_0\) هي شدة الضوء غير المستقطَب الأصلية.

أما الضوء الخارج من المستقطِب الأول فأصبح الآن مستقطَبًا خطيًا على امتداد محور نفاذه. ويمكن بعد ذلك استخدام قانون مالوس مع المستقطِب التالي.

وهذا يعطينا قاعدة مهمة لاتخاذ القرار:

الصف الرابع مهم بوجه خاص. فكل مستقطِب يغيّر حالة الضوء الذي يدخل إلى المستقطِب التالي.

04عدة مستقطِبات: حدّث الاتجاه في كل مرة

افترض أن الضوء يخرج من مستقطِب رأسي. أصبح الآن مستقطَبًا رأسيًا.

إذا مر بعد ذلك عبر مستقطِب يميل \(30^\circ\) عن الرأسي، فإن الشدة تُضرب في \(\cos^2 30^\circ\). والأهم من ذلك أن الضوء الذي يبقى بعد المرور يصبح مستقطَبًا الآن على امتداد محور المرشح الثاني.

ولذلك يتفاعل المستقطِب الثالث مع اتجاه المستقطِب الثاني، لا مع الاتجاه الرأسي الأصلي.

وهذا يؤدي إلى إحدى النتائج الأكثر غرابة في هذا الموضوع: يمكن أن يسمح وضع مستقطِب إضافي بين مستقطِبين متعامدين بمرور بعض الضوء.

05أكثر أخطاء قانون مالوس إغراءً

عادةً ما يكون الجبر قصيرًا. ومعظم الدرجات المفقودة تنتج عن تحديد معنى الرموز بصورة خاطئة.

ولا توجد مشكلة أيضًا إذا ظهرت زاوية أكبر من \(90^\circ\). فمحور المستقطِب خط، ولذلك فإن اتجاهين يفصل بينهما \(180^\circ\) يصفان المحور نفسه، كما أن التربيع يزيل إشارة جيب التمام. وعادةً ما يكون من الأبسط استخدام أصغر زاوية بين المحورين.

على سبيل المثال،

\[ \cos^2(120^\circ)=\cos^2(60^\circ)=0.25 \]

06الأسئلة والحلول

السؤال 1

تبلغ شدة حزمة مستقطَبة خطيًا \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\). وتصل إلى محلِّل مثالي يبعد محور نفاذه \(30^\circ\) عن مستوى الاستقطاب.

احسب الشدة النافذة.

الحل 1

الشدة النافذة هي \(54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

الضوء الساقط مستقطَب خطيًا بالفعل، ولذلك فإن القيمة المعطاة \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) هي \(I_{\max}\) لمحلِّل مثالي.

باستخدام قانون مالوس،

\[ \begin{aligned} I&=I_{\max}\cos^2\theta\\ &=(72.0)\cos^2(30^\circ)\\ &=(72.0)(0.75)\\ &=54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

ينفذ المحلِّل \(75\%\) من الشدة الساقطة.

من الأخطاء المغرية استخدام \(\cos30^\circ=0.866\) والإجابة بـ \(86.6\%\). يصف هذا العدد سعة المجال الكهربائي النافذ كنسبة من قيمتها القصوى، وليس الشدة.

السؤال 2

يمر ضوء غير مستقطَب شدته \(200\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) عبر ثلاثة مستقطِبات مثالية.

المستقطِب الأول أفقي. ومحور نفاذ المستقطِب الثاني يقع عند \(35^\circ\) فوق الأفقي. ومحور نفاذ المستقطِب الثالث يقع عند \(80^\circ\) فوق الأفقي.

احسب الشدة النهائية. واشرح لماذا يؤدي استخدام \(80^\circ\) كزاوية في تطبيق واحد لقانون مالوس إلى نتيجة خاطئة.

الحل 2

الشدة النهائية تساوي تقريبًا \(33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

يستقبل المستقطِب الأول ضوءًا غير مستقطَب، ولذلك ينفذ النصف:

\[ I_1=\frac{200}{2}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

أصبح الضوء الآن مستقطَبًا أفقيًا.

يبعد المستقطِب الثاني \(35^\circ\) عن الأفقي:

\[ \begin{aligned} I_2 &=I_1\cos^2(35^\circ)\\ &=(100)(0.6710)\\ &=67.1\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

بعد مرور الضوء عبر المستقطِب الثاني، يصبح مستقطَبًا عند \(35^\circ\).

إذن الزاوية النسبية بالنسبة إلى المستقطِب الثالث هي

\[ 80^\circ-35^\circ=45^\circ \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} I_3 &=I_2\cos^2(45^\circ)\\ &=(67.1)(0.500)\\ &=33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

الطريقة المغرية هي مقارنة المستقطِب الأخير عند \(80^\circ\) مباشرة بالاتجاه الأفقي الأصلي. لكن ذلك يتجاهل ما يفعله المستقطِب الأوسط. فالضوء الذي يصل إلى المستقطِب الأخير لم يعد مستقطَبًا أفقيًا؛ بل أُعيد تحديد استقطابه إلى \(35^\circ\).

السؤال 3

تبلغ شدة حزمة مستقطَبة خطيًا \(90.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

يُضبط محلِّل حتى تصبح شدته النافذة بالضبط \(30.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

أوجد الزاوية بين المحلِّل ومستوى الاستقطاب الساقط. ثم يُدار المحلِّل بمقدار إضافي قدره \(20.0^\circ\) بعيدًا عن مستوى الاستقطاب. احسب الشدة النافذة الجديدة.

الحل 3

الزاوية الأولى تساوي تقريبًا \(54.7^\circ\)، والشدة النافذة النهائية تساوي تقريبًا \(6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

في البداية،

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

إذن،

\[ \begin{aligned} 30.0&=(90.0)\cos^2\theta\\ \cos^2\theta&=\frac{1}{3}\\ \cos\theta&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\ \theta&=\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\\ &=54.7^\circ \end{aligned} \]

ثم يتحرك المحلِّل بمقدار إضافي \(20.0^\circ\) بعيدًا، فيصبح

\[ \theta_{\text{new}}=54.7^\circ+20.0^\circ=74.7^\circ \]

إذن،

\[ \begin{aligned} I_{\text{new}} &=(90.0)\cos^2(74.7^\circ)\\ &=6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

الميزة المهمة هنا هي مدى الانخفاض الحاد في الشدة كلما اقترب المحلِّل من \(90^\circ\). فإضافة \(20^\circ\) لا تسبب مقدارًا ثابتًا أو نسبة ثابتة من فقدان الشدة. قانون مالوس غير خطي.

ومن الأخطاء الشائعة في الحساب العكسي استخدام \(\cos^{-1}(1/3)\). فالكمية \(1/3\) هي \(\cos^2\theta\)، لذلك يجب أخذ الجذر التربيعي قبل استخدام جيب التمام العكسي.

السؤال 4

حزمة شدتها \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) مستقطَبة خطيًا بالفعل في الاتجاه الأفقي. ويجب أن تخرج مستقطَبة رأسيًا بعد مرورها عبر محلِّل رأسي نهائي.

يمكنك وضع مستقطِبين مثاليين إضافيين بالضبط قبل المحلِّل النهائي. ويمكن ضبط محوري نفاذهما عند أي زاويتين بين الأفقي والرأسي.

اختر الزاويتين اللتين تزيدان الشدة النهائية إلى أقصى قيمة، واحسب تلك الشدة القصوى.

يقترح أحد الطلاب ضبط كلا المستقطِبين الإضافيين عند \(45^\circ\). اشرح لماذا لا يكون هذا الترتيب هو الأفضل.

الحل 4

تتحقق القيمة القصوى عندما يُضبط المستقطِبان الإضافيان عند \(30^\circ\) و\(60^\circ\)، فتبلغ الشدة النهائية تقريبًا \(42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

يجب أن يتغير استقطاب الحزمة من \(0^\circ\) إلى \(90^\circ\). ومع وجود مستقطِبين وسيطين، توجد ثلاثة تغيّرات زاوية.

أفضل ترتيب يوزّع الدوران الكلي البالغ \(90^\circ\) بالتساوي:

\[ 0^\circ\rightarrow30^\circ\rightarrow60^\circ\rightarrow90^\circ \]

وبذلك تكون كل زاوية نسبية \(30^\circ\).

طبّق قانون مالوس عند كل مستقطِب:

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ)\\ &=(100)(0.75)^3\\ &=42.1875\ \mathrm{W\,m^{-2}}\\ &\approx42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

لماذا تساعد الخطوات المتساوية؟ لأن عدم التطابق الزاوي الكبير في خطوة واحدة يسبب فقدًا شديدًا في الشدة. وتقسيم التغيّر الكلي نفسه إلى دورانات أصغر يسمح ببقاء جزء أكبر من مركّب المجال الكهربائي في كل مرحلة.

أما ترتيب الطالب \(45^\circ,45^\circ\) فيعطي

\[ 0^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow90^\circ \]

فتكون التغيّرات الزاوية \(45^\circ\)، و\(0^\circ\)، و\(45^\circ\).

وتكون شدته

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(45^\circ) \cos^2(0^\circ) \cos^2(45^\circ)\\ &=(100)(0.5)(1)(0.5)\\ &=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

الفكرة المغرية هي أن وضع الصفيحتين عند \(45^\circ\) يخلق «اتجاهًا في منتصف الطريق» بصورة مثالية. لكن الصفيحة الأولى عند \(45^\circ\) تجعل الاستقطاب الباقي عند \(45^\circ\) بالفعل، ولذلك لا تنفذ الصفيحة الثانية عند \(45^\circ\) أي دوران إضافي. وتبقى أمام الحزمة قفزة أخرى مقدارها \(45^\circ\) عند المحلِّل النهائي.

القيد الأساسي ليس متوسط اتجاه الصفيحتين، بل تسلسل الزوايا النسبية التي يمر بها الضوء.

السؤال 5

تتوفر ثلاث نسخ متطابقة من الحزمة المستقطَبة خطيًا نفسها. وكل من شدة الحزمة ومستوى استقطابها غير معلومين في البداية.

ينفذ محلِّل أفقي \(36.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

وينفذ محلِّل رأسي \(64.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

وينفذ محلِّل ثالث، محور نفاذه عند \(45^\circ\) فوق الأفقي، مقدار \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

حدّد:

1. شدة الحزمة الأصلية، و
2. مستوى الاستقطاب بالنسبة إلى الأفقي.

اشرح لماذا لا يمكن للقياسين الأفقي والرأسي وحدهما تحديد اتجاه الاستقطاب بالكامل.

الحل 5

الشدة الأصلية هي \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)، والحزمة مستقطَبة عند \(53.1^\circ\) فوق الأفقي.

لتكن زاوية استقطاب الحزمة مع الأفقي هي \(\alpha\).

بالنسبة إلى المحلِّل الأفقي،

\[ 36.0=I_{\max}\cos^2\alpha \]

وبالنسبة إلى المحلِّل الرأسي، يكون مركّب المجال الكهربائي عموديًا على المركّب الأفقي، لذلك

\[ 64.0=I_{\max}\sin^2\alpha \]

بجمع المعادلتين نحصل على

\[ \begin{aligned} 36.0+64.0 &=I_{\max}\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ 100 &=I_{\max} \end{aligned} \]

لأن

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \]

إذن شدة الحزمة الأصلية هي

\[ I_{\max}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

استخدم الآن القياس الأفقي:

\[ \begin{aligned} 36.0&=(100)\cos^2\alpha\\ \cos^2\alpha&=0.36 \end{aligned} \]

وهذا يعطي مركّبًا أفقيًا للمجال الكهربائي مقداره \(0.6\) من السعة الكلية. أما مقدار المركّب الرأسي فهو

\[ \sqrt{1-0.36}=0.8 \]

من السعة الكلية.

في هذه المرحلة توجد إمكانيتان متناظرتان انعكاسيًا. فقد يشير المركّب الرأسي في الاتجاه الموجب أو السالب بالنسبة إلى المحور الأفقي المختار. وبلغة الزوايا، يمكن أن يكون مستوى الاستقطاب

\[ +53.1^\circ \]

أو

\[ -53.1^\circ \]

بالنسبة إلى الأفقي. ويصف الخيار الأخير المحور نفسه الذي تمثله زاوية \(126.9^\circ\) إذا قيس الاتجاه عكس عقارب الساعة من الأفقي.

لا يستطيع القياسان الأولان التمييز بين هذين الاحتمالين لأن كلًا من \(\cos^2\alpha\) و\(\sin^2\alpha\) يزيل إشارة مركّبات المجال.

قياس \(45^\circ\) يحسم هذا الالتباس.

بالنسبة إلى الاتجاه \(+53.1^\circ\)، تكون الزاوية النسبية إلى المحلِّل عند \(45^\circ\) هي فقط

\[ 53.1^\circ-45^\circ=8.1^\circ \]

ومن ثم،

\[ \begin{aligned} I_{45} &=(100)\cos^2(8.1^\circ)\\ &\approx98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

وهو ما يتفق مع القياس.

أما في الاتجاه المنعكس، \(-53.1^\circ\)، فيكون المحلِّل عند \(45^\circ\) شبه عمودي على محور الاستقطاب. ولن ينفذ إلا نحو

\[ 2.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

بدلًا من \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\).

إذن لا بد أن تكون الحزمة مستقطَبة عند \(53.1^\circ\) فوق الأفقي.

الطريقة المغرية هي حساب \(\cos^{-1}(0.6)=53.1^\circ\) من القياس الأفقي والتوقف عند ذلك. لكن هذا يتجاهل ضمنيًا الاتجاه الثاني الذي يسمح به مربع جيب التمام. القياس الثالث ليس زائدًا عن الحاجة؛ فهو يحتوي على معلومات اتجاهية لا يستطيع القياسان المتعامدان التمييز بينها.

07ما الذي يتيح لك قانون مالوس فهمه بعد ذلك؟

قانون مالوس هو في الحقيقة مثال على عادة أوسع في فيزياء الموجات: تعامل مع السعات أولًا، ثم احسب الشدة.

هنا يُسقط المحلِّل سعة المجال الكهربائي باستخدام \(\cos\theta\)، وينتج عن تربيع هذا الإسقاط الشدة المقاسة. ويصبح التمييز نفسه مهمًا عندما تتراكب الموجات في تداخل الشقين ودليل الأهداب لفيزياء HSC، حيث تتراكب سعات المجال الكهربائي قبل تحديد الشدة الناتجة.

لذلك، عندما تصبح مسألة استقطاب معقدة، لا تحاول حفظ صيغة أكبر. تتبّع شيئين بعد كل مستقطِب: الشدة الجديدة، واتجاه الاستقطاب الجديد. عندها يبقى قانون مالوس نفسه في كل مرحلة.