प्रक्षेपण ऊँचाई से प्रक्षेप्य गति: HSC Physics गाइड

एक गेंद को दो परीक्षणों में समान कोण पर \(20\text{ m s}^{-1}\) की चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। पहले परीक्षण में, वह उसी ऊँचाई पर गिरती है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था। दूसरे परीक्षण में, वह उस जमीन पर गिरती है जो \(15\text{ m}\) नीचे है।

क्या आप अपेक्षा करेंगे कि क्षैतिज परास समान होगी क्योंकि प्रक्षेपण वेग नहीं बदला है? आगे पढ़ने से पहले अनुमान लगाइए।

दूसरी गेंद अधिक दूरी तय करती है। उसकी क्षैतिज गति तेज नहीं हुई है। उसके पास क्षैतिज दिशा में चलने के लिए बस अधिक समय है, क्योंकि अपने अवतरण स्तर तक पहुँचने से पहले उसे अधिक नीचे गिरना पड़ता है।

अब स्थिति को उलट दीजिए। मान लीजिए अवतरण प्लेटफ़ॉर्म प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर है। प्रक्षेप्य उस ऊँचाई तक दो बार पहुँच सकता है-एक बार ऊपर जाते समय और एक बार नीचे आते समय। या हो सकता है कि वह वहाँ कभी पहुँचे ही नहीं।

प्रक्षेप्य गति में इसी ऊँचाई-अंतर को हमें सावधानी से संभालना होता है।

01समीकरण “ऊँचाई” नहीं, विस्थापन को महत्व देता है

सबसे साफ़ तरीका आमतौर पर प्रक्षेपण बिंदु को \(y=0\) मानना है।

फिर अवतरण बिंदु को उसके ऊर्ध्वाधर विस्थापन से व्यक्त करें,

\[ \Delta y=y_f-y_i \]

जहाँ \(y_i\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर स्थिति है और \(y_f\) अंतिम ऊर्ध्वाधर स्थिति है।

यदि प्रक्षेपण बिंदु हमारा मूलबिंदु है, तो \(y_i=0\), इसलिए \(\Delta y\) केवल प्रक्षेपण बिंदु के सापेक्ष अवतरण स्थिति है।

पहली पंक्ति में ऋण चिह्न वैकल्पिक नहीं है। यह दर्शाता है कि प्रक्षेप्य अपनी शुरुआती स्थिति से नीचे समाप्त होता है।

एक सामान्य गलती यह है कि “\(12\text{ m}\) की चट्टान” देखकर सीधे \(+12\text{ m}\) रख दिया जाए। \(12\text{ m}\) की संख्या एक दूरी है। यदि ऊपर की दिशा को धनात्मक चुना गया है, तो ऊर्ध्वाधर विस्थापन \(-12\text{ m}\) होगा।

02क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति को अलग रखें

प्रक्षेप्य गति की कल्पना ऐसे करें जैसे एक ही समय-मोहर के साथ दो वीडियो चल रहे हों।

एक वीडियो क्षैतिज गति दिखाता है। दूसरा ऊर्ध्वाधर गति। दोनों में अलग-अलग प्रकार की गति होती है, लेकिन दोनों के लिए समय \(t\) समान होना चाहिए।

यह कुछ ऐसा है जैसे समूह-असाइनमेंट में दो लोग अलग-अलग हिस्से कर रहे हों, लेकिन दोनों की अंतिम समय-सीमा एक ही हो। ऐसा नहीं हो सकता कि क्षैतिज गति चुपचाप \(2.0\text{ s}\) ले और ऊर्ध्वाधर गति \(3.0\text{ s}\)। प्रक्षेप्य केवल एक है, इसलिए बीता हुआ समय भी केवल एक ही है।

मानक HSC प्रक्षेप्य मॉडल में:

\[ a_x=0 \]

और

\[ a_y=-g \]

जहाँ \(a_x\) और \(a_y\) क्रमशः क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर त्वरण हैं, और \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) पृथ्वी की सतह के पास गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण है।

इस मॉडल में माना जाता है कि वायु प्रतिरोध नगण्य है। यदि वायु प्रतिरोध महत्वपूर्ण हो, तो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ इतनी साफ़-साफ़ स्वतंत्र नहीं रहतीं, क्योंकि ड्रैग बल प्रक्षेप्य के वेग पर निर्भर करता है।

पुनरावृत्ति: प्रक्षेपण वेग के अवयव निकालना

यदि प्रक्षेप्य को क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर \(u\) चाल से प्रक्षेपित किया जाता है,

\[ u_x=u\cos\theta \]

और

\[ u_y=u\sin\theta \]

जहाँ \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग है और \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है।

यदि यह चरण अभी भी बहुत अधिक मानसिक प्रयास माँग रहा है, तो आगे बढ़ने से पहले प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के अवयव दोहरा लें। जब ये अवयव निकालना सहज लगने लगे, तो यहाँ की बाकी बातें बहुत आसान हो जाती हैं।

समय \(t\) के बाद क्षैतिज स्थिति है

\[ \Delta x=u_x t \]

क्योंकि क्षैतिज त्वरण शून्य है।

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

क्योंकि ऊर्ध्वाधर त्वरण \(-g\) है।

महत्वपूर्ण बात यह है कि असमान अवतरण स्तर \(\Delta y\) को बदलता है। इससे समय बदलता है, और बदला हुआ समय फिर क्षैतिज दूरी को बदल देता है।

03जब अवतरण ऊँचाई अलग हो, तब उड़ान-समय निकालना

शुरुआत करें

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

से, और इसे पुनर्व्यवस्थित करें:

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+\Delta y=0 \]

यह \(t\) के संदर्भ में एक द्विघात समीकरण है। द्विघात सूत्र लगाने पर मिलता है

\[ t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g} \]

यह विशेष रूप इस मान्यता पर आधारित है कि ऊपर की दिशा धनात्मक है और इसलिए \(a_y=-g\)। चिह्नों को आँख बंद करके याद करने से बेहतर है यह समझना कि समीकरण आया कहाँ से है।

वर्गमूल के भीतर का व्यंजक,

\[ u_y^2-2g\Delta y \]

हमें भौतिक रूप से भी उपयोगी जानकारी देता है।

प्रक्षेपण बिंदु से नीचे अवतरण

यदि \(\Delta y<0\), तो

\[ -2g\Delta y>0 \]

इसलिए वर्गमूल वाला पद \(|u_y|\) से बड़ा होता है।

जब \(t=0\) प्रक्षेपण का क्षण है, तब इससे एक धनात्मक समय और एक ऋणात्मक समय मिलता है। धनात्मक मान भविष्य के टकराव को दर्शाता है। ऋणात्मक मान उस परवलय के गणितीय विस्तार से संबंधित है जो प्रक्षेप्य के छोड़े जाने से पहले का है, इसलिए हम उसे अस्वीकार करते हैं।

इसलिए नीचे का अवतरण स्तर प्रक्षेप्य को अतिरिक्त उड़ान-समय देता है।

समान स्तर पर अवतरण

यदि \(\Delta y=0\),

\[ t=\frac{u_y\pm u_y}{g} \]

ऊपर की ओर प्रक्षेपण के लिए।

दो हल हैं

\[ t=0 \]

और

\[ t=\frac{2u_y}{g} \]

पहला स्वयं प्रक्षेपण का क्षण है। दूसरा प्रक्षेपण ऊँचाई पर वापसी का समय है।

प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर अवतरण

इस स्थिति में थोड़ा अधिक विचार करना पड़ता है।

मान लीजिए \(\Delta y>0\)। कुछ भी हल करने से पहले पूछें: क्या प्रक्षेप्य उस स्तर तक पहुँचने जितना ऊपर उठता है?

अधिकतम ऊँचाई पर ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है। समीकरण

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

में \(v_y=0\) और \(a_y=-g\) रखने पर,

\[ 0=u_y^2-2g\Delta y_{\max} \]

अतः

\[ \Delta y_{\max}=\frac{u_y^2}{2g} \]

ऊपर की ओर प्रक्षेपण के लिए:

• यदि आवश्यक \(\Delta y\), \(\Delta y_{\max}\) से अधिक है, तो प्रक्षेप्य उस स्तर तक कभी नहीं पहुँचता;
• यदि वह \(\Delta y_{\max}\) के बराबर है, तो प्रक्षेप्य उस स्तर को केवल एक बार, सबसे ऊपर, छूता है;
• यदि वह इससे कम है, तो प्रक्षेप्य सामान्यतः उस ऊँचाई से दो बार गुजरता है: एक बार ऊपर जाते समय और एक बार नीचे आते समय।

यही वह अंतिम स्थिति है जिसमें बिना सोचे किसी एक द्विघात मूल को चुन लेना समस्या पैदा करता है।

04दो धनात्मक समय दोनों ही गणितीय रूप से सही हो सकते हैं

मान लीजिए एक प्रक्षेप्य को किसी ऊँचे प्लेटफ़ॉर्म के नीचे से प्रक्षेपित किया जाता है।

एक विद्यार्थी को \(t\) के दो धनात्मक उत्तर मिलते हैं और वह मान लेता है कि द्विघात समीकरण में कुछ गड़बड़ हो गई है।

ऐसा नहीं है।

एक प्रक्षेप्य एक ही ऊँचाई से दो बार गुजर सकता है।

कल्पना कीजिए कि आप गेंद को दूसरी मंज़िल की खिड़की के पास से ऊपर फेंकते हैं। वह ऊपर जाते समय खिड़की के पास से एक बार गुजरती है, उससे ऊपर चली जाती है, फिर नीचे आते समय उसी खिड़की के पास से दोबारा गुजरती है। ऊँचाई समान है, समय अलग-अलग हैं।

समीकरण जानता है कि प्रक्षेप्य उस ऊँचाई पर कब है। वह यह नहीं जानता कि वास्तविक प्लेटफ़ॉर्म कहाँ से शुरू होता है, कितना चौड़ा है, या वहाँ कोई ठोस वस्तु है भी या नहीं।

यह ज्यामिति प्रश्न से आनी चाहिए।

05सबसे आकर्षक गलतियाँ

पाँचवीं पंक्ति सूक्ष्म है। अधिकांश HSC प्रक्षेपण प्रश्नों में \(t=0\) स्पष्ट रूप से प्रक्षेपण का क्षण होता है, इसलिए ऋणात्मक समय मॉडल की जा रही भौतिक गति से बाहर होता है। लेकिन यह नियम इस बात पर निर्भर करता है कि घड़ी कहाँ से शुरू की गई है। नीचे दिया गया प्रश्न 5 ठीक इसी बिंदु की जाँच करता है।

06असमान अवतरण ऊँचाइयों के लिए एक विश्वसनीय विधि

किसी ऐसे प्रक्षेप्य के लिए जो अपने प्रक्षेपण स्तर से ऊपर या नीचे उतरता है, इस क्रम में काम करें:

1. एक मूलबिंदु और चिह्न परंपरा चुनें। ऊपर को धनात्मक लेना आमतौर पर सबसे आसान है।
2. प्रक्षेपण वेग को \(u_x\) और \(u_y\) में विभाजित करें।
3. वास्तविक ऊर्ध्वाधर विस्थापन, \(\Delta y=y_f-y_i\), की गणना करें।
4. यदि अवतरण स्तर प्रक्षेपण बिंदु से ऊपर है, तो जाँचें कि उस ऊँचाई तक पहुँचना संभव है या नहीं।
5. ऊर्ध्वाधर समीकरण से \(t\) निकालें।
6. मूलों को यांत्रिक ढंग से अस्वीकार करने के बजाय प्रत्येक मूल की भौतिक स्थिति के आधार पर व्याख्या करें।
7. उपयुक्त समय को \(\Delta x=u_x t\) में उपयोग करें।
8. यदि टकराव वेग चाहिए, तो \(v_y=u_y-gt\) की गणना करें और इसे अपरिवर्तित \(v_x=u_x\) के साथ संयोजित करें।

यही समान और असमान अवतरणों के लिए प्रक्षेप्य का उड़ान-समय का मुख्य विचार भी है: पहले ऊर्ध्वाधर गति सही करें, क्योंकि क्षैतिज गति सही समय की प्रतीक्षा कर रही होती है।

07प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक गेंद \(12.0\text{ m}\) ऊँची चट्टान के किनारे से \(8.00\text{ m s}^{-1}\) की चाल से क्षैतिज रूप से लुढ़ककर बाहर निकलती है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात करें:

a. जमीन तक पहुँचने में लगा समय
b. तय की गई क्षैतिज दूरी।

समाधान 1

गेंद \(1.56\text{ s}\) तक हवा में रहती है और क्षैतिज रूप से \(12.5\text{ m}\) चलती है।

आकर्षक गलती यह है कि \(12.0\text{ m}\) को धनात्मक ऊर्ध्वाधर विस्थापन मान लिया जाए। ऊपर को धनात्मक लेने पर जमीन प्रक्षेपण बिंदु से नीचे है, इसलिए

\[ \Delta y=-12.0\text{ m} \]

गेंद को क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया गया है, इसलिए

\[ u_y=0 \]

पहले ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} \Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\ -12.0&=0-4.90t^2\\ t^2&=\frac{12.0}{4.90}\\ t&=1.56\text{ s} \end{aligned} \]

केवल धनात्मक समय प्रासंगिक है क्योंकि \(t=0\) प्रक्षेपण का क्षण है।

क्षैतिज दिशा में,

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_x t\\ &=(8.00)(1.56)\\ &=12.5\text{ m} \end{aligned} \]

इसलिए \(12.0\text{ m}\) की गिरावट यह निर्धारित करती है कि प्रक्षेप्य कितनी देर हवा में रहता है, जबकि \(8.00\text{ m s}^{-1}\) का क्षैतिज वेग यह निर्धारित करता है कि उस समय में वह कितनी दूर चलता है।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य को \(18.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(35.0^\circ\) ऊपर, समतल जमीन से \(8.00\text{ m}\) ऊँचे किनारे से प्रक्षेपित किया जाता है।

ज्ञात करें:

a. टकराव तक का समय
b. तय की गई क्षैतिज दूरी
c. टकराव से ठीक पहले उसके वेग का परिमाण और दिशा।

समाधान 2

प्रक्षेप्य \(2.71\text{ s}\) बाद जमीन से टकराता है, प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज रूप से \(40.0\text{ m}\) दूर, और उसकी चाल \(21.9\text{ m s}^{-1}\) होती है, दिशा क्षैतिज से \(47.7^\circ\) नीचे।

आकर्षक शॉर्टकट यह है कि गति को \(8.00\text{ m}\) की मुक्त-पतन गति मान लिया जाए। इससे यह तथ्य अनदेखा हो जाएगा कि प्रक्षेप्य पहले ऊपर जाता है और फिर प्रक्षेपण ऊँचाई से नीचे गिरता है।

पहले प्रारंभिक वेग के अवयव निकालें:

\[ \begin{aligned} u_x&=18.0\cos35.0^\circ\\ &=14.74\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=18.0\sin35.0^\circ\\ &=10.32\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

जमीन प्रक्षेपण बिंदु से नीचे है, इसलिए

\[ \Delta y=-8.00\text{ m} \]

ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} -8.00&=10.32t-4.90t^2\\ 4.90t^2-10.32t-8.00&=0 \end{aligned} \]

द्विघात सूत्र से एक धनात्मक और एक ऋणात्मक मान मिलता है। भविष्य का टकराव होता है

\[ t=2.71\text{ s} \]

पर।

इसलिए क्षैतिज विस्थापन है

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_xt\\ &=(14.74)(2.71)\\ &=40.0\text{ m} \end{aligned} \]

क्षैतिज वेग बना रहता है

\[ v_x=14.74\text{ m s}^{-1} \]

अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग है

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=10.32-(9.8)(2.71)\\ &=-16.23\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

ऋणात्मक चिह्न का अर्थ है कि प्रक्षेप्य नीचे की ओर चल रहा है।

उसकी अंतिम चाल है

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(14.74)^2+(16.23)^2}\\ &=21.9\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

दिशा के लिए,

\[ \tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x} \]

अतः

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{16.23}{14.74}\right)=47.7^\circ \]

इसलिए टकराव वेग \(21.9\text{ m s}^{-1}\) है, क्षैतिज से \(47.7^\circ\) नीचे।

प्रश्न 3

एक प्रक्षेप्य को \(y=0\) से \(16.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज से \(55.0^\circ\) ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है।

एक पतला क्षैतिज प्लेटफ़ॉर्म \(y=+5.00\text{ m}\) पर है और \(x=19.0\text{ m}\) से \(x=22.0\text{ m}\) तक फैला है। प्लेटफ़ॉर्म की मोटाई और किसी भी ऊर्ध्वाधर सामने वाले पृष्ठ की उपेक्षा करें।

क्या प्रक्षेप्य प्लेटफ़ॉर्म पर उतरता है? यदि हाँ, तो बताइए कि वह कहाँ उतरता है और उस समय ऊपर की ओर चल रहा है या नीचे की ओर।

समाधान 3

हाँ। प्रक्षेप्य \(x=20.3\text{ m}\) पर, प्रक्षेपण के लगभग \(2.21\text{ s}\) बाद, नीचे की ओर चलते हुए प्लेटफ़ॉर्म पर उतरता है।

आकर्षक तरीका यह है कि वह पहला धनात्मक समय निकाल लिया जाए जब प्रक्षेप्य \(5.00\text{ m}\) तक पहुँचता है, और वहीं रुक जाएँ। उत्तर बदलने वाली बाधा प्लेटफ़ॉर्म की क्षैतिज स्थिति है।

वेग के अवयव निकालें:

\[ \begin{aligned} u_x&=16.0\cos55.0^\circ\\ &=9.18\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=16.0\sin55.0^\circ\\ &=13.11\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

प्लेटफ़ॉर्म की ऊँचाई पर,

\[ \Delta y=+5.00\text{ m} \]

इसलिए

\[ 5.00=13.11t-4.90t^2 \]

या

\[ 4.90t^2-13.11t+5.00=0 \]

हल करने पर मिलता है

\[ t_1=0.461\text{ s} \]

और

\[ t_2=2.21\text{ s} \]

दोनों समय \(5.00\text{ m}\) स्तर को पार करने की भौतिक रूप से संभव घटनाएँ हैं।

अब जाँचें कि वे कहाँ होती हैं।

पहले पारगमन के लिए,

\[ \begin{aligned} x_1&=u_xt_1\\ &=(9.18)(0.461)\\ &=4.23\text{ m} \end{aligned} \]

वहाँ कोई प्लेटफ़ॉर्म नहीं है।

दूसरे पारगमन के लिए,

\[ \begin{aligned} x_2&=(9.18)(2.21)\\ &=20.3\text{ m} \end{aligned} \]

यह \(19.0\text{ m}\) से \(22.0\text{ m}\) तक के प्लेटफ़ॉर्म अंतराल के भीतर है।

गति की दिशा जाँचने के लिए,

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=13.11-(9.8)(2.21)\\ &=-8.59\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

इसलिए प्रक्षेप्य नीचे की ओर चल रहा है।

पहला धनात्मक मूल “गलत” नहीं था। वह गलत क्षैतिज स्थान पर घटने वाली एक वास्तविक घटना को दर्शाता था। ज्यामिति दूसरे पारगमन को अवतरण के रूप में चुनती है।

प्रश्न 4

एक लक्ष्य प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज रूप से \(30.0\text{ m}\) दूर और उससे \(5.00\text{ m}\) नीचे है। प्रक्षेप्य को ठीक \(20.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से प्रक्षेपित करना है।

\(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच वे सभी प्रक्षेपण कोण ज्ञात करें जिनसे लक्ष्य पर प्रहार होता है।

फिर प्रत्येक प्रक्षेपपथ के लिए उड़ान-समय और टकराव चाल ज्ञात करें।

एक विद्यार्थी तर्क देता है कि अधिक खड़ी प्रक्षेपवक्र वाली गति में टकराव चाल अधिक होनी चाहिए क्योंकि गुरुत्व उस पर अधिक समय तक कार्य करता है। इस दावे का मूल्यांकन करें।

समाधान 4

दो प्रक्षेपण कोण हैं, लगभग \(12.3^\circ\) और \(68.2^\circ\)। उनके उड़ान-समय क्रमशः \(1.54\text{ s}\) और \(4.04\text{ s}\) हैं, लेकिन दोनों लक्ष्य से समान चाल, \(22.3\text{ m s}^{-1}\), से टकराते हैं।

विद्यार्थी का तर्क आकर्षक है क्योंकि अधिक खड़ी प्रक्षेपवक्र वाला प्रक्षेप्य हवा में बहुत अधिक समय बिताता है। छूटी हुई बाधा यह है कि उस अतिरिक्त समय का कुछ भाग वह ऊपर जाते हुए और चाल खोते हुए भी बिताता है। वायु प्रतिरोध न होने पर दोनों प्रक्षेप्य समान चाल से शुरू होते हैं और समान प्रक्षेपण स्तर से \(5.00\text{ m}\) नीचे समाप्त होते हैं।

प्रक्षेपण कोण को \(\theta\) मानें।

क्षैतिज दिशा में,

\[ 30.0=(20.0\cos\theta)t \]

अतः

\[ t=\frac{30.0}{20.0\cos\theta} \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ -5.00=(20.0\sin\theta)t-4.90t^2 \]

\(t\) का व्यंजक प्रतिस्थापित करें:

\[ -5.00 = 30.0\tan\theta - 11.025\sec^2\theta \]

संबंध

\[ \sec^2\theta=1+\tan^2\theta \]

का उपयोग करते हुए और

\[ T=\tan\theta \]

परिभाषित करने पर मिलता है

\[ -5.00=30.0T-11.025(1+T^2) \]

अतः

\[ 11.025T^2-30.0T+6.025=0 \]

द्विघात सूत्र से मिलता है

\[ T=0.2184 \]

या

\[ T=2.503 \]

इसलिए,

\[ \theta_1=\tan^{-1}(0.2184)=12.3^\circ \]

और

\[ \theta_2=\tan^{-1}(2.503)=68.2^\circ \]

निचली प्रक्षेपवक्र के लिए,

\[ \begin{aligned} t_1 &=\frac{30.0}{20.0\cos12.3^\circ}\\ &=1.54\text{ s} \end{aligned} \]

ऊँची प्रक्षेपवक्र के लिए,

\[ \begin{aligned} t_2 &=\frac{30.0}{20.0\cos68.2^\circ}\\ &=4.04\text{ s} \end{aligned} \]

उड़ान-समय बहुत अलग हैं।

अब दो लंबे अवयव-गणनाएँ किए बिना टकराव चालों की तुलना करें।

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

दोनों प्रक्षेपवक्रों के लिए,

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2} \]

और

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

इसलिए

\[ v_y^2=u_y^2+98.0 \]

कुल अंतिम चाल संतुष्ट करती है

\[ v^2=v_x^2+v_y^2 \]

इसलिए,

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2+98.0\\ &=u^2+98.0\\ &=(20.0)^2+98.0\\ &=498 \end{aligned} \]

अतः

\[ v=22.3\text{ m s}^{-1} \]

दोनों प्रक्षेपवक्रों के लिए।

टकराव दिशाएँ अलग हैं, लेकिन टकराव चाल समान है। आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल में ऊँची प्रक्षेपवक्र का अतिरिक्त उड़ान-समय अपने-आप अधिक अंतिम चाल उत्पन्न नहीं करता।

प्रश्न 5

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से प्रक्षेपित किया जाता है। बाद में, जब वह जमीन से \(5.00\text{ m}\) ऊपर एक सेंसर से ऊपर की ओर गुजर रहा होता है, उसके वेग के अवयव मापे जाते हैं:

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

और

\[ v_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

सेंसर उसी क्षण अपनी घड़ी को \(t=0\) और अपनी स्थिति को \(x=0,\ y=0\) निर्धारित करता है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात करें:

a. सेंसर की घड़ी के सापेक्ष वे सभी समय जब प्रक्षेप्य जमीन के स्तर पर होता है
b. सेंसर के सापेक्ष प्रत्येक जमीनी पारगमन की क्षैतिज स्थिति
c. प्रक्षेपण से अवतरण तक प्रक्षेप्य की कुल क्षैतिज परास।

एक विद्यार्थी को एक ऋणात्मक समय मिलता है और वह उसे तुरंत अस्वीकार कर देता है। क्या यहाँ यह तर्क मान्य है?

समाधान 5

जमीन को पार करने की घटनाएँ \(t=-0.482\text{ s}\) और \(t=2.12\text{ s}\) पर होती हैं। ऋणात्मक समय को अस्वीकार नहीं करना चाहिए: वह वास्तविक प्रक्षेपण को दर्शाता है, जो सेंसर द्वारा \(t=0\) चुने जाने से पहले हुआ था। जमीन से जमीन तक कुल परास \(31.2\text{ m}\) है।

यही महत्वपूर्ण मोड़ है: ऋणात्मक समय का अर्थ “अभौतिक” नहीं होता। इसका अर्थ है “जिस घटना को \(t=0\) नाम दिया गया, उससे पहले”। सामान्य प्रक्षेपण प्रश्नों में ये दोनों बातें अक्सर एक जैसी लगती हैं, क्योंकि घड़ी प्रक्षेपण के समय शुरू होती है। यहाँ जानबूझकर ऐसा नहीं है।

सेंसर के सापेक्ष जमीन है

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

\(t=0\) पर प्रक्षेप्य का ऊर्ध्वाधर वेग है

\[ u_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

इस नई समय-निर्देशांक प्रणाली के लिए।

ऊर्ध्वाधर गति समीकरण का उपयोग करें:

\[ \begin{aligned} -5.00&=8.00t-4.90t^2\\ 4.90t^2-8.00t-5.00&=0 \end{aligned} \]

द्विघात सूत्र से मिलता है

\[ t=\frac{8.00\pm\sqrt{(-8.00)^2-4(4.90)(-5.00)}}{9.80} \]

अतः

\[ t=-0.482\text{ s} \]

और

\[ t=2.12\text{ s} \]

दोनों मूल दी गई गति में वास्तव में घटने वाली घटनाओं का वर्णन करते हैं।

क्षैतिज वेग नियत है

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

क्योंकि कोई क्षैतिज त्वरण नहीं है।

इसलिए पहले वाला जमीनी पारगमन है

\[ \begin{aligned} x_{\text{launch}} &=(12.0)(-0.482)\\ &=-5.79\text{ m} \end{aligned} \]

सेंसर के सापेक्ष।

बाद वाला पारगमन है

\[ \begin{aligned} x_{\text{landing}} &=(12.0)(2.12)\\ &=25.4\text{ m} \end{aligned} \]

कुल क्षैतिज परास इन स्थितियों के अंतर के बराबर है:

\[ \begin{aligned} R &=25.4-(-5.79)\\ &=31.2\text{ m} \end{aligned} \]

आकर्षक नियम था “ऋणात्मक समय को त्याग दो”। सही नियम अधिक सटीक है: उन समयों को त्यागें जो मॉडल किए जा रहे भौतिक समय-अंतराल से बाहर हों।

क्योंकि सेंसर ने उड़ान के बीच में घड़ी को रीसेट किया था, इसलिए स्वयं प्रक्षेपण का समय वैध रूप से ऋणात्मक है।

08इससे आप आगे क्या कर सकते हैं

जब आप \(\Delta y\) को सही ढंग से संभाल सकते हैं और द्विघात मूलों की भौतिक व्याख्या कर सकते हैं, तो चट्टानों, गड्ढों, बालकनियों और ऊँचे प्लेटफ़ॉर्मों से प्रक्षेपित प्रक्षेप्यों को अलग-अलग प्रकार की समस्याएँ समझने की आवश्यकता नहीं रहती। वे सभी एक ही मॉडल हैं, केवल अंतिम निर्देशांक अलग हैं।

अगला उपयोगी कदम उस उड़ान-समय को परास, टकराव दिशा और अंतिम चाल से जोड़ना है। कठिन निर्णय हो जाने के बाद गणित आमतौर पर सीधा होता है: सही ऊर्ध्वाधर विस्थापन और सही समय की पहचान करना।