발사 높이가 다른 발사체 운동: HSC 물리 가이드

공을 두 번의 실험에서 같은 각도로 \(20\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 발사한다. 첫 번째 실험에서는 공이 발사된 높이와 같은 높이에 떨어진다. 두 번째 실험에서는 공이 발사 지점보다 \(15\text{ m}\) 낮은 지면에 떨어진다.

발사 속도가 변하지 않았으므로 수평 사거리도 같을 것이라고 예상하는가? 계속 읽기 전에 먼저 예측해 보자.

두 번째 공이 더 멀리 이동한다. 수평 운동이 더 빨라진 것은 아니다. 단지 착지 높이에 도달하기 전에 더 많이 떨어져야 하므로 수평으로 이동할 시간이 더 많아진 것이다.

이제 상황을 반대로 생각해 보자. 착지 플랫폼이 발사점보다 위에 있다고 하자. 발사체는 그 높이에 상승하면서 한 번, 하강하면서 한 번, 총 두 번 도달할 수 있다. 또는 그 높이에 전혀 도달하지 못할 수도 있다.

발사체 운동에서 세심하게 다뤄야 하는 부분이 바로 이 높이 차이다.

01방정식에서 중요한 것은 “높이”가 아니라 변위다

가장 깔끔한 방법은 보통 발사점을 \(y=0\)으로 두는 것이다.

그런 다음 착지점을 수직 변위로 나타낸다.

\[ \Delta y=y_f-y_i \]

여기서 \(y_i\)는 초기 수직 위치이고 \(y_f\)는 최종 수직 위치이다.

발사점을 원점으로 잡으면 \(y_i=0\)이므로, \(\Delta y\)는 단순히 발사점을 기준으로 한 착지점의 위치가 된다.

첫 번째 행의 마이너스 부호는 선택 사항이 아니다. 발사체가 시작한 위치보다 아래에서 운동을 끝낸다는 사실을 나타낸다.

흔한 실수는 “\(12\text{ m}\) 높이의 절벽”이라는 말을 보고 자동으로 \(+12\text{ m}\)를 대입하는 것이다. \(12\text{ m}\)라는 값은 거리이다. 위쪽을 양의 방향으로 정했다면 수직 변위는 \(-12\text{ m}\)이다.

02수평 운동과 수직 운동은 따로 생각하자

발사체 운동을 같은 시간 표시를 공유하는 두 개의 영상이라고 생각해 보자.

한 영상은 수평 운동을 보여 주고, 다른 영상은 수직 운동을 보여 준다. 두 운동은 서로 다른 방식으로 진행되지만, 둘 다 같은 시간 \(t\)에 해당해야 한다.

마치 조별 과제에서 두 사람이 서로 다른 부분을 맡으면서도 하나의 마감일을 공유하는 것과 비슷하다. 수평 운동에서는 몰래 \(2.0\text{ s}\)가 흐르고 수직 운동에서는 \(3.0\text{ s}\)가 흐를 수는 없다. 발사체는 하나뿐이므로 경과 시간도 하나뿐이다.

표준 HSC 발사체 모형에서는

\[ a_x=0 \]

이고

\[ a_y=-g \]

이다. 여기서 \(a_x\)와 \(a_y\)는 각각 수평 가속도와 수직 가속도이며, \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)는 지표면 근처에서의 중력 가속도 크기이다.

이 모형은 공기 저항을 무시할 수 있다고 가정한다. 공기 저항이 상당하다면 항력이 발사체의 속도에 따라 달라지므로 수평 운동과 수직 운동을 더 이상 이렇게 깔끔하게 독립적으로 다룰 수 없다.

복습: 발사 속도 성분으로 분해하기

발사체를 수평선보다 \(\theta\)만큼 위쪽 각도로 속력 \(u\)로 발사하면,

\[ u_x=u\cos\theta \]

그리고

\[ u_y=u\sin\theta \]

이다. 여기서 \(u_x\)는 초기 수평 속도이고 \(u_y\)는 초기 수직 속도이다.

이 단계가 아직 너무 많은 생각을 필요로 한다면 계속 진행하기 전에 발사체의 초기 속도 성분을 복습하자. 이 성분 분해가 익숙해지면 여기서 다루는 모든 내용이 훨씬 쉬워진다.

시간 \(t\) 후의 수평 위치 변화는

\[ \Delta x=u_x t \]

이다. 수평 가속도가 0이기 때문이다.

수직 방향에서는

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

이다. 수직 가속도가 \(-g\)이기 때문이다.

중요한 점은 착지 높이가 발사 높이와 다르면 \(\Delta y\)가 달라진다는 것이다. 그러면 시간이 달라지고, 달라진 시간 때문에 수평 이동 거리도 달라진다.

03착지 높이가 다를 때 비행 시간 구하기

다음 식에서 시작하자.

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2 \]

정리하면

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+\Delta y=0 \]

이다.

이 식은 \(t\)에 대한 이차방정식이다. 근의 공식을 사용하면

\[ t=\frac{u_y\pm\sqrt{u_y^2-2g\Delta y}}{g} \]

를 얻는다.

이 형태는 위쪽을 양의 방향으로 잡았고 따라서 \(a_y=-g\)라고 가정한다. 부호를 무작정 외우는 것보다 이 식이 어디에서 나왔는지 이해하는 편이 더 안전하다.

제곱근 안의 식

\[ u_y^2-2g\Delta y \]

은 물리적으로도 유용한 정보를 알려 준다.

발사점보다 아래에 착지하는 경우

\(\Delta y<0\)이면

\[ -2g\Delta y>0 \]

이므로 제곱근 항은 \(|u_y|\)보다 커진다.

\(t=0\)을 발사 순간으로 정했을 때, 이 경우 하나의 양의 시간과 하나의 음의 시간이 나온다. 양의 값은 미래의 충돌을 나타낸다. 음의 값은 발사 이전까지 포물선을 수학적으로 연장했을 때의 시간에 해당하므로 제외한다.

따라서 더 낮은 높이에 착지하면 발사체의 비행 시간이 늘어난다.

발사점과 같은 높이에 착지하는 경우

\(\Delta y=0\)이면, 위쪽으로 발사한 경우

\[ t=\frac{u_y\pm u_y}{g} \]

이다.

두 해는

\[ t=0 \]

과

\[ t=\frac{2u_y}{g} \]

이다.

첫 번째 해는 발사 순간 자체이다. 두 번째 해는 다시 발사 높이로 돌아오는 순간이다.

발사점보다 위에 착지하는 경우

이 경우에는 좀 더 생각해야 한다.

\(\Delta y>0\)이라고 하자. 계산하기 전에 먼저 물어야 한다. 발사체가 그 높이에 도달할 만큼 충분히 높이 올라가는가?

최고점에서는 수직 속도가 0이다. 다음 식을 사용하자.

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

여기서 \(v_y=0\), \(a_y=-g\)를 대입하면

\[ 0=u_y^2-2g\Delta y_{\max} \]

따라서

\[ \Delta y_{\max}=\frac{u_y^2}{2g} \]

이다.

위쪽으로 발사한 경우:

• 필요한 \(\Delta y\)가 \(\Delta y_{\max}\)보다 크면 발사체는 그 높이에 도달하지 못한다.
• 필요한 \(\Delta y\)가 \(\Delta y_{\max}\)와 같으면 발사체는 최고점에서 그 높이에 한 번 도달한다.
• 필요한 \(\Delta y\)가 \(\Delta y_{\max}\)보다 작으면 발사체는 보통 그 높이를 두 번 지난다. 한 번은 상승할 때, 한 번은 하강할 때이다.

마지막 경우가 바로 이차방정식의 한 근을 무작정 선택하면 문제가 생기는 상황이다.

04두 개의 양의 시간이 모두 수학적으로 옳을 수 있다

발사체가 높은 플랫폼보다 아래에서 발사된다고 하자.

학생이 \(t\)에 대해 두 개의 양의 답을 얻고는 이차방정식 풀이가 어딘가 잘못되었다고 생각한다.

그렇지 않다.

발사체는 같은 높이를 두 번 지날 수 있다.

공을 2층 창문보다 높게 던지는 상황을 상상해 보자. 공은 올라가는 동안 창문을 한 번 지나고, 그 위로 올라가 보이지 않게 된 뒤, 내려오면서 같은 창문을 다시 지나간다. 높이는 같지만 시간은 다르다.

방정식은 발사체가 언제 그 높이에 있는지를 알려 준다. 하지만 실제 플랫폼이 어디에서 시작되는지, 폭이 얼마나 되는지, 또는 그 위치에 실제로 고체 물체가 있는지는 알지 못한다.

그 기하학적 정보는 문제에서 얻어야 한다.

05가장 빠지기 쉬운 실수

다섯 번째 행은 미묘하다. 대부분의 HSC 발사 문제에서는 \(t=0\)이 명확히 발사 순간이므로 음의 시간은 모형으로 다루는 실제 운동 범위 밖에 있다. 하지만 이 규칙은 시계를 언제 시작했는지에 달려 있다. 아래의 문제 5가 바로 이 점을 집중적으로 다룬다.

06착지 높이가 다를 때 사용할 수 있는 확실한 방법

발사체가 발사 높이보다 위나 아래에 착지한다면 다음 순서로 풀이한다.

1. 원점과 부호 규약을 정한다. 보통 위쪽을 양의 방향으로 잡는 것이 가장 쉽다.
2. 발사 속도를 \(u_x\)와 \(u_y\)로 분해한다.
3. 실제 수직 변위 \(\Delta y=y_f-y_i\)를 계산한다.
4. 착지 높이가 발사점보다 위라면 그 높이에 도달할 수 있는지 확인한다.
5. 수직 운동 방정식을 풀어 \(t\)를 구한다.
6. 근을 기계적으로 버리지 말고 실제 물리적 상황을 이용해 모든 근을 해석한다.
7. 적절한 시간을 \(\Delta x=u_x t\)에 사용한다.
8. 충돌 속도가 필요하면 \(v_y=u_y-gt\)를 계산하고, 변하지 않는 \(v_x=u_x\)와 결합한다.

이것은 같은 높이 및 서로 다른 높이에 착지하는 발사체의 비행 시간에서 다루는 핵심 개념이기도 하다. 먼저 수직 운동을 올바르게 처리해야 한다. 수평 운동은 정확한 시간이 정해지기를 기다리고 있기 때문이다.

07문제와 풀이

문제 1

공이 높이 \(12.0\text{ m}\)인 절벽 끝에서 \(8.00\text{ m s}^{-1}\)의 속도로 수평 방향으로 굴러 나간다. 공기 저항은 무시한다.

다음을 구하여라.

a. 지면에 도달하는 데 걸리는 시간
b. 수평 이동 거리.

풀이 1

공은 \(1.56\text{ s}\) 동안 공중에 있으며 수평으로 \(12.5\text{ m}\) 이동한다.

하기 쉬운 실수는 \(12.0\text{ m}\)를 양의 수직 변위로 사용하는 것이다. 위쪽을 양의 방향으로 잡으면 지면은 발사점보다 아래에 있으므로

\[ \Delta y=-12.0\text{ m} \]

이다.

공은 수평으로 발사되므로

\[ u_y=0 \]

이다.

먼저 수직 운동을 사용한다.

\[ \begin{aligned} \Delta y&=u_y t-\frac12gt^2\\ -12.0&=0-4.90t^2\\ t^2&=\frac{12.0}{4.90}\\ t&=1.56\text{ s} \end{aligned} \]

\(t=0\)이 발사 순간이므로 양의 시간만 관련이 있다.

수평 방향에서는

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_x t\\ &=(8.00)(1.56)\\ &=12.5\text{ m} \end{aligned} \]

이다.

따라서 \(12.0\text{ m}\)의 낙하 거리가 발사체가 얼마나 오래 공중에 있는지를 결정하고, \(8.00\text{ m s}^{-1}\)의 수평 속도가 그 시간 동안 얼마나 멀리 이동하는지를 결정한다.

문제 2

발사체를 지면보다 \(8.00\text{ m}\) 높은 절벽 가장자리에서 수평선보다 \(35.0^\circ\) 위쪽으로 \(18.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 발사한다.

다음을 구하여라.

a. 충돌할 때까지의 시간
b. 수평 이동 거리
c. 충돌 직전 속도의 크기와 방향.

풀이 2

발사체는 \(2.71\text{ s}\) 후 지면에 충돌하며, 발사점에서 수평으로 \(40.0\text{ m}\) 떨어진 곳에 도달한다. 충돌 속력은 \(21.9\text{ m s}^{-1}\)이고 방향은 수평선보다 \(47.7^\circ\) 아래쪽이다.

하기 쉬운 지름길은 이 운동을 \(8.00\text{ m}\) 자유 낙하로 취급하는 것이다. 그렇게 하면 발사체가 처음에는 위로 이동한 뒤 발사 높이를 지나 아래로 떨어진다는 사실을 무시하게 된다.

먼저 초기 속도를 성분으로 분해한다.

\[ \begin{aligned} u_x&=18.0\cos35.0^\circ\\ &=14.74\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=18.0\sin35.0^\circ\\ &=10.32\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

지면은 발사점보다 아래에 있으므로

\[ \Delta y=-8.00\text{ m} \]

이다.

수직 운동을 사용하면

\[ \begin{aligned} -8.00&=10.32t-4.90t^2\\ 4.90t^2-10.32t-8.00&=0 \end{aligned} \]

이다.

근의 공식을 사용하면 하나의 양의 값과 하나의 음의 값을 얻는다. 미래의 충돌은

\[ t=2.71\text{ s} \]

에서 일어난다.

따라서 수평 변위는

\[ \begin{aligned} \Delta x&=u_xt\\ &=(14.74)(2.71)\\ &=40.0\text{ m} \end{aligned} \]

이다.

수평 속도는 계속

\[ v_x=14.74\text{ m s}^{-1} \]

이다.

최종 수직 속도는

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=10.32-(9.8)(2.71)\\ &=-16.23\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

이다.

음의 부호는 발사체가 아래쪽으로 움직이고 있음을 뜻한다.

최종 속력은

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\ &=\sqrt{(14.74)^2+(16.23)^2}\\ &=21.9\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

이다.

방향에 대해서는

\[ \tan\phi=\frac{|v_y|}{v_x} \]

이므로

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{16.23}{14.74}\right)=47.7^\circ \]

이다.

따라서 충돌 속도는 \(21.9\text{ m s}^{-1}\), 수평선보다 \(47.7^\circ\) 아래쪽이다.

문제 3

발사체를 \(y=0\)에서 수평선보다 \(55.0^\circ\) 위쪽으로 \(16.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 발사한다.

얇은 수평 플랫폼의 표면은 \(y=+5.00\text{ m}\)에 있고, \(x=19.0\text{ m}\)부터 \(x=22.0\text{ m}\)까지 뻗어 있다. 플랫폼의 두께와 수직 앞면은 무시한다.

발사체가 플랫폼 위에 착지하는가? 착지한다면 어디에 착지하는지, 그리고 그때 위쪽으로 움직이는지 아래쪽으로 움직이는지 밝혀라.

풀이 3

그렇다. 발사체는 발사 후 약 \(2.21\text{ s}\)에 \(x=20.3\text{ m}\)에서 플랫폼에 착지하며, 이때 아래쪽으로 움직이고 있다.

하기 쉬운 접근은 발사체가 처음으로 \(5.00\text{ m}\) 높이에 도달하는 양의 시간을 구하고 거기서 끝내는 것이다. 답을 바꾸는 조건은 플랫폼의 수평 위치이다.

속도를 성분으로 분해한다.

\[ \begin{aligned} u_x&=16.0\cos55.0^\circ\\ &=9.18\text{ m s}^{-1} \\[4pt] u_y&=16.0\sin55.0^\circ\\ &=13.11\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

플랫폼 높이에서

\[ \Delta y=+5.00\text{ m} \]

이므로

\[ 5.00=13.11t-4.90t^2 \]

또는

\[ 4.90t^2-13.11t+5.00=0 \]

이다.

이를 풀면

\[ t_1=0.461\text{ s} \]

과

\[ t_2=2.21\text{ s} \]

를 얻는다.

두 시간 모두 발사체가 \(5.00\text{ m}\) 높이를 실제로 통과하는 물리적으로 가능한 순간이다.

이제 각각의 순간이 어디에서 일어나는지 확인한다.

첫 번째 교차점에서는

\[ \begin{aligned} x_1&=u_xt_1\\ &=(9.18)(0.461)\\ &=4.23\text{ m} \end{aligned} \]

이다.

그 위치에는 플랫폼이 없다.

두 번째 교차점에서는

\[ \begin{aligned} x_2&=(9.18)(2.21)\\ &=20.3\text{ m} \end{aligned} \]

이다.

이 값은 \(19.0\text{ m}\)에서 \(22.0\text{ m}\)까지인 플랫폼 구간 안에 있다.

운동 방향을 확인하려면

\[ \begin{aligned} v_y&=u_y-gt\\ &=13.11-(9.8)(2.21)\\ &=-8.59\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

이다.

따라서 발사체는 아래쪽으로 움직이고 있다.

첫 번째 양의 근이 “틀린” 것은 아니다. 실제 사건을 나타내지만 수평 위치가 맞지 않을 뿐이다. 기하학적 조건에 따라 두 번째 교차점이 착지 지점으로 선택된다.

문제 4

표적은 발사점에서 수평으로 \(30.0\text{ m}\) 떨어져 있고, 발사점보다 \(5.00\text{ m}\) 아래에 있다. 발사체는 정확히 \(20.0\text{ m s}^{-1}\)의 속력으로 발사해야 한다.

표적에 명중하는 \(0^\circ\)와 \(90^\circ\) 사이의 모든 발사각을 구하여라.

그런 다음 각 궤적의 비행 시간과 충돌 속력을 구하여라.

한 학생이 더 가파른 궤적은 중력이 더 오랫동안 작용하므로 더 큰 속력으로 충돌해야 한다고 주장한다. 이 주장을 평가하여라.

풀이 4

발사각은 두 개이며, 약 \(12.3^\circ\)와 \(68.2^\circ\)이다. 각각의 비행 시간은 \(1.54\text{ s}\)와 \(4.04\text{ s}\)이지만, 두 발사체 모두 \(22.3\text{ m s}^{-1}\)의 같은 속력으로 표적에 충돌한다.

학생의 주장은 더 가파른 발사체가 훨씬 더 오래 공중에 있기 때문에 그럴듯해 보인다. 하지만 빠진 조건은 그 추가 시간의 일부 동안 발사체가 위쪽으로 움직이며 속력을 잃는다는 점이다. 공기 저항이 없다면 두 발사체는 같은 속력으로 출발하고, 같은 발사 높이보다 \(5.00\text{ m}\) 아래에서 운동을 끝낸다.

발사각을 \(\theta\)라고 하자.

수평 방향에서는

\[ 30.0=(20.0\cos\theta)t \]

이므로

\[ t=\frac{30.0}{20.0\cos\theta} \]

이다.

수직 방향에서는

\[ -5.00=(20.0\sin\theta)t-4.90t^2 \]

이다.

\(t\)에 대한 식을 대입하면

\[ -5.00 = 30.0\tan\theta - 11.025\sec^2\theta \]

이다.

다음 항등식을 사용하고

\[ \sec^2\theta=1+\tan^2\theta \]

또한

\[ T=\tan\theta \]

라고 정의하면

\[ -5.00=30.0T-11.025(1+T^2) \]

를 얻는다.

따라서

\[ 11.025T^2-30.0T+6.025=0 \]

이다.

근의 공식을 사용하면

\[ T=0.2184 \]

또는

\[ T=2.503 \]

을 얻는다.

따라서

\[ \theta_1=\tan^{-1}(0.2184)=12.3^\circ \]

이고

\[ \theta_2=\tan^{-1}(2.503)=68.2^\circ \]

이다.

낮은 궤적의 경우

\[ \begin{aligned} t_1 &=\frac{30.0}{20.0\cos12.3^\circ}\\ &=1.54\text{ s} \end{aligned} \]

이다.

높은 궤적의 경우

\[ \begin{aligned} t_2 &=\frac{30.0}{20.0\cos68.2^\circ}\\ &=4.04\text{ s} \end{aligned} \]

이다.

비행 시간은 매우 다르다.

이제 두 번의 긴 성분 계산을 하지 않고 충돌 속력을 비교해 보자.

수직 방향에서는

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y \]

이다.

두 궤적 모두에서

\[ a_y=-9.8\text{ m s}^{-2} \]

이고

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

이므로

\[ v_y^2=u_y^2+98.0 \]

이다.

전체 최종 속력은

\[ v^2=v_x^2+v_y^2 \]

를 만족한다.

따라서

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2+98.0\\ &=u^2+98.0\\ &=(20.0)^2+98.0\\ &=498 \end{aligned} \]

이므로 두 궤적 모두

\[ v=22.3\text{ m s}^{-1} \]

이다.

충돌 방향은 다르지만 충돌 속력은 같다. 이상적인 발사체 모형에서는 높은 궤적의 비행 시간이 더 길다는 사실만으로 최종 속력이 더 커지지는 않는다.

문제 5

발사체를 평평한 지면에서 발사한다. 그 후 발사체가 상승하면서 지면에서 \(5.00\text{ m}\) 높이에 있는 센서를 통과할 때 속도 성분을 측정했더니

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

이고

\[ v_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

이다.

센서는 그 순간을 \(t=0\)으로 설정하고 자신의 위치를 \(x=0,\ y=0\)으로 설정한다.

공기 저항은 무시한다.

다음을 구하여라.

a. 센서의 시계를 기준으로 발사체가 지면 높이에 있는 모든 시간
b. 센서를 기준으로 한 각 지면 통과점의 수평 위치
c. 발사에서 착지까지 발사체의 전체 수평 사거리.

한 학생이 음의 시간 하나를 얻은 뒤 즉시 제외한다. 이 경우 그 판단은 타당한가?

풀이 5

지면을 통과하는 시간은 \(t=-0.482\text{ s}\)와 \(t=2.12\text{ s}\)이다. 음의 시간을 제외해서는 안 된다. 그것은 센서가 \(t=0\)을 설정하기 전에 실제로 일어난 발사를 나타낸다. 지면에서 지면까지의 전체 수평 사거리는 \(31.2\text{ m}\)이다.

여기서 중요한 핵심은 이것이다. 음의 시간은 “물리적으로 불가능하다”는 뜻이 아니다. “어떤 사건을 \(t=0\)이라고 정했든 그 사건보다 이전”이라는 뜻이다. 일반적인 발사 문제에서는 시계가 발사 순간에 시작되므로 두 의미가 보통 일치한다. 하지만 이 문제에서는 의도적으로 서로 다르게 설정되어 있다.

센서를 기준으로 지면은

\[ \Delta y=-5.00\text{ m} \]

에 있다.

\(t=0\)에서 발사체의 수직 속도는 이 새로운 시간 좌표계에서

\[ u_y=+8.00\text{ m s}^{-1} \]

이다.

수직 운동 방정식을 사용하면

\[ \begin{aligned} -5.00&=8.00t-4.90t^2\\ 4.90t^2-8.00t-5.00&=0 \end{aligned} \]

이다.

근의 공식을 사용하면

\[ t=\frac{8.00\pm\sqrt{(-8.00)^2-4(4.90)(-5.00)}}{9.80} \]

이므로

\[ t=-0.482\text{ s} \]

와

\[ t=2.12\text{ s} \]

를 얻는다.

두 근 모두 주어진 운동에서 실제로 일어나는 사건을 나타낸다.

수평 가속도가 없으므로 수평 속도는

\[ v_x=12.0\text{ m s}^{-1} \]

로 일정하다.

따라서 더 이른 지면 통과점은 센서를 기준으로

\[ \begin{aligned} x_{\text{launch}} &=(12.0)(-0.482)\\ &=-5.79\text{ m} \end{aligned} \]

에 있다.

더 나중의 통과점은

\[ \begin{aligned} x_{\text{landing}} &=(12.0)(2.12)\\ &=25.4\text{ m} \end{aligned} \]

에 있다.

전체 수평 사거리는 두 위치의 차이이다.

\[ \begin{aligned} R &=25.4-(-5.79)\\ &=31.2\text{ m} \end{aligned} \]

하기 쉬운 규칙은 “음의 시간은 버린다”였다. 더 정확한 규칙은 다음과 같다. 모형으로 다루는 실제 물리적 시간 구간 밖에 있는 시간만 제외한다.

센서가 비행 도중에 시계를 다시 0으로 설정했으므로 발사 순간이 음의 시간으로 나타나는 것은 올바르다.

08이제 무엇을 할 수 있는가

\(\Delta y\)를 올바르게 다루고 이차방정식의 근을 물리적으로 해석할 수 있게 되면, 절벽, 구덩이, 발코니, 높은 플랫폼에서 발사되는 발사체 문제는 더 이상 서로 다른 유형의 문제가 아니다. 모두 최종 좌표만 다른 동일한 모형이다.

다음으로 유용한 단계는 이 비행 시간을 사거리, 충돌 방향, 최종 속력과 연결하는 것이다. 더 어려운 판단, 즉 올바른 수직 변위와 올바른 시간을 찾는 일이 끝나면 수학 자체는 대개 간단하다.