HSC 물리에서 수직 벡터 성분 더하기
서로 수직인 벡터 성분을 합하고, 합성 벡터의 크기를 계산하며, 방향을 정확하게 나타내는 방법을 배웁니다. 풀이 예제와 HSC 유형 연습문제를 포함합니다.
동쪽으로 30 m 걷고, 그다음 북쪽으로 40 m 걷는다고 하자. 실제로 이동한 총 경로의 길이는 70 m이다. 그런데 친구가 출발점에서 도착점까지 곧장 걸어간다면, 친구는 얼마나 걷게 될까?
처음에는 70 m라고 예상하기 쉽다. 실제로 \(30 + 40 = 70\)이기 때문이다. 하지만 동쪽과 북쪽은 서로 다른 방향이므로, 이 거리들을 보통의 숫자처럼 그대로 더할 수는 없다. 출발점에서 도착점까지의 직선 변위는 50 m이다.
이 간단한 문제에는 수직 벡터 성분의 핵심 개념이 들어 있다. 각 방향의 성분을 따로 합한 다음, 그 성분들로 하나의 합성 벡터를 다시 구성한다.
01그림부터 생각하기
격자 위에서 움직인다고 생각해 보자.
- 동쪽으로 30 m 이동하면 동서 방향 위치만 변한다.
- 북쪽으로 40 m 이동하면 남북 방향 위치만 변한다.
- 최종 변위는 출발점에서 도착점을 향해 대각선 방향으로 향한다.
이 두 이동은 직각삼각형의 서로 수직인 두 변을 이룬다. 대각선은 합성 벡터이다.
두 성분이 서로 수직이므로, 피타고라스 정리를 사용하면 크기를 구할 수 있다.
\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]
여기서 \(R\)은 합성 변위의 크기이다.
50 m가 무엇을 뜻하는지 주의해야 한다. 이것은 걸어간 거리가 아니다. 실제로 이동한 경로의 길이는 여전히 70 m이다. 50 m는 출발점에서 도착점까지의 변위의 크기이다.
이 구분은 벡터가 변위, 속도, 가속도, 힘, 전기장 또는 크기와 방향을 모두 갖는 다른 물리량을 나타낼 때 중요하다.
02성분이 유용한 이유
대각선 방향의 벡터는 그대로 다루기 불편할 수 있다. 성분을 사용하면 벡터를 두 개의 더 간단한 부분으로 나눌 수 있다.
- \(x\)-성분: 보통 수평 방향
- \(y\)-성분: 보통 수직 방향
이 두 성분은 서로 수직이다.
어떤 벡터의 성분이 \(R_x\)와 \(R_y\)라고 하자. 그 벡터의 크기는
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
이다. 여기서:
- \(R\)은 합성 벡터의 크기
- \(R_x\)는 수평 성분
- \(R_y\)는 수직 성분
이다.
이 식을 사용할 수 있는 이유는 두 성분이 직각삼각형의 서로 수직인 두 변을 이루기 때문이다.
이 식은 갑자기 등장한 특별한 벡터 공식이 아니다. 단지 피타고라스 정리일 뿐이다.
03성분에는 부호가 필요하다
이제 한 단계 더 정확하게 표현해야 한다.
어떤 성분의 크기가 8 N이라고 말하는 것만으로는 충분하지 않다. 동쪽으로 작용하는 8 N의 힘과 서쪽으로 작용하는 8 N의 힘은 서로 다르다.
유용한 부호 규칙은 다음과 같다.
- 동쪽 또는 오른쪽: 양의 \(x\)
- 서쪽 또는 왼쪽: 음의 \(x\)
- 북쪽 또는 위쪽: 양의 \(y\)
- 남쪽 또는 아래쪽: 음의 \(y\)
따라서:
- 동쪽 6 m는 \(R_x = +6\text{ m}\)
- 서쪽 6 m는 \(R_x = -6\text{ m}\)
- 북쪽 4 m는 \(R_y = +4\text{ m}\)
- 남쪽 4 m는 \(R_y = -4\text{ m}\)
가 된다.
반대의 규칙을 선택해도 된다. 물리학에서는 어느 방향을 양의 방향으로 정하는지는 중요하지 않다. 중요한 것은 정한 규칙을 일관되게 사용하는 것이다.
이 때문에 벡터 성분은 두 개의 별도 은행 계좌에서 돈이 들어오고 나가는 것과 조금 비슷하게 작동한다. 동서 방향에 하나의 계좌가 있고, 남북 방향에 또 하나의 계좌가 있다고 생각할 수 있다. 서쪽 방향의 성분은 동쪽 방향의 성분을 상쇄할 수 있지만, 북쪽 방향의 성분을 직접 상쇄할 수는 없다.
물론 이 비유에는 한계가 있다. 성분은 방향을 가진 기하학적 물리량이지 실제 금융 거래가 아니다.
04같은 방향의 성분끼리 먼저 더하기
여러 벡터가 동시에 작용한다고 하자. 각 벡터의 크기를 먼저 구한 뒤 그 크기들을 바로 더해서는 안 된다.
대신 모든 \(x\)-성분을 먼저 더한다.
\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]
그다음 모든 \(y\)-성분을 더한다.
\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]
그 후에야 합성 벡터를 다시 구성한다.
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
이 식으로 크기를 구할 수 있다. 하지만 아직 방향도 구해야 한다.
05방향 다시 구하기
합성 벡터의 수평 성분과 수직 성분이 모두 양수라고 하자.
방향각 \(\theta\)를 양의 \(x\)-축으로부터 측정한다면,
\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]
이므로
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]
이다.
동쪽 30 m와 북쪽 40 m의 변위에 대해:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]
따라서 변위는
\[ 50\text{ m, 동쪽에서 북쪽으로 }53.1^\circ \]
이다.
동쪽에서 북쪽으로라는 표현은 중요하다. 먼저 동쪽을 바라본 뒤 북쪽을 향해 \(53.1^\circ\) 회전한다는 뜻이다.
반대로 북쪽을 기준으로 각도를 측정한다면,
\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]
이므로 같은 방향을 북쪽에서 동쪽으로 \(36.9^\circ\)라고 나타낼 수도 있다.
06계산기는 사분면을 알지 못한다
여기에는 흔한 함정이 있다.
다음과 같다고 하자.
\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]
음의 \(x\)-성분은 서쪽을 뜻한다. 양의 \(y\)-성분은 북쪽을 뜻한다. 계산기를 사용하기 전부터 합성 벡터가 북서쪽을 향한다는 것을 알 수 있다.
다음을 계산하면
\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]
벡터와 서쪽을 향하는 수평 방향 사이의 예각인 기준각을 얻는다. 올바른 사분면을 판단하려면 여전히 성분의 부호를 확인해야 한다.
다음 표를 활용하면 유용하다.
| \(R_x\) | \(R_y\) | 합성 벡터의 방향 |
|---|---|---|
| 양수 | 양수 | 북동쪽 |
| 음수 | 양수 | 북서쪽 |
| 음수 | 음수 | 남서쪽 |
| 양수 | 음수 | 남동쪽 |
수평 방향으로부터의 작은 각도를 구할 때는 성분의 크기를 사용하는 것이 가장 명확한 경우가 많다.
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]
그다음 부호를 이용해 방향을 정확히 나타낸다.
풀이 예제: 서로 수직인 두 변위 성분
연구용 로버가 동쪽으로 9.0 m, 북쪽으로 12.0 m 이동한다. 합성 변위의 크기와 방향을 구하여라.
1단계: 성분의 방향을 정한다.
동쪽을 양의 \(x\), 북쪽을 양의 \(y\)로 정하면:
\[ R_x = 9.0\text{ m}, \qquad R_y = 12.0\text{ m} \]
2단계: 피타고라스 정리로 크기를 구한다.
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(9.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{225} = 15.0\text{ m} \]
3단계: 동쪽을 기준으로 방향을 구한다.
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{9.0}\right) = 53.1^\circ \]
4단계: 완전한 벡터를 나타낸다.
합성 변위는
\[ \boxed{15.0\text{ m, 동쪽에서 북쪽으로 }53.1^\circ} \]
이다.
로버는 출발점에서 15.0 m 떨어진 곳에 있으며, 동쪽 방향 축에서 위쪽으로 \(53.1^\circ\)인 방향에 있다.
풀이 예제: 두 힘의 성분을 먼저 더하기
두 힘이 작은 물체에 작용한다. 힘 A의 성분은 수평 방향으로 \(+12\text{ N}\), 수직 방향으로 \(-5\text{ N}\)이다. 힘 B의 성분은 수평 방향으로 \(-4\text{ N}\), 수직 방향으로 \(+11\text{ N}\)이다. 알짜힘의 크기와 방향을 구하여라.
1단계: 수평 성분을 더한다.
\[ R_x = 12 + (-4) = 8\text{ N} \]
따라서 알짜 수평 성분은 동쪽으로 8 N이다.
2단계: 수직 성분을 더한다.
\[ R_y = -5 + 11 = 6\text{ N} \]
따라서 알짜 수직 성분은 북쪽으로 6 N이다.
3단계: 알짜힘의 크기를 구한다.
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ N} \]
4단계: 방향을 구한다.
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) = 36.9^\circ \]
두 알짜 성분이 모두 양수이므로 힘은 북동쪽 사분면에 있다.
따라서,
\[ \boxed{R = 10\text{ N, 동쪽에서 북쪽으로 }36.9^\circ} \]
이다.
가장 중요한 과정은 피타고라스 정리를 사용하기 전에 이루어졌다. 모든 수평 효과를 다른 수평 효과와 합하고, 모든 수직 효과를 다른 수직 효과와 합한 것이다.
07흔히 하기 쉬운 실수: 크기들을 더하기
10 N의 힘이 동쪽으로 작용하고, 또 다른 10 N의 힘이 북쪽으로 작용한다고 하자.
합성력의 크기는 얼마일까?
두 힘이 각각 10 N이므로 20 N이라고 예상할 수 있다. 그러나 이 답은 두 힘이 같은 방향을 향할 때에만 맞다.
서로 수직인 힘의 경우,
\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]
이다.
왜 20 N보다 작을까?
어느 힘도 합성 벡터의 방향으로 자신의 10 N 전체를 기여하지 않기 때문이다. 두 힘은 서로 다른 방향을 향한다.
이를 통해 크기의 범위에 대해서도 유용한 사실을 알 수 있다. 0이 아닌 서로 수직인 두 성분에 대해 합성 벡터의 크기는 반드시:
- 각 개별 성분보다 크고
- 두 성분의 크기를 더한 값보다 작다
10 N과 10 N의 성분이라면:
\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]
이다.
이 관계는 계산기 입력 오류를 빠르게 확인하는 방법이 된다.
08한 성분이 0이면 어떻게 될까?
\(R_x = 0\)일 때는 탄젠트 방법을 사용할 때 주의해야 한다.
다음과 같다고 하자.
\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]
수평 성분이 전혀 없다. 이 벡터는 단순히 남쪽을 향하며, 크기는 7 m/s이다.
다음을 계산하려고 할 필요는 없다.
\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]
성분만으로 이미 방향을 알 수 있기 때문이다.
더 흥미로운 특수한 경우도 있다.
\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]
그러면
\[ R = 0 \]
이다.
영벡터는 정의된 방향이 없다. 어느 방향을 가리키는 화살표 자체가 없기 때문이다.
이는 두 개 이상의 벡터가 정확히 상쇄될 때 중요하다.
09신뢰할 수 있는 방법
서로 수직인 성분을 합해야 할 때는 다음 순서를 사용하자.
- 양의 \(x\) 방향과 양의 \(y\) 방향을 정한다.
- 각 성분에 올바른 부호를 붙여 적는다.
- 모든 \(x\)-성분을 더해 \(R_x\)를 구한다.
- 모든 \(y\)-성분을 더해 \(R_y\)를 구한다.
- 크기는 \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\)를 사용해 구한다.
- 성분의 비를 사용해 기준각을 구한다.
- \(R_x\)와 \(R_y\)의 부호를 이용해 실제 방향을 나타낸다.
- 크기와 사분면이 물리적으로 타당한지 확인한다.
7단계를 생략해서는 안 된다. 역탄젠트 계산은 각도를 알려 줄 수 있지만, 완전한 물리적 방향까지 알려 주지는 않는다.
10문제와 해설
문제 1
어떤 힘의 수평 성분은 동쪽으로 5.0 N이고, 수직 성분은 북쪽으로 12.0 N이다. 이 힘의 크기와 방향을 구하여라.
해설 1
이 힘은 13.0 N, 동쪽에서 북쪽으로 \(67.4^\circ\)이다.
동쪽과 북쪽을 양의 방향으로 정하면:
\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]
크기는
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]
이다.
동쪽을 기준으로 측정한 방향은
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]
이다.
두 성분이 모두 양수이므로 벡터는 북동쪽을 향한다.
따라서,
\[ \boxed{R = 13.0\text{ N, 동쪽에서 북쪽으로 }67.4^\circ} \]
이다.
13.0 N은 두 성분 각각보다 크지만 \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\)보다 작으므로 결과는 타당하다.
문제 2
드론의 지면에 대한 속도 성분이 서쪽으로 8.0 m/s, 북쪽으로 15.0 m/s이다. 드론의 속력과 방향을 구하여라.
해설 2
드론의 속도는 17.0 m/s, 서쪽에서 북쪽으로 \(61.9^\circ\)이다.
동쪽을 양의 \(x\), 북쪽을 양의 \(y\)로 정하면:
\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]
속력은 속도의 크기이므로:
\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]
이다.
수평 방향을 기준으로 한 기준각은:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]
이다.
음의 \(x\)-성분과 양의 \(y\)-성분이므로 벡터는 북서쪽 사분면에 있다.
따라서,
\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s, 서쪽에서 북쪽으로 }61.9^\circ} \]
이다.
흔한 실수는 이를 동쪽에서 북쪽으로 \(61.9^\circ\)라고 쓰는 것이다. 계산기는 기준각의 크기를 알려 주지만, 올바른 사분면을 결정하는 것은 성분의 부호이다.
문제 3
어떤 벡터의 초기 성분이 동쪽으로 6.0 N, 북쪽으로 8.0 N이다. 이후 동쪽 성분은 두 배가 되고 북쪽 성분은 변하지 않는다.
한 학생은 벡터의 크기도 반드시 두 배가 된다고 주장한다. 이 주장이 맞는지 판단하고, 새로운 크기와 방향을 계산하여라.
해설 3
이 주장은 옳지 않다. 새로운 벡터의 크기는 14.4 N, 동쪽에서 북쪽으로 \(33.7^\circ\)이며, 초기 크기의 두 배가 아니다.
처음에는,
\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]
이므로
\[ R_{\text{initial}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]
이다.
동쪽 성분이 두 배가 된 뒤에는:
\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]
이다.
새로운 크기는
\[ R_{\text{new}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]
이다.
방향은
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]
이다.
따라서,
\[ \boxed{R_{\text{new}} = 14.4\text{ N, 동쪽에서 북쪽으로 }33.7^\circ} \]
이다.
한 성분을 두 배로 만든다고 해서 전체 벡터의 크기가 두 배가 되는 것은 아니다. 다른 성분은 변하지 않았기 때문이다. 방향도 변한다. 동쪽 성분이 더 우세해졌기 때문에 합성 벡터는 동쪽에 더 가까운 방향으로 회전한다.
문제 4
네 개의 성분 힘이 한 물체에 작용한다.
- 동쪽으로 9.0 N
- 서쪽으로 4.0 N
- 남쪽으로 12.0 N
- 북쪽으로 7.0 N
알짜힘의 크기와 방향을 구하여라.
한 학생은 대신 네 힘의 크기를 모두 더해 32 N이라고 답했다. 무엇이 잘못되었는지 설명하여라.
해설 4
알짜힘은 7.07 N, 동쪽에서 남쪽으로 \(45.0^\circ\)이다. 32 N이라는 답은 잘못되었다. 서로 반대 방향의 성분은 모두 같은 방향으로 기여하는 것이 아니라 일부가 서로 상쇄되기 때문이다.
먼저 수평 성분을 합한다.
\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]
따라서 알짜 수평 성분은 동쪽으로 5.0 N이다.
이제 수직 성분을 합한다.
\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]
따라서 알짜 수직 성분은 남쪽으로 5.0 N이다.
크기는
\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]
이다.
기준각은
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]
이다.
\(R_x\)는 양수이고 \(R_y\)는 음수이므로 합성 벡터는 남동쪽을 향한다.
따라서,
\[ \boxed{R = 7.07\text{ N, 동쪽에서 남쪽으로 }45.0^\circ} \]
이다.
\(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\)을 더하는 것은 모든 힘이 같은 직선 위에서 같은 방향으로 작용한다고 취급하는 것이다. 이 방법은 서로 반대 방향의 성분이 상쇄되는 효과와, 최종 수평 성분과 수직 성분이 서로 수직이라는 사실을 모두 무시한다.
문제 5
물체에 작용하는 모든 힘의 성분을 더한 결과가 다음과 같다.
\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]
한 학생이 “크기가 0이므로 방향은 반드시 \(0^\circ\)이다.”라고 썼다.
이 말은 맞는가? 합성 벡터가 실제로 물체에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하여라.
해설 5
학생의 결론은 옳지 않다. 합성력의 크기는 0 N이며, 정의된 방향이 없다.
크기 식을 사용하면:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]
이다.
하지만 방향은 0이 아닌 벡터가 어디를 가리키는지를 나타낸다. 영벡터는 길이가 없으므로 방향을 측정할 수 있는 화살표가 없다. 방향을 \(0^\circ\)라고 하면 실제로는 동쪽을 가리킨다는 잘못된 의미를 줄 수 있다.
알짜힘이 0이라고 해서 물체가 반드시 정지해 있다는 뜻도 아니다. 뉴턴의 제2법칙에 따르면,
\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]
이므로 알짜힘이 0이면
\[ \vec a = 0 \]
이다.
이는 질량이 0이 아닌 물체에 대해 성립한다. 따라서 속도는 일정하게 유지된다. 물체가 정지해 있을 수도 있고, 이미 일정한 속도로 움직이고 있을 수도 있다.
이 특수한 경우는 성분이 계산기보다 더 많은 정보를 준다는 점을 잘 보여 준다. 각도를 구하기 전에 먼저 방향을 구해야 할 0이 아닌 합성 벡터가 실제로 존재하는지 확인해야 한다.
서로 수직인 성분을 더해 합성 벡터를 구할 수 있게 되었다면, 다음 단계는 반대로 벡터를 성분으로 분해하는 것이다. 즉, 크기와 각도가 주어진 벡터에서 \(x\)-성분과 \(y\)-성분을 구하는 것이다. 이는 같은 기하학을 반대 방향으로 적용하는 것이며, 이를 통해 기울어진 방향의 힘, 속도, 장, 포물선 운동을 각각의 성분별로 다룰 수 있다.