平坦圆形弯道上的汽车：摩擦力与向心力

想像一辆汽车驶入一个平坦的左弯。驾驶把方向盘向左转，但假设路面突然变得完全没有摩擦力。会发生甚么事？

一个常见的猜测是，因为车轮已经朝向左方，所以汽车仍会稍微转弯。其实不会。由于路面没有对汽车施加任何水平力，汽车会大致沿著原本运动方向的直线切线继续前进。

这告诉我们，在平坦路面上真正使汽车转弯的是甚么：不是方向盘本身，也不是一种叫做「向心力」的神秘额外力。路面透过摩擦力对轮胎施加侧向力。在稳定地驶过平坦弯道时，这个摩擦力指向圆形路径的圆心。

01实际上是甚么让汽车转弯？

从上方俯视汽车。它的速度方向沿著道路，也就是圆形路径的切线方向。片刻之后，汽车的速度会指向稍微不同的方向。

速度发生改变就表示有加速度。对圆周运动而言，这个加速度指向圆心。

对于匀速圆周运动，

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，单位为 \(\text{m s}^{-2}\)，
• \(v\) 是速率，单位为 \(\text{m s}^{-1}\)，以及
• \(r\) 是圆形路径的半径，单位为米。

如果你想复习为甚么即使汽车速率保持不变，这个加速度仍然指向内侧，可参阅向心加速度：为甚么在 HSC Physics 中它指向内侧。

接著，牛顿第二定律告诉我们，必须存在一个向内的合力：

\[ F_{\text{合力，向内}}=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]

但这条方程式并不是在命名一种新的力。它只是告诉我们，向内合力必须有多大。

那么，是哪一种真正的力提供这个合力？

在平坦弯道上以恒定速率行驶时，就是轮胎与路面之间的静摩擦力。

\[ f_s=\frac{mv^2}{r} \]

这就是整个主题最核心的概念。

02为甚么这是静摩擦力？

一开始这听起来可能不太对。汽车正在移动，那么摩擦力不应该是动摩擦力吗？

仔细看看滚动轮胎与路面的接触。如果轮胎在没有打滑的情况下滚动，接触路面的那一小块橡胶，相对于路面在该瞬间是静止的。

在这个接触点上没有滑动。因此，这里的摩擦力是静摩擦力。

静摩擦力并不只是指「物体是静止的」。它指的是两个表面在接触处没有彼此滑动。

这也解释了另一个常见错误：摩擦力并不总是与汽车的速度方向相反。

在稳定转弯时，汽车向前运动，而静摩擦力则侧向作用，指向弯道的圆心。摩擦力所阻止的是轮胎相对于路面滑动的趋势，而不是自动与汽车整体的运动方向相反。

一个有用的想像是：一辆购物手推车位于光滑得夸张的超市地板上。你可以把车轮转向任何方向，但如果地板无法提供足够的侧向抓地力，手推车并不会乖乖地沿著车轮所指的方向行驶。转向决定轮胎如何与路面互动，而真正改变运动状态的，是轮胎与路面之间的作用力。

这个类比有其限制。真实的轮胎会变形，其接触区域很复杂，而且其抓地力无法用简单的刚性车轮模型完美描述。不过，在 HSC Physics 中，把轮胎的侧向力建模为静摩擦力，是一个实用的近似。

03摩擦力有最大值，而不是固定值

以下大概是这个主题中最重要的方程式陷阱：

\[ f_s=\mu_sN \]

一般而言并不成立。

正确的关系是

\[ f_s\leq \mu_sN \]

其中：

• \(f_s\) 是实际的静摩擦力，
• \(\mu_s\) 是静摩擦系数，以及
• \(N\) 是正向力。

静摩擦力会调整至所需的大小，直到达到某个最大值。

想像一辆汽车以很低的速率驶过一个半径很大的弯道。轮胎不需要用尽所有可用抓地力。摩擦力只会提供所需的、相对较小的向内力。

当汽车行驶得更快时，所需的摩擦力会增加。最终，轮胎可能会达到可提供的最大静摩擦力。

此时，简单的「不打滑」模型就达到了它的极限。

04求平坦弯道上的最大速率

在平坦路面上，汽车没有垂直加速度。其垂直方向的力互相平衡：

\[ N=mg \]

其中 \(m\) 是汽车的质量，而 \(g\) 是重力场强度，在地球表面附近约为 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。

因此，可提供的最大静摩擦力为

\[ f_{s,\max}=\mu_smg \]

所需的向内力为

\[ f_{\text{所需}}=\frac{mv^2}{r} \]

要使轮胎不打滑，

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

约去 \(m\)：

\[ \frac{v^2}{r}\leq\mu_sg \]

在不打滑的最大可能速率下，

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

在你拿起计算机之前，这已经能给出几个有用的预测。

留意质量所带来的这个看似奇怪的结果。在这个简化模型中，一辆较重的汽车不会仅仅因为比较重，就具有较低的最大过弯速率。

较重的汽车需要较大的向心力，但较大的正向力也会以相同比例增加可提供的最大摩擦力。因此，质量会被约去。

真实轮胎比这个简单的摩擦模型复杂得多，所以不要把这个 HSC 结果延伸成对真实汽车工程普遍适用的说法。

05并不存在一个额外独立的「向心力」

假设你为汽车画受力图，并包括以下箭头：

• 向下的重量，
• 向上的正向力，
• 向内的摩擦力，以及
• 向内的「向心力」。

这样你就把向内的力计算了两次。

「向心」描述的是合力所造成的作用，而通常不是一种额外的物理交互作用名称。

对于这个平坦、恒定速率的弯道，

\[ F_{\text{向心}}=f_s \]

相同的逻辑也适用于其他圆周运动问题，但实际提供向心作用的力可以不同。重力可以为轨道运动提供向心力。绳子的张力可以为系在绳上、沿圆周运动的小球提供向心力。

最有用的问题永远是：

哪一个真实的力，或哪些真实力的组合，指向圆心？

这种方法在向心力：如何在 HSC Physics 中辨认真正的力中有更深入的说明。

06如果所需的摩擦力太大，会怎样？

假设

\[ \frac{mv^2}{r}>\mu_smg \]

路面无法提供所需的静摩擦力。

人们很容易会说：「汽车受到一个向外的力，因此被推向外侧。」这并不是正确的模型。

真正的问题是没有足够的向内力。

由于汽车的惯性，它倾向大致沿著原本的切线方向继续前进，而路面无法足够迅速地使其速度方向向内弯曲。因此，相对于弯曲的道路，汽车便会朝弯道外侧移动。

在惯性参考系中，没有必要虚构一个真实的向外力。

一旦轮胎真的开始滑动，情况也会改变。静摩擦力已不再以相同方式描述轮胎与路面之间的作用，而且你不能自动假设汽车仍会沿原本的半径行驶。仅仅在

\[ \frac{mv^2}{r}=\mu mg \]

中把 \(\mu_s\) 换成动摩擦系数，然后假装汽车仍沿同一圆形路径行驶，可能会得到在物理上具误导性的结果。

07如果汽车同时在加速或煞车呢？

到目前为止，汽车都是以恒定速率沿弯道行驶。这使摩擦力的作用很简单：它只需要有一个向内的分量。

但假设驾驶在转弯时同时加速。

先预测一下摩擦力的方向。它是否仍然一定要正好指向圆心？

不是。

如果驱动轮需要一个向前的摩擦力分量来增加汽车速率，同时又需要一个向内的分量来使汽车转弯，那么轮胎与路面之间的总摩擦力会指向前方与内侧之间的某个方向。

同样地，在转弯时煞车，除了向内的摩擦力分量之外，也可能需要一个向后的摩擦力分量。

在简化模型中，如果 \(f_r\) 是径向摩擦力分量，而 \(f_t\) 是切向摩擦力分量，那么总摩擦力的大小为

\[ f_s=\sqrt{f_r^2+f_t^2} \]

而且必须满足

\[ \sqrt{f_r^2+f_t^2}\leq\mu_sN \]

对平坦路面而言，两边除以 \(m\) 后，可以得到一个方便的加速度形式：

\[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2+a_t^2}\leq\mu_sg \]

其中 \(a_t\) 是切向加速度。

这揭示了一个重要概念：轮胎的抓地力是共用的。

如果轮胎已经使用了几乎全部可用摩擦力来使汽车转弯，那么留给急煞或加速的摩擦力就很少。

真实轮胎的行为比这个整齐的圆形「摩擦力额度」模型更复杂，特别是因为轮胎会变形，而且会发生载荷转移。不过，这个模型掌握了 HSC Physics 的核心物理：轮胎与路面之间的摩擦力是一个合力，而不是彼此独立、没有上限的侧向摩擦力和向前摩擦力来源。

08四个值得留意的错误

1. 「摩擦力等于 \(\mu N\)。」
   只有在达到极限值时才成立。在滑动之前，静摩擦力会自行调整，最大可达 \(f_{s,\max}=\mu_sN\)。

2. 「摩擦力总是与汽车的运动方向相反。」
   静摩擦力阻止的是轮胎与路面接触处的相对滑动。在稳定转弯时，汽车向前运动，而摩擦力则侧向作用。

3. 「向心力是一个额外的向内力。」
   不是。在这个平坦弯道中，静摩擦力才是提供所需向心合力的真实力。

4. 「打滑的汽车会被推向外侧。」
   在惯性参考系中，主要问题是向内力不足。汽车无法像道路一样急剧地改变运动方向。

09问题与解答

问题 1

一辆 \(1000\text{ kg}\) 的汽车以 \(18\text{ m s}^{-1}\) 的恒定速率，沿半径为 \(90\text{ m}\) 的平坦圆形弯道行驶。

计算：

a. 汽车的向心加速度，以及
b. 作用在汽车上的摩擦力。

说明摩擦力的方向。

解答 1

向心加速度为 \(3.60\text{ m s}^{-2}\)，而路面必须对汽车施加 \(3.60\times10^3\text{ N}\) 指向弯道圆心的摩擦力。

对于 a 部分，

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{18^2}{90} =\frac{324}{90} =3.60\text{ m s}^{-2} \]

对于 b 部分，

\[ f_s=ma_c =(1000)(3.60) =3600\text{ N} \]

因此，

\[ f_s=3.60\times10^3\text{ N} \]

方向为水平指向圆形路径的圆心。

一个很容易犯的错误，是把 \(3600\text{ N}\) 称为「向心力」，然后再把摩擦力当成另一个力加上去。在这里，摩擦力本身就是提供所需向心合力的物理力。

问题 2

一辆 \(1300\text{ kg}\) 的汽车接近一个半径为 \(55\text{ m}\) 的平坦弯道。轮胎与路面之间的静摩擦系数为 \(0.45\)。

汽车以 \(17\text{ m s}^{-1}\) 驶入弯道，没有煞车，也没有加速。

a. 计算维持圆形路径所需的向内摩擦力。
b. 计算可提供的最大静摩擦力。
c. 判断汽车是否能在不打滑的情况下沿弯道行驶。
d. 求模型所预测的最大速率。
e. 一名 \(100\text{ kg}\) 的乘客坐进车内。说明在这个理想模型中，这是否会改变最大速率。

解答 2

汽车无法以 \(17\text{ m s}^{-1}\) 维持 \(55\text{ m}\) 的半径；模型给出的最大速率约为 \(15.6\text{ m s}^{-1}\)，而在理想模型中，增加一名乘客不会改变这个极限速率。

对于 a 部分，所需的向心加速度为

\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{17^2}{55} =5.25\text{ m s}^{-2} \]

因此，所需的摩擦力为

\[ f_{\text{所需}} =ma_c =(1300)(5.25) \approx6.83\times10^3\text{ N} \]

对于 b 部分，

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.45)(1300)(9.8) =5.73\times10^3\text{ N} \]

对于 c 部分，

\[ 6.83\times10^3\text{ N}>5.73\times10^3\text{ N} \]

因此，没有足够的静摩擦力提供所需的向内力。汽车无法在不打滑的情况下沿指定的圆形路径行驶。

对于 d 部分，

\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]

所以

\[ v_{\max} =\sqrt{(0.45)(9.8)(55)} =\sqrt{242.55} =15.6\text{ m s}^{-1} \]

换算后约为

\[ 15.6\times3.6=56.1\text{ km h}^{-1} \]

对于 e 部分，增加乘客会令总质量增加，因此所需的向心力也会增加。不过，这同时会增加正向力，因而使可提供的最大静摩擦力以相同比例增加：

\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]

质量会被约去，所以在这个理想模型中，\(v_{\max}\) 不变。

很容易想到的错误推论是，较重的汽车需要更大的向心力，所以一定会更早打滑。这只考虑了比较中的一半。较重的汽车也具有按比例增加的最大摩擦力。

问题 3

一辆 \(1400\text{ kg}\) 的汽车沿半径为 \(80\text{ m}\) 的平坦圆形弯道行驶，在某一瞬间，其速率为 \(22\text{ m s}^{-1}\)。在该瞬间，汽车同时以 \(2.0\text{ m s}^{-2}\) 向前加速。

轮胎与路面之间的静摩擦系数为 \(0.75\)。

假设水平方向的轮胎-路面摩擦力同时提供径向加速度和切向加速度。

a. 求摩擦力的径向分量。
b. 求切向分量。
c. 计算总摩擦力的大小。
d. 判断轮胎能否在不打滑的情况下提供这个力。
e. 解释为甚么在这里说「汽车转弯时，摩擦力必须指向圆心」并不完整。

解答 3

所需的总摩擦力约为 \(8.92\times10^3\text{ N}\)，低于 \(1.03\times10^4\text{ N}\) 的最大值，因此根据此模型，汽车可以一边沿弯道行驶，一边加速。

对于 a 部分，

\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{22^2}{80} =6.05\text{ m s}^{-2} \]

因此，

\[ f_r=ma_r =(1400)(6.05) =8470\text{ N} \]

方向指向圆心。

对于 b 部分，

\[ f_t=ma_t =(1400)(2.0) =2800\text{ N} \]

方向向前。

两个分量互相垂直，所以对于 c 部分，

\[ f_s =\sqrt{f_r^2+f_t^2} =\sqrt{8470^2+2800^2} \approx8.92\times10^3\text{ N} \]

对于 d 部分，最大静摩擦力为

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.75)(1400)(9.8) =1.029\times10^4\text{ N} \]

由于

\[ 8.92\times10^3\text{ N}<1.029\times10^4\text{ N} \]

所以可以提供所需的摩擦力。

对于 e 部分，只有当摩擦力不需要负责任何切向作用时，它才会正好指向圆心。在这里，摩擦力的一个分量使汽车转弯，而另一个分量使汽车向前加速。因此，摩擦力的合力会斜向指在向内与向前两个方向之间。

很容易采取的错误做法，是只检查径向力 \(8470\text{ N}\) 是否小于摩擦力极限。这忽略了向前的摩擦力分量。这个极限适用于轮胎-路面总摩擦力的大小。

问题 4

一辆汽车沿半径为 \(60\text{ m}\) 的平坦圆形弯道行驶时正在煞车。其切向减速度大小为 \(3.0\text{ m s}^{-2}\)，静摩擦系数为 \(0.70\)。

假设轮胎-路面摩擦力同时提供煞车力和向内力。

当汽车以 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的减速度煞车时，能够维持这个半径的最大瞬时速率是多少？

将你的结果与汽车以恒定速率沿同一弯道行驶时的最大速率比较。

解答 4

以 \(3.0\text{ m s}^{-2}\) 的减速度煞车时，最大瞬时速率约为 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)，低于恒定速率时约 \(20.3\text{ m s}^{-1}\) 的极限。

静摩擦力能提供的最大总加速度为

\[ a_{\text{摩擦，最大}}=\mu_sg =(0.70)(9.8) =6.86\text{ m s}^{-2} \]

其中一部分摩擦力额度已经用于切向煞车：

\[ a_t=3.0\text{ m s}^{-2} \]

径向加速度与切向加速度互相垂直，因此在极限条件下，

\[ \sqrt{a_r^2+a_t^2}=6.86 \]

因此，

\[ a_r =\sqrt{6.86^2-3.0^2} =\sqrt{47.06-9.00} =6.17\text{ m s}^{-2} \]

对于圆周运动，

\[ a_r=\frac{v^2}{r} \]

所以

\[ \frac{v^2}{60}=6.17 \]

以及

\[ v=\sqrt{(6.17)(60)} =19.2\text{ m s}^{-1} \]

对于恒定速率过弯，不需要切向摩擦力，因此

\[ v_{\max} =\sqrt{\mu_sgr} =\sqrt{(0.70)(9.8)(60)} =20.3\text{ m s}^{-1} \]

因此，煞车使最大瞬时过弯速率由约 \(20.3\text{ m s}^{-1}\) 降至 \(19.2\text{ m s}^{-1}\)。

一个容易想到的论点是，煞车会使汽车的速率下降，所以一定会自动令汽车更安全。最终，较低的速率确实会减少所需的径向加速度。但在所考虑的这个瞬间，煞车本身也需要轮胎摩擦力。因此，一部分可用抓地力必须用于向后，而不能全部用于向内。

问题 5

一辆 \(1000\text{ kg}\) 的汽车正在半径为 \(50\text{ m}\) 的平坦圆形测试跑道上行驶。其轮胎与路面之间的静摩擦系数为 \(0.60\)。

汽车最初正好以不打滑情况下所能达到的最大恒定速率行驶。

在这一瞬间，考虑以下两个可能的实验：

• 在实验 A 中，驾驶使用车轮煞车，因此需要一个 \(500\text{ N}\) 向后的轮胎-路面摩擦力分量。
• 在实验 B 中，不使用车轮煞车。取而代之的是，一个安装在汽车上的空气动力阻力装置透过与空气的相互作用产生 \(500\text{ N}\) 向后的力。

在两个实验中，汽车都必须在最初的瞬间继续沿相同的圆形半径行驶。

哪一个实验可以在不超过轮胎-路面静摩擦力极限的情况下满足上述条件？请仔细解释。假设空气动力装置不会改变正向力或摩擦系数。

解答 5

在最初的瞬间，实验 B 可以满足上述条件；实验 A 则不可以。关键在于，静摩擦力极限限制的是轮胎-路面摩擦力，而不是汽车所受所有水平力合起来的大小。

一开始，汽车正以最大恒定过弯速率行驶，因此轮胎已经在向内方向使用了全部可用的静摩擦力。

最大轮胎-路面静摩擦力为

\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.60)(1000)(9.8) =5880\text{ N} \]

由于汽车一开始正处于恒定速率过弯的极限，

\[ f_r=5880\text{ N} \]

方向向内。

在实验 A 中，轮胎还需要提供一个 \(500\text{ N}\) 向后的摩擦力分量。

因此，所需的轮胎-路面总摩擦力为

\[ f_s =\sqrt{5880^2+500^2} \approx5901\text{ N} \]

但是

\[ 5901\text{ N}>5880\text{ N} \]

所以在假设的静摩擦力极限内，轮胎无法同时提供这两个分量。

汽车无法在该瞬间既维持指定的半径，又透过轮胎取得那个 \(500\text{ N}\) 的煞车力分量。

实验 B 则不同。这个 \(500\text{ N}\) 的向后力来自空气动力装置与空气之间的相互作用，而不是轮胎-路面摩擦力。

因此，在最初瞬间，轮胎仍然只需要提供 \(5880\text{ N}\) 的向内力：

\[ f_s=5880\text{ N} \]

这正好等于静摩擦力极限，所以在理想模型中，这个条件是可能的。独立的空气动力力会使汽车产生向后的切向加速度。

片刻之后，汽车的速率会稍微降低。如果它继续沿相同半径行驶，那么所需的向内力

\[ \frac{mv^2}{r} \]

也会变小，因此轮胎不再需要把全部摩擦力容量都用于过弯。

一个容易采取的错误做法，是计算 \(5880\text{ N}\) 的向内力与 \(500\text{ N}\) 的空气动力之合力，然后把这个总力与 \(\mu_smg\) 比较。这会错误地把 \(\mu_smg\) 当成汽车总水平力的上限。

它并不是。它是轮胎-路面静摩擦力的上限。

这个区别就是圆周运动受力问题背后更深层的规则：首先找出所需的加速度，再判断哪些真实的相互作用可以提供各个力的分量。在平坦、恒定速率的弯道上，所有向内作用都由摩擦力提供。在有倾斜角度的弯道上，正向力也可以对指向圆心的力作出贡献，这会彻底改变抓地力的计算方式。