समतल वृत्ताकार मोड़ों पर कारें: घर्षण और अभिकेन्द्रीय बल
जानें कि समतल मोड़ पर स्थैतिक घर्षण कार को मोड़ने के लिए अभिकेन्द्रीय बल कैसे प्रदान करता है, और पकड़ की सीमा तथा अधिकतम चाल की गणना कैसे की जाती है।
कल्पना कीजिए कि एक कार समतल सड़क पर बाएँ मुड़ने वाले मोड़ में प्रवेश करती है। चालक स्टीयरिंग व्हील को बाएँ घुमाता है, लेकिन मान लीजिए कि सड़क अचानक पूरी तरह घर्षणरहित हो जाती है। तब क्या होगा?
एक आम अनुमान यह है कि कार फिर भी थोड़ा मुड़ेगी, क्योंकि पहिए बाईं ओर मुड़े हुए हैं। ऐसा नहीं होता। सड़क से कोई क्षैतिज बल न मिलने पर, कार लगभग उसी सीधी स्पर्शरेखा की दिशा में चलती रहती है जिस दिशा में वह पहले से चल रही थी।
इससे पता चलता है कि समतल सड़क पर कार को वास्तव में क्या मोड़ता है: केवल स्टीयरिंग व्हील नहीं, और न ही “अभिकेन्द्रीय बल” नाम का कोई रहस्यमय अतिरिक्त बल। सड़क घर्षण के माध्यम से टायरों पर पार्श्व दिशा में बल लगाती है। एक स्थिर समतल मोड़ पर यह घर्षण वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर होता है।
01कार को वास्तव में क्या मोड़ता है?
कार को ऊपर से देखने की कल्पना कीजिए। उसका वेग सड़क के साथ, वृत्त की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। एक क्षण बाद कार का वेग थोड़ी अलग दिशा में होता है।
वेग में परिवर्तन के लिए त्वरण आवश्यक है। वृत्तीय गति में यह त्वरण वृत्त के केंद्र की ओर होता है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,
\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]
जहाँ:
- \(a_c\) अभिकेन्द्रीय त्वरण है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-2}\) है,
- \(v\) चाल है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-1}\) है, और
- \(r\) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है, मीटर में।
यदि आपको यह दोहराने की आवश्यकता है कि कार की चाल स्थिर होने पर भी यह त्वरण भीतर की ओर क्यों होता है, तो अभिकेन्द्रीय त्वरण: HSC Physics में यह भीतर की ओर क्यों होता है देखें।
इसके बाद न्यूटन का दूसरा नियम बताता है कि एक परिणामी बल भीतर की ओर होना चाहिए:
\[ F_{\text{net,inward}}=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]
लेकिन यह समीकरण किसी नए बल का नाम नहीं बताता। यह केवल यह बताता है कि परिणामी भीतर की ओर बल का परिमाण कितना होना चाहिए।
तो इसे कौन-सा वास्तविक बल प्रदान करता है?
समतल मोड़ पर स्थिर चाल से चलती कार के लिए, यह टायरों और सड़क के बीच का स्थैतिक घर्षण है।
\[ f_s=\frac{mv^2}{r} \]
यही इस पूरे विषय का केंद्रीय विचार है।
02घर्षण स्थैतिक क्यों है?
पहली बार सुनने पर यह गलत लग सकता है। कार चल रही है, तो क्या घर्षण गतिज नहीं होना चाहिए?
लुढ़कते हुए टायर और सड़क के संपर्क को ध्यान से देखिए। यदि टायर बिना फिसले लुढ़कता है, तो सड़क को छूने वाला रबर का छोटा-सा हिस्सा उस क्षण सड़क के सापेक्ष विराम में होता है।
उस संपर्क बिंदु पर फिसलन नहीं होती। इसलिए घर्षण स्थैतिक होता है।
स्थैतिक घर्षण का अर्थ केवल यह नहीं है कि “वस्तु स्थिर है”। इसका अर्थ है कि जहाँ दोनों सतहें एक-दूसरे को छूती हैं, वहाँ वे एक-दूसरे पर फिसल नहीं रही हैं।
यह एक और आम गलती भी स्पष्ट करता है: घर्षण हमेशा कार के वेग के विपरीत दिशा में नहीं होता।
स्थिर मोड़ पर कार आगे चलती है, जबकि स्थैतिक घर्षण पार्श्व दिशा में, मोड़ के केंद्र की ओर कार्य करता है। घर्षण टायर की सड़क के सापेक्ष फिसलने की प्रवृत्ति का विरोध कर रहा है, न कि स्वतः कार की समग्र गति का।
एक उपयोगी उदाहरण है-कल्पना कीजिए कि एक शॉपिंग ट्रॉली किसी बेहद फिसलन भरे सुपरमार्केट के फर्श पर है। आप उसके पहियों को किसी भी दिशा में मोड़ सकते हैं, लेकिन यदि फर्श से पर्याप्त पार्श्व पकड़ न मिले, तो ट्रॉली आज्ञाकारी ढंग से उसी दिशा में नहीं चलेगी जिस ओर पहिए मुड़े हैं। स्टीयरिंग यह तय करता है कि टायर सड़क के साथ किस प्रकार अंतःक्रिया करेंगे। वास्तव में गति को बदलने वाला टायर और सड़क के बीच का बल है।
इस उपमा की सीमाएँ हैं। वास्तविक टायर विकृत होता है, उसका संपर्क क्षेत्र जटिल होता है, और उसकी पकड़ को किसी सरल कठोर-पहिया मॉडल से पूरी तरह व्यक्त नहीं किया जा सकता। फिर भी HSC Physics के लिए पार्श्व टायर बल को स्थैतिक घर्षण के रूप में मॉडल करना एक उपयोगी सन्निकटन है।
03घर्षण का एक अधिकतम मान होता है, कोई निश्चित मान नहीं
इस विषय में शायद सबसे महत्वपूर्ण समीकरण-संबंधी गलती यह है:
\[ f_s=\mu_sN \]
सामान्यतः सही नहीं है।
सही संबंध है
\[ f_s\leq \mu_sN \]
जहाँ:
- \(f_s\) वास्तविक स्थैतिक घर्षण बल है,
- \(\mu_s\) स्थैतिक घर्षण गुणांक है, और
- \(N\) अभिलंब बल है।
स्थैतिक घर्षण आवश्यकतानुसार अपना मान बदलता है, लेकिन केवल एक अधिकतम सीमा तक।
एक ऐसी कार के बारे में सोचिए जो बहुत बड़े मोड़ पर धीरे-धीरे चल रही है। उसे टायरों की पूरी उपलब्ध पकड़ की आवश्यकता नहीं होती। घर्षण केवल अपेक्षाकृत छोटा भीतर की ओर बल देता है जिसकी आवश्यकता होती है।
जैसे-जैसे कार अधिक तेज चलती है, आवश्यक घर्षण बढ़ता है। अंततः टायर अपने अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण तक पहुँच सकते हैं।
यही वह बिंदु है जहाँ सरल बिना-फिसलन मॉडल अपनी सीमा तक पहुँच जाता है।
04समतल मोड़ पर अधिकतम चाल ज्ञात करना
समतल सड़क पर कार का कोई ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं होता। उसके ऊर्ध्वाधर बल संतुलित होते हैं:
\[ N=mg \]
जहाँ \(m\) कार का द्रव्यमान है और \(g\) गुरुत्वीय क्षेत्र की तीव्रता है, जिसका मान पृथ्वी की सतह के पास लगभग \(9.8\text{ m s}^{-2}\) है।
इसलिए उपलब्ध अधिकतम स्थैतिक घर्षण है
\[ f_{s,\max}=\mu_smg \]
आवश्यक भीतर की ओर बल है
\[ f_{\text{required}}=\frac{mv^2}{r} \]
टायरों के न फिसलने के लिए,
\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]
\(m\) को निरस्त करें:
\[ \frac{v^2}{r}\leq\mu_sg \]
बिना फिसले संभव अधिकतम चाल पर,
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
यह समीकरण कैलकुलेटर इस्तेमाल करने से पहले ही कई उपयोगी पूर्वानुमान देता है।
| परिवर्तन | आदर्श HSC मॉडल में प्रभाव |
|---|---|
| \(v\) बढ़ाएँ | आवश्यक घर्षण \(v^2\) के अनुसार बढ़ता है |
| \(r\) बढ़ाएँ | आवश्यक घर्षण घटता है |
| \(\mu_s\) बढ़ाएँ | अधिक पकड़ उपलब्ध होती है |
| \(m\) बढ़ाएँ | आवश्यक घर्षण और अधिकतम घर्षण दोनों समान अनुपात में बढ़ते हैं |
| \(\mu_s\) को दोगुना करें | \(v_{\max}\) में \(\sqrt{2}\) गुना वृद्धि होती है, 2 गुना नहीं |
| \(r\) को दोगुना करें | \(v_{\max}\) में \(\sqrt{2}\) गुना वृद्धि होती है |
द्रव्यमान से जुड़ा परिणाम कुछ अजीब लग सकता है। इस सरल मॉडल में केवल अधिक भारी होने के कारण किसी भारी कार की अधिकतम मोड़ने की चाल कम नहीं होती।
भारी कार को अधिक अभिकेन्द्रीय बल चाहिए, लेकिन अधिक अभिलंब बल अधिकतम उपलब्ध घर्षण को भी उसी अनुपात में बढ़ा देता है। द्रव्यमान निरस्त हो जाता है।
वास्तविक टायर इस सरल घर्षण मॉडल से अधिक जटिल होते हैं, इसलिए इस HSC परिणाम को वास्तविक वाहन अभियांत्रिकी के बारे में सार्वभौमिक दावा न मानें।
हल किया हुआ उदाहरण: क्या इस कार के पास पर्याप्त पकड़ है?
एक \(1200\text{ kg}\) कार \(50\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल वृत्ताकार मोड़ पर \(14\text{ m s}^{-1}\) की चाल से चलती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.55\) है। आवश्यक घर्षण बल ज्ञात कीजिए और निर्धारित कीजिए कि क्या कार बिना फिसले मोड़ पर चल सकती है।
चरण 1
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{14^2}{50} =3.92\text{ m s}^{-2} \]
इसलिए कार को \(3.92\text{ m s}^{-2}\) का भीतर की ओर त्वरण चाहिए।
चरण 2
\[ f_s=ma_c =(1200)(3.92) =4704\text{ N} \]
इसलिए टायरों को केंद्र की ओर \(4.70\times10^3\text{ N}\) का स्थैतिक घर्षण देना होगा।
चरण 3
क्योंकि सड़क समतल है,
\[ N=mg \]
इसलिए
\[ f_{s,\max}=\mu_smg =(0.55)(1200)(9.8) =6468\text{ N} \]
चरण 4
\[ 4704\text{ N}<6468\text{ N} \]
आवश्यक घर्षण अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण से कम है, इसलिए इस मॉडल के अनुसार कार बिना फिसले मोड़ पर चल सकती है।
महत्वपूर्ण बात यह है कि वास्तविक घर्षण \(4704\text{ N}\) है, \(6468\text{ N}\) नहीं। बड़ा मान केवल वह अधिकतम घर्षण है जो स्थैतिक घर्षण विफल होने से पहले सड़क प्रदान कर सकती है।
हल किया हुआ उदाहरण: गीले मोड़ पर अधिकतम चाल ज्ञात करें
एक समतल मोड़ की त्रिज्या \(75\text{ m}\) है। सूखी सड़क पर स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.80\) है, लेकिन सड़क गीली होने पर यह घटकर \(0.36\) हो जाता है। दोनों स्थितियों में बिना फिसले अधिकतम चाल ज्ञात करें।
चरण 1
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
चरण 2
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.80)(9.8)(75)} =\sqrt{588} =24.2\text{ m s}^{-1} \]
इसे किलोमीटर प्रति घंटा में बदलने पर,
\[ 24.2\times3.6=87.3\text{ km h}^{-1} \]
चरण 3
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.36)(9.8)(75)} =\sqrt{264.6} =16.3\text{ m s}^{-1} \]
अतः,
\[ 16.3\times3.6=58.6\text{ km h}^{-1} \]
मॉडल सूखी सड़क पर लगभग \(87\text{ km h}^{-1}\) और गीली सड़क पर लगभग \(59\text{ km h}^{-1}\) की अधिकतम चाल का पूर्वानुमान देता है।
ध्यान दें कि घर्षण गुणांक \(0.80\) से घटकर \(0.36\) हो गया, यानी \(55\%\) की कमी हुई, लेकिन अधिकतम चाल में \(55\%\) की कमी नहीं हुई। चाल \(\mu_s\) के वर्गमूल पर निर्भर करती है।
05कोई अलग “अभिकेन्द्रीय बल” नहीं होता
मान लीजिए आप कार के लिए एक बल आरेख बनाते हैं और उसमें ये तीर दिखाते हैं:
- भार नीचे की ओर,
- अभिलंब बल ऊपर की ओर,
- घर्षण भीतर की ओर, और
- “अभिकेन्द्रीय बल” भीतर की ओर।
आपने भीतर की ओर बल को दो बार गिन लिया है।
“अभिकेन्द्रीय” यह बताता है कि परिणामी बल क्या कर रहा है। यह सामान्यतः किसी अतिरिक्त भौतिक अंतःक्रिया का नाम नहीं है।
इस समतल, स्थिर-चाल वाले मोड़ के लिए,
\[ F_{\text{centripetal}}=f_s \]
यही तर्क अन्य वृत्तीय-गति समस्याओं पर भी लागू होता है, लेकिन वास्तविक बल बदल सकता है। किसी कक्षा में गुरुत्वाकर्षण अभिकेन्द्रीय बल प्रदान कर सकता है। डोरी पर वृत्त में घूमती गेंद के लिए तनाव यह बल प्रदान कर सकता है।
हमेशा उपयोगी प्रश्न है:
कौन-सा वास्तविक बल, या वास्तविक बलों का कौन-सा संयोजन, केंद्र की ओर है?
इस दृष्टिकोण को अभिकेन्द्रीय बल: HSC Physics में वास्तविक बल की पहचान कैसे करें में आगे विकसित किया गया है।
06यदि आवश्यक घर्षण बहुत अधिक हो तो क्या होता है?
मान लीजिए
\[ \frac{mv^2}{r}>\mu_smg \]
सड़क आवश्यक स्थैतिक घर्षण प्रदान नहीं कर सकती।
यह कहना आकर्षक लग सकता है, “कार पर बाहर की ओर बल लगता है और वह बाहर की ओर धकेली जाती है।” यह सही मॉडल नहीं है।
समस्या पर्याप्त भीतर की ओर बल की कमी है।
कार का जड़त्व उसे लगभग अपनी मौजूदा स्पर्शरेखीय दिशा में आगे बढ़ते रहने की प्रवृत्ति देता है, जबकि सड़क उसके वेग को पर्याप्त तेजी से भीतर की ओर मोड़ने में विफल रहती है। इसलिए घुमावदार सड़क के सापेक्ष कार मोड़ के बाहरी हिस्से की ओर चली जाती है।
जड़त्वीय संदर्भ तंत्र में किसी वास्तविक बाहर की ओर बल की कल्पना करने की आवश्यकता नहीं है।
जब टायर वास्तव में फिसलने लगते हैं, तब स्थिति भी बदल जाती है। स्थैतिक घर्षण अब टायर-सड़क अंतःक्रिया का उसी तरह वर्णन नहीं करता, और आप स्वतः यह मान नहीं सकते कि कार उसी मूल त्रिज्या पर घूमती रहेगी। केवल \(\mu_s\) को गतिज घर्षण गुणांक से बदलकर
\[ \frac{mv^2}{r}=\mu mg \]
लिख देना और यह मान लेना कि वही वृत्ताकार पथ जारी रहेगा, भौतिक रूप से भ्रामक परिणाम दे सकता है।
07यदि कार साथ-साथ तेज या धीमी भी हो रही हो तो क्या होगा?
अब तक कार स्थिर चाल से मोड़ पर चल रही थी। इससे घर्षण का काम सरल रहता है: उसे केवल भीतर की ओर घटक देना होता है।
लेकिन मान लीजिए चालक मोड़ लेते समय कार को तेज करता है।
घर्षण बल की दिशा का अनुमान लगाइए। क्या उसे अभी भी ठीक केंद्र की ओर ही होना चाहिए?
नहीं।
यदि चाल बढ़ाने के लिए चालित टायरों को आगे की ओर घर्षण घटक चाहिए, और मोड़ने के लिए भीतर की ओर घटक भी चाहिए, तो कुल टायर-सड़क घर्षण बल आगे और भीतर की दिशाओं के बीच कहीं होता है।
इसी प्रकार, मोड़ते समय ब्रेक लगाने के लिए पीछे की ओर घर्षण घटक के साथ-साथ भीतर की ओर घटक भी आवश्यक हो सकता है।
सरल मॉडल में, यदि \(f_r\) घर्षण का त्रिज्यीय घटक है और \(f_t\) स्पर्शरेखीय घटक है, तो कुल घर्षण का परिमाण है
\[ f_s=\sqrt{f_r^2+f_t^2} \]
और इसे यह शर्त पूरी करनी चाहिए:
\[ \sqrt{f_r^2+f_t^2}\leq\mu_sN \]
समतल सड़क के लिए, पूरे समीकरण को \(m\) से भाग देने पर त्वरण के रूप में एक सुविधाजनक समीकरण मिलता है:
\[ \sqrt{\left(\frac{v^2}{r}\right)^2+a_t^2}\leq\mu_sg \]
जहाँ \(a_t\) स्पर्शरेखीय त्वरण है।
इससे एक महत्वपूर्ण विचार सामने आता है: टायर की पकड़ साझा होती है।
यदि टायर पहले ही कार को मोड़ने के लिए अपनी लगभग पूरी उपलब्ध घर्षण क्षमता का उपयोग कर रहे हैं, तो तेज ब्रेक लगाने या त्वरण के लिए बहुत कम घर्षण बचता है।
वास्तविक टायरों का व्यवहार इस सुव्यवस्थित वृत्ताकार “घर्षण बजट” से अधिक जटिल होता है, विशेष रूप से टायर के विकृत होने और भार स्थानांतरण के कारण। लेकिन यह मॉडल HSC की मुख्य भौतिकी को अच्छी तरह दर्शाता है: टायर-सड़क घर्षण बल एक ही परिणामी बल है, न कि पार्श्व और आगे की दिशाओं के लिए अलग-अलग असीमित घर्षण स्रोत।
08चार गलतियाँ जिन्हें पहचानना उपयोगी है
“घर्षण \(\mu N\) के बराबर होता है।”
केवल सीमांत मान पर। फिसलने से पहले स्थैतिक घर्षण \(f_{s,\max}=\mu_sN\) तक आवश्यकतानुसार समायोजित होता है।“घर्षण हमेशा कार की गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है।”
स्थैतिक घर्षण टायर-सड़क संपर्क पर सापेक्ष फिसलन का विरोध करता है। स्थिर मोड़ पर यह पार्श्व दिशा में कार्य करता है, जबकि कार आगे चलती है।“अभिकेन्द्रीय बल एक अतिरिक्त भीतर की ओर बल है।”
नहीं। इस समतल मोड़ पर आवश्यक अभिकेन्द्रीय परिणामी बल प्रदान करने वाला वास्तविक बल स्थैतिक घर्षण है।“फिसलती हुई कार बाहर की ओर धकेली जाती है।”
जड़त्वीय संदर्भ तंत्र में मुख्य समस्या अपर्याप्त भीतर की ओर बल है। कार सड़क जितनी तीव्रता से मुड़ती है, उतनी तीव्रता से अपना पथ नहीं मोड़ पाती।
09प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक \(1000\text{ kg}\) कार \(90\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल वृत्ताकार मोड़ पर \(18\text{ m s}^{-1}\) की स्थिर चाल से चलती है।
गणना कीजिए:
a. कार का अभिकेन्द्रीय त्वरण, और
b. कार पर कार्य करने वाला घर्षण बल।
घर्षण बल की दिशा भी बताइए।
समाधान 1
अभिकेन्द्रीय त्वरण \(3.60\text{ m s}^{-2}\) है, और सड़क को मोड़ के केंद्र की ओर \(3.60\times10^3\text{ N}\) का घर्षण बल लगाना होगा।
भाग a के लिए,
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{18^2}{90} =\frac{324}{90} =3.60\text{ m s}^{-2} \]
भाग b के लिए,
\[ f_s=ma_c =(1000)(3.60) =3600\text{ N} \]
अतः,
\[ f_s=3.60\times10^3\text{ N} \]
और इसकी दिशा क्षैतिज रूप से वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर है।
एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि \(3600\text{ N}\) को “अभिकेन्द्रीय बल” कहा जाए और फिर घर्षण को एक अलग अतिरिक्त बल मान लिया जाए। यहाँ घर्षण ही वह भौतिक बल है जो आवश्यक अभिकेन्द्रीय परिणामी बल प्रदान करता है।
प्रश्न 2
एक \(1300\text{ kg}\) कार \(55\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल मोड़ की ओर बढ़ती है। टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.45\) है।
कार बिना ब्रेक लगाए या गति बढ़ाए \(17\text{ m s}^{-1}\) की चाल से मोड़ में प्रवेश करती है।
a. वृत्ताकार पथ बनाए रखने के लिए आवश्यक भीतर की ओर घर्षण बल की गणना कीजिए।
b. अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण की गणना कीजिए।
c. निर्धारित कीजिए कि क्या कार बिना फिसले मोड़ पर चल सकती है।
d. मॉडल द्वारा अनुमानित अधिकतम चाल ज्ञात कीजिए।
e. एक \(100\text{ kg}\) यात्री कार में बैठ जाता है। समझाइए कि इस आदर्श मॉडल में क्या इससे अधिकतम चाल बदलती है।
समाधान 2
कार \(17\text{ m s}^{-1}\) की चाल पर \(55\text{ m}\) त्रिज्या बनाए नहीं रख सकती; मॉडल लगभग \(15.6\text{ m s}^{-1}\) की अधिकतम चाल देता है, और आदर्श मॉडल में यात्री जोड़ने से यह सीमांत चाल नहीं बदलती।
भाग a के लिए, आवश्यक अभिकेन्द्रीय त्वरण है
\[ a_c=\frac{v^2}{r} =\frac{17^2}{55} =5.25\text{ m s}^{-2} \]
इसलिए आवश्यक घर्षण है
\[ f_{\text{required}} =ma_c =(1300)(5.25) \approx6.83\times10^3\text{ N} \]
भाग b के लिए,
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.45)(1300)(9.8) =5.73\times10^3\text{ N} \]
भाग c के लिए,
\[ 6.83\times10^3\text{ N}>5.73\times10^3\text{ N} \]
इसलिए आवश्यक भीतर की ओर बल देने के लिए पर्याप्त स्थैतिक घर्षण उपलब्ध नहीं है। कार बिना फिसले दिए गए वृत्ताकार पथ का अनुसरण नहीं कर सकती।
भाग d के लिए,
\[ v_{\max}=\sqrt{\mu_sgr} \]
इसलिए
\[ v_{\max} =\sqrt{(0.45)(9.8)(55)} =\sqrt{242.55} =15.6\text{ m s}^{-1} \]
जो लगभग
\[ 15.6\times3.6=56.1\text{ km h}^{-1} \]
है।
भाग e के लिए, यात्री जोड़ने से आवश्यक अभिकेन्द्रीय बल बढ़ता है क्योंकि कुल द्रव्यमान बढ़ता है। लेकिन इससे अभिलंब बल भी बढ़ता है और इसलिए अधिकतम उपलब्ध स्थैतिक घर्षण भी उसी अनुपात में बढ़ता है:
\[ \frac{mv^2}{r}\leq\mu_smg \]
द्रव्यमान निरस्त हो जाता है, इसलिए इस आदर्श मॉडल में \(v_{\max}\) अपरिवर्तित रहता है।
एक आकर्षक लेकिन अधूरा तर्क यह है कि भारी कार को अधिक अभिकेन्द्रीय बल चाहिए, इसलिए वह जल्दी फिसलेगी। यह तुलना का केवल आधा हिस्सा देखता है। भारी कार के लिए अधिकतम घर्षण बल भी समान अनुपात में अधिक होता है।
प्रश्न 3
एक \(1400\text{ kg}\) कार \(80\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल वृत्ताकार मोड़ पर ऐसे क्षण में चल रही है जब उसकी चाल \(22\text{ m s}^{-1}\) है। उसी क्षण वह आगे की ओर \(2.0\text{ m s}^{-2}\) से भी त्वरित हो रही है।
टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.75\) है।
मान लीजिए कि क्षैतिज टायर-सड़क घर्षण बल त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय दोनों त्वरण प्रदान करता है।
a. घर्षण बल का त्रिज्यीय घटक ज्ञात कीजिए।
b. स्पर्शरेखीय घटक ज्ञात कीजिए।
c. कुल घर्षण बल का परिमाण गणना कीजिए।
d. निर्धारित कीजिए कि क्या टायर बिना फिसले यह बल प्रदान कर सकते हैं।
e. समझाइए कि यहाँ “मोड़ पर घर्षण को केंद्र की ओर होना चाहिए” कहना अधूरा क्यों है।
समाधान 3
आवश्यक कुल घर्षण लगभग \(8.92\times10^3\text{ N}\) है, जो \(1.03\times10^4\text{ N}\) के अधिकतम मान से कम है, इसलिए इस मॉडल के अनुसार कार तेज होते हुए भी मोड़ का अनुसरण कर सकती है।
भाग a के लिए,
\[ a_r=\frac{v^2}{r} =\frac{22^2}{80} =6.05\text{ m s}^{-2} \]
अतः,
\[ f_r=ma_r =(1400)(6.05) =8470\text{ N} \]
केंद्र की ओर।
भाग b के लिए,
\[ f_t=ma_t =(1400)(2.0) =2800\text{ N} \]
आगे की ओर।
दोनों घटक एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए भाग c के लिए,
\[ f_s =\sqrt{f_r^2+f_t^2} =\sqrt{8470^2+2800^2} \approx8.92\times10^3\text{ N} \]
भाग d के लिए, अधिकतम स्थैतिक घर्षण है
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.75)(1400)(9.8) =1.029\times10^4\text{ N} \]
चूँकि
\[ 8.92\times10^3\text{ N}<1.029\times10^4\text{ N} \]
इसलिए आवश्यक घर्षण उपलब्ध है।
भाग e के लिए, घर्षण ठीक केंद्र की ओर केवल तभी होता है जब उसे कोई स्पर्शरेखीय कार्य न करना हो। यहाँ घर्षण का एक घटक कार को मोड़ता है, जबकि दूसरा उसे आगे की ओर त्वरित करता है। इसलिए परिणामी घर्षण भीतर और आगे की दिशाओं के बीच तिरछा होता है।
एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका केवल यह जाँचना है कि त्रिज्यीय बल \(8470\text{ N}\) घर्षण सीमा से कम है या नहीं। इससे आगे की ओर घर्षण घटक की अनदेखी हो जाती है। सीमा कुल टायर-सड़क घर्षण बल के परिमाण पर लागू होती है।
प्रश्न 4
एक कार \(60\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल वृत्ताकार मोड़ पर चलते हुए ब्रेक लगा रही है। उसके स्पर्शरेखीय मंदन का परिमाण \(3.0\text{ m s}^{-2}\) है, और स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.70\) है।
मान लीजिए कि टायर-सड़क घर्षण बल ही ब्रेकिंग बल और भीतर की ओर बल दोनों प्रदान करता है।
\(3.0\text{ m s}^{-2}\) से ब्रेक लगाते हुए कार कितनी अधिकतम तात्कालिक चाल पर यह त्रिज्या बनाए रख सकती है?
अपने परिणाम की तुलना उस अधिकतम चाल से कीजिए जो कार उसी मोड़ पर स्थिर चाल से चलते समय प्राप्त कर सकती है।
समाधान 4
\(3.0\text{ m s}^{-2}\) से ब्रेक लगाते समय अधिकतम तात्कालिक चाल लगभग \(19.2\text{ m s}^{-1}\) है, जो स्थिर-चाल सीमा लगभग \(20.3\text{ m s}^{-1}\) से कम है।
स्थैतिक घर्षण द्वारा प्रदान किया जा सकने वाला अधिकतम कुल त्वरण है
\[ a_{\text{friction,max}}=\mu_sg =(0.70)(9.8) =6.86\text{ m s}^{-2} \]
इस घर्षण बजट का एक भाग पहले ही स्पर्शरेखीय ब्रेकिंग के लिए उपयोग हो रहा है:
\[ a_t=3.0\text{ m s}^{-2} \]
त्रिज्यीय और स्पर्शरेखीय त्वरण एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए सीमांत स्थिति पर,
\[ \sqrt{a_r^2+a_t^2}=6.86 \]
अतः,
\[ a_r =\sqrt{6.86^2-3.0^2} =\sqrt{47.06-9.00} =6.17\text{ m s}^{-2} \]
वृत्तीय गति के लिए,
\[ a_r=\frac{v^2}{r} \]
इसलिए
\[ \frac{v^2}{60}=6.17 \]
और
\[ v=\sqrt{(6.17)(60)} =19.2\text{ m s}^{-1} \]
स्थिर-चाल मोड़ के लिए किसी स्पर्शरेखीय घर्षण की आवश्यकता नहीं होती, इसलिए
\[ v_{\max} =\sqrt{\mu_sgr} =\sqrt{(0.70)(9.8)(60)} =20.3\text{ m s}^{-1} \]
अतः ब्रेक लगाने से अधिकतम तात्कालिक मोड़ने की चाल लगभग \(20.3\text{ m s}^{-1}\) से घटकर \(19.2\text{ m s}^{-1}\) हो जाती है।
आकर्षक तर्क यह है कि ब्रेक लगाने से कार स्वतः अधिक सुरक्षित हो जानी चाहिए, क्योंकि उसकी चाल कम हो रही है। अंततः कम चाल वास्तव में आवश्यक त्रिज्यीय त्वरण को घटाती है। लेकिन विचार किए गए उसी क्षण ब्रेक लगाने के लिए भी टायर घर्षण की आवश्यकता होती है। इसलिए उपलब्ध पकड़ का कुछ भाग भीतर की ओर लगने के बजाय पीछे की ओर लगना चाहिए।
प्रश्न 5
एक \(1000\text{ kg}\) कार \(50\text{ m}\) त्रिज्या वाले समतल वृत्ताकार परीक्षण ट्रैक पर चल रही है। उसके टायरों और सड़क के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक \(0.60\) है।
शुरुआत में कार ठीक उस अधिकतम स्थिर चाल पर चल रही है जो बिना फिसले संभव है।
इस क्षण दो संभावित प्रयोगों पर विचार किया जाता है:
- प्रयोग A में चालक पहियों के ब्रेक लगाता है, जिससे \(500\text{ N}\) का पीछे की ओर टायर-सड़क घर्षण घटक आवश्यक होगा।
- प्रयोग B में पहियों के ब्रेक का उपयोग नहीं किया जाता। इसके बजाय, कार से जुड़ा एक वायुगतिकीय प्रतिरोध उपकरण हवा के साथ अंतःक्रिया करके \(500\text{ N}\) का पीछे की ओर बल उत्पन्न करता है।
दोनों प्रयोगों में कार को प्रारंभिक क्षण पर उसी वृत्ताकार त्रिज्या का अनुसरण करते रहना आवश्यक है।
कौन-सा प्रयोग बताई गई शर्तों को टायर-सड़क स्थैतिक घर्षण सीमा से अधिक हुए बिना पूरा कर सकता है? सावधानी से समझाइए। मान लीजिए कि वायुगतिकीय उपकरण अभिलंब बल या घर्षण गुणांक को नहीं बदलता।
समाधान 5
प्रयोग B प्रारंभिक क्षण पर बताई गई शर्तों को पूरा कर सकता है; प्रयोग A नहीं कर सकता। मुख्य बात यह है कि स्थैतिक घर्षण सीमा टायर-सड़क घर्षण बल को सीमित करती है, कार पर लगने वाले सभी क्षैतिज बलों के कुल परिमाण को नहीं।
शुरुआत में कार अधिकतम स्थिर मोड़ने की चाल पर चल रही है, इसलिए उसके टायर पहले ही भीतर की ओर दिशा में पूरे उपलब्ध स्थैतिक घर्षण का उपयोग कर रहे हैं।
अधिकतम टायर-सड़क स्थैतिक घर्षण है
\[ f_{s,\max} =\mu_smg =(0.60)(1000)(9.8) =5880\text{ N} \]
क्योंकि कार शुरुआत में स्थिर-चाल मोड़ने की सीमा पर है,
\[ f_r=5880\text{ N} \]
भीतर की ओर।
प्रयोग A में टायरों को \(500\text{ N}\) का पीछे की ओर घर्षण घटक भी देना होगा।
इसलिए आवश्यक कुल टायर-सड़क घर्षण होगा
\[ f_s =\sqrt{5880^2+500^2} \approx5901\text{ N} \]
लेकिन
\[ 5901\text{ N}>5880\text{ N} \]
इसलिए टायर मानी गई स्थैतिक घर्षण सीमा के भीतर रहते हुए दोनों घटक प्रदान नहीं कर सकते।
कार उसी क्षण निर्धारित त्रिज्या बनाए रखते हुए टायरों के माध्यम से \(500\text{ N}\) का वह ब्रेकिंग घटक एक साथ प्राप्त नहीं कर सकती।
प्रयोग B अलग है। \(500\text{ N}\) का पीछे की ओर बल वायुगतिकीय उपकरण और हवा के बीच की अंतःक्रिया से आता है, टायर-सड़क घर्षण से नहीं।
इसलिए प्रारंभिक क्षण पर टायरों को अब भी केवल \(5880\text{ N}\) का भीतर की ओर बल देना होता है:
\[ f_s=5880\text{ N} \]
यह स्थैतिक घर्षण सीमा के ठीक बराबर है, इसलिए आदर्श मॉडल में यह स्थिति संभव है। अलग वायुगतिकीय बल कार को पीछे की ओर स्पर्शरेखीय त्वरण देता है।
एक क्षण बाद कार थोड़ी कम चाल से चल रही होगी। यदि वह उसी त्रिज्या पर चलती रहती है, तो उसका आवश्यक भीतर की ओर बल
\[ \frac{mv^2}{r} \]
तब कम होगा, इसलिए टायरों को मोड़ने के लिए अपनी पूरी घर्षण क्षमता की आवश्यकता नहीं रहेगी।
एक आकर्षक लेकिन गलत तरीका यह है कि \(5880\text{ N}\) के भीतर की ओर बल और \(500\text{ N}\) के वायुगतिकीय बल का परिणामी निकालकर उस कुल बल की तुलना \(\mu_smg\) से की जाए। इससे गलत रूप से यह माना जाएगा कि \(\mu_smg\) कार पर लगने वाले कुल क्षैतिज बल की सीमा है।
ऐसा नहीं है। यह टायर-सड़क स्थैतिक घर्षण बल की सीमा है।
यही अंतर वृत्तीय-गति वाले बल-प्रश्नों के पीछे का गहरा नियम है: पहले आवश्यक त्वरण की पहचान करें, फिर यह पहचानें कि कौन-सी वास्तविक अंतःक्रियाएँ बल के प्रत्येक घटक को प्रदान कर सकती हैं। समतल स्थिर-चाल वाले मोड़ पर भीतर की ओर पूरा कार्य घर्षण करता है। बैंक किए गए मोड़ पर अभिलंब बल भी केंद्र की ओर योगदान दे सकता है, जिससे पकड़ की पूरी गणना बदल जाती है।