물살을 가로지르는 보트: 속도, 이동 경로와 건너는 시간

보트가 강을 가로질러 정면으로 향하고 있다. 물에 대한 보트의 속력은 3.0 m s\(^{-1}\)이고, 물살은 하류 방향으로 2.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 흐른다. 강둑에 대한 보트의 속력은 분명 3.0 m s\(^{-1}\)보다 크다. 그렇다면 다음과 같이 예측해 볼 수 있다. 물살 때문에 보트가 반대편 강둑에 더 빨리 도착할까?

아니다. 물살이 강둑과 평행하게 흐른다면, 보트는 물이 정지해 있을 때와 정확히 같은 시간에 반대편 강둑에 도착한다. 물살은 보트가 어디에 도착하는지와 지면에 대한 이동 경로의 방향은 바꾸지만, 강을 가로지르는 방향의 속도는 전혀 더해 주지 않는다.

이 한 가지 구분만 이해해도 대부분의 HSC 보트와 물살 문제를 해결할 수 있다.

01보트에는 하나 이상의 속도가 있다

동쪽으로 움직이는 거대한 컨베이어 벨트 위를 당신이 북쪽으로 걸어간다고 상상해 보자.

벨트에 대해서는 당신이 북쪽으로 움직이고 있다. 하지만 그 아래의 바닥에 대해서는 북쪽으로 그리고 동쪽으로 움직이고 있다. 바닥에 서 있는 사람은 이 두 움직임이 합쳐진 것을 보게 된다.

강 위의 보트도 같은 방식으로 움직인다.

• 모터는 보트에 물에 대한 속도를 준다
• 물살은 물에 지면에 대한 속도를 준다
• 강둑에 서 있는 사람은 보트의 지면에 대한 속도를 본다

컨베이어 벨트 모형은 벡터의 합을 눈으로 확인할 수 있게 해 주기 때문에 유용하다. 하지만 실제 강에서는 강의 위치에 따라 물살의 속력과 방향이 달라질 수 있으므로 모든 강에 정확히 적용되는 모형은 아니다.

정확한 상대속도 관계는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]

여기서:

• \(\vec v_{BG}\)는 지면에 대한 보트의 속도이다
• \(\vec v_{BW}\)는 물에 대한 보트의 속도이다
• \(\vec v_{WG}\)는 지면에 대한 물의 속도이다

강둑의 관찰자가 보는 것은 \(\vec v_{BG}\)이다. 이 속도가 보트의 지상 궤적을 결정한다.

02운동을 강을 가로지르는 성분과 하류 방향 성분으로 분해하기

가장 쉬운 방법은 서로 수직인 두 방향을 정하는 것이다.

• 강을 가로지르는 방향: 강둑에 수직인 방향
• 하류 방향: 강둑과 평행한 방향

보트가 물에 대해 속력 \(v_b\)로 강을 정확히 가로지르는 방향을 향하고 있고, 물살이 하류 방향으로 속력 \(v_c\)로 흐른다고 하자.

그러면 지면에 대한 속도의 성분은

\[ v_{\text{across}} = v_b \]

그리고

\[ v_{\text{downstream}} = v_c \]

이다.

따라서 지면에 대한 보트 속도의 크기는

\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]

이다. 여기서 \(v_g\)는 지면에 대한 보트의 속력이다.

강을 정확히 가로지르는 방향에서 하류 쪽으로 잰 지상 궤적의 각도 \(\theta\)는 다음 관계를 만족한다.

\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]

이 식이 무엇을 나타내는지 주의해서 보자. 보트는 강을 정확히 가로지르는 방향을 향하고 있을 수 있지만, 지면에 대해서 반드시 강을 정확히 가로지르는 방향으로 이동하는 것은 아니다.

보트가 향하는 방향과 지상 궤적은 서로 다른 개념이다.

03건너는 시간은 강을 가로지르는 속도 성분에 의해 결정된다

강의 폭이 \(d\)라고 하자.

반대편 강둑에 도착하려면 보트는 강둑에 수직인 이 거리를 이동해야 한다. 따라서 건너는 시간은

\[ t = \frac{d}{v_{\text{across}}} \]

이다.

여기서:

• \(t\)는 초 단위의 건너는 시간이다
• \(d\)는 미터 단위의 강의 폭이다
• \(v_{\text{across}}\)는 강둑에 수직인 방향의 보트 지면 속도 성분이며, 단위는 m s\(^{-1}\)이다

여기서 빠지기 쉬운 실수가 하나 생긴다.

학생은 전체 지면 속력을 계산한 뒤

\[ t = \frac{d}{v_g} \]

를 사용할 수도 있다.

\(t=d/v\)라는 식이 익숙하기 때문에 그럴듯해 보인다. 하지만 문제는 \(d\)가 강을 가로지르는 거리인 반면 \(v_g\)는 대각선 방향을 가리킨다는 것이다. 둘은 같은 방향이 아니다.

\(t=d/v\)를 사용할 때는 거리와 속도가 같은 방향을 나타내야 한다.

04강을 정확히 가로지르는 방향으로 향하는 것과 정반대 지점에 도착하는 것은 다르다

이번에는 보트가 실제로 출발점의 정반대 지점에 도착해야 한다고 하자.

그래도 강을 정확히 가로지르는 방향을 향해야 할까?

아니다. 물에 대한 보트 속도의 일부가 물살을 상쇄하도록 상류 방향으로 보트를 향하게 해야 한다.

이는 앞의 예제와는 다른 문제이다.

보트의 물에 대한 속력이 \(v_b\)이고 물살의 속력이 \(v_c\)라고 하자. 보트가 강을 정확히 가로지르는 방향에서 상류 쪽으로 \(\theta\)만큼 기울여 향한다면, 물에 대한 보트의 속도에는 두 성분이 있다.

\[ v_{\text{boat, across}} = v_b\cos\theta \]

그리고

\[ v_{\text{boat, upstream}} = v_b\sin\theta \]

이다.

정반대 지점에 도착하려면 상류 방향 성분이 하류 방향 물살을 정확히 상쇄해야 한다.

\[ v_b\sin\theta = v_c \]

따라서

\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]

이다.

하류 방향 운동이 상쇄되면 보트의 지면에 대한 속도는 순수하게 강을 가로지르는 방향을 향한다.

하지만 그에 따른 대가가 있다. 보트 속도의 일부가 물살에 맞서기 위해 사용되므로, 강을 건너는 데 사용할 수 있는 속도는 줄어든다.

05강 문제를 위한 빠른 판단 기준

가장 유용한 습관은 계산기를 사용하기 전에 먼저 두 축을 그리는 것이다.

06중요한 극한 경우

물살의 속력이 보트의 속력과 정확히 같다면 어떻게 될까?

물에 대한 보트의 최대 속력이 3.0 m s\(^{-1}\)이고, 물살의 속력도 3.0 m s\(^{-1}\)이라고 하자.

정반대 지점에 도착하려면 보트는 3.0 m s\(^{-1}\)의 상류 방향 속도 성분을 가져야 한다. 하지만 그렇게 하려면 보트의 전체 속도가 상류 방향을 향해야 한다.

그러면 강을 가로지르는 속도 성분은 0이 된다.

따라서 하류 방향 물살을 상쇄할 수는 있지만, 강을 전혀 건너지 못한다.

물살이 보트보다 빠른 경우에도 정반대 지점에 도착하는 것은 불가능하다. 보트가 물살을 상쇄할 만큼 큰 상류 방향 속도 성분을 만들어 낼 수 없기 때문이다.

따라서 더 정확한 조건은 다음과 같다.

\[ v_b > v_c \]

보트가 물살을 상쇄하는 동시에 강을 가로질러 전진해야 한다면 이 조건이 필요하다.

07피해야 할 오개념

보트가 강을 정확히 가로지르는 방향을 향할 때, 더 강한 물살은 일반적으로 보트의 지면에 대한 속력을 증가시킨다. 그래서 보트가 더 빨리 강을 건널 것처럼 보일 수 있다.

하지만 필요한 방향이 아닌 쪽의 속도가 커져도 필요한 거리를 이동하는 데는 도움이 되지 않는다.

이는 당신의 정북쪽에 사는 사람을 만나러 가는 데 늦어 놓고, 자신은 동쪽으로 아주 빠르게 달리고 있다고 자랑하는 것과 같다. 속력은 대단하다. 방향 선택에는 약간의 문제가 있다.

건너는 시간을 구할 때는 먼저 한 가지 질문을 하자.

보트는 실제로 반대편 강둑을 향해 얼마나 빠르게 움직이고 있는가?

시간을 결정하는 것은 전체 속력이 아니라 바로 그 성분이다.

08문제와 해설

문제 1

보트가 폭 90 m인 강을 정확히 가로지르는 방향을 향한다. 물에 대한 보트의 속력은 2.5 m s\(^{-1}\)이고, 물살은 하류 방향으로 0.80 m s\(^{-1}\)의 속력으로 흐른다.

건너는 시간과 보트가 하류 방향으로 이동하는 거리를 계산하여라.

해설 1

보트가 강을 건너는 데 36 s가 걸리며, 하류로 28.8 m 떨어진 지점에 도착한다.

물살은 강둑과 평행하므로 보트의 2.5 m s\(^{-1}\)인 강 횡단 방향 속도 성분을 바꾸지 않는다.

건너는 시간은

\[ t = \frac{d}{v_{\text{across}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]

이다.

이 36 s 동안 물살은 보트를 하류 방향으로 이동시킨다.

\[ s_{\text{downstream}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]

따라서 보트는 36 s 만에 강을 건너며, 출발점의 정반대 지점에서 하류로 28.8 m 떨어진 곳에 도착한다.

핵심은 강을 건너는 운동과 하류로 표류하는 운동이 동시에 일어난다는 것이다. 보트가 강을 다 건넌 뒤 별도의 “표류 시간”을 더하는 것이 아니다.

문제 2

보트가 물에 대해 5.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 움직이며 폭 200 m인 강을 정확히 가로지르는 방향을 향한다. 물살은 하류 방향으로 3.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 흐른다.

다음을 구하여라.

• 건너는 시간
• 하류 방향 변위
• 보트의 지면에 대한 속력
• 강을 정확히 가로지르는 방향에서 하류 쪽으로 잰 지상 궤적의 각도
• 강을 건너는 동안 지면에 대해 이동한 거리

해설 2

보트는 40 s 만에 강을 건너고, 하류로 120 m 이동하며, 지면에 대한 속력은 5.83 m s\(^{-1}\)이다. 또한 강을 정확히 가로지르는 방향에서 하류 쪽으로 31.0° 기울어진 궤적을 따르며, 지면에 대해 약 233 m를 이동한다.

강을 가로지르는 속도 성분은 5.0 m s\(^{-1}\)이므로,

\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]

이다.

하류 방향 변위는

\[ s_{\text{downstream}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]

이다.

지면에 대한 속력은 벡터합의 크기이다.

\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]

지상 궤적의 각도에 대해,

\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]

이므로,

\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]

이다.

보트는 지면에 대해 대각선 방향으로 이동한다. 지상 궤적을 따라 이동한 거리는

\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]

이다.

변위 삼각형을 이용해도 같은 결과를 얻을 수 있다.

\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]

200 m라는 강의 폭은 보트가 지면에 대해 이동한 전체 거리와 같지 않다. 이는 전체 변위의 수직 방향 성분일 뿐이다.

문제 3

서로 동일한 두 보트가 각각 폭이 160 m인 서로 다른 강을 건너야 한다.

보트 A는 정지한 물에 대해 4.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 움직인다.

보트 B도 물에 대해 4.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 움직이지만, 이 강에는 강둑과 평행하게 3.0 m s\(^{-1}\)의 물살이 흐른다.

두 보트 모두 강을 정확히 가로지르는 방향을 향한다.

한 학생은 보트 B의 지면에 대한 속력이

\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]

이므로 보트 B가 먼저 도착할 것이라고 주장한다.

학생의 주장은 옳은가? 각 보트가 강을 건너는 시간을 계산하고 그 결과를 설명하여라.

해설 3

아니다. 두 보트 모두 강을 건너는 데 40 s가 걸린다.

보트 A의 강 횡단 방향 속도는 4.0 m s\(^{-1}\)이므로,

\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

이다.

보트 B 역시 강 횡단 방향 속도가 4.0 m s\(^{-1}\)이다. 물살은 하류 방향으로 3.0 m s\(^{-1}\)의 성분을 더하지만, 강을 가로지르는 방향에는 아무것도 더하지 않는다.

따라서,

\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

이다.

보트 B의 지면에 대한 속력이 실제로 5.0 m s\(^{-1}\)인 것은 맞지만, 그 속도 중 일부는 하류 방향이다. 추가된 지면 속력은 보트가 반대편 강둑에 가까워지는 데 도움이 되지 않는다.

학생이 지면에 대한 속력을 계산한 것은 맞다. 실수는 오직 그 속도의 수직 성분에 의해 결정되는 문제에 지면 속도의 전체 크기를 사용한 것이다.

문제 4

보트는 물에 대해 4.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 움직일 수 있다. 이 보트는 3.0 m s\(^{-1}\)의 물살이 흐르는 폭 120 m의 강을 건너야 한다.

한 학생은 출발점의 정반대 지점에 도착하려면 보트가

\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]

만큼 강을 정확히 가로지르는 방향에서 상류 쪽으로 향해야 한다는 것을 정확히 계산했다.

그런 다음 학생은 건너는 시간을

\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]

로 계산했다.

오류를 찾아내고 올바른 건너는 시간을 계산하여라.

해설 4

올바른 건너는 시간은 약 45.4 s이다. 오류는 보트의 전체 속력 4.0 m s\(^{-1}\)가 강을 가로지르는 방향을 향하는 것처럼 취급한 것이다.

보트는 강을 정확히 가로지르는 방향에서 상류 쪽으로 \(48.6^\circ\) 기울여 향한다. 보트의 3.0 m s\(^{-1}\) 상류 방향 속도 성분이 물살을 상쇄한다.

따라서 남는 강 횡단 방향 속도 성분은

\[ v_{\text{across}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]

이다.

그러므로 건너는 시간은

\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]

이다.

따라서 보트가 강을 건너는 데 약 45.4 s가 걸린다.

빠지기 쉬운 실수는 물에 대한 보트의 속력이 4.0 m s\(^{-1}\)이므로 강을 가로지르는 속력도 4.0 m s\(^{-1}\)이라고 생각하는 것이다. 이는 물에 대한 보트의 전체 속도가 강을 가로지르는 방향을 향할 때만 참이다.

문제 5

폭 180 m인 강의 물살이 강 중간 지점에서 갑자기 변한다.

처음 90 m 구간에서는 물살이 하류 방향으로 1.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 흐른다. 다음 90 m 구간에서는 하류 방향으로 3.0 m s\(^{-1}\)의 속력으로 흐른다.

보트는 이동하는 내내 강을 정확히 가로지르는 방향을 향하고, 그 지점의 물에 대해 3.0 m s\(^{-1}\)의 일정한 속력을 유지한다.

전체 건너는 시간과 하류 방향 변위를 구하여라. 보트의 지상 궤적은 하나의 직선인가?

해설 5

보트가 강을 건너는 데 60 s가 걸리고, 전체적으로 하류 방향으로 120 m 이동하며, 지상 궤적은 하나의 직선이 아니다.

핵심은 두 물살 모두 강둑과 평행하다는 것이다. 어느 물살도 보트의 3.0 m s\(^{-1}\)인 강 횡단 방향 속도 성분을 바꾸지 않는다.

처음 90 m 구간에서,

\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

이다.

다음 90 m 구간에서,

\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

이다.

따라서,

\[ t_{\text{total}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]

이다.

첫 번째 절반 구간에서 하류 방향 변위는

\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]

이다.

두 번째 절반 구간에서는

\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]

이다.

따라서 전체 하류 방향 변위는

\[ s_{\text{downstream}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]

이다.

지상 궤적은 하나의 직선이 아니다. 강의 두 번째 절반에서는 지면 속도의 하류 방향 성분이 더 커지므로 합성 속도의 방향이 변한다. 따라서 이 단순화된 모형에서는 중간 지점에서 이동 경로의 방향이 바뀐다.

이 문제는 더 단순한 강 문제에 숨어 있는 중요한 가정을 보여 준다. 지상 궤적이 직선이 되려면 속도 성분이 일정하게 유지되어야 한다.

09이 개념에서 다음으로 이어지는 내용

보트와 물살 문제는 사실 상대속도 문제이다. 속도를 서로 수직인 성분으로 나누고 올바른 기준 좌표계를 구별할 수 있게 되면, 같은 방법을 바람 속의 항공기, 흐르는 물에서 수영하는 사람, 그리고 움직이는 매질 속에서 운동하는 다른 물체에도 적용할 수 있다.

그다음으로 유용한 단계는 물체의 방향이 단순히 “강을 정확히 가로지르는 방향”이나 “정반대 지점에 도착하도록 향한 방향”이 아니라 임의의 방향으로 주어지는 경우를 다루는 법을 배우는 것이다. 물리 원리는 달라지지 않는다. 속도를 성분으로 분해하고, 매질의 속도를 각 성분별로 더한 다음, 그렇게 얻은 지면에 대한 속도를 이용해 운동을 예측하면 된다.